高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)班常微分方程匯總

1、201 1 年高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)常微分方程精品資料第六章常微分方程常微分方程是高等數(shù)學(xué)中理論性和應(yīng)用性都較強(qiáng)的一部分，是描述客觀規(guī) 律的一種重要方法，是處理物理、力學(xué)、幾何等應(yīng)用問(wèn)題的一個(gè)重要工具，微 分和積分的知識(shí)是研究微分方程的基礎(chǔ)。微分方程作為考試的重點(diǎn)內(nèi)容，每年 研究生考試均會(huì)考到。特別是微分方程的應(yīng)用問(wèn)題，既是重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，在 復(fù)習(xí)時(shí)必須有所突破?！敬缶V內(nèi)容】常微分方程的基本概念；變量可分離的方程；齊次方程；一階線 性方程；伯努利(Bernoulli )方程；全微分方程；可用簡(jiǎn)單的變量代換求解的 某些微分方程；可降階的高階微分方程；線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定 理；二階常系數(shù)齊次線性

2、微分方程；高于二階的某些常系數(shù)齊次線性微分方 程；簡(jiǎn)單的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程；歐拉(Euler)方程；微分方程的 簡(jiǎn)單應(yīng)用?！敬缶V要求】要理解微分方程的有關(guān)概念，如階、解、通解、特解、定解條件 等，掌握幾類方程的解法：如變量可分離方程，齊次方程，一階線性微分方 程，伯努利方程，可降階方程等。理解線性微分方程解的性質(zhì)和解的結(jié)構(gòu)，掌 握求解常系數(shù)齊次線性方程的方法，掌握求解某些自由項(xiàng)的常系數(shù)非齊次線性 方程的待定系數(shù)法。了解歐拉方程的概念，會(huì)求簡(jiǎn)單的歐拉方程。會(huì)用微分方 程處理物理、力學(xué)、幾何中的簡(jiǎn)單問(wèn)題?！究键c(diǎn)分析】本章包括三個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容：1 .常見(jiàn)的一階、二階微分方程求通解或特解。求解常

3、微分方程重要的是判 斷方程為哪種類型，并記住解法的推導(dǎo)過(guò)程。2 ,微分方程的應(yīng)用問(wèn)題，這是一個(gè)難點(diǎn)，也是重點(diǎn)。利用微分方程解決實(shí) 際問(wèn)題時(shí)，若是幾何問(wèn)題，要根據(jù)問(wèn)題的幾何特性建立微分方程。若是 物理問(wèn)題，要根據(jù)某些物理定律建立微分方程，也有些問(wèn)題要利用微元 法建立微分方程。3 .數(shù)學(xué)三要求掌握一階常系數(shù)線性差分方程的求解方法，了解差分與差分方程及其通解與特解等概念，會(huì)用差分方程求解簡(jiǎn)單的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用問(wèn)題?！究键c(diǎn)一】形如？Skip Record If.?的一階微分方程稱為變量可分離微分方程?？煞蛛x變量的微分方程的解題程序：當(dāng)？Skip Record If.?,然后左、右兩端積分?Skip Recor

4、d If.?上式即為變量可分離微分方程的通解。其中, C為任意常數(shù)，？Skip Record If.?的一個(gè)原函數(shù)，？Skip Record If.?表示函數(shù)?SkipRecord If.?的一個(gè)原函數(shù).【例 11 若連續(xù)函數(shù)?Skip Record If.?滿足關(guān)系式？Skip Record If.?,貝U?SkipRecord If.?等于()(A) ?Skip Record If.? (B) ?Skip Record If.? (C) ?Skip Record If.?(D) ?Skip Record If.?【例2】已知曲線?Skip Record If.?處的切線斜率為?Skip R

5、ecord If.?貝1?Skip Record If.?.【例3】求下列微分方程的解1、?Skip Record If.? 2、?Skip Record If.? 3、?Skip Record If.?【考點(diǎn)二】形如？Skip Record If.?的微分方程稱為齊次方程。其解法是固定的：令？Skip Record If.?,則？Skip Record If.?,代入得?Skip Record If.?.分離變量，得？Skip Record If.?。兩端積分，得？Skip Record If.?,求出積分后，將？Skip Record If.?換成？Skip Record If.?,即得齊

6、次方程的通解【例5】求下列微分方程的通解.1、?Skip Record If.? 2、?Skip Record If.?3、?Skip Record If.?4、?Skip Record If.?【考點(diǎn)三】1.形如?Skip Record If.?的微分方程稱為一階線性非齊次微分方程，其通解公式為：？Skip Record If.?.【評(píng)注】由于一階微分方程的通解只包含一個(gè)任意常數(shù)c,因此通解公式中的積分？Skip Record If.? ?Skip Record If.?,只表示其中一個(gè)任意的原函數(shù)，不含任意常數(shù) c02 .求通解可以套用上述公式，如不套用公式，就用教材中推導(dǎo)公式的方法求解。

