高中數(shù)學(xué)第二章平面向量2.2從位移的合成到向量的加法2.2.1向量的加法課件2北師大版必修

1、2.22.2從位移的合成到向量的加法從位移的合成到向量的加法2.2.1 2.2.1 向量的加法向量的加法【知識(shí)提煉知識(shí)提煉】1.1.向量的加法向量的加法(1)(1)定義定義: :求兩個(gè)向量求兩個(gè)向量_._.和的運(yùn)算和的運(yùn)算(2)(2)運(yùn)算法則運(yùn)算法則a+ +b ac ac 2.2.向量加法的運(yùn)算律向量加法的運(yùn)算律(1)(1)交換律交換律: :a+ +b=_.=_.(2)(2)結(jié)合律結(jié)合律:(:(a+ +b)+)+c= =a+(_).+(_).特別地特別地: :對(duì)于零向量與任一向量對(duì)于零向量與任一向量a的和有的和有0+ +a=_=_.=_=_.b+ +ab+ +ca+ +0a【即時(shí)小測(cè)即時(shí)小測(cè)】

2、1.1.思考下列問(wèn)題思考下列問(wèn)題: :(1)(1)兩個(gè)向量的和向量方向如何確定兩個(gè)向量的和向量方向如何確定? ?提示提示: :根據(jù)向量加法的三角形法則根據(jù)向量加法的三角形法則, ,即即“首尾相接首尾相接, ,起點(diǎn)指向終點(diǎn)起點(diǎn)指向終點(diǎn)”. .(2)(2)力的合成與向量的加法有著怎樣的關(guān)系力的合成與向量的加法有著怎樣的關(guān)系? ?提示提示: :力的合成也可以看成是向量加法的一個(gè)物理模型力的合成也可以看成是向量加法的一個(gè)物理模型. .2. 2. 等于等于( () )a.0 b.a.0 b.0 c.2 d.-2 c.2 d.-2abbccddeeffa ad ad 【解析解析】選選b.b.如圖如圖, ,

3、由向量加法的運(yùn)算法則可知由向量加法的運(yùn)算法則可知 abbccddeeffa. 03.3.在四邊形在四邊形abcdabcd中中, , 則則( () )a.abcda.abcd一定是矩形一定是矩形 b.abcdb.abcd一定是菱形一定是菱形c.abcdc.abcd一定是正方形一定是正方形 d.abcdd.abcd一定是平行四邊形一定是平行四邊形【解析解析】選選d.d.由由 知知a,b,c,da,b,c,d構(gòu)成的四邊形一定是平行四構(gòu)成的四邊形一定是平行四邊形邊形. .ac abad ，ac abad 4.4.化簡(jiǎn)化簡(jiǎn) =_. =_.【解析解析】原式原式= = 答案答案: : abmbbobcom

4、abboommbbc aoobbc abbc ac. ac 5.5.在正方形在正方形abcdabcd中中, ,邊長(zhǎng)為邊長(zhǎng)為1, 1, 則則| |a+ +b|=_.|=_.【解析解析】a+ +b= = 所以所以| |a+ +b|=| |= .|=| |= .答案答案: :abbc ， ，ababbc ac ，ac 22【知識(shí)探究知識(shí)探究】知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)1 1 向量的加法法則向量的加法法則觀察圖形觀察圖形, ,回答下列問(wèn)題回答下列問(wèn)題: :問(wèn)題問(wèn)題1:1:三角形法則和平行四邊形法則的使用條件有何不同三角形法則和平行四邊形法則的使用條件有何不同? ?問(wèn)題問(wèn)題2:2:兩個(gè)向量共線時(shí)怎樣求和兩個(gè)向量共線時(shí)

5、怎樣求和? ?問(wèn)題問(wèn)題3:3:多個(gè)向量相加時(shí)多個(gè)向量相加時(shí), ,運(yùn)用哪個(gè)法則求解運(yùn)用哪個(gè)法則求解? ?【總結(jié)提升總結(jié)提升】對(duì)向量加法的三角形法則和平行四邊形法則的理解對(duì)向量加法的三角形法則和平行四邊形法則的理解(1)(1)兩個(gè)法則的使用條件不同兩個(gè)法則的使用條件不同三角形法則適用于任意兩個(gè)非零向量求和三角形法則適用于任意兩個(gè)非零向量求和, ,平行四邊形法則只適用于平行四邊形法則只適用于兩個(gè)不共線的向量求和兩個(gè)不共線的向量求和. .當(dāng)兩個(gè)向量不共線時(shí)當(dāng)兩個(gè)向量不共線時(shí), ,兩個(gè)法則是一致的兩個(gè)法則是一致的. .如圖所示如圖所示: (: (平行四邊形法則平行四邊形法則),),又因?yàn)橛忠驗(yàn)?( (三

