正弦函數(shù)y=sinx的圖象和性質(zhì)

1、【本講教育信息】一. 教學(xué)內(nèi)容：1.3.1 正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)二. 教學(xué)目的1、掌握用幾何法繪制正弦函數(shù)的圖象的方法；掌握用五點法畫正弦函數(shù)的簡圖的方法及意義；2、掌握正弦函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；3、掌握正弦型函數(shù)的圖象（特別是用五點法畫函數(shù)的圖象）、性質(zhì)及應(yīng)用。三. 教學(xué)重點、難點重點：1、用五點法畫函數(shù)的簡圖；2、函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；3、函數(shù)與的圖象的關(guān)系。難點：1、正弦函數(shù)的周期性和單調(diào)性的理解；2、函數(shù)與的圖象的關(guān)系。四. 知識分析1、正弦函數(shù)圖象的幾何作法采用弧度制， x、y 均為實數(shù)，步驟如下： （1）在 x 軸上任取一點 O1 ，以 Ol 為圓心作單位圓； （2）從這個圓與 x 軸交點

2、 A 起把圓分成 12 等份；（3）過圓上各點作x軸的垂線，可得對應(yīng)于0、的正弦線； （4）相應(yīng)的再把 x 軸上從原點 O 開始，把這0這段分成 12 等份；（5）把角的正弦線平移，使正弦線的起點與 x 軸上對應(yīng)的點重合；（6）用光滑曲線把這些正弦線的終點連結(jié)起來。2、五點法作圖描點法在要求不太高的情況下，可用五點法作出，的圖象上有五點起決定作用，它們是。描出這五點后，其圖象的形狀基本上就確定了。因此，在精確度要求不太高時，我們常常先描出這五個點，然后用平滑的曲線將它們連接起來，就得到在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)正弦函數(shù)的簡圖，這種方法叫做五點法。注意：（1）描點法所取的各點的縱坐標都是查三角函數(shù)表得到的數(shù)值

3、，不易描出對應(yīng)點的精確位置，因此作出的圖象不夠精確。（2）幾何法作圖較為精確，但畫圖時較繁。（3）五點法是我們畫三角函數(shù)圖象的基本方法，要切實掌握好，與五點法作圖有關(guān)的問題曾出現(xiàn)在歷屆高考試題中。（4）作圖象時，函數(shù)自變量要用弧度制，這樣自變量與函數(shù)值均為實數(shù)，因此在 x 軸、 y 軸上可以統(tǒng)一單位，作出的圖象正規(guī)，便于應(yīng)用。（5）如果函數(shù)表達式不是，則那五點就可能不是如：用“五點法”作函數(shù)的簡圖，所用的五個關(guān)鍵點列表就是：而用“五點法”作函數(shù)的簡圖，開始的一段圖象所用的五個關(guān)鍵點列表就是：x02y010103、正弦曲線 下面是正弦函數(shù)的圖象的一部分：4、正弦函數(shù)的值域從正弦線可以看出：正弦線

4、的長度小于或等于單位圓半徑的長度；從正弦曲線也可以看出：正弦曲線分布在 y = 1 和 y1 之間，說明|sinx|1，即正弦函數(shù)的值域是1 , 1 。注意：這里所說的正弦函數(shù)的值域是l,1，是指整個正弦曲線或一個周期內(nèi)的正弦曲線。如果定義域不為全體實數(shù)，那么正弦函數(shù)的值域就可能不是1,1。如，則值域就是0，1， 因而在確定正弦函數(shù)的值域時，要特別注意其定義域。5、周期函數(shù)的定義 一般地，對于函數(shù) yf ( x ) ，如果存在一個不為零的常數(shù) T ，使得當 x 取定義域內(nèi)的每一個值時， f(xT)f(x)都成立，那么就把函數(shù) y = f(x)叫做周期函數(shù)，不為零的常數(shù) T 叫做這個函數(shù)的周期。

