數(shù)列的概念與簡單表示法

1、第五章數(shù)列第一節(jié)數(shù)列的概念與簡單表示法考試考試說明說明內(nèi)容內(nèi)容知識要求知識要求了解了解(A)(A)理解理解(B)(B)掌握掌握(C)(C)數(shù)列的概念數(shù)列的概念數(shù)列的簡單表示法數(shù)列的簡單表示法( (列表、圖象、通項公式、遞推公式列表、圖象、通項公式、遞推公式) )三年三年考題考題1313年年(3(3考考) )：江西：江西T16T16廣東廣東T19T19湖南湖南T15T151212年年(3(3考考) )：福建：福建T11T11北京北京T8T8廣東廣東T19T191111年年(1(1考考) )：浙江：浙江T17T17考情考情播報播報1.1.主要考查簡單數(shù)列的通項公式的求解、數(shù)列的前主要考查簡單數(shù)列的

2、通項公式的求解、數(shù)列的前n n項和項和與通項的關(guān)系、簡單的遞推數(shù)列問題與通項的關(guān)系、簡單的遞推數(shù)列問題2.2.三種題型都有可能出現(xiàn)三種題型都有可能出現(xiàn), ,試題難度中等試題難度中等【知識梳理】【知識梳理】1.1.數(shù)列的有關(guān)概念數(shù)列的有關(guān)概念概念概念含義含義數(shù)列數(shù)列按照按照_排列的一列數(shù)排列的一列數(shù)數(shù)列的項數(shù)列的項數(shù)列中的數(shù)列中的_數(shù)列的通項數(shù)列的通項 數(shù)列數(shù)列aan n 的第的第n n項項a an n通項公式通項公式數(shù)列數(shù)列aan n 的第的第n n項項a an n與與n n之間的關(guān)系能用公式之間的關(guān)系能用公式_表達表達, ,這個公式叫做數(shù)列的通項公式這個公式叫做數(shù)列的通項公式前前n n項和項

3、和數(shù)列數(shù)列aan n 中中,S,Sn n= _= _叫做數(shù)列的前叫做數(shù)列的前n n項和項和一定順序一定順序每一個數(shù)每一個數(shù)a an n=f(n)=f(n)a a1 1+a+a2 2+ +a+an n2.2.數(shù)列的表示方法數(shù)列的表示方法(1)(1)表示方法表示方法: :列表法列表法列表格表達列表格表達n n與與a an n的對應(yīng)關(guān)系的對應(yīng)關(guān)系圖象法圖象法把點把點_畫在平面直角坐標系中畫在平面直角坐標系中公式法公式法通項通項公式公式把數(shù)列的通項使用把數(shù)列的通項使用_表達的方法表達的方法遞推遞推公式公式使用初始值使用初始值a a1 1和和a an+1n+1=f(a=f(an n) )或或a a1 1

4、,a,a2 2和和a an+1n+1=f(a=f(an n,a,an-1n-1) )等表達數(shù)列的方法等表達數(shù)列的方法(n,a(n,an n) )公式公式(2)(2)數(shù)列的函數(shù)特征數(shù)列的函數(shù)特征: :上面數(shù)列的三種表示方法也是函數(shù)的表示上面數(shù)列的三種表示方法也是函數(shù)的表示方法方法, ,數(shù)列可以看作是定義域為正整數(shù)集數(shù)列可以看作是定義域為正整數(shù)集( (或它的有限子集或它的有限子集1,2,1,2,n),n)的函數(shù)的函數(shù)a an n=f(n),=f(n),當自變量由小到大依次取值時所當自變量由小到大依次取值時所對應(yīng)的一列對應(yīng)的一列_._.函數(shù)值函數(shù)值3.3.數(shù)列的性質(zhì)數(shù)列的性質(zhì)單調(diào)性單調(diào)性遞增數(shù)列遞增

5、數(shù)列nNnN* *,_,_遞減數(shù)列遞減數(shù)列nNnN* *,_,_常數(shù)列常數(shù)列nNnN* *,a,an+1n+1=a=an n擺動數(shù)列擺動數(shù)列從第從第2 2項起項起, ,有些項大于它的前一項有些項大于它的前一項, ,有些項小于它的前一項的數(shù)列有些項小于它的前一項的數(shù)列周期性周期性nNnN* *, ,存在正整數(shù)常數(shù)存在正整數(shù)常數(shù)k,ak,an+kn+k=a=an na an+1n+1aan na an+1n+1aaan n, ,所以數(shù)列所以數(shù)列aan n 是遞增數(shù)列是遞增數(shù)列. .n1n1n1n1nn2 n n1n1 n2nn120,n2n1n1 n2n1 n25.5.已知數(shù)列已知數(shù)列aan n

6、的前的前n n項和項和S Sn n=2=2n n-3,-3,則數(shù)列則數(shù)列aan n 的通項公式是的通項公式是. .【解析】【解析】當當n=1n=1時時,a,a1 1=S=S1 1=-1;=-1;當當n2n2時時,a,an n=S=Sn n-S-Sn-1n-1=2=2n-1n-1. .故數(shù)列故數(shù)列aan n 的通項公式是的通項公式是a an n= =答案答案: :a an n= =n 11,n1,2,n2nN*.，n 11,n1,2,n2nN*，6.6.在數(shù)列在數(shù)列aan n 中中,a,a1 1=1,a=1,an+2n+2=a=an+1n+1-a-an n(nN(nN* *),),則則a a10

7、0100等于等于. .【解析】【解析】因為因為a an+2n+2=a=an+1n+1-a-an n, ,所以所以a an+3n+3=a=an+2n+2-a-an+1n+1. .兩式相加得兩式相加得a an+3n+3=-a=-an n, ,則則a an+6n+6=-a=-an+3n+3=a=an n, ,即數(shù)列即數(shù)列aan n 的周期為的周期為6,6,所以所以a a100100=a=a16166+46+4=a=a4 4=a=a3 3-a-a2 2=(a=(a2 2-a-a1 1)-a)-a2 2=-a=-a1 1=-1.=-1.答案答案: :-1-1考點考點1 1 由數(shù)列的前幾項歸納數(shù)列的通項公

