第十一講三角函數(shù)

1、優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載第十一講三角函數(shù)直角三角形中有兩條直角邊和一條斜邊，從這三條邊中適當(dāng)取兩條邊可以得到不同的比， 這些比值的大小顯然只與直角三角形中銳角的大小有關(guān)，這佯便定義了直角三角形中銳角的三角函數(shù)( 如圖 314) ，常用的有：利用比例的變形并且結(jié)合勾股定理， 可以從三角函數(shù)定義中推出同角三角函數(shù)間的關(guān)系式：(1) 倒數(shù)關(guān)系tg ·ctg =1；(2) 商的關(guān)系(3) 平方關(guān)系sin 2+cos2=1這些同角三角函數(shù)關(guān)系式對任意銳角都成立， 它們在求值、化簡以及三角式的變形中有著重要的應(yīng)用如圖 3-15 所示，在直角三角形 ABC中， A 與 B 互為余角，根據(jù)三角函數(shù)定義不

2、難得到互為余角的三角函數(shù)之間的關(guān)系：優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載sinB=sin(90 °-A)=cosA，cosB=cos(90°-A)=sinA ，tgB=tg(90 °-A)=ctgA ，ctgB=ctg(90 °-A)=tgA 上述四個公式可以概括為： 一個銳角的余角的三角函數(shù)值， 等于該銳角相應(yīng)的余函數(shù)的函數(shù)值由圖 3 16 可以看到，在直角三角形 ABC中，如果斜邊長度不變， 當(dāng)銳角 A 增大時， sinA 與 tgA 的值也隨之增大，而 cosA 與 ctgA 的值隨之減小特別地，當(dāng) A=0時， sin0=0 ，tg0=0 ， cos0=1，ctg

3、0 值不存在；當(dāng)A=90°時， sin90 °=1，tg90 °值不存在， cos90°=0， ctg90 °=0由于一個角的正弦或余弦值等于直角邊與斜邊的比， 而直角三角形的斜邊總是大于直角邊，所以，當(dāng) 為銳角時，總有0sin 1，0cos1我們利用以上銳角三角函數(shù)的定義及性質(zhì)， 可以解決一些求值、 化簡以及等式證明等問題例 1 不查表，求 15°的四種三角函數(shù)值分析 30 °， 45°， 60°這些特殊角的三角函數(shù)值，我們可以利用含有這些特殊角的直角三角形的幾何性質(zhì)及勾股定理直接推出 同樣，15

4、76;角的三角函數(shù)值，也可以利用直角三角形的性質(zhì)將其推出優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載解 如圖 3 17 所示在 ABC中， C=90°， ABC=30°，延長 CB到 D，使 BD=BA，則所以所以說明 將 15°角的三角函數(shù)求值問題，通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)娜切危瑢⑺D(zhuǎn)化為 30°角的三角函數(shù)問題，這種將新的未知問題通過一定途徑轉(zhuǎn)化為舊的已解決了的問題的方法， 是我們研究解決新問題的重要方法 根據(jù)互余三角函數(shù)關(guān)系式，我們很容易得到 75°角的四種三角函數(shù)值例 2 比較下列各組三角函數(shù)值的大?。?1)sin19 °與 cos70°；優(yōu)秀學(xué)習(xí)

5、資料歡迎下載(2)ctg65 °與 cos40°；(3)cos1 °， tg46 °， sin88 °和 ctg38 °分析 (1) 利用互余角的三角函數(shù)關(guān)系式，將 cos70°化為 sin20 °，再與 sin19 °比大小(2) 余切函數(shù)與余弦函數(shù)無法化為同名函數(shù)，但是可以利用某些特殊再將 ctg65 °， cos40°分別與 ctg60 °， cos45°比大小(3)tg45 ° =1，顯然 cos1°，sin88 °均小于 1，

6、而 tg46 °， ctg38 ° 均大于 1再分別比較 cos1°與 sin88 °，以及 tg46 °與 ctg38 °的大小即可解 (1) 因為 cos70°=cos(90 °-20°)=sin20 °，而 sin19 ° sin20 °，所以sin19 ° cos70°(2) 因為所以 ctg60 ° cos45°，所以 ctg65 ° cos40°(3) 因為 ctg38 °=ctg(90