5、注意：( 1)定義應(yīng)對定義域中的每一個 x 值來說，只有個別的 x 值或只差個別的 x 值滿足f(xT)f(x)或不滿足都不能說 T 是 f(x)的周期。 例如：但是就是說，不能對x的定義域內(nèi)的每一個值都有, 因此不是 sinx的周期 。（2）從等式f(xT)f(x)來看，應(yīng)強調(diào)的是與自變量 x 本身相加的常數(shù)才是周期，如 f (2x + T) = f (2x) , T 不是f(2x)的周期，而應(yīng)寫成 f(2 x + T) f( 2x ) ，則是 f ( 2x)的周期。（3）對于周期函數(shù)來說，如果所有的周期中存在著一個最小的正數(shù)，就稱它為最小正周期，今后提到的三角函數(shù)的周期，如未特別指明，一般

6、都是指它的最小正周期。（4）并不是所有周期函數(shù)都存在最小正周期例知，常數(shù)函數(shù) f ( x ) = C ( C 為常數(shù)) , x R ，當 x 為定義域內(nèi)的任何值時，函數(shù)值都是 C ，即對于函數(shù) f( x)的定義域內(nèi)的每一個值 x ，都有 f ( x + T ) C ，因此 f (x)是周期函數(shù)，由于 T 可以是任意不為零的常數(shù)，而正數(shù)集合中沒有最小者，所以 f (x)沒有最小正周期。再如函數(shù) 設(shè) r 是任意一個有理數(shù)，那么當 x 是有理數(shù)時， x + r 也是有理數(shù)，當 x 為無理數(shù)時， x + r 也是無理數(shù)，就是說 D ( x )與 D ( x + r )或者等于 1 或者等于 O ，因此

7、在兩種情況下，都有 D ( x + r ) D ( x ) ，所以 D ( x )是周期函數(shù)， r 是 D ( x )的周期，由于 r 可以是任一有理數(shù)，而正有理數(shù)集合中沒有最小者，所以 D (x)沒有最小正周期。（5）“f ( x + T )f ( x ) ”是定義域內(nèi)的恒等式，即對定義域內(nèi)的每一個值都成立， T 是非零常數(shù)，周期 T 是使函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)的自變量 x 的增加值。（6）周期函數(shù)的周期不只一個，若T是周期，則 kT ( kN* )一定也是周期。（7）在周期函數(shù) y f（x）中，T是周期，若 x 是定義域內(nèi)的一個值，則 x + kT 也一定屬于定義域，因此周期函數(shù)的定義域一定是無限

8、集。6、正弦函數(shù)的周期性（1）從正弦線的變化規(guī)律可以看出，正弦函數(shù)是周期函數(shù)，是它的周期，最小正周期是 2。（2）正弦函數(shù)的周期也可由誘導(dǎo)公式 sin ( x + 2k)sinx ( kZ)得到。7、正弦函數(shù)的奇偶性正弦函數(shù) y = sinx ( xR )是奇函數(shù)。（1）由誘導(dǎo)公式 sin（x ） sinx 可知上述結(jié)論成立， （2）反映在圖象上，正弦曲線關(guān)于原點 O 對稱； （3）正弦曲線是中心對稱圖形，其所有的對稱中心為（ k, 0 ）。正弦曲線也是軸對稱圖形，其所有的對稱軸方程為。注意：正弦曲線的對稱軸一定是經(jīng)過正弦曲線的最高點或最低點，此時正弦值為最大值或最小值。 8、正弦函數(shù)的單調(diào)性

9、 由正弦曲線可以看出：當x由增大到時，曲線逐漸上升，sinx由1增大到1；當x由增大到時，曲線逐漸下降，sinx由1減小到1。 由正弦函數(shù)的周期性知道： 正弦函數(shù)在每一個閉區(qū)間（）上都從1增大到1，是增函數(shù)；在每一個閉區(qū)間（）上，都從1減小到1，是減函數(shù)。也就是說正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是：及（） 9、函數(shù)圖象的左右平移變換 如在同一坐標系下，作出函數(shù)和的簡圖，并指出它們與圖象之間的關(guān)系。 解析：函數(shù)的周期為，我們來作這個函數(shù)在長度為一個周期的閉區(qū)間上的簡圖。 設(shè)，那么， 當Z取0、時，x取。所對應(yīng)的五點是函數(shù)，圖象上起關(guān)鍵作用的點。 列表： 類似地，對于函數(shù)，可列出下表： 描點作圖（如下） 利用這