8、式由數(shù)列的前幾項歸納數(shù)列的通項公式【典例【典例1 1】寫出下面各數(shù)列的一個通項公式寫出下面各數(shù)列的一個通項公式. .(1)3,5,7,9,.(1)3,5,7,9,. 1 3 7 15 312,.2 4 8 16 3231 31 331,.23 45 621017 26374, 1,.379 11135 9,99,999,9 999,.【解題視點】【解題視點】通過分析各數(shù)列已知項的數(shù)字特征的共性寫出各通過分析各數(shù)列已知項的數(shù)字特征的共性寫出各數(shù)列的通項公式數(shù)列的通項公式. .【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】(1)(1)各項減去各項減去1 1后為正偶數(shù)后為正偶數(shù), ,所以所以a an n=2n+1.=2n

9、+1.(2)(2)每一項的分子比分母少每一項的分子比分母少1,1,而分母組成數(shù)列而分母組成數(shù)列2 21 1,2,22 2,2,23 3,2,24 4, , ,所以所以a an n= =nn21.2(3)(3)奇數(shù)項為負奇數(shù)項為負, ,偶數(shù)項為正偶數(shù)項為正, ,故通項公式的符號為故通項公式的符號為(-1)(-1)n n; ;各項各項絕對值的分母組成數(shù)列絕對值的分母組成數(shù)列1,2,3,4,1,2,3,4,; ;而各項絕對值的分子組成而各項絕對值的分子組成的數(shù)列中的數(shù)列中, ,奇數(shù)項為奇數(shù)項為1,1,偶數(shù)項為偶數(shù)項為3,3,即奇數(shù)項為即奇數(shù)項為2-1,2-1,偶數(shù)項為偶數(shù)項為2+1,2+1,所以所以

10、a an n=(-1)=(-1)n n , ,也可寫為也可寫為a an n= = n21n 1,n,n3,n.n為正奇數(shù)為正偶數(shù)(4)(4)偶數(shù)項為負偶數(shù)項為負, ,而奇數(shù)項為正而奇數(shù)項為正, ,故通項公式中必含有故通項公式中必含有(-1)(-1)n+1n+1, ,觀觀察各項絕對值組成的數(shù)列察各項絕對值組成的數(shù)列, ,從第從第3 3項到第項到第6 6項可知項可知, ,分母分別由奇分母分別由奇數(shù)數(shù)7,9,11,137,9,11,13組成組成, ,而分子則是而分子則是3 32 2+1,4+1,42 2+1,5+1,52 2+1,6+1,62 2+1,+1,按照這樣按照這樣的規(guī)律的規(guī)律, ,第第1,

11、21,2兩項可改寫為兩項可改寫為 所以所以a an n=(-1)=(-1)n+1n+1 (5)(5)這個數(shù)列的前這個數(shù)列的前4 4項可以寫成項可以寫成10-1,100-1,1000-1,10000-1,10-1,100-1,1000-1,10000-1,所以它的一個通項公式為所以它的一個通項公式為a an n=10=10n n-1.-1.221121,2 12 2 12n1.2n1【規(guī)律方法】【規(guī)律方法】由前幾項歸納數(shù)列通項的常用方法及具體策略由前幾項歸納數(shù)列通項的常用方法及具體策略(1)(1)常用方法常用方法: :觀察觀察( (觀察規(guī)律觀察規(guī)律) )、比較、比較( (比較已知數(shù)列比較已知數(shù)列

12、) )、歸納、歸納、轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化( (轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列) )、聯(lián)想、聯(lián)想( (聯(lián)想常見的數(shù)列聯(lián)想常見的數(shù)列) )等方法等方法. .(2)(2)具體策略具體策略: :分式中分子、分母的特征分式中分子、分母的特征; ;相鄰項的變化特相鄰項的變化特征征; ;拆項后的特征拆項后的特征; ;各項的符號特征和絕對值特征各項的符號特征和絕對值特征; ;化異化異為同為同. .對于分式還可以考慮對分子、分母各個擊破對于分式還可以考慮對分子、分母各個擊破, ,或?qū)ふ曳肿印⒒驅(qū)ふ曳肿?、分母之間的關(guān)系分母之間的關(guān)系; ;對于符號交替出現(xiàn)的情況對于符號交替出現(xiàn)的情況, ,可用可用(-1)(-1)k k或或(-(

13、-1)1)k+1k+1,kN,kN* *處理處理. .【變式訓練】【變式訓練】寫出下列數(shù)列的一個通項公式寫出下列數(shù)列的一個通項公式. .(1)2,4,6,8,.(1)2,4,6,8,.(2)(2)(3)a,b,a,b,a,b,(3)a,b,a,b,a,b,(其中其中a,ba,b為實數(shù)為實數(shù)).).(4)3,33,333,3 333,.(4)3,33,333,3 333,.(5)(5)1111,.1 2 2 33 4 4 5574,2,.24【解析】【解析】(1)(1)這個數(shù)列的前這個數(shù)列的前4 4項都是序號的項都是序號的2 2倍倍, ,所以它的一個通所以它的一個通項公式為項公式為a an n=

14、2n(nN=2n(nN* *).).(2)(2)這個數(shù)列的前這個數(shù)列的前4 4項的絕對值都等于序號與序號加項的絕對值都等于序號與序號加1 1的積的倒的積的倒數(shù)數(shù), ,且奇數(shù)項為負且奇數(shù)項為負, ,偶數(shù)項為正偶數(shù)項為正, ,所以它的一個通項公式為所以它的一個通項公式為a an n= =(-1)(-1)n n(3)(3)這是一個擺動數(shù)列這是一個擺動數(shù)列, ,奇數(shù)項是奇數(shù)項是a,a,偶數(shù)項是偶數(shù)項是b,b,所以此數(shù)列的所以此數(shù)列的一個通項公式為一個通項公式為a an n= =1.n n1a,n,b,n.為奇數(shù)為偶數(shù)(4)(4)將數(shù)列各項改寫為將數(shù)列各項改寫為: : 分母都是分母都是3,3,而分而分子

