基本初等函數(shù)與初等函數(shù)分享資料

1、.1a.21.1.鄰域鄰域: :. 0, 且且是兩個(gè)實(shí)數(shù)是兩個(gè)實(shí)數(shù)與與設(shè)設(shè)a).,(aU記作,叫做這鄰域的中心叫做這鄰域的中心點(diǎn)點(diǎn)a.叫做這鄰域的半徑叫做這鄰域的半徑 . ),(axaxaUxa a a ,鄰域鄰域的去心的的去心的點(diǎn)點(diǎn) a,鄰域鄰域的的稱(chēng)為點(diǎn)稱(chēng)為點(diǎn)數(shù)集數(shù)集 aaxx 記記一些概念.3說(shuō)明: 記號(hào)記號(hào)f和和f(x)的區(qū)別的區(qū)別: 前者表示自變量前者表示自變量x和因變量和因變量y之間的之間的對(duì)應(yīng)法則對(duì)應(yīng)法則, 而后者表示與自變量而后者表示與自變量x對(duì)應(yīng)的函數(shù)值對(duì)應(yīng)的函數(shù)值. 說(shuō)明: 說(shuō)明: 函數(shù)的記號(hào)還可用函數(shù)的記號(hào)還可用“g”、“F”、“ ”等等, 此時(shí)函數(shù)就此時(shí)函數(shù)就記作記作y

2、 g(x)、 y F(x)、y (x)等等. 同一題中同一題中, 不同的函數(shù)應(yīng)用不同的記號(hào)不同的函數(shù)應(yīng)用不同的記號(hào). 設(shè)數(shù)集設(shè)數(shù)集X、Y為兩個(gè)非空實(shí)數(shù)集合，對(duì)任意為兩個(gè)非空實(shí)數(shù)集合，對(duì)任意X中的元中的元素素x，按照某一對(duì)應(yīng)規(guī)則，按照某一對(duì)應(yīng)規(guī)則f ，Y中都有唯一的一個(gè)數(shù)中都有唯一的一個(gè)數(shù)y與之與之對(duì)應(yīng)，則稱(chēng)規(guī)則對(duì)應(yīng)，則稱(chēng)規(guī)則f : X Y為定義在為定義在X上的函數(shù)上的函數(shù), 通常簡(jiǎn)記通常簡(jiǎn)記為為 y f(x), 其中其中x稱(chēng)為自變量稱(chēng)為自變量, y稱(chēng)為因變量稱(chēng)為因變量, X稱(chēng)為定義域稱(chēng)為定義域, 記作記作Df, 即即Df X. 2.函數(shù)概念 v定義 下頁(yè).4 (1) 符號(hào)函數(shù)符號(hào)函數(shù) 0100

3、01sgnxxxxy當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)幾個(gè)特殊的函數(shù)舉例幾個(gè)特殊的函數(shù)舉例1-1xyoxxx sgn(2) 取整函數(shù)取整函數(shù) y=x 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xyo階梯曲線(xiàn)階梯曲線(xiàn)x表示不超過(guò)表示不超過(guò)x 的最大整數(shù)的最大整數(shù).5 若若存在數(shù)存在數(shù)K1, 使對(duì)任一使對(duì)任一x X, 有有f(x) K1, 則稱(chēng)函數(shù)則稱(chēng)函數(shù)f(x)在在X上有上界上有上界. 函數(shù)的有界性 若若存在數(shù)存在數(shù)K2, 使對(duì)任一使對(duì)任一x X, 有有f(x) K2, 則稱(chēng)函數(shù)則稱(chēng)函數(shù)f(x)在在X上有下界上有下界. 若若存在正數(shù)存在正數(shù)M, 使對(duì)任一使對(duì)任一x X, 有有|f(x

4、)| M, 則稱(chēng)函數(shù)則稱(chēng)函數(shù)f(x)在在X上有界上有界; 如果這樣的如果這樣的M不存在不存在, 則稱(chēng)函數(shù)則稱(chēng)函數(shù)f(x)在在X上無(wú)界上無(wú)界. 下頁(yè)3.3.函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì): :單調(diào)性、奇偶性、周期性、有界性單調(diào)性、奇偶性、周期性、有界性.6例、判斷函數(shù)的奇偶性.11ln21. 1xxy ) 1ln(. 22 xxy2. 4xxeey 2. 3xxeey xxysin. 53 1、奇，2、奇，3、偶，4、奇，5、偶，6、偶xxxycos)|(|. 62 函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì): :單調(diào)性、奇偶性、周期性、有界性單調(diào)性、奇偶性、周期性、有界性4323xx或 62xx712x例、例、 求函數(shù)求函數(shù)