10、類函數(shù)的周期性，可把所得到的簡圖向左、右擴展，得出，及，的簡圖（圖略）。 由圖可以看出，的圖象可以看作是把的圖象上所有的點向左平行移動個單位而得到的，的圖象可以看作是把的圖象上所有的點向右平行移動個單位得到的。 注意：一般地，函數(shù)的圖象，可以看作是把的圖象上所有的點向左（當時）或向右（當時）平行移動個單位而得到的。 推廣到一般有： 將函數(shù)的圖象沿x軸方向平移個單位后得到函數(shù)的圖象。當a>0時向左平移，當a<0時向右平移。 10、函數(shù)圖象的橫向伸縮變換 如作函數(shù)及的簡圖，并指出它們與圖象間的關(guān)系。 解析：函數(shù)的周期，我們來作時函數(shù)的簡圖。 設(shè)，那么，當Z取0、時，所對應(yīng)的五點是函數(shù)圖

11、象上起關(guān)鍵作用的五點，這里，所以當x取0、時，所對應(yīng)的五點是函數(shù)的圖象上起關(guān)鍵作用的五點。 列表： 函數(shù)的周期，我們來作時函數(shù)的簡圖。 列表： 描點作圖，如圖： 利用這類函數(shù)的周期性，我們可以把上面的簡圖向左、右擴展，得出，及，的簡圖（圖略）。 從上圖可以看出，在函數(shù)的圖象上橫坐標為（）的點的縱坐標同上橫坐標為的點的縱坐標相同（例如，當時，）。因此，的圖象可以看作是把的圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變）而得到的。 類似地，的圖象可以看作是把的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變）而得到的。 注意：一般地，函數(shù)的圖象，可以看作是把的圖象上所有點的橫坐標縮短（當時）或伸長

12、（當時）到原來的倍（縱坐標不變）而得到的。 推廣到一般有： 函數(shù)的圖象，可以看作是把函數(shù)的圖象上的點的橫坐標縮短（當）或伸長（當）到原來的倍（縱坐標不變）而得到。 11、函數(shù)圖象的縱向伸縮變換 如在同一坐標系中作出及的簡圖，并指出它們的圖象與的關(guān)系。 解析：函數(shù)及的周期，我們先來作時函數(shù)的簡圖。 列表： 描點作圖，如圖： 利用這類函數(shù)的周期性，我們可以把上圖的簡圖向左、向右擴展，得到及的簡圖（圖略）。 從上圖可以看出，對于同一個x值，的圖象上點的縱坐標等于的圖象上點的縱坐標的兩倍（橫坐標不變），從而的值域為2，2，最大值為2，最小值為2。 類似地，的圖象，可以看作是把的圖象上所有點的縱坐標縮短

13、到原來的倍（橫坐標不變）而得到的，從而的值域是，最大值為，最小值為。 注意：對于函數(shù)（A>0且A1）的圖象，可以看作是把的圖象上所有點的縱坐標伸長（當A>1時）或縮短（當0<A<1時）到原來的A倍（橫坐標不變）而得到的，的值域為A，A，最大值為A，最小值為A。 推廣到一般有： 函數(shù)（A>0且A1）的圖象，可以看作是把函數(shù)圖象上的點的縱坐標伸長（當A>1）或縮短（當0<A<1）到原來的A倍（橫坐標不變）而得到。 12、函數(shù)的圖象 作函數(shù)的圖象主要有以下兩種方法： （1）用“五點法”作圖 用“五點法”作的簡圖，主要是通過變量代換，設(shè)，由z取0，來求出

14、相應(yīng)的x，通過列表，計算得出五點坐標，描點后得出圖象。 （2）由函數(shù)的圖象通過變換得到的圖象，有兩種主要途徑：“先平移后伸縮”與“先伸縮后平移”。 法一：先平移后伸縮 法二：先伸縮后平移 可以看出，前者平移個單位，后者平移個單位。原因在于相位變換和周期變換都是針對變量x而言的。因此在用這樣的變換法作圖象時一定要注意平移的先后順序，否則必然會出現(xiàn)錯誤。 當函數(shù)（A>0，）表示一個振動量時，A就表示這個量振動時離開平衡位置的最大距離，通常把它叫做這個振動的振幅；往復(fù)振動一次所需要的時間，它叫做振動的周期；單位時間內(nèi)往復(fù)振動的次數(shù)，它叫做振動的頻率；叫做相位，叫做初相（即當x0時的相位）。【典