15、分別是子分別是10-1,1010-1,102 2-1,10-1,103 3-1,10-1,104 4-1,-1,. .所以所以a an n= (10= (10n n-1).-1).(5)(5)將該數(shù)列的前將該數(shù)列的前4 4項改寫成分數(shù)的形式項改寫成分數(shù)的形式: : 可得通可得通項公式項公式a an n=(-1)=(-1)n+1n+19 99 999 9 999,33331345 67,12 34n3.n【加固訓練】【加固訓練】根據(jù)數(shù)列的前幾項，寫出下列各數(shù)列的一個通項根據(jù)數(shù)列的前幾項，寫出下列各數(shù)列的一個通項公式：公式：(1)-1,7,-13,19,.(1)-1,7,-13,19,.(2)0.

16、8,0.88,0.888,.(2)0.8,0.88,0.888,.(3)(3)1 15 1329 61,.2 48 1632 64【解析】【解析】(1)(1)符號可通過符號可通過(-1)(-1)n n表示表示, ,后面的數(shù)的絕對值總比前后面的數(shù)的絕對值總比前一個數(shù)的絕對值大一個數(shù)的絕對值大6,6,故通項公式為故通項公式為a an n=(-1)=(-1)n n(6n-5).(6n-5).(2)(2)數(shù)列變?yōu)閿?shù)列變?yōu)?(1-0.1), (1-0.01),(1-0.1), (1-0.01), (1-0.001), (1-0.001), ,所以其通項公式為所以其通項公式為a an n= =898989

17、n81(1).910(3)(3)各項的分母分別為各項的分母分別為2 21 1，2 22 2，2 23 3，2 24 4，易看出第，易看出第2 2，3 3，4 4項的分子分別比分母少項的分子分別比分母少3.3.因此把第因此把第1 1項變?yōu)轫椬優(yōu)樵瓟?shù)列化為原數(shù)列化為所以所以a an n=(-1)=(-1)n n23.21234123423 2323 232222， ，nn23.2考點考點2 2 a an n與與S Sn n關(guān)系式的應(yīng)用關(guān)系式的應(yīng)用【典例【典例2 2】(1)(1)設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列aan n 的前的前n n項和項和S Sn n=n=n2 2, ,則則a a8 8的值為的值為( () )A.

18、15A.15B.16B.16C.49C.49D.64D.64(2)(2)已知數(shù)列已知數(shù)列aan n 的前的前n n項和為項和為S Sn n,a,a1 1=1,S=1,Sn n=2a=2an+1n+1, ,則則S Sn n=(=() )n 1n 1n 1n 1321A.2 B.( ) C.( ) D.232【解題視點】【解題視點】(1)(1)直接根據(jù)直接根據(jù)a a8 8=S=S8 8-S-S7 7求出即可求出即可. .(2)(2)根據(jù)根據(jù)nNnN* *, ,都有都有a an+1n+1=S=Sn+1n+1-S-Sn n, ,把把S Sn n=2a=2an+1n+1化為化為S Sn+1n+1,S,S

19、n n之間的之間的關(guān)系關(guān)系, ,求出數(shù)列求出數(shù)列SSn n 的通項的通項, ,另外也可根據(jù)另外也可根據(jù)S Sn n=2a=2an+1n+1得出得出S Sn-1n-1=2a=2an n, ,進而得出進而得出a an+1n+1與與a an n的關(guān)系的關(guān)系, ,從而求出從而求出S Sn n. .【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】(1)(1)選選A.aA.a8 8=S=S8 8-S-S7 7=64-49=15.=64-49=15.(2)(2)選選B.B.方法一方法一: :因為因為a an+1n+1=S=Sn+1n+1-S-Sn n, ,所以由所以由S Sn n=2a=2an+1n+1得得,S,Sn n=2(S=

20、2(Sn+1n+1- -S Sn n),),整理得整理得3S3Sn n=2S=2Sn+1n+1, ,所以所以 所以數(shù)列所以數(shù)列SSn n 是以是以S S1 1=a=a1 1=1=1為首項為首項,q= ,q= 為公比的等比數(shù)列為公比的等比數(shù)列, ,所以所以S Sn n= ,= ,故選故選B.B.n 1nS3S2，32n 13( )2方法二方法二: :因為因為S Sn n=2a=2an+1n+1, ,所以所以S Sn-1n-1=2a=2an n(n2),(n2),兩式相減得兩式相減得:a:an n=2a=2an+1n+1-2a-2an n, ,所以所以所以數(shù)列所以數(shù)列aan n 從第從第2 2項起

21、為等比數(shù)列項起為等比數(shù)列. .又又n=1n=1時時,S,S1 1=2a=2a2 2, ,所以所以a a2 2= .= .n 1na3.a212n 1n 1n 1n1131 ( )3322Sa1 1 ( )( ).32212 所以【互動探究】【互動探究】(1)(1)若本例題若本例題(1)(1)中中, ,結(jié)論改為求結(jié)論改為求a an n, ,如何求解如何求解? ?(2)(2)若本例題若本例題(2)(2)中中, ,結(jié)論改為求結(jié)論改為求a an n, ,如何求解如何求解? ?【解析】【解析】(1)(1)當當n=1n=1時時,a,a1 1=S=S1 1=1;=1;當當n2n2時時,a,an n=S=Sn