7、3 .通解公式的記憶方法：一階線性非齊次微分方程？Skip Record If.?等價(jià)于?Skip Record If.?即？Skip Record If.?兩邊積分得？Skip Record If.?即？Skip Record If.?【例6】設(shè)？Skip Record If.?為連續(xù)函數(shù)，(1)求初值問(wèn)題?Skip Record If.?的解？Skip Record If.?,其中？Skip Record If.?是正常數(shù);(2)若？Skip Record If.? (?Skip Record If.?為常數(shù))。證明：當(dāng)？Skip Record If.?時(shí),有？Skip Record If

8、.?【例7】求下列微分方程的通解.1、?Skip Record If.?, 2、?Skip Record If.? 3、?Skip Record If.?例8 設(shè)F(x)=f(x)g(x),其中函數(shù)f(x),g(x)在?Skip Record If.?內(nèi)滿足以下條件：？Skip Record If.?, ?Skip Record If.?,且 f(0)=0, ?Skip Record If.?(1)求F(x)所滿足的一階微分方程；(2)求出F(x)的表達(dá)式.【例 9設(shè)？Skip Record If.?連續(xù)，求解方程?Skip Record If.?【例10】過(guò)點(diǎn)？Skip Record If.

9、?且滿足關(guān)系式？Skip Record If.?的曲線方程為 ?Skip Record If.?.【例11】求微分方程？Skip Record If.?的一個(gè)解？Skip Record If.?,使得由曲 線？Skip Record If.?與直線？Skip Record If.?及?Skip Record If.?軸所圍成的平 面圖形繞?Skip Record If.?軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)體體積最小?！纠?2】函數(shù)？Skip Record If.?且滿足等式 ?Skip Record If.?(1)求導(dǎo)數(shù)？Skip Record If.?;(2)證明：當(dāng)？Skip Record If.?【考點(diǎn)四

10、】二階常系數(shù)齊次線性微分方程：1 .標(biāo)準(zhǔn)形式：？Skip Record If.? , ?Skip Record If.?均為常數(shù)。2 .通解公式：特征方程為 ？Skip Record If.?;僅供學(xué)習(xí)與交流，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除 謝謝5精品資料若特征方程有互異實(shí)根？Skip Record If.?,則通解為？Skip RecordIf.?；若特征方程有相等實(shí)根？Skip Record If.?,則通解為？SkipRecord If.?；若特征根為共腕復(fù)根？Skip Record If.? (?Skip Record If.?為常數(shù)，?Skip Record If.?),則通解為？Skip

11、Record If.?【例13】求下列微分方程的解1、?Skip Record If.? 2、?Skip Record If.? 3、?Skip Record If.?【例14】設(shè)？Skip Record If.? (?Skip Record If.?為任意常數(shù))為某二階常系 數(shù)線性齊次微分方程的通解，則該方程為 ?！究键c(diǎn)六】二階常系數(shù)非齊次線性微分方程：1 .大綱要求：會(huì)解自由項(xiàng)為多項(xiàng)式，指數(shù)、函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)，以及它們的和與積的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程。2 .二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的一般形式是：？Skip Record If.?,其中?Skip Record If.?為常

12、數(shù)，若特解為？Skip Record If.?,對(duì)應(yīng)的齊次微分方程？Skip Record If.?的通解為?Skip Record If.?,則原方程的通解為?Skip Record If.?。3 .求二階線性常系數(shù)非齊次微分方程的待定系數(shù)法：設(shè)？Skip Record If.?,其中？Skip Record If.?是？Skip Record If.?次多 項(xiàng)式，設(shè)特解?Skip Record If.?,其中？Skip Record If.? 也是？Skip RecordIf.?次多項(xiàng)式，當(dāng)？Skip Record If.?不是？Skip Record If.?的單特征根時(shí)，？Skip R

13、ecord If.?；當(dāng)？Skip Record If.?是？Skip Record If.?的 重特征根時(shí)，？Skip Record If.?,再設(shè)？Skip Record If.?,將？SkipRecord If.?代入微分方程？Skip Record If.?,兩端比較？Skip RecordIf.?同次幕系數(shù)，就可求出符定系數(shù)？Skip Record If.?。設(shè)？Skip Record If.?其特解為?Skip Record If.? 其中？Skip Record If.?,而？Skip RecordIf.? 按？Skip Record If.? (或？Skip Record If

14、.?)不是特征方程的根據(jù)或是特征方程的單根依次取0或1。4 .求二階線性常系數(shù)非齊次微分方程的常數(shù)變易法：設(shè)？Skip Record If.?,且對(duì)應(yīng)齊欠微分方程?Skip Record If.?的通解為?Skip Record If.?,其中?Skip RecordIf.?為任意常數(shù)。將?Skip Record If.?換成函數(shù)，？Skip Record If.?保持不變，即令？SkipRecord If.?是？Skip Record If.?的通解，其中？Skip Record If.?是待定系數(shù)。函數(shù)？Skip Record If.? 的求法如下：先求方程組?Skip Record If.?解出？Skip Record If.?與？Skip Record If.?,再積分就可得出?SkipRecord If.?與?Skip Record If.?代入得?Skip Record If.?就是原方程的通解?！纠?5】求下列微分方程的通解1、?Skip Record If.? 2、?Skip Record If.? 3、?Skip Record If.?【例 16】設(shè)？Skip Record If.?在？Skip Record If.?上連續(xù)，且?Skip RecordIf.?,求？Ski