15、型例題】 例1. 作出函數(shù)的圖象 分析：首先將函數(shù)的解析式變形，化為最簡形式，然后作出函數(shù)的圖象。 解析：化為 即 其圖象如圖： 點評：畫的圖象可分為兩步完成，第一步先畫出和，的圖象，第二步將得到的圖象向左、右平移，即可得到完整的曲線。 例2. 求下列函數(shù)的周期 （1）（2） 分析：該例的兩個函數(shù)都是復(fù)合函數(shù)，我們可以通過變量替換將它們歸結(jié)為基本三角函數(shù)去處理。 解析：（1）如果令，則是周期函數(shù)，且周期為 即 的周期是 （2） 即 的周期是。 點評：由上例我們可以看到函數(shù)周期的變換僅與自變量x的系數(shù)有關(guān)。一般地，函數(shù)或（其中A、為常數(shù)，A0，xR）的周期。 例3. 比較下列各組數(shù)的大小。 （1

16、）sin194°和cos160°；（2）和； （3）和 分析：先化為同名函數(shù)，然后利用單調(diào)性來比較函數(shù)值的大小。 解析：（1） ， 從而 即 （2） 又 在上是減函數(shù) 即 （3） 而在（0，）內(nèi)遞增 點評： （1）比較同名的三角函數(shù)值的大小，首先把三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為同一單調(diào)區(qū)間上的同名三角函數(shù)，利用單調(diào)性，由自變量的大小確定函數(shù)值的大小。 （2）比較不同名的三角函數(shù)的大小時，應(yīng)先化為同名三角函數(shù)，然后再進行比較。 例4. 求下列函數(shù)的最大值和最小值 （1） （2） （3） 分析：可利用sinx與cosx的值域求解，求解過程中要注意自變量的取值范圍。 解析：（1） 當時， 當時，

17、 （2） 當時，； 當時，。 （3）， 當時，； 當時，。 點評：求三角函數(shù)的值域或最大值、最小值問題主要得利用sinx與cosx的有界性，以及復(fù)合函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)。 例5. 用兩種方法將函數(shù)的圖象變換為函數(shù)的圖象。 分析1： 解法1： 分析2： 解法2： 點評：在解法1中，先伸縮，后平移；在解法2中，先平移，后伸縮，表面上看來，兩種變換方法中的平移是不同的（即和），但由于平移時平移的對象已有所變化，所以得到的結(jié)果是一致的。 例6. 用五點法作出函數(shù)的圖象，并指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。 分析：按五點作圖法的要求找出五個點來，然后作圖。 解析：（1）列表 列表時取值為0、，再求出相應(yīng)的x值和y值。 （2

18、）描點 （3）用平滑的曲線順次連結(jié)各點所得圖象如圖所示： 利用這類函數(shù)的周期性，我們可以把上面所得到的簡圖向左、右擴展，得到，的簡圖（圖略）。 可見在一個周期內(nèi)，函數(shù)在上遞減，又因函數(shù)的周期為，所以函數(shù)的遞減區(qū)間為。同理，增區(qū)間為。 點評：五點法作圖，要抓住要害，即抓住五個關(guān)鍵點，使函數(shù)式中的取0、，然后求出相應(yīng)的x，y值。 例7. 如圖是函數(shù)的圖象，確定A、的值。 解析：顯然A2 解法1：由圖知當時，y0 故有， 所求函數(shù)解析式為 解法2：由圖象可知將的圖象向左移 即得，即 點評：求函數(shù)的解析式難點在于確定初相，一般可利用圖象變換關(guān)系和特殊值法?！灸M試題】 1、已知，且，則的值等于 A. B. C. D. 2、函數(shù)的定義域為 A. RB. 1，1 C. D. 3，3 3、在0，上，滿足的x取