22、 n-S-Sn-1n-1=n=n2 2-(n-(n-1)1)2 2=2n-1,n=1=2n-1,n=1時適合這個公式時適合這個公式. .所以所以a an n=2n-1.=2n-1.(2)(2)根據(jù)原題的結(jié)果根據(jù)原題的結(jié)果S Sn n= .= .當當n=1n=1時時,a,a1 1=1;=1;當當n2n2時時, ,a an n=S=Sn n-S-Sn-1n-1= n=1= n=1時不適合這個公式時不適合這個公式. .所以所以a an n= =n 13( )2n 213( )22，n 21,n113( ),n2nN*.22，【規(guī)律方法】【規(guī)律方法】已知已知S Sn n求求a an n的三個步驟的三個

23、步驟(1)(1)先利用先利用a a1 1=S=S1 1求出求出a a1 1. .(2)(2)用用n-1n-1替換替換S Sn n中的中的n n得到一個新的關(guān)系得到一個新的關(guān)系, ,利用利用a an n=S=Sn n-S-Sn-1n-1(n2)(n2)便可求出當便可求出當n2n2時時a an n的表達式的表達式. .(3)(3)對對n=1n=1時的結(jié)果進行檢驗時的結(jié)果進行檢驗, ,看是否符合看是否符合n2n2時時a an n的表達式的表達式, ,如如果符合果符合, ,則可以把數(shù)列的通項公式合寫則可以把數(shù)列的通項公式合寫; ;如果不符合如果不符合, ,則應(yīng)該分則應(yīng)該分n=1n=1與與n2n2兩段來

24、寫兩段來寫. .【變式訓練】【變式訓練】已知數(shù)列已知數(shù)列aan n 的前的前n n項和項和S Sn n, ,分別求它們的通項公分別求它們的通項公式式a an n. .(1)S(1)Sn n=2n=2n2 2+3n.(2)S+3n.(2)Sn n=3=3n n+1.+1.【解析】【解析】(1)(1)由題可知由題可知, ,當當n=1n=1時時,a,a1 1=S=S1 1=2=21 12 2+3+31=5,1=5,當當n2n2時時,a,an n=S=Sn n-S-Sn-1n-1=(2n=(2n2 2+3n)-2(n-1)+3n)-2(n-1)2 2+3(n-1)=4n+1.+3(n-1)=4n+1.

25、當當n=1n=1時時,4,41+1=5=a1+1=5=a1 1, ,所以所以a an n=4n+1.=4n+1.(2)(2)當當n=1n=1時時,a,a1 1=S=S1 1=3+1=4,=3+1=4,當當n2n2時時, ,a an n=S=Sn n-S-Sn-1n-1=(3=(3n n+1)-(3+1)-(3n-1n-1+1)=2+1)=23 3n-1n-1. .當當n=1n=1時時,2,23 31-11-1=2a=2a1 1, ,所以所以a an n= =n 14n12 3n2nN*.，【加固訓練】【加固訓練】1.1.已知數(shù)列已知數(shù)列aan n 的前的前n n項和項和S Sn n=-n=-n

26、2 2+3n,+3n,若若a an+1n+1a an+2n+2=80,=80,則則n n的值的值為為( () )A.5A.5B.4B.4C.3C.3D.2D.2【解析】【解析】選選A.A.因為因為S Sn n=-n=-n2 2+3n,+3n,所以所以a a1 1=S=S1 1=2,=2,當當n2n2時時,a,an n=S=Sn n-S-Sn-1n-1=4-2n,=4-2n,因此因此a an n=4-2n(nN=4-2n(nN* *).).又因為又因為a an+1n+1a an+2n+2=80,=80,即即4-2(n+1)4-2(n+2)=80,4-2(n+1)4-2(n+2)=80,n(n-1

27、)=20,n(n-1)=20,解得解得n=5n=5或或n=-4(n=-4(舍去舍去).).2.(20142.(2014重慶模擬重慶模擬) )設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列aan n 的前的前n n項和為項和為S Sn n, ,且且S Sn n=2=2n n-1.-1.數(shù)數(shù)列列bbn n 滿足滿足b b1 1=2,b=2,bn+1n+1-2b-2bn n=8a=8an n. .(1)(1)求數(shù)列求數(shù)列aan n 的通項公式的通項公式. .(2)(2)證明證明: :數(shù)列數(shù)列 為等差數(shù)列為等差數(shù)列, ,并求并求bbn n 的通項公式的通項公式. .nnb2【解析】【解析】(1)(1)當當n=1n=1時時,a,a1 1

28、=S=S1 1=2=21 1-1=1;-1=1;當當n2n2時時,a,an n=S=Sn n-S-Sn-1n-1=(2=(2n n-1)-(2-1)-(2n-1n-1-1)=2-1)=2n-1n-1. .因為因為a a1 1=1=1適合通項公式適合通項公式a an n=2=2n-1n-1, ,所以所以a an n=2=2n-1n-1(nN(nN* *).).(2)(2)因為因為b bn+1n+1-2b-2bn n=8a=8an n, ,所以所以b bn+1n+1-2b-2bn n=2=2n+2n+2, ,即即所以所以 是首項為是首項為1,1,公差為公差為2 2的等差數(shù)列的等差數(shù)列, ,所以所以

29、 =1+2(n-1)=2n-1,=1+2(n-1)=2n-1,所以所以b bn n=(2n-1)=(2n-1)2 2n n. . nnb2n 1n1n 1n1bbb2,1,222nnb2考點考點3 3 由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項公式由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項公式【典例【典例3 3】(1)(1)在數(shù)列在數(shù)列aan n 中中,a,a1 1=2,a=2,an+1n+1=a=an n+ + 則則a an n等于等于( ( ) )A.2+lnnA.2+lnnB.2+(n-1)lnnB.2+(n-1)lnnC.2+nlnnC.2+nlnnD.1+n+lnnD.1+n+lnn(2)(2)若數(shù)列若數(shù)列aan n 滿足