6、角形法則三角形法則). ). (2)(2)在使用三角形法則時(shí)在使用三角形法則時(shí), ,應(yīng)注意應(yīng)注意“首尾相接首尾相接”; ;在使用平行四邊形法在使用平行四邊形法則時(shí)相加向量共起點(diǎn)則時(shí)相加向量共起點(diǎn). .acabad bcadac ab bc ，所以(3)(3)多個(gè)向量相加的運(yùn)算法則推廣多個(gè)向量相加的運(yùn)算法則推廣兩個(gè)向量相加有三角形法則兩個(gè)向量相加有三角形法則, ,多個(gè)向量相加怎么辦呢多個(gè)向量相加怎么辦呢? ?我們知道我們知道: :兩個(gè)兩個(gè)向量相加的三角形法則的物理模型是位移的合成向量相加的三角形法則的物理模型是位移的合成. .類(lèi)似地類(lèi)似地, ,多個(gè)向量的多個(gè)向量的相加相加, ,也可以用位移合成也

7、可以用位移合成, ,即向量求和的三角形法則可推廣到多個(gè)向量即向量求和的三角形法則可推廣到多個(gè)向量求和的多邊形法則求和的多邊形法則:n:n個(gè)向量經(jīng)過(guò)平移個(gè)向量經(jīng)過(guò)平移, ,順次使前一個(gè)向量的終點(diǎn)與后順次使前一個(gè)向量的終點(diǎn)與后一個(gè)向量的起點(diǎn)重合一個(gè)向量的起點(diǎn)重合, ,組成一個(gè)向量折線組成一個(gè)向量折線, ,這這n n個(gè)向量的和等于折線起個(gè)向量的和等于折線起點(diǎn)到終點(diǎn)的向量點(diǎn)到終點(diǎn)的向量, ,即即: : 特別地特別地: : 011223n 2n 1n 1n0na aa aa aaaaaa a . 011223n0a aa aa aa a. 0知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)2 2 向量加法的運(yùn)算律向量加法的運(yùn)算律觀察圖形觀

8、察圖形, ,回答下列問(wèn)題回答下列問(wèn)題: :問(wèn)題問(wèn)題1:1:向量加法的交換律中向量向量加法的交換律中向量b可以是零向量嗎可以是零向量嗎? ?問(wèn)題問(wèn)題2:2:任意兩個(gè)向量相加都可以用平行四邊形法則嗎任意兩個(gè)向量相加都可以用平行四邊形法則嗎? ?問(wèn)題問(wèn)題3:3:向量加法的交換律和結(jié)合律對(duì)多個(gè)向量還成立嗎向量加法的交換律和結(jié)合律對(duì)多個(gè)向量還成立嗎? ?【總結(jié)提升總結(jié)提升】1.1.向量加法的交換律向量加法的交換律在圖中的平行四邊形在圖中的平行四邊形abcdabcd中中, , 故故a+ +b= =b+ +a. .即向量加法滿(mǎn)足交換律即向量加法滿(mǎn)足交換律. .當(dāng)向量當(dāng)向量a, ,b至少有一個(gè)為零向量時(shí)至少有

9、一個(gè)為零向量時(shí), ,交換律顯然成立交換律顯然成立, ,當(dāng)當(dāng)a, ,b為非零向?yàn)榉橇阆蛄壳夜簿€時(shí)量且共線時(shí), ,abdcadbcacabbc ，則abacaddc, ，abba(1)(1)當(dāng)當(dāng)a, ,b同向時(shí)同向時(shí), ,向量向量a+ +b與與a同向同向, ,且且| |a+ +b|=|=|a|+|+|b|;|;向量向量b+ +a與與b同同向向, ,且且| |b+ +a|=|=|b|+|+|a|,|,故故a+ +b= =b+ +a. .(2)(2)當(dāng)當(dāng)a, ,b反向時(shí)反向時(shí), ,不妨設(shè)不妨設(shè)| |a|b|,|,a+ +b與與a同向同向, ,且且| |a+ +b|=|=|a|-|-|b|;|;b+ +

