求解中考?jí)狠S題的四種常見思想方法

1、求解中考?jí)狠S題的四種常見思想方法湖北省黃石市下陸中學(xué)宋毓彬湖北省黃石市二十一中皮學(xué)軍1中考數(shù)學(xué)壓軸題概述    1.1壓軸題的概念中考數(shù)學(xué)試卷中的試題排列順序通常都遵循著“從簡(jiǎn)單到復(fù)雜、從易到難”的原則。中考試題中按題型分類的排列順序一般是：一、選擇題（客觀題，有些地方將其稱作“第卷”）；二、填空題（形式簡(jiǎn)單的主觀題）；三、解答題（二、三也合稱第卷）。在這三類題型中，思維難度較大的題目一般都設(shè)置在各類題型的最后一題，被稱作壓軸題。中考?jí)狠S題按其題型的區(qū)別及在整個(gè)試卷中的位置情況又可分為兩類：選擇題和填空題型的壓軸題，常被稱作小壓軸題；解答題型壓軸題（也即整個(gè)試卷的

2、最后一題），叫大壓軸題，通常所說(shuō)的壓軸題一般都指大壓軸題。 1.2壓軸題的特點(diǎn)中考數(shù)學(xué)壓軸題的設(shè)計(jì)，大都有以下共同特點(diǎn)：知識(shí)點(diǎn)多、覆蓋面廣、條件隱蔽、關(guān)系復(fù)雜、思路難覓、解法靈活?？v觀近幾年全國(guó)各地?cái)?shù)學(xué)中考?jí)狠S題，呈現(xiàn)了百花齊放的局面，就題型而言，除傳統(tǒng)的函數(shù)綜合題外，還有操作題、開放題、圖表信息題、動(dòng)態(tài)幾何題、新定義題型、探索題型等，令人賞心悅目。中考?jí)狠S題主要是為考察考生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力而設(shè)計(jì)的題目，其思維難度高，綜合性強(qiáng)，往往都具有較強(qiáng)的選拔功能，是為了有效地區(qū)分?jǐn)?shù)學(xué)學(xué)科中尖子學(xué)生與一般學(xué)生的試題。在課程改革不斷向前推進(jìn)的形勢(shì)下，全國(guó)各地近年涌現(xiàn)出了大量的精彩的壓軸題。豐富的

3、、公平的背景、精巧優(yōu)美的結(jié)構(gòu)，綜合體現(xiàn)出多種解答數(shù)學(xué)問(wèn)題的思想方法，貼近生活、關(guān)注熱點(diǎn)、常中見拙、拙中藏巧、一題多問(wèn)、層層遞進(jìn)，為不同層次的學(xué)生展示自己的才華創(chuàng)設(shè)了平臺(tái)。 1.3壓軸題應(yīng)對(duì)策略針對(duì)近年全國(guó)各地中考數(shù)學(xué)壓軸題的特點(diǎn)，在中考復(fù)習(xí)階段，我們要狠抓基礎(chǔ)知識(shí)的落實(shí)，因?yàn)榛A(chǔ)知識(shí)是“不變量”，而所謂的考試“熱點(diǎn)”只是與題目的形式有關(guān)。要有效地解答中考?jí)狠S題，關(guān)鍵是要以不變應(yīng)萬(wàn)變。加大綜合題的訓(xùn)練力度，加強(qiáng)解題方法的訓(xùn)練，加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的滲透，注重“基本模式”的積累與變化，調(diào)適學(xué)生心理，增強(qiáng)學(xué)生信心。學(xué)生在壓軸題上的困難可能來(lái)自多方面的原因，如：基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的欠缺、解題經(jīng)驗(yàn)

4、的缺失或訓(xùn)練程度不夠、自信心不足等。學(xué)生在壓軸題上的具體困難則可能是：“不知從何處下手，不知向何方前進(jìn)”。在求解中考數(shù)學(xué)壓軸題時(shí)，重視一些數(shù)學(xué)思想方法的靈活應(yīng)用，是解好壓軸題的重要工具，也是保證壓軸題能求解得“對(duì)而全、全而美”的重要前提。本文就2009年全國(guó)各地部分中考?jí)狠S題為例，簡(jiǎn)要分析一些重要的數(shù)學(xué)思想方法在求解中考?jí)狠S題時(shí)的重要作用。 2求解中考?jí)狠S題的常見思想方法 2.1分類討論思想代表性題型：動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題，存在性討論問(wèn)題。例1（2009年重慶）已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的邊OA在軸的正半軸上，OC在軸的正半軸上，OA=2，OC=3。過(guò)原點(diǎn)O作AO