30、滿足a a1 1=1,a=1,an+1n+1=2=2n na an n, ,則數(shù)列則數(shù)列aan n 的通項公式的通項公式a an n= =. .1ln(1),n【解題視點】【解題視點】(1)(1)把已知轉(zhuǎn)化為把已知轉(zhuǎn)化為a an+1n+1-a-an n=ln ,=ln ,采用疊加的采用疊加的方法方法. .(2)(2)把已知轉(zhuǎn)化為把已知轉(zhuǎn)化為 =2=2n n, ,采用疊乘的方法采用疊乘的方法. .n1nn 1naa【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】(1)(1)選選A.A.由已知由已知,a,an+1n+1-a-an n=ln ,a=ln ,a1 1=2,=2,所以所以a an n-a-an-1n-1=ln

31、(n2),=ln (n2),a an-1n-1-a-an-2n-2=ln ,=ln ,a a2 2-a-a1 1=ln ,=ln ,n1nnn1n1n221將以上將以上n-1n-1個式子疊加，得個式子疊加，得=ln n.=ln n.所以所以a an n=2+ln n(n2),=2+ln n(n2),經(jīng)檢驗經(jīng)檢驗n=1n=1時也適合時也適合. .故選故選A.A.n1nn12aalnlnlnn1n21nn12ln()n1 n21(2)(2)由于由于 將這將這n-1n-1個等個等式疊乘得式疊乘得 =2=21+2+1+2+(n-1)+(n-1)= = 故故a an n= =答案：答案：n12n 13n

32、 12nn12n 1aaaa22 ,2 ,2aaaa，故，n1aa1n n 122，1n n 1221n n 122【易錯警示】【易錯警示】注意對注意對n=1n=1的檢驗的檢驗本例題本例題(1)(1)在利用遞推公式求通項時限制了在利用遞推公式求通項時限制了n2n2的條件的條件, ,此時不此時不要忽略檢驗要忽略檢驗n=1n=1時是否成立時是否成立, ,否則易出現(xiàn)錯解否則易出現(xiàn)錯解. .【規(guī)律方法】【規(guī)律方法】典型的遞推數(shù)列及處理方法典型的遞推數(shù)列及處理方法遞推式遞推式方法方法示例示例a an+1n+1=a=an n+f(n)+f(n)疊加法疊加法a a1 1=1,a=1,an+1n+1=a=an

33、 n+2n+2n=f(n)=f(n)疊乘法疊乘法a a1 1=1, =2=1, =2n na an+1n+1=pa=pan n+q+q(p0,1,q0)(p0,1,q0)化為等化為等比數(shù)列比數(shù)列a a1 1=1,a=1,an+1n+1=2a=2an n+1+1a an+1n+1=pa=pan n+q+qp pn+1n+1(p0,1,q0)(p0,1,q0)化為等化為等差數(shù)列差數(shù)列a a1 1=1,a=1,an+1n+1=3a=3an n+3+3n+1n+1n 1naan 1naa其中其中(1)a(1)an+1n+1=pa=pan n+q(p0,1,q0)+q(p0,1,q0)的求解方法是的求解

34、方法是: :設(shè)設(shè)a an+1n+1+=+=p(ap(an n+),+),即即a an+1n+1=pa=pan n+p-,+p-,與與a an+1n+1=pa=pan n+q+q比較即可知比較即可知只要只要=(2)a(2)an+1n+1=pa=pan n+q+qp pn+1n+1(p0,1,q0)(p0,1,q0)的求解方法是兩端同時除以的求解方法是兩端同時除以p pn+1n+1, ,即得即得 數(shù)列數(shù)列 為等差數(shù)列為等差數(shù)列. .提醒提醒: :對于有些遞推公式要注意參數(shù)的限制條件對于有些遞推公式要注意參數(shù)的限制條件. .q.p 1n 1nn 1naaqpp ，nnap【變式訓練】【變式訓練】根據(jù)

35、下列條件根據(jù)下列條件, ,確定數(shù)列確定數(shù)列aan n 的通項公式的通項公式: :(1)a(1)a1 1=1,a=1,an+1n+1=3a=3an n+2.+2.(2)a(2)a1 1=1,a=1,an n= a= an-1n-1(n2).(n2).(3)a(3)a1 1=2,a=2,an+1n+1=a=an n+3n+2.+3n+2.n1n【解析】【解析】(1)(1)因為因為a an+1n+1=3a=3an n+2,+2,所以所以a an+1n+1+1=3(a+1=3(an n+1),+1),所以所以 =3,=3,所以數(shù)列所以數(shù)列aan n+1+1為等比數(shù)列為等比數(shù)列, ,公比公比q=3,q=

36、3,又又a a1 1+1=2,+1=2,所以所以a an n+1=2+1=23 3n-1n-1, ,所以所以a an n=2=23 3n-1n-1-1.-1.n 1na1a1(2)(2)因為因為a an n= a= an-1n-1(n2),(n2),所以所以a an-1n-1= a= an-2n-2, ,a,a2 2= a= a1 1. .以上以上(n-1)(n-1)個式子疊乘得個式子疊乘得當當n=1n=1時符合上式時符合上式, ,所以所以a an n= . = . n1nn2n1121n1a1 2n11aa.2 3nnn1n(3)(3)因為因為a an+1n+1-a-an n=3n+2,=3

37、n+2,所以所以a an n-a-an-1n-1=3n-1(n2),=3n-1(n2),所以所以a an n=(a=(an n-a-an-1n-1)+(a)+(an-1n-1-a-an-2n-2)+)+(a+(a2 2-a-a1 1)+a)+a1 1= (n2).= (n2).當當n=1n=1時時,a,a1 1=2=2符合上式符合上式, ,所以所以a an n= =n 3n1223nn.22【加固訓練】【加固訓練】1.1.設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列aan n 的前的前n n項和為項和為S Sn n, ,已知已知2a2an n-2-2n n=S=Sn n, ,則數(shù)列則數(shù)列aan n 的通項的通項公式公式a a

