空間幾何(上篇)

1、 空解精要（簡單部分） 序空間解析幾何，是數(shù)學(xué)專業(yè)基礎(chǔ)課中最容易的一個(gè)板塊。無需像高代一樣必須參透一切，也不需像數(shù)分一樣必須無限刷題。一般說來，只需要上課聽講，完成作業(yè)，然后稍微復(fù)習(xí)一下，便可以得到90分以上的成績。那接下來就來了解一下空解的精要部分。1. 向量的三積 （注：在這里聯(lián)系一下高代里面的“線性相關(guān)性”部分） 1.內(nèi)積 定義：內(nèi)積也成為向量的數(shù)量積，任取向量a,b,內(nèi)積的值為 ，它是一個(gè)數(shù)量。用符號表示。 若a=,b=,則 2.射影和射影向量 射影向量：一個(gè)向量在另一個(gè)向量上的正投影向量叫做射影向 量。 射影：射影向量的模就叫做射影。記為：。表 示在上的射影。 命題：1. 2. 3.

2、例題1：已知向量a與b的夾角為，計(jì)算 （1） ； （2）.2. 外積 定義：向量的外積也叫叉積或者向量積，它的積是一個(gè)向量。 a與b的外積記為，它的模是： ，它的方向與a和b都垂直，并且按 a，b，這一順序成右手系。 外積不符合交換律。 由定義可知：兩個(gè)向量共線的充要條件是外積為零向量。 如果a和b不共線，則的模表示以a，b為鄰邊的平行四 邊形的面積。 若a=,b=，則 =，其中i.j,k是單位向量。 外積的運(yùn)算律： 1.反交換律：= 2.數(shù)乘結(jié)合律：= 3.左右分配律：； . 于是，與a和b都垂直的向量可設(shè)為； 與a和b都垂直的單位向量可設(shè)為. 二重外積公式： 例題2：在直角坐標(biāo)系中，已知，

3、求與a， b都垂直，且滿足下列條件之一的向量c： （1）c為單位向量； （2），其中. 3.混合積 定義：兩個(gè)向量的外積向量再與第三個(gè)向量的內(nèi)積，叫做三 個(gè)向量的混合積。 若a=,b=，c=，則的值為 命題1：三個(gè)向量共面的充要條件是混合積為0. 命題2：若a，b，c不共面，那么a，b，c的混合積表示以 a，b，c為鄰棱的平行六面體的體積。 命題3：輪換混合積的3個(gè)因子，不改變它的值，而對調(diào)任 何2個(gè)因子，都要改變符號。 如：(a,b,c)=(b,c,a)=(c,b,a)=-(b,a,c)=-(c,b,a) =-(a,c,b) 例題3：證明：如果，那么a，b，c共面。 二.平面和直線的淵源 注

4、意：在這之后的平面與直線方程都是在直角坐標(biāo)系中表 示的，不考慮仿射標(biāo)架中的。 （一）.平面的方程 1.點(diǎn)位式方程 我們知道，由于直線和直線外一點(diǎn)可以確定一個(gè)平 面，設(shè)一條直線的方向向量為v=（X，Y，Z），直線 上一點(diǎn)為，直線外一點(diǎn)為，于 是可以用一組混合積來表示平面： =0 ，其中 用行列式表示為： 由于結(jié)果是0，所以根據(jù)行列式的性質(zhì)，里面的行列 順序可以隨便寫。 2. 一般式方程 我們明顯可以發(fā)現(xiàn)，把點(diǎn)位式的方程行列式按照未 知量所在的行展開可以得到一個(gè)關(guān)于x,y,z的三元一 次方程，記為Ax+By+Cz+D=0。這樣的方程叫做平面的 一般方程，也是解題所需要的最終結(jié)果形式。 在這個(gè)方程里

5、面，注意到A，B，C，而向量 （A，B，C）就是這個(gè)平面的法向量。 3.截距式方程 相信大家都明白截距是什么意思，它指的是平面與 坐標(biāo)軸相交的對應(yīng)的坐標(biāo)，如果題目給出平面在三個(gè)坐 標(biāo)軸上的截距a,b,c，聯(lián)想到中學(xué)的直線的截距式方程， 可想而知，方程可寫為 4.點(diǎn)法式方程 如果已知平面的法向量為（A，B，C），平面上一點(diǎn) 為，那么方程可寫為 其中的原理是垂直于同一直線的直線剛好構(gòu)成一 個(gè)平面，如果，則 =0 5.一般方程的法式化 如果已知方程的一般方程為，作為 法式方程，必須將 單位化，于是，只有在方 程左邊乘以法式化因子即可，其中 正負(fù)號的選取與D有關(guān)，如果D為負(fù)，那么取正號， 如果D為正，