10、a與與a同向同向, ,且且| |b+ +a|=|=|a|-|-|b|,|,故故a+ +b= =b+ +a. .2.2.向量加法的結(jié)合律向量加法的結(jié)合律在圖中在圖中, , 所以所以 從而從而( (a+ +b)+)+c= =a+(+(b+ +c).).即向量加即向量加法滿(mǎn)足結(jié)合律法滿(mǎn)足結(jié)合律. .acabbcbdbccd ，abbcadaccd ,adabbd, abcabc3.3.向量加法運(yùn)算律的推廣向量加法運(yùn)算律的推廣向量加法的交換律和結(jié)合律對(duì)多個(gè)向量仍然成立向量加法的交換律和結(jié)合律對(duì)多個(gè)向量仍然成立, ,恰當(dāng)?shù)厥褂眠\(yùn)算律恰當(dāng)?shù)厥褂眠\(yùn)算律可以實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)化運(yùn)算的目的可以實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)化運(yùn)算的目的. .在進(jìn)行

11、多個(gè)向量的加法運(yùn)算時(shí)在進(jìn)行多個(gè)向量的加法運(yùn)算時(shí), ,可以按照任可以按照任意的次序和任意的組合進(jìn)行意的次序和任意的組合進(jìn)行. .如如( (a+ +b)+()+(c+ +d)=()=(a+ +d)+()+(b+ +c).).【題型探究題型探究】類(lèi)型一類(lèi)型一 向量求和向量求和【典例典例】1.1.如圖所示如圖所示, ,四邊形四邊形abcdabcd是平行四邊形是平行四邊形,e,f,g,h,e,f,g,h分別是所在分別是所在邊的中點(diǎn)邊的中點(diǎn), ,點(diǎn)點(diǎn)o o是對(duì)角線的交點(diǎn)是對(duì)角線的交點(diǎn), ,則下列各式正確的是則下列各式正確的是( () ) a.a.和和b.b.和和c.c.和和d.d.和和aeah ocaho

12、f cgfbbefc hdohogbe do. ；2.2.如圖如圖, ,已知梯形已知梯形abcd,adbc,abcd,adbc,則則 =_. =_.oaabcdbc 【解題探究解題探究】1.1.解答本題可用向量的哪些知識(shí)解答本題可用向量的哪些知識(shí)? ?提示提示: :顯然可用向量的加法的平行四邊形法則及相等向量判斷顯然可用向量的加法的平行四邊形法則及相等向量判斷. .2.2.運(yùn)用向量加法的結(jié)合律應(yīng)如何結(jié)合較好運(yùn)用向量加法的結(jié)合律應(yīng)如何結(jié)合較好? ?提示提示: :一個(gè)向量的終點(diǎn)是另一個(gè)向量的起點(diǎn)時(shí)一個(gè)向量的終點(diǎn)是另一個(gè)向量的起點(diǎn)時(shí), ,兩個(gè)向量?jī)蓛山Y(jié)合較好兩個(gè)向量?jī)蓛山Y(jié)合較好. .【解析解析】1.

13、1.選選a.a.由向量加法的平行四邊形法則知由向量加法的平行四邊形法則知 所以正確所以正確. .因?yàn)橐驗(yàn)?又因?yàn)橛忠驗(yàn)?所以不正確所以不正確. .因?yàn)橐驗(yàn)?又因?yàn)橛忠驗(yàn)?aeah ao.ao oc 又因?yàn)?，of hoahof ahho ao. ，所以fb cfcgfb cgcf coaoco ，所以，而，fc bfbefc bebf bo. ，所以hd oghdoh ogoh od ，所以，而而 所以正確所以正確. .因?yàn)橐驗(yàn)?所以不正確所以不正確. .2. 2. 答案答案: :bo od ，be ohogbe ogoh ododdo ，所以，而，oaabcdbcoaab bccdobbdod

14、. （）od 【方法技巧方法技巧】向量加法運(yùn)算律的應(yīng)用原則及注意點(diǎn)向量加法運(yùn)算律的應(yīng)用原則及注意點(diǎn)(1)(1)應(yīng)用原則應(yīng)用原則: :利用代數(shù)方法通過(guò)向量加法的交換律利用代數(shù)方法通過(guò)向量加法的交換律, ,使各向量使各向量“首尾首尾相接相接”, ,通過(guò)向量加法的結(jié)合律調(diào)整向量相加的順序通過(guò)向量加法的結(jié)合律調(diào)整向量相加的順序. .(2)(2)注意點(diǎn)注意點(diǎn)三角形法則強(qiáng)調(diào)三角形法則強(qiáng)調(diào)“首尾相接首尾相接”, ,平行四邊形法則強(qiáng)調(diào)平行四邊形法則強(qiáng)調(diào)“起點(diǎn)相同起點(diǎn)相同”; ;向量的和仍是向量向量的和仍是向量; ;向量加法的三角形法則和平行四邊形法則實(shí)質(zhì)上是向量加法的幾何向量加法的三角形法則和平行四邊形法則實(shí)

