初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)通用資料20：代數(shù)恒等式的證明

1、.初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)資料（20）代數(shù)恒等式的證明甲內(nèi)容提要證明代數(shù)恒等式，在整式部分常用因式分解和乘法兩種相反的恒等變形，要特別注意運(yùn)用乘法公式和等式的運(yùn)算法則、性質(zhì)。具體證法一般有如下幾種1從左邊證到右邊或從右邊證到左邊，其原則是化繁為簡(jiǎn)。變形的過程中要不斷注意結(jié)論的形式。2把左、右兩邊分別化簡(jiǎn)，使它們都等于第三個(gè)代數(shù)式。3證明：左邊的代數(shù)式減去右邊代數(shù)式的值等于零。即由左邊右邊0可得左邊右邊。4，由己知等式出發(fā)，經(jīng)過恒等變形達(dá)到求證的結(jié)論。還可以把己知的條件代入求證的一邊證它能達(dá)到另一邊，乙例題例1求證：3 n+22n22×5 n+23 n2 n10（5 n+1+3 n2 n-1）

2、 證明：左邊2×5×5 n+1（3 n+2+3 n）（2 n+22 n） 10×5 n+13 n(32+1)2 n-1(232)10（5 n+1+3 n2 n-1）=右邊又證：左邊2×5 n+23 n（321）2 n(22+1) 2×5 n+210×3 n5×2 n右邊10×5 n+1+10×3 n10×2 n-1 2×5 n+210×3 n5×2 n左邊右邊例2 己知:a+b+c=0 求證：a3+b3+c3=3abc證明：a3+b3+c33abc（a+b+c）（a

3、2+b2+c2abacbc）(見19例1):a+b+c=0a3+b3+c33abc0即a3+b3+c3=3abc又證：:a+b+c=0a=（b+c）兩邊立方 a3=（b3+3b2c+3bc2+c3） 移項(xiàng) a3b3+c33bc(b+c)3abc再證：由己知a=bc 代入左邊,得（bc）3+ b3+c3（b3+3b2c+3bc2+c 3）+b3+c3 3bc(b+c)=3bc(a)3abc例3 己知a+,abc求證：a2b2c2=1證明：由己知a-b= bc= b-c= ca= 同理ab= abbcca1即a2b2c2=1例4 己知:ax2+bx+c是一個(gè)完全平方式（a,b,c是常數(shù)）求證：b2

4、4ac=0 證明：設(shè):ax2+bx+c（mx+n）2 ， m,n是常數(shù)那么:ax2+bx+cm2x2+2mnx+n2根據(jù)恒等式的性質(zhì)得: b24ac（2mn）24m2n2=0丙練習(xí)201 求證： (a+b+c)2+(a+b-c)2(a-b-c)2(a-b-c)28ab （x+y）4+x4+y4=2(x2+xy+y2)2 (x-2y)x3(y-2x)y3=(x+y)(x-y)3 3 n+2+5 n+23 n5 n=24(5 n+3 n-1) a5n+a n+1=(a3 na2 n+1)(a2 n+a n+1)2.己知：a2+b2=2ab 求證：a=b3.己知：a+b+c=0 求證：a3+a2c+

5、b2c+b3=abc a4+b4+c4=2a2b2+2b2c2+2c2a24.己知：a2=a+1 求證：a5=5a+35.己知：xyz=0 求證： x3+8y3=z36xyz6.己知：a2+b2+c2=ab+ac+bc 求證：a=b=c7.己知：ab=bc 求證：（a+b+c）2+a2+b2+c2=2(a+b+c)(a+c)8.己知：abc0，ab+bc=2ac 求證：9己知： 求證：x+y+z=010.求證：（2x3）（2x+1）(x21)1是一個(gè)完全平方式11己知：ax3+bx2+cx+d能被x2+p整除 求證：ad=bc丙練習(xí)20參考答案：1. 左邊5 n(5 2-1)+3 n1(33-3)= 24(5 n+3 n-1)注意右邊有3n-12. 左邊右邊（a-b）23. 左邊右邊（a2+b2-c2）2-4a2b2=4. a5=a2a2a,用a2=a+1代入5. 用z=x+2y代入右邊6. 用已知的（左右）×