38、n n= =. .【解析】【解析】令令n=1n=1得得a a1 1=2.=2.由由2a2an n-2-2n n=S=Sn n得得2a2an+1n+1-2-2n+1n+1=S=Sn+1n+1, ,- -整理得整理得a an+1n+1=2a=2an n+2+2n n, ,即即 即數(shù)列即數(shù)列 是首項為是首項為1,1,公差為公差為 的等差數(shù)列的等差數(shù)列, ,故故 =1+(n-1)=1+(n-1) = , = ,故故a an n=(n+1)=(n+1)2 2n-1n-1. .答案答案: :(n+1)(n+1)2 2n-1n-1n 1nn 1naa1222，nna212nna212n122.2.已知數(shù)列已

39、知數(shù)列aan n 中中,a,a1 1=1,a=1,an+1n+1= = 則數(shù)列則數(shù)列bbn n 的通項公式的通項公式b bn n= =. .nnn511,b2aa2，【解析】【解析】由于由于a an+1n+1-2= -2= 即即b bn+1n+1=4b=4bn n+2,b+2,bn+1n+1+ + 又又a a1 1=1,=1,故故b b1 1= =-1.= =-1.所以所以 是首項為是首項為 公比為公比為4 4的等比數(shù)列的等比數(shù)列b bn n+ =+ =- - 4 4n-1n-1，b bn n=- =- 4 4n-1n-1- - 答案：答案：- - 4 4n-1n-1- -nnnnn 1nna

40、22a5114222a2aa2a2a2，n224(b)3311a2n2b313 ，231313231323考點考點4 4 數(shù)列的性質(zhì)數(shù)列的性質(zhì)【考情】【考情】因為數(shù)列可以看作是一類特殊的函數(shù)因為數(shù)列可以看作是一類特殊的函數(shù), ,所以數(shù)列也具所以數(shù)列也具備函數(shù)應(yīng)具備的性質(zhì)備函數(shù)應(yīng)具備的性質(zhì), ,因此因此, ,高考命題往往以數(shù)列作載體高考命題往往以數(shù)列作載體, ,用選用選擇題、填空題的形式考查單調(diào)性、周期性等問題擇題、填空題的形式考查單調(diào)性、周期性等問題. . 高頻考點高頻考點通關(guān)通關(guān) 【典例【典例4 4】(1)(2014(1)(2014濟南模擬濟南模擬) )已知數(shù)列已知數(shù)列aan n 的通項公式

41、為的通項公式為a an n= = 則數(shù)列則數(shù)列aan n() )A.A.有最大項有最大項, ,沒有最小項沒有最小項B.B.有最小項有最小項, ,沒有最大項沒有最大項C.C.既有最大項又有最小項既有最大項又有最小項D.D.既沒有最大項也沒有最小項既沒有最大項也沒有最小項n 1n 142( )( ),93(2)(2014(2)(2014武漢模擬武漢模擬) )已知數(shù)列已知數(shù)列xxn n 滿足滿足x xn+3n+3=x=xn n,x,xn+2n+2=|x=|xn+1n+1-x-xn n| | (nN(nN* *),),若若x x1 1=1,x=1,x2 2=a(a1=a(a1且且a0),a0),則數(shù)列

42、則數(shù)列xxn n 的前的前20152015項的項的和和S S20152015為為( () )A.671 B.670 C.1342 D.1344A.671 B.670 C.1342 D.1344【解題視點】【解題視點】(1)(1)構(gòu)造構(gòu)造f(n)=af(n)=an n-a-an-1n-1, ,再利用二次函數(shù)的單調(diào)性再利用二次函數(shù)的單調(diào)性求解求解. .(2)(2)推算出推算出xxn n 的周期的周期, ,利用周期性簡化計算利用周期性簡化計算. .【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】(1)(1)選選C.C.因為數(shù)列因為數(shù)列aan n 的通項公式為的通項公式為a an n= = 所以所以f(n)=af(n)=an

43、 n-a-an-1n-1= =f(n)f(n)是關(guān)于是關(guān)于 (nN(nN* *) )的二次函數(shù)，且二次項系數(shù)為負，的二次函數(shù)，且二次項系數(shù)為負，自變量自變量 0 0，從而對應(yīng)圖象是開口向下的拋物線上的一群孤立點，從而對應(yīng)圖象是開口向下的拋物線上的一群孤立點，所以數(shù)列先增后減，故有最大項和最小項，選所以數(shù)列先增后減，故有最大項和最小項，選C.C.n 1n 142( )( ),93n 1n 1n 2n 24242 ( )( )( )( )9393n 2n 2n 2 2n 25 41 2( )( )9 93 35212( )( ).9333 n 22( )3n 22( )3(2)(2)選選D.D.由

44、題意由題意x x1 1=1,x=1,x2 2=a,x=a,x3 3=|x=|x2 2-x-x1 1|=|a-1|=1-a,x|=|a-1|=1-a,x4 4= =|1-a-a|=|1-2a|,|1-a-a|=|1-2a|,又又x x4 4=x=x1 1, ,所以所以|1-2a|=1,|1-2a|=1,又因為又因為a0,a0,所以所以a=1.a=1.所以此數(shù)列為所以此數(shù)列為:1,1,0,1,1,0,:1,1,0,1,1,0, ,其周期為其周期為3.3.所以所以S S20152015=S=S6716713+23+2=671=6712+2=1344. 2+2=1344. 【通關(guān)錦囊】【通關(guān)錦囊】高考

45、指數(shù)高考指數(shù)重點題型重點題型破解策略破解策略單調(diào)性問題單調(diào)性問題1.1.用作差比較法用作差比較法, ,根據(jù)根據(jù)a an+1n+1-a-an n的符號的符號判斷數(shù)列判斷數(shù)列aan n 是遞增數(shù)列、遞減數(shù)是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列或是常數(shù)列列或是常數(shù)列2.2.用作商比較法用作商比較法, ,根據(jù)根據(jù) (a(an n00或或a an n0)cc1 1, , b b1 1+c+c1 1=2a=2a1 1,a,an+1n+1=a=an n,b,bn+1n+1= ,c= ,cn+1n+1= ,= ,則則( () )A.SA.Sn n 為遞減數(shù)列為遞減數(shù)列B.SB.Sn n 為遞增數(shù)列為遞增數(shù)列C.SC.S2n-1