15、質(zhì)上是向量加法的幾何意義意義. .【變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練】 =_. =_.【解析解析】方法一方法一: : 方法二方法二: : 答案答案: :abmbboom abmbboomabboommbaoob ab. abmbboom abmbboom abmoom abab. 0ab 類(lèi)型二類(lèi)型二 利用向量的加法法則作圖利用向量的加法法則作圖【典例典例】如圖如圖, ,已知已知a, ,b, ,分別用向量加法的三角形法則和平行四邊形分別用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作出法則作出a+ +b. .【解題探究解題探究】如何作不共線的兩個(gè)向量的和如何作不共線的兩個(gè)向量的和? ?提示提示: :在平面內(nèi)任取一點(diǎn)在

16、平面內(nèi)任取一點(diǎn)a,a,作作 = =a, ,然后利用三角形法則或平行四邊然后利用三角形法則或平行四邊形法則形法則, ,作作 進(jìn)而可得進(jìn)而可得. .ab bcao 或，bb【解析解析】如圖所示如圖所示, ,a+ +b= = ac. 【延伸探究延伸探究】1.(1.(變換條件變換條件) )如果兩個(gè)向量變?yōu)槿鐖D所示如果兩個(gè)向量變?yōu)槿鐖D所示, ,作出作出a+ +b. .【解析解析】方法一方法一: :在平面內(nèi)任意取一點(diǎn)在平面內(nèi)任意取一點(diǎn)o,o,作作如圖如圖. .方法二方法二: :在平面內(nèi)任意取一點(diǎn)在平面內(nèi)任意取一點(diǎn)o,o,以以oa,oboa,ob為鄰邊作為鄰邊作 oacb,oacb,且且連接連接oc,oc,

17、則則 = =a+ +b. .如圖如圖. .oa,ab,ob 則，ababoa,ob ，aboc 2.(2.(變換條件變換條件) )若本例再增加一個(gè)向量若本例再增加一個(gè)向量c, ,如圖如圖, ,利用三角形法則作出利用三角形法則作出a+ +b+ +c. .【解析解析】如圖如圖, ,在平面內(nèi)任取一點(diǎn)在平面內(nèi)任取一點(diǎn)o,o,作作 oa,ab, abbc,oc. 則cabc【方法技巧方法技巧】利用向量加法的兩種法則作圖的方法利用向量加法的兩種法則作圖的方法【補(bǔ)償訓(xùn)練補(bǔ)償訓(xùn)練】若正方形若正方形abcdabcd的邊長(zhǎng)為的邊長(zhǎng)為1, 1, 試作出向量試作出向量a+ +b+ +c. .ab,ad,ac. abc

18、【解析解析】根據(jù)平行四邊形法則可知根據(jù)平行四邊形法則可知, , 根據(jù)三角形法則根據(jù)三角形法則, ,延長(zhǎng)延長(zhǎng)ac,ac,在在acac的延長(zhǎng)線上作的延長(zhǎng)線上作 如圖如圖. .abadac. abceac, 則abcacacacceae. 【延伸探究延伸探究】1.(1.(改變問(wèn)法改變問(wèn)法) )本題條件不變本題條件不變, ,求求| |a+ +b+ +c|.|.【解析解析】因?yàn)橐驗(yàn)?22ac112ae2 ac2 2. ，所以 abc2.(2.(變換條件變換條件) )如圖如圖,o,o為為abcabc內(nèi)一點(diǎn)內(nèi)一點(diǎn), , 求作求作b+ +c+ +a. .aooboc. ， ， abc【解析解析】方法一方法一:

19、 :如圖如圖, ,以以 為鄰邊作為鄰邊作 obdc,obdc,連接連接則則 od ad ， ，od obocad aood. ， bcbcaoboc ，方法二方法二: :如圖如圖, ,作作連接連接ad,ad,則則 cd ob ，bac aoocad accd. ， acacbbca類(lèi)型三類(lèi)型三 向量加法的應(yīng)用向量加法的應(yīng)用【典例典例】如圖如圖,o,o是四邊形是四邊形abcdabcd對(duì)角線的交點(diǎn)對(duì)角線的交點(diǎn), ,使得使得求證求證: :四邊形四邊形abcdabcd是平行四邊形是平行四邊形. .aoobdooc, 【解題探究解題探究】證明平行四邊形的方法有哪些證明平行四邊形的方法有哪些? ?本例可從