5、C的平分線交AB于點(diǎn)D，連接DC，過(guò)點(diǎn)D作DEDC，交OA于點(diǎn)E。（1）求過(guò)點(diǎn)E、D、C的拋物線的解析式；（2）將EDC繞點(diǎn)D按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后，角的一邊與軸的正半軸交于點(diǎn)F，另一邊與線段OC交于點(diǎn)G。如果DF與（1）中的拋物線交于另一點(diǎn)M，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為，那么EF=2GO是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；                       

6、;                （3）對(duì)于（2）中的點(diǎn)G，在位于第一象限內(nèi)的該拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使得直線GQ與AB的交點(diǎn)P與點(diǎn)C、G構(gòu)成的PCG是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。解析：（1）由ADEBCD，及已知條件求得E、D、C坐標(biāo)，進(jìn)而求出過(guò)點(diǎn)E、D、C的拋物線的解析式：           

7、0;         （2）EF=2GO成立點(diǎn)M在該拋物線上，且它的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為設(shè)DM的解析式為將點(diǎn)D、M的坐標(biāo)分別代入，得   解得  DM的解析式為    F（0，3）  EF=2過(guò)點(diǎn)D作DKOC于點(diǎn)K，則DA=DKDAFDKG，KG=AF=1，GO=1      EF=2GO（3）點(diǎn)P在AB上，G（1，0），C（3，0），則設(shè)P（t，2）PG=（t1）+2，PC=（3t）+2，G

8、C=2                 若PG=PC，則（t1）+2=（3t）+2解得t=2P（2，2），此時(shí)點(diǎn)Q與點(diǎn)P重合Q（2，2）若PG=GC，則（t1）+2=2，解得t=1，P（1，2）  此時(shí)GPx軸GP與該拋物線在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為1，點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為Q（1，）若PC=GC，則（3t）+2=2，解得t=3，P（3，2）此時(shí)PC=GC=2，P與D重合過(guò)點(diǎn)Q作QHx軸于點(diǎn)H，則QH=GH，設(shè)QH=h，Q（h+1

9、，h） 解得（舍去）Q（，）綜上所述，存在三個(gè)滿足條件的點(diǎn)Q，即Q（2，2）或Q（1，）或Q（，）思想方法解讀：這道壓軸題是將二次函數(shù)與平面幾何相結(jié)合的函數(shù)綜合題。第問(wèn)結(jié)合“形”的特征，求出點(diǎn)D、E、C的坐標(biāo)，再設(shè)二次函數(shù)一般式，用待定系數(shù)法可求得二次函數(shù)解析式。體現(xiàn)了解函數(shù)問(wèn)題時(shí)常用到的“數(shù)形結(jié)合”思想。第由D、M所在直線與y軸相交哦于F，可求得F點(diǎn)坐標(biāo)，并求出EF的長(zhǎng)度，并由旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的角度相等關(guān)系，設(shè)法構(gòu)造全等求出OG。得證結(jié)論。解決第問(wèn)的關(guān)系是將EF、OG轉(zhuǎn)化為可求的已知量，得到其長(zhǎng)度關(guān)系。體現(xiàn)出數(shù)學(xué)解題中的“轉(zhuǎn)化思想”。本題的第問(wèn)討論存在性問(wèn)題。要使PCG是等腰三角形，其中G、C為定

10、點(diǎn)，P為不確定的點(diǎn)，因此應(yīng)考慮GC為腰、GC為底，并考慮G、C、P分別為頂點(diǎn)等多種情況進(jìn)行分類討論。假設(shè)存在P點(diǎn)，結(jié)合P點(diǎn)的位置，通過(guò)設(shè)置P點(diǎn)坐標(biāo)參數(shù)，用所設(shè)參數(shù)表示出相應(yīng)三角形邊長(zhǎng)，由等腰三角形的性質(zhì)，構(gòu)造相應(yīng)方程，可求出P點(diǎn)坐標(biāo)。第問(wèn)不僅體現(xiàn)了分類討論思想，還考察了用方程建模的能力。 2.2轉(zhuǎn)化思想代表性題型：面積問(wèn)題，二函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)距離、二次函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)距離、反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)距離問(wèn)題（與一元二次方程根的系數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化）。例2已知：RtABC的斜邊長(zhǎng)為5，斜邊上的高為2，將這個(gè)直角三角形放置在平面直角坐標(biāo)系中，使其斜邊AB與x軸重合（其中OA<OB），