5、y=+arcsin的定義域的定義域.。， .73.基本初等函數(shù)基本初等函數(shù)1）冪函數(shù)冪函數(shù))( 是常數(shù)是常數(shù) xy2）指數(shù)函數(shù)）指數(shù)函數(shù))1, 0( aaayx3）對(duì)數(shù)函數(shù)）對(duì)數(shù)函數(shù))1, 0(log aaxya4）三角函數(shù)）三角函數(shù) 與反三角函數(shù)與反三角函數(shù) 冪函數(shù)冪函數(shù),指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù),對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù),三角函數(shù)和反三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為三角函數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為基本初等函數(shù)基本初等函數(shù).oxy)1 , 1(112xy xy xy1 xy .82）指數(shù)函數(shù)）指數(shù)函數(shù))1, 0( aaayx3）對(duì)數(shù)函數(shù)）對(duì)數(shù)函數(shù))1, 0(log aaxyaxay xay)1( )1( axyalog xya1l

6、og ) 1( a.94）三角函數(shù)）三角函數(shù)正弦函數(shù)正弦函數(shù)xysin 與反三角函數(shù)與反三角函數(shù)-1,1，值值域域：定定義義域域：R:2,2,sin的反函數(shù)的反函數(shù)求求 xxyarcsinxy22,1 , 1 yx值值域域定定義義域域arcsinyx反反正正弦弦函函數(shù)數(shù)xycos 余弦函數(shù)余弦函數(shù)反反余余弦弦函函數(shù)數(shù):, 0,cos的的反反函函數(shù)數(shù)求求 xxy yx0,1 , 1值值域域定定義義域域arccosyx .10 xycot arc:), 0(,cot的的反反函函數(shù)數(shù)求求 xxy yx0),(值值域域定定義義域域cotyarcx xycot 余切函數(shù)余切函數(shù)R，值值域域：定定義義域域

7、： kx 反反余余切切函函數(shù)數(shù)22 正切函數(shù)正切函數(shù)xytan R2，值值域域：定定義義域域： kx :)2,2(,tan的的反反函函數(shù)數(shù)求求 xxyarctanyx 反反正正切切函函數(shù)數(shù)22),( yx值值域域定定義義域域.11(1)cot2xy ,uy ,cotvu .2xv 由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算和有限次的函由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個(gè)式子表示一個(gè)式子表示的函數(shù)的函數(shù),稱(chēng)為稱(chēng)為初等函初等函數(shù)數(shù).*分段函數(shù)不是初等函數(shù)分段函數(shù)不是初等函數(shù)*2sin (31)(2)xye 例：分析下列復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)例：分析

8、下列復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)uye ，2,uv sin,vw 31wx4.復(fù)合函數(shù)與初等函數(shù)復(fù)合函數(shù)與初等函數(shù)定義定義:,自變量x,中間變量u,因變量y2xxeex2xxeexxxxxeeeechxshxxxxxxeeeeshxchxx雙曲函數(shù)雙曲函數(shù)雙曲正弦雙曲正弦sh, 雙曲余弦雙曲余弦ch,雙曲正切雙曲正切th, 雙曲余切雙曲余切cth等都是初等函數(shù)等都是初等函數(shù).12例例1 1).(,0, 10, 2)(,1,1,)(2xfxxxxxxxxexfx 求求設(shè)設(shè)解解 1)(),(1)(,)()(xxxexfx,1)(10時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x, 0 x或或, 12)( xx;20 x, 0 x或或, 11)(

9、2 xx; 1 x.13,1)(20時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x, 0 x或或, 12)( xx;2 x, 0 x或或, 11)(2 xx; 01 x綜上所述綜上所述.2, 120011, 2,)(2122 xxxxxexexfxx ).(,0, 10, 2)(,1,1,)(2xfxxxxxxxxexfx 求求設(shè)設(shè)例例1 1.14雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)2xxeeshx雙曲正弦chxyshxy),(: D奇函數(shù)奇函數(shù).2xxeechx雙曲余弦),(: D偶函數(shù)偶函數(shù).1、雙曲函數(shù)、雙曲函數(shù)xey21 xey 21.15xxxeeeechxshxthxx雙曲正切奇函數(shù)奇函數(shù),),(:D有界函數(shù)有界函數(shù),.16雙曲函

10、數(shù)常用公式雙曲函數(shù)常用公式;)(shychxchyshxyxsh;)(shyshxchxchyyxch; 122xshxch;22chxshxxsh.222xshxchxch.172、反雙曲函數(shù)、反雙曲函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù),),(:D.),(內(nèi)單調(diào)增加內(nèi)單調(diào)增加在在arshxy)1ln(2xxarshxy反雙曲正弦.18.), 1內(nèi)單調(diào)增加內(nèi)單調(diào)增加在在), 1 : Darchxy反雙曲余弦).1ln(2xxarchxyarchx y.19.11ln21xx )1 , 1(: D奇函數(shù)奇函數(shù),.)1 , 1(內(nèi)單調(diào)增加內(nèi)單調(diào)增加在在 y反雙曲正切反雙曲正切artharthxy xarthx y.20例例1 已知函數(shù) ,求 . 1) 2(xxf)1(xf解解 321) 2(xxxf31)1(xxf例例2 已知函數(shù) ,求 . 21111xxf xf2112112111111222xxxxxxf解解 3)(xxf, 1|, 1, 1|, 0, 1|, 1)(xxxxfxexg)()()(xfgxgf和0, 10, 00, 1)(xxxxgf1, 1,1, 111,)(1xxexxexfg或，求，求， 例例3.21._)(,0,0, 0)(