隨機(jī)變量分布列

1、第41練隨機(jī)變量及其分布列題型一離散型隨機(jī)變量的期望例12014年男足世界杯在巴西舉行，為了爭(zhēng)奪最后一個(gè)小組賽參賽名額，甲、乙、丙三支國家隊(duì)要進(jìn)行比賽，根據(jù)規(guī)則：每支隊(duì)伍比賽兩場(chǎng)，共賽三場(chǎng)，每場(chǎng)比賽勝者得3分，負(fù)者得0分，沒有平局，獲得第一名的隊(duì)伍將奪得這個(gè)參賽名額已知乙隊(duì)勝丙隊(duì)的概率為，甲隊(duì)獲得第一名的概率為，乙隊(duì)獲得第一名的概率為.(1)求甲隊(duì)分別戰(zhàn)勝乙隊(duì)和丙隊(duì)的概率P1，P2；(2)設(shè)在該次比賽中，甲隊(duì)得分為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望破題切入點(diǎn)(1)利用相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式，結(jié)合甲隊(duì)獲得第一名與乙隊(duì)獲得第一名的條件列出方程，從而求出P1，P2；(2)先根據(jù)比賽得分的規(guī)則確定甲隊(duì)得分

2、的可能取值，然后利用相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式分別求解對(duì)應(yīng)的概率值，列出分布列求其期望解(1)根據(jù)題意，甲隊(duì)獲得第一名，則甲隊(duì)勝乙隊(duì)且甲隊(duì)勝丙隊(duì)，所以甲隊(duì)獲第一名的概率為P1×P2.乙隊(duì)獲得第一名，則乙隊(duì)勝甲隊(duì)且乙隊(duì)勝丙隊(duì)，所以乙隊(duì)獲第一名的概率為(1P1)×.解，得P1，代入，得P2，所以甲隊(duì)?wèi)?zhàn)勝乙隊(duì)的概率為，甲隊(duì)?wèi)?zhàn)勝丙隊(duì)的概率為.(2)可能取的值為0,3,6，當(dāng)0時(shí)，甲隊(duì)兩場(chǎng)比賽皆輸，其概率為P(0)(1)×(1)；當(dāng)3時(shí)，甲隊(duì)兩場(chǎng)只勝一場(chǎng)，其概率為P(3)×(1)×(1)；當(dāng)6時(shí)，甲隊(duì)兩場(chǎng)皆勝，其概率為P(6)×.所以的分布列為

3、036P所以E()0×3×6×.題型二相互獨(dú)立事件的概率例2紅隊(duì)隊(duì)員甲、乙、丙與藍(lán)隊(duì)隊(duì)員A、B、C進(jìn)行圍棋比賽，甲對(duì)A、乙對(duì)B、丙對(duì)C各一盤已知甲勝A、乙勝B、丙勝C的概率分別為0.6、0.5、0.5.假設(shè)各盤比賽結(jié)果相互獨(dú)立(1)求紅隊(duì)至少兩名隊(duì)員獲勝的概率；(2)用表示紅隊(duì)隊(duì)員獲勝的總盤數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望E()破題切入點(diǎn)設(shè)“甲勝A”為事件D，“乙勝B”為事件E，“丙勝C”為事件F，則第(1)問就是求事件DEDFEFDEF的概率，根據(jù)互斥事件的概率加法公式和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式進(jìn)行計(jì)算第(2)問中的可取0,1,2,3，分別對(duì)應(yīng)事件 ， FED ，DE

4、DFEF，DEF，求出其概率就得到了的分布列，然后按照數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式求數(shù)學(xué)期望解(1)設(shè)“甲勝A”為事件D，“乙勝B”為事件E，“丙勝C”為事件F，則，分別表示甲不勝A、乙不勝B、丙不勝C的事件因?yàn)镻(D)0.6，P(E)0.5，P(F)0.5，由對(duì)立事件的概率公式，知P()0.4，P()0.5，P()0.5.紅隊(duì)至少兩人獲勝的事件有DE，DF，EF，DEF.由于以上四個(gè)事件兩兩互斥且各盤比賽的結(jié)果相互獨(dú)立，因此紅隊(duì)至少兩人獲勝的概率為PP(DE)P(DF)P(EF)P(DEF)0.6×0.5×0.50.6×0.5×0.50.4×0.5&#

5、215;0.50.6×0.5×0.50.55.(2)由題意，知的可能取值為0,1,2,3.因此P(0)P( )0.4×0.5×0.50.1，P(1)P( F)P(E)P(D )0.4×0.5×0.50.4×0.5×0.50.6×0.5×0.50.35，P(3)P(DEF)0.6×0.5×0.50.15.由對(duì)立事件的概率公式，得P(2)1P(0)P(1)P(3)0.4.所以的分布列為0123P0.10.350.40.15因此E()0×0.11×0.352&#