11、直角頂點(diǎn)C落在y軸正半軸上（如圖1）。（1）求線段OA、OB的長(zhǎng)和經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、C的拋物線的關(guān)系式。（4分）（2）如圖2，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)P（m，n）是該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（其中m>0，n>0），連接DP交BC于點(diǎn)E。當(dāng)BDE是等腰三角形時(shí)，直接寫出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)。（3分）又連接CD、CP（如圖3），CDP是否有最大面積？若有，求出CDP的最大面積和此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由。（3分）解析：由RtAOCRtCOB易知，CO2=OA.OB=OA(AB-OA),可求OA=1,OB=4A(-1,0)  B(4,0)  C(0,2) 可設(shè)解析式為y=a

12、(x+1)(x-4)，將點(diǎn)C(0,2)代入，可求a=    為所求；  提示：ED=EB時(shí)，過(guò)E作BD垂線，可得直線BC的解析式為，設(shè)，利用勾股定理和點(diǎn)在直線BC上，可得兩個(gè)方程組   分別可求和。方法1：連OP。如圖4。                          

13、60;                  P（m，n）在拋物線上P（m， ）     SCPO=S四邊形ODPCSOCD=SPOC+ SPDOSOCD=OC·|xp|+OD·|yp|OC·OD  =×2m+×2（）×2×2  =m+m=（m）+當(dāng)m=時(shí)，SCPO面積最大，此時(shí)P（，）方法2：過(guò)D作X

14、軸的垂線，交PC于M，如圖5。                                               

15、60;             易求PC的解析式為，且，故 當(dāng)時(shí)，思想方法解讀：本題是一道二次函數(shù)與平面幾何綜合的壓軸題第問(wèn)由三角形形似（或射影定理）求出相關(guān)線段的長(zhǎng)，寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)。然后靈活設(shè)置二次函數(shù)式，用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)式。第問(wèn)，雖然題目要求是直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)。但點(diǎn)E的坐標(biāo)必須通過(guò)計(jì)算得到。而在計(jì)算的過(guò)程中，要考慮符合要求的等腰三角形的多樣性，需分類討論頂點(diǎn)、腰的對(duì)應(yīng)情況。第問(wèn)是本題的難點(diǎn)。題中的面積表示，要結(jié)合P（m，n）在拋物線上，充分利用點(diǎn)的坐

16、標(biāo)的幾何意義，或是利用平面幾何的性質(zhì)，有效表示BCD的面積，將不能直接表示的三角形面積轉(zhuǎn)化為能用已知線段和P點(diǎn)坐標(biāo)表示的面積。方法1是將四邊形分割成兩個(gè)三角形POC、POD，方法2，是通過(guò)過(guò)D點(diǎn)作垂線，直接將BDC轉(zhuǎn)化為PDM、CDM。 23極端值思想代表性題型：動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題，動(dòng)態(tài)函數(shù)問(wèn)題。例3已知為線段上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在射線上，且滿足（如圖1所示）（1）當(dāng)，且點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)（如圖2所示），求線段的長(zhǎng)；（2）在圖1中，聯(lián)結(jié)當(dāng)，且點(diǎn)在線段上時(shí)，設(shè)點(diǎn)之間的距離為，其中表示的面積，表示的面積，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)定義域；      （3

17、）當(dāng)，且點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)（如圖3所示），求的大小。解析：（1）AD=2，且Q點(diǎn)與B點(diǎn)重合。由=1，PB（Q）=PC，PQC為等腰直角三角形，BC=3，PC=Bccos45°=3×=。（2）如圖：作PEBC，PFAQ。BQ=x，則AQ=2x。                            

