初三數(shù)學(xué)直角三角形三角函數(shù)

1、1解直角三角形常用方法:(1) 勾股定理:c2=a2+ b2a&absin>l= cos>l = tw.A= (cot4= J(2) 三個(gè)銳角三角函數(shù)：(3) 三個(gè)三角函數(shù)之間的關(guān)系：互余關(guān)系 sinA=cos(90 ° A)、cosA=sin(90 ° A)平方關(guān)系：皿心'-4=：商數(shù)關(guān)系:sin AtanH =cos A2、注意兩個(gè)轉(zhuǎn)化(1) 把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題：將實(shí)際問(wèn)題圖形轉(zhuǎn)化為平面幾何圖形，依題意，畫 出圖形(2) 若三角形不是直角三角形，應(yīng)添加適當(dāng)?shù)妮o助線，將原圖形分割成幾個(gè)直角三角 形，找出邊、角之間關(guān)系，求出所需要的量0&#

2、176;30°45°60°90°sin a01cos a10tan a01不存在3、特殊角0°, 30°, 45°, 60°, 90°的三角函數(shù)值要在理解基礎(chǔ)上記住.O L °o4、三個(gè)三角函數(shù)值隨角的增加，函數(shù)值的變化特征:當(dāng)0°<a< 90°時(shí)，正弦與正切的函數(shù)值隨角的增大而增大，但tan90°的值不存在，而余弦的函數(shù)值是隨角的增大而減小.5、理解仰角、俯角、坡角、坡度等概念有時(shí)為了測(cè)出江河、水庫(kù)、筑路等的坡面AB與地面BC的傾斜程度，有時(shí)用坡角a的

3、大小來(lái)反映。當(dāng)a( 0°<a< 90°)較大時(shí)，則傾斜程度就較徒，有時(shí)把坡面 AB的鉛垂高度h和水平寬度'的比叫做坡度，用字母i表示，、重難點(diǎn)知識(shí)概述1重點(diǎn)(1)銳角a的sin a ,cos a ,tan a的特殊角及對(duì)應(yīng)的特殊值(2) 0°、90° 的特殊情況：sinO ° =0, cos0 ° =1, tanO ° =0, sin90 ° =1, cos90 =0, tan90 ° 不存在.(3)已知銳角a,則可求出sin a ,cos a ,ta n a的值，當(dāng)a是0°

4、90°中一般角時(shí), 可用科學(xué)計(jì)算器求出，反過(guò)來(lái)，若已知某三角函數(shù)值時(shí)，也可求出0° 90°間的角.(4) 利用直角三角形中的邊角關(guān)系，解決實(shí)際冋題2、難點(diǎn)將一般三角形中所要求的值，轉(zhuǎn)化為直角形求其值，即輔助線要恰當(dāng)?shù)刈鞒?般來(lái)說(shuō)，輔助線不要破壞所給的特殊角 一、周知識(shí)概述1、從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)一一梯子靠在墻上，有的較陡，有的較緩，用什么值反映出來(lái)？通 過(guò)學(xué)習(xí)發(fā)現(xiàn)：把這一問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在直角三角形中，某銳角的對(duì)邊與鄰邊的比tan 4 =.所以規(guī)定顯然，梯子的傾斜程度與tanA的值的大小有關(guān)，當(dāng)0° <A° <90°，若/ A逐漸 增

5、大，則tanA的值逐漸增大，梯子越陡.山的對(duì)邊-曲的鄰邊c 1 jo |r n c iJ2、相應(yīng)地規(guī)定正弦：3、關(guān)于30°, 45°, 60°的正弦，余弦、正切值，可由直角三角形來(lái)確定，與直角三角形大小無(wú)關(guān)，而與兩銳角大小有關(guān)BCB當(dāng)/ A=30o時(shí)當(dāng)/ A=45°時(shí)當(dāng)/ A=60o時(shí)則£匚=AC =ABAB ABAB ABan6(r- AB£返A(chǔ)B 2_2肋AB ABACcos(0°-AB-ABAB 2-AB將它們的特殊值列表如下：三角函數(shù)角a的度數(shù)sin aCOS atan a30° 45°4、為方便