7、76;-52°)=tg52 °，所以 tg52 ° tg46 ° tg45 °=1因為所以cos1°=cos(90 ° -89° )=sin89 sin88 ° sin89 ° 1，°，所以ctg38 ° tg46 ° cos1° sin88 °說明 比較三角函數(shù)值的大小，一般分為三種類型：優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載(1) 同名的兩個銳角三角函數(shù)值，可直接利用三角函數(shù)值隨角變化的規(guī)律，通過比較角的大小來確定三角函數(shù)值的大小(2) 互為余函數(shù)的兩銳角三角

8、函數(shù)值，可利用互余角的三角函數(shù)關(guān)系式化為同名三角函數(shù)，比較其大小(3) 不能化為同名的兩個三角函數(shù)， 可通過與某些 “標(biāo)準(zhǔn)量” 比大小，間接判斷它們的大小關(guān)系，常選擇的標(biāo)準(zhǔn)量有： 0， 1 以及其他一些特殊角如 30°， 45°， 60°的三角函數(shù)值例 3 化簡求值：(1)tg1 °· tg2 °· tg3 °·· tg89 °；分析 (1) 因為 tg89 °=tg(90 °-1° )=ctg1 °，而 tg1 °· ctg

9、1 °=1，所以，可將連乘積中的第一個因式與倒數(shù)第一個因式相乘，結(jié)果為1同樣方法，將第二個因式與倒數(shù)第二個因式相乘，其積也是1依次類推(3) 利用同角三角函數(shù)關(guān)系將正切函數(shù)化為正弦函數(shù)與余弦函數(shù)，再進一步化簡求值(4) 將被開方式化為完全平方的形式，即1-2sin11 °·cos11° =sin 2 11°-2sin11 °·cos11°+cos211°=(sin11 °-cos11°) 2因為 sin1l ° cos11°，所以根式化簡后得cos11°-

10、sin11 °優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載(5) 根據(jù) tg =3，求出 sin 與 cos的值也可以將所求分式的分子、分母同除以 cos2 ，將其化為用 tg 表示的分式解 (1) 原式 =tg1 °· tg2 °· tg3 °·· tg44 °· tg45 °·ctg44 °· ctg43 °·· ctg3 °· ctg2 °·ctg1 °=(tg1 °· ct

11、g1 °) ·(tg2 °· ctg2 °) ·· (tg44 °· ctg44 °) ·tg45 °=1·1·· 1=1說明 同角三角函數(shù)關(guān)系式以及互余兩角三角函數(shù)關(guān)系式，在三角式變形、化簡、求值及證明中是重要的依據(jù)例 4 設(shè)是銳角，若求以 tg ， ctg 為兩根的一元二次方程分析 根據(jù)韋達(dá)定理，以tg ，ctg 為兩根的一元二次方程是優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載x2 -(tg +ctg )x+tg ·ctg =0，因此，解決問題的關(guān)鍵是求

12、出tg +ctg 的值解 由已知條件可得所以(1) 當(dāng) sin =cos 時， tg =ctg =1，所求方程為x2-2x+1=0，所求方程為即4x2-9x+4=0說明 這是一道一元二次方程與三角函數(shù)相結(jié)合的綜合題，應(yīng)注意運用分析法、綜合法，尋求解題途徑例 5 設(shè) x2+y2=1，且 x-1， y -2，求證：優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載分析 本題如果直接用代數(shù)方法，通過代數(shù)式的運算證明等式成立，比較復(fù)雜根據(jù)已知條件 x2+y2=1，聯(lián)想到 sin 2 +cos2 =1，因此可設(shè) x=sin ，y=cos，則將代數(shù)式轉(zhuǎn)化為三角式，利用三角函數(shù)有關(guān)公式進行變證 設(shè) x=sin ，y=cos，則說明 在一些代數(shù)等式的證明中，如果已知條件x2+y2=1 或 x2+y2=a(a 0) ，則可設(shè)從而將代數(shù)式轉(zhuǎn)化為三角等式的證明問題， 我們稱這種轉(zhuǎn)化為三角代換法由于三角函數(shù)的公式較多， 因此化為三角式后， 運算化簡常比較方便練習(xí)十一優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載3求值： sin 6+cos6+3sin 2· cos2+44求證：(