18、                         由BPFBDP，=，又BF=PE=，PF=PE  SAPQ=（2x）PF，SPBC=×3PE  y=（2x）  P點(diǎn)與D點(diǎn)重合時(shí)，此時(shí)CQ取最大值。過(guò)D作DHBC。  CD=，此時(shí)=，=，PQ=，BQ=ABAQ= 函數(shù)的定義域：0x (3)

19、方法1：PQ/PC=AD/AB,假設(shè)PQ不垂直PC，則可以作一條直線PQ垂直于PC，與AB交于Q點(diǎn)，則：B，Q，P，C四點(diǎn)共圓。由圓周角定理，以及相似三角形的性質(zhì)得：PQ/PC=AD/AB,又由于PQ/PC=AD/AB  所以，點(diǎn)Q與點(diǎn)Q重合，所以角QPC=90°方法2：如圖3，作PMBC，PNAB。由=，即=PNQPMC   MPCNPN，QPC=MPCQPBNPQQPM90°思想方法解讀：這是一道動(dòng)態(tài)幾何的變式綜合題。第問(wèn)，線段的比值不變，Q在特殊點(diǎn)（與B點(diǎn)重合），由AD=AB=2，故PQ（B）=PC，PQC為等腰直角三角形。利用幾何性質(zhì)可

20、求出PC。第問(wèn)中利用三角形相似比，結(jié)合已知條件中的固定線段比，找出PAQ、PBC高之間的比例關(guān)系，是求函數(shù)式的關(guān)鍵。而第二問(wèn)中寫出函數(shù)的定義域則是難點(diǎn)。需分析出P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的極端情況，當(dāng)P與D重合時(shí)，BQ取得最大值。集合圖形的幾何性質(zhì)及已知條件中的固定線段比，求出此時(shí)BQ的長(zhǎng)度，既為BQ的最大值。體現(xiàn)極端值思想。中可以用四點(diǎn)共圓通過(guò)歸一法求證，也可以通過(guò)構(gòu)造相似形求證。 24數(shù)形結(jié)合思想（用好幾何性質(zhì)）代表性題型：函數(shù)與幾何綜合題。例4在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y=a（x+1）+c（a0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C，其頂點(diǎn)為M,若直線MC的函數(shù)表達(dá)

21、式為,與x軸的交點(diǎn)為N，且COSBCO。                                              

22、0;         求次拋物線的函數(shù)表達(dá)式。    (2)在此拋物線上是否存在異于點(diǎn)C的點(diǎn)P，使以N、P、C為頂點(diǎn)的三角形是以NC為一條直角邊的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線，交直線MC于點(diǎn)Q.若將拋物線沿其對(duì)稱軸上下平移，使拋物線與線段NQ總有公共點(diǎn)，則拋物線向上最多可平移多少個(gè)單位長(zhǎng)度?向下最多可平移多少個(gè)單位長(zhǎng)度?解析：由直線y=kx3與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為C（0，3）拋物線y=a（x+1）+c（a0）開口向上，過(guò)C（0，3）A、B在y軸兩側(cè)

23、，B在y軸右側(cè)。如圖。                                                &

24、#160;             RtAOC中，OC=3，cosBCO=  BC=，OB=1B（1，0） 又B（1，0），C（0，3）在y=a（x+1）+c上拋物線解析式y(tǒng)=x+2x3由拋物線頂點(diǎn)M（1，4），直線y=kx3過(guò)M，直線解析式y(tǒng)=x3N（3，0）   NOC為等腰直角三角形假設(shè)拋物線上存在點(diǎn)P使NPC為以NC為一條直角邊的直角三角形。PC為另一條直角邊。PCCN，而A與N關(guān)于y軸對(duì)稱在拋物線上。存在P1（3，0）使NPC為以NC為一條直角邊的直角三角形PN為另一條直角邊。PNCN，則PNO=45°設(shè)PN交y軸于點(diǎn)D，則D（0，3）PN所在直線y=x+3由    解得     存在P2（，），P3（，）使NPC為以NC為一條直角邊的直角三角形。滿足條件的點(diǎn)有P1（3，0），P2（，），P3（，）若拋物線沿對(duì)稱軸向上平移。設(shè)向上平移b個(gè)單位（b0）。此時(shí)拋物線的解析式為：y=x+2x3+b拋物線與線段NQ總有交點(diǎn)，即由拋物線解析式、直線MC所在直線解析式組成的方程組有解。由