20、什么角度入手本例可從什么角度入手? ?提示提示: :可證一組對(duì)邊平行且相等可證一組對(duì)邊平行且相等, ,也可證對(duì)角線互相平分也可證對(duì)角線互相平分, ,本例可證本例可證 進(jìn)而可得進(jìn)而可得abab dc.dc.abdc 【解析解析】因?yàn)橐驗(yàn)?所以所以所以所以abab dc,dc,所以四邊形所以四邊形abcdabcd是平行四邊形是平行四邊形. .aoobabdoocdc ，aoobdooc, abdc 【延伸探究延伸探究】本例的條件不變本例的條件不變, ,在在bdbd的延長(zhǎng)線和反向延長(zhǎng)線上各取一點(diǎn)的延長(zhǎng)線和反向延長(zhǎng)線上各取一點(diǎn)f,e,f,e,使使be=df.be=df.求證求證: :四邊形四邊形aec

21、faecf是平行四邊形是平行四邊形. .【證明證明】 因?yàn)樗倪呅我驗(yàn)樗倪呅蝍bcdabcd是平行四邊形是平行四邊形, ,所以所以 因?yàn)橐驗(yàn)閎e=df,be=df,且且 的方向相同的方向相同, ,所以所以 所以所以 即即aeae與與fcfc平行且相等平行且相等, ,所以四邊形所以四邊形aecfaecf是平行四邊形是平行四邊形. .aeabbe,fcfddc, abdc, fdbe ，aefc ，fdbe 與【方法技巧方法技巧】應(yīng)用向量加法解決平面幾何與物理學(xué)問(wèn)題的基本步驟應(yīng)用向量加法解決平面幾何與物理學(xué)問(wèn)題的基本步驟(1)(1)表示表示: :用向量表示相關(guān)的量用向量表示相關(guān)的量, ,將所有解決的

22、問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量的加法將所有解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量的加法問(wèn)題問(wèn)題. .(2)(2)運(yùn)算運(yùn)算: :應(yīng)用向量加法的平行四邊形法則或三角形法則應(yīng)用向量加法的平行四邊形法則或三角形法則, ,進(jìn)行相關(guān)運(yùn)進(jìn)行相關(guān)運(yùn)算算. .(3)(3)還原還原: :根據(jù)向量運(yùn)算的結(jié)果根據(jù)向量運(yùn)算的結(jié)果, ,結(jié)合向量共線、相等概念回答原問(wèn)題結(jié)合向量共線、相等概念回答原問(wèn)題. .【變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練】一架救援直升飛機(jī)從一架救援直升飛機(jī)從a a地沿北偏東地沿北偏東6060方向飛行了方向飛行了40km40km到達(dá)到達(dá)b b地地, ,再由再由b b地沿正北方向飛行地沿正北方向飛行40km40km到達(dá)到達(dá)c c地地, ,求此時(shí)直升飛機(jī)與求

23、此時(shí)直升飛機(jī)與a a地地的相對(duì)位置的相對(duì)位置. .【解題指南解題指南】利用向量加法的三角形法則利用向量加法的三角形法則, ,知知是線段是線段acac的長(zhǎng)度的長(zhǎng)度. .ac abbc ac ，【解析解析】如圖如圖, ,設(shè)設(shè)分別是直升飛機(jī)的兩次位移分別是直升飛機(jī)的兩次位移, ,則則 表示兩次位移的合位移表示兩次位移的合位移, ,即即 在在rtrtabdabd中中, , 在在rtrtacdacd中中, , cad=60cad=60, ,即此時(shí)直升飛機(jī)位于即此時(shí)直升飛機(jī)位于a a地北偏東地北偏東3030方向方向, ,且距離且距離a a地地40 km40 km處處. .abbc ，ac ac abbc. db20 km ad20 3 km. ，22acaddc40 3 km ，3【補(bǔ)償訓(xùn)練補(bǔ)償訓(xùn)練】p p是是abcabc內(nèi)的一點(diǎn)內(nèi)的一點(diǎn), , 則則abcabc的面的面積與積與abpabp的面積之比為的面積之比為_(kāi)._.1apabac3 （），【解析解析】如圖如圖,d,d為為bcbc的中點(diǎn)的中點(diǎn), ,則則所以所以p p為為abcabc的重心的重心, ,故故c c到到abab距離為距離為p p到到abab距離的距離的3 3倍倍, ,即若即若abcab