6、學(xué)習(xí), 余切，即60°應(yīng)了解一下在直角三角形中，把/A的鄰邊與/ A的對(duì)邊之比起名為珅山的鄰氣顯燃w丄 山的對(duì)邊tan A5、在 Rt ABC中，由銳角 A (0° <A<90 )的特點(diǎn)，可得到 0<sinA<1, 0<cosA<1，由 定義：£in A=(曲扛衛(wèi)尸十(cm衛(wèi)尸=罕亠身=牛=1.-可得出- 匚 即 sin 2A+ cos2A=1.6、除特殊角30°，45°，60°的三角函數(shù)值外，還有0°，90°的極端情況規(guī)定:nL 疔 口sinO°= _ = _ = 0

7、, cos0° = = = 1, tan Ci° =0c cc cb b(b0)，而 sin90 ° =1, cos90 ° =0, tan90。不存在. 、本周重難點(diǎn)1、重點(diǎn)：特殊角30°，45°，60°的正弦值，余弦值及正切值，且能根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，僅求銳角的大小.2、難點(diǎn)：如何將一般三角形，通過(guò)作輔助線轉(zhuǎn)化為直角三角形去解決某些問(wèn)題.三、重難點(diǎn)知識(shí)講解例1、若關(guān)于x的一元二次方程x2+ ax+ b=0的兩根是一直角三角形兩銳角的正弦 值，且a+ 5b=1，求a,b的值.分析：此題要用到兩個(gè)方面的知識(shí).一是一元二次

8、方程根與系數(shù)的關(guān)系，二是利用 在 Rt中，當(dāng)/ C=90° 時(shí)，有/ A+Z B=90°，aZ B=90°-Z A,貝U sinB=sin(90 A)=cosA的關(guān)系，建立a,b的方程組求解.解：設(shè)直角三角形ABC中, Z C=90o，依題意：sinA + sinB= a (1)，sinA sinB=b，又tZ A+Z B=90° ,：Z B=90° Z A. sinB=sin(90 ° A)=cosA 則將(1)，( 2)式化為:si nA + cosA= a (3) sinA cosA=b (4)(3) 2 (4)x 2,得2 2

9、 2sin A+ cos A+2 si nA cosA 2 si nA cosA= a 2b，由 sin 2A+ cos2A=1，二 a2 2b=1 (5)，又由條件可知a+ 5b=1(6)，解(5)( 6)組成的方程組，消去a得12?-12J? = 0p ，也定（X 2-12 =0,貝a =-155綜上所得例2、為了農(nóng)田灌溉的需要，某鄉(xiāng)利用土堤修筑一條渠道，在堤中間挖出一個(gè)深為1.2米，下底寬為2米，坡度為1 : 0.8的渠道(其橫斷面為等腰梯形)(如圖)，并把挖 出來(lái)的土堆在兩旁，使土堤的高度比原來(lái)增加0.6米.求(1)渠面寬EF的長(zhǎng)；(2)若修300米長(zhǎng)的渠道需挖的土方數(shù)是多少?解析：從

10、圖中可知，將原土堤橫斷面MNP中挖出一個(gè)等腰梯形 ABCD且將挖出的土方 填在原土堤兩邊加高后，修成一個(gè)等腰梯形EBCF勺渠道以便灌水，這中間要求AD EF 等量.解：(1)如圖過(guò)F作FG丄BC交BC的延長(zhǎng)線于 G貝U: FG=0.6+ 1.2=1.8(米)(2)過(guò)D作DHLCG交CG于 H,貝U由DH 1：且 DH=1.2,例3、在 Rt ABC中/C=90° , AB=6 BC=2求(1) si nA, cosA, tanA 的值；(2) si nA與cosB是否相等？ si nB與cosA是否相等？為什么, tanA與sinA , cosA又有什么關(guān)系，為什么？(3) sin

11、2A與cos2A有什么關(guān)系？為什么？解： BC=2 AB=6 二込 J侶奸=Ju 屈=4血.A a BC 2 sin A = =(1)一 4 二.1-'J sin 4 = cosB = sin cos.(2) :匚又/ B=90°-Z A, 即卩 sinA=cos(90 ° - A)而 sin = cos J1 = T二 sinB=cosA 而/ A=90°-Z B sinB=cos(90 ° - B)(3) -I *221且 sin A+ cos A=-綜上所述，除了掌握從0°90°間的特殊角的三角函數(shù)值外，還需了解它們之間的關(guān) 系，可分為：(1) 互余關(guān)系:sinA=cos(90 ° A), cosA=sin(90 ° A)(2) 平方關(guān)系：sin 2A+ cos2A=1sm A =-.例4、在 Rt ABC中，/ C=90，若 -求