46、2n-1 為遞增數(shù)列為遞增數(shù)列,S,S2n2n 為遞減數(shù)列為遞減數(shù)列D.SD.S2n-12n-1 為遞減數(shù)列為遞減數(shù)列,S,S2n2n 為遞增數(shù)列為遞增數(shù)列nnca2nnba2【解析】【解析】選選B.B.因為因為a an+1n+1=a=an n,b,bn+1n+1= ,c= ,cn+1n+1= ,= ,所以所以a an n=a=a1 1,b,bn+1n+1+c+cn+1n+1= = (b= = (bn n+c+cn n)+a)+an n= (b= (bn n+c+cn n) )+a+a1 1,b,bn+1n+1+c+cn+1n+1-2a-2a1 1= (b= (bn n+c+cn n-2a-2

47、a1 1),),注意到注意到b b1 1+c+c1 1=2a=2a1 1, ,所以所以b bn n+c+cn n= =2a2a1 1. .于是于是A An nB Bn nC Cn n中中, ,邊長邊長B Bn nC Cn n=a=a1 1為定值為定值, ,另兩邊的長度之和為另兩邊的長度之和為b bn n+c+cn n=2a=2a1 1為定值為定值. .因為因為b bn+1n+1-c-cn+1n+1= =- (b= =- (bn n-c-cn n),),nnca2nnba2nnnncaba2212121212nnnncaba22所以所以b bn n-c-cn n= (b= (b1 1-c-c1

48、1),),當當n+n+時時, ,有有b bn n-c-cn n0,0,即即b bn nccn n, ,于是于是A An nB Bn nC Cn n的邊的邊B Bn nC Cn n上的高上的高h hn n隨隨n n的增大而增大的增大而增大, ,于是其面積于是其面積S Sn n= |B= |Bn nC Cn n|h|hn n= a= a1 1h hn n, ,所以所以SSn n 為遞增數(shù)列為遞增數(shù)列. .n 11()212122.2.（20142014十堰模擬）數(shù)列十堰模擬）數(shù)列aan n 中，中，a a1 1=1=1，a a2 2=2=2，a an naan+1n+1aan+2n+2=a=an

49、n+a+an+1n+1+a+an+2n+2，且，且a an+1n+1aan+2n+211，則，則a a2 0152 015=_.=_.【解析】【解析】由由1 12 2a a3 3=1+2+a=1+2+a3 3，得，得a a3 3=3=3，繼續(xù)由遞推關(guān)系得到，繼續(xù)由遞推關(guān)系得到a a4 4=1=1，a a5 5=2=2，a a6 6=3=3，故該數(shù)列是周期為，故該數(shù)列是周期為3 3的數(shù)列，因此的數(shù)列，因此a a2 2 015015= =a a3 3671+2671+2=a=a2 2=2.=2.答案：答案：2 23.(20143.(2014淄博模擬淄博模擬) )已知數(shù)列已知數(shù)列aan n 中中,a

50、,an n=1+ =1+ (nN(nN* *,aR,aR,且且a0).a0).(1)(1)若若a=-7,a=-7,求數(shù)列求數(shù)列aan n 中的最大項和最小項的值中的最大項和最小項的值. .(2)(2)若對任意的若對任意的nNnN* *, ,都有都有a an naa6 6成立成立, ,求求a a的取值范圍的取值范圍. .1a2 n1【解析】【解析】(1)(1)因為因為a an n=1+ (nN=1+ (nN* *,aR,aR,且且a0),a0),又因為又因為a=-7,a=-7,所以所以a an n=1+ .=1+ .結(jié)合函數(shù)結(jié)合函數(shù)f(x)=1+ f(x)=1+ 的單調(diào)性的單調(diào)性, ,可知可知1

51、a1a1 1aa2 2aa3 3aa4 4,a,a5 5aa6 6aa7 7 aan n1(nN1(nN* *).).所以數(shù)列所以數(shù)列aan n 中的最大項為中的最大項為a a5 5=2,=2,最小項為最小項為a a4 4=0.=0.1a2 n112n912n9(2)a(2)an n= =因為對任意的因為對任意的nNnN* *, ,都有都有a an naa6 6成立成立, ,結(jié)合函數(shù)結(jié)合函數(shù)f(x)=1+ f(x)=1+ 的單調(diào)性的單調(diào)性, ,所以所以5 6,5 6,所以所以-10a-8. -10a|a|an n|(n=1,2,|(n=1,2,)”)”是是“數(shù)列數(shù)列aan n 為遞增數(shù)列為遞增

52、數(shù)列”的的( () )A.A.必要不充分條件必要不充分條件B.B.充分不必要條件充分不必要條件C.C.充要條件充要條件 D.D.既不充分也不必要條件既不充分也不必要條件【解析】【解析】選選B.B.方法一方法一: :由由a an+1n+1|a|an n|(n=1,2,|(n=1,2,) )知知aan n 從第二項起均為正項從第二項起均為正項, ,且且a a1 1aa2 2 aan naan+1n+1 |a|an n|(n=1,2,|(n=1,2,),),如如-2,-2,-1,0,1,2,-1,0,1,2,. .所以所以“a an+1n+1|a|an n|(n=1,2,|(n=1,2,)”)”是是