6、取負(fù)號。 化完之后的平面如果記為，此時(shí) 的法向量很明顯是個(gè)單位向量，而這個(gè)單位向量 的幾何意義是： 從原點(diǎn)指向平面的單位法向量。 這里的 的幾何意義是： 原點(diǎn)到平面的距離 定理：平面的充要條件是關(guān)于x,y,z的方程是一個(gè)三元 一次的方程。 （二）直線的方程 1.標(biāo)準(zhǔn)方程 我們知道，空間中的兩點(diǎn)可以確定一條直線。如果我 們知道直線上確定的兩點(diǎn)，那 么，直線的方程可以寫為： 這樣的方程稱為兩點(diǎn)式方程。 很明顯，分母組就是該直線的方向向量，于是，如果 給出直線的方向向量(X,Y,Z)，那么就可以寫成： 這就是直線的標(biāo)準(zhǔn)方程。 2.射影式方程 在標(biāo)準(zhǔn)方程中，我們可以看到有兩個(gè)等號，表示的是兩 個(gè)等式，

7、如果將兩個(gè)等式聯(lián)立起來，用一個(gè)未知數(shù)表示另外 兩個(gè)未知數(shù)，就可以把標(biāo)準(zhǔn)方程化為一下形式： 這個(gè)方程稱為直線的射影式方程。 3.一般方程 我們知道，兩個(gè)相交的平面，它們的交線就是一條直線， 于是，就可以把兩個(gè)平面用花括號聯(lián)立，就變成了一般方程。 一般方程的形式為： 需要注意的是：標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程都不唯一，射影式方程 是一般方程的特殊結(jié)構(gòu)。 4.標(biāo)準(zhǔn)形式和一般形式的互化 標(biāo)準(zhǔn)一般 直接化成射影式即可 一般標(biāo)準(zhǔn) 首先令其中一個(gè)未知量為一個(gè)確定值，再解出另外兩 個(gè)未知數(shù)，這樣便確定了直線上的一點(diǎn)。 一般方程的方向向量就是 然后寫成標(biāo)準(zhǔn)形式即可 例4.求過點(diǎn)（3，-5,1）和點(diǎn)（4,1,2），垂直于平

8、面x-8y+3z-1=0 的平面方程。 例5.將下列平面化成法式方程 （1）x-2y+5z-3=0 （2）x-y+1=0 三.線性圖形的位置和度量關(guān)系 （一）平面與平面的位置關(guān)系 在仿射坐標(biāo)系下，設(shè)兩個(gè)平面為 1.相交 2.平行 3.重合 （二）平面與直線的位置關(guān)系 直線l和平面的方程分別為 于是， 1.相交 2.平行且 3.直線在平面上且 （三）兩條直線的位置關(guān)系 設(shè)兩條直線的方向向量分別為，兩條直線上分別 有兩點(diǎn)。 1.異面 2.相交且不共線 3.平行共線但和不共線 4.重合，為共線向量。 （四）距離公式 1.點(diǎn)到直線 直線上一點(diǎn)為，直線外一點(diǎn)為M，直線的方向向 量為v，于是，M到直線的距離公式為 意義是：平行四邊形的面積除以底邊長，即為高。 2.點(diǎn)到平面 設(shè)平面方程為，平面外一點(diǎn)為 ，于是聯(lián)想到中學(xué)的點(diǎn)到直線的距離公式可 得： 3.直線與直線的距離 設(shè)兩條異面直線分別過，方向向量分別為， 則兩條直線的距離為： 幾何意義為：體積除以底面積，即為高 注意：其他類型的距離都可以通過以上三種變換而來， 比如平行平面的距離，可以轉(zhuǎn)換為點(diǎn)到平面的距離來求 解。 例6：求二平面 之間的距離。 四.平面束 定義：我們把空間中所有通過同一條直線的平面的集合稱