53、“數(shù)列數(shù)列aan n 為遞增數(shù)列為遞增數(shù)列”的的充分不必要條件充分不必要條件. .方法二方法二: :因為因為a an+1n+1|a|an n|(n=1,2,3,|(n=1,2,3,),),所以若所以若a a1 10,0,則則a an n0(n=1,2,3,0(n=1,2,3,),),此時此時a an+1n+1aan n, ,數(shù)列數(shù)列aan n 是遞是遞增數(shù)列增數(shù)列. .若若a a1 10,aan n, ,數(shù)列數(shù)列aan n 是遞增數(shù)列是遞增數(shù)列. .但是但是, ,數(shù)列數(shù)列aan n 是遞增數(shù)列是遞增數(shù)列, ,不能得到不能得到a an+1n+1|a|an n|,|,如如-3,-2,1,2,-3,

54、-2,1,2,3,3,所以所以“a an+1n+1|a|an n|(n=1,2,|(n=1,2,)”)”是是“數(shù)列數(shù)列aan n 為遞增數(shù)列為遞增數(shù)列”的的充分不必要條件充分不必要條件. .2.(20142.(2014日照模擬日照模擬) )已知數(shù)列已知數(shù)列aan n 滿足滿足a a1 1=33,a=33,an+1n+1-a-an n=2n,=2n,則則 的最小值為的最小值為( () )A.A. B. B. C.10 C.10 D.21 D.21nan172212【解析】【解析】選選B.B.因為因為a an+1n+1-a-an n=2n,=2n,所以所以a an n-a-an-1n-1=2(n-

55、1),=2(n-1),所以所以a an n=(a=(an n-a-an-1n-1)+(a)+(an-1n-1-a-an-2n-2)+)+(a+(a2 2-a-a1 1)+a)+a1 1=(2n-2)+=(2n-2)+(2n-4)+(2n-4)+2+33=n+2+33=n2 2-n+33(n2),-n+33(n2),又又a a1 1=33=33適合上式適合上式, ,所以所以a an n=n=n2 2-n+33,-n+33,所以所以令令f(x)=x+ -1(x0),f(x)=x+ -1(x0),則則f(x)=1-f(x)=1-令令f(x)=0f(x)=0得得x=x=所以當所以當0 x 0 x 時時

56、,f(x)0,f(x) x 時時,f(x)0,f(x)0,即即f(x)f(x)在區(qū)間在區(qū)間(0, )(0, )上遞減上遞減; ;在區(qū)間在區(qū)間( ,+)( ,+)上遞增上遞增, ,又又5 6,5 f(6),f(5)f(6),所以當所以當n=6n=6時時, , 有最小值有最小值33333333 3353112151,f 661,5522 nan21.23.(20143.(2014白山模擬白山模擬) )已知數(shù)列已知數(shù)列aan n.(1)(1)若若a an n=n=n2 2-5n+4,-5n+4,數(shù)列中有多少項是負數(shù)數(shù)列中有多少項是負數(shù)? ?n n為何值時為何值時,a,an n有最小值有最小值? ?并

57、求出最小值并求出最小值. .(2)(2)若若a an n=n=n2 2+kn+4+kn+4且對于且對于nNnN* *, ,都有都有a an+1n+1aan n, ,求實數(shù)求實數(shù)k k的取值范圍的取值范圍. .【解析】【解析】(1)(1)由由n n2 2-5n+40,-5n+40,解得解得1n4.1naan n知該數(shù)列是一個遞增數(shù)列知該數(shù)列是一個遞增數(shù)列, ,又因為通項公式又因為通項公式a an n=n=n2 2+kn+4,+kn+4,可以看作是關(guān)于可以看作是關(guān)于n n的二次函數(shù)的二次函數(shù), ,考慮到考慮到nNnN* *, ,所以所以 即得即得k-3.k-3.259(n)245.2k3,22【易

58、錯誤區(qū)】【易錯誤區(qū)】a an n與與S Sn n關(guān)系問題的易錯點關(guān)系問題的易錯點【典例】【典例】(2013(2013新課標全國卷新課標全國卷)若數(shù)列若數(shù)列aan n 的前的前n n項和項和S Sn n= a= an n+ ,+ ,則則aan n 的通項公式是的通項公式是a an n= =. .2313【解析】【解析】答案：答案：【誤區(qū)警示】【誤區(qū)警示】【規(guī)避策略】【規(guī)避策略】【類題試解】【類題試解】1.1.已知數(shù)列已知數(shù)列aan n 的前的前n n項和項和S Sn n=3=3n n-2,nN-2,nN* *, ,則則( () )A.aA.an n 是遞增的等比數(shù)列是遞增的等比數(shù)列B.aB.an

59、 n 是遞增數(shù)列是遞增數(shù)列, ,但不是等比數(shù)列但不是等比數(shù)列C.aC.an n 是遞減的等比數(shù)列是遞減的等比數(shù)列D.aD.an n 不是等比數(shù)列不是等比數(shù)列, ,也不單調(diào)也不單調(diào)【解析】【解析】選選B.B.根據(jù)題意根據(jù)題意, ,由于數(shù)列由于數(shù)列aan n 的前的前n n項和項和S Sn n=3=3n n-2,nN-2,nN* *, ,那么可知當那么可知當n=1n=1時時, ,則有首項為則有首項為1,1,當當n2n2時時,a,an n=S=Sn n-S-Sn-1n-1=3=3n n-3-3n-1n-1= = 2 23 3n-1n-1,nN,nN* *, ,故可知數(shù)列是遞增數(shù)列故可知數(shù)列是遞增數(shù)列

60、, ,但不是等比數(shù)列但不是等比數(shù)列, ,故答故答案為案為B.B.2.2.數(shù)列數(shù)列aan n 的前的前n n項和為項和為S Sn n,a,a1 1=1,a=1,an+1n+1= S= Sn n(n=1,2,3,),(n=1,2,3,),則則a an n= = . .13【解析】【解析】因為因為a an+1n+1= S= Sn n, ,所以所以a an n= S= Sn-1n-1(n2),(n2),所以所以a an+1n+1-a-an n= = (S (Sn n-S-Sn-1n-1)= a)= an n(n2).(n2).所以所以a an+1n+1= a= an n(n2).(n2).又又a a1