6、215;0.43×0.151.6.題型三二項(xiàng)分布問題例3(2013·山東)甲、乙兩支排球隊(duì)進(jìn)行比賽，約定先勝3局者獲得比賽的勝利，比賽隨即結(jié)束除第五局甲隊(duì)獲勝的概率是外，其余每局比賽甲隊(duì)獲勝的概率都是.假設(shè)各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立(1)分別求甲隊(duì)以30,31,32勝利的概率；(2)若比賽結(jié)果為30或31，則勝利方得3分，對(duì)方得0分；若比賽結(jié)果為32，則勝利方得2分，對(duì)方得1分求乙隊(duì)得分X的分布列及數(shù)學(xué)期望破題切入點(diǎn)理解相互獨(dú)立事件、二項(xiàng)分布的概念，掌握離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望的計(jì)算解(1)記“甲隊(duì)以30勝利”為事件A1，“甲隊(duì)以31勝利”為事件A2，“甲隊(duì)以32勝利”為

7、事件A3，由題意，知各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，故P(A1)()3，P(A2)C()2(1)×，P(A3)C()2(1)2×.所以甲隊(duì)以30勝利、31勝利的概率都為，以32勝利的概率為.(2)設(shè)“乙隊(duì)以32勝利”為事件A4，由題意，知各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，所以P(A4)C(1)2()2×(1).由題意，知隨機(jī)變量X的所有可能的取值為0,1,2,3，根據(jù)事件的互斥性，得P(X0)P(A1A2)P(A1)P(A2)，又P(X1)P(A3)，P(X2)P(A4)，P(X3)1P(X0)P(X1)P(X2)，故X的分布列為X0123P所以E(X)0×1×2&

8、#215;3×.總結(jié)提高(1)離散型隨機(jī)變量的期望的求解，一般分兩步：一是定型，即先判斷隨機(jī)變量的分布是特殊類型，還是一般類型，如兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布、超幾何分布等屬于特殊類型；二是定性，對(duì)于特殊類型的期望可以直接代入相應(yīng)公式求解，而對(duì)于一般類型的隨機(jī)變量，應(yīng)先求其分布列然后代入相應(yīng)公式計(jì)算，注意離散型隨機(jī)變量的取值與概率間的對(duì)應(yīng)(2)兩個(gè)事件相互獨(dú)立是指一個(gè)事件的發(fā)生與否對(duì)另一個(gè)事件的發(fā)生與否沒有關(guān)系，在一些問題中我們可以根據(jù)問題的實(shí)際意義來判斷兩個(gè)事件是否相互獨(dú)立(3)對(duì)于能夠判斷為服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量，可直接代入公式1從個(gè)位數(shù)與十位數(shù)之和為奇數(shù)的兩位數(shù)中任取一個(gè)，其個(gè)位數(shù)為0的

9、概率是()A. B. C. D.答案D解析個(gè)位數(shù)與十位數(shù)之和為奇數(shù)，則個(gè)位數(shù)與十位數(shù)中必有一個(gè)奇數(shù)一個(gè)偶數(shù)，所以可以分兩類(1)當(dāng)個(gè)位為奇數(shù)時(shí)，有5×420(個(gè))符合條件的兩位數(shù)(2)當(dāng)個(gè)位為偶數(shù)時(shí)，有5×525(個(gè))符合條件的兩位數(shù)因此共有202545(個(gè))符合條件的兩位數(shù)，其中個(gè)位數(shù)為0的兩位數(shù)有5個(gè)，所以所求概率為P.2(2013·廣東)已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為X123P則X的數(shù)學(xué)期望E(X)等于()A. B2 C. D3答案A解析E(X)1×2×3×.3(2014·綿陽模擬)甲射擊命中目標(biāo)的概率是，乙命中目標(biāo)的

10、概率是，丙命中目標(biāo)的概率是.現(xiàn)在三人同時(shí)射擊目標(biāo)，則目標(biāo)被擊中的概率為()A. B. C. D.答案A解析設(shè)甲命中目標(biāo)為事件A，乙命中目標(biāo)為事件B，丙命中目標(biāo)為事件C，則目標(biāo)被擊中的事件可以表示為ABC，即擊中目標(biāo)表示事件A、B、C中至少有一個(gè)發(fā)生P(··)P()·P()·P()1P(A)·1P(B)·1P(C).故目標(biāo)被擊中的概率為1P(··)1.4一個(gè)籃球運(yùn)動(dòng)員投籃一次得3分的概率為a，得2分的概率為b，不得分的概率為c(a，b，c(0,1)，已知他投籃一次得分的數(shù)學(xué)期望為1(不計(jì)其他得分的情況)，則ab的最大

11、值為()A. B.C. D.答案B解析由已知得3a2b0×c1，即3a2b1，ab·3a·2b2×2，當(dāng)且僅當(dāng)3a2b時(shí)取等號(hào)，即ab的最大值為.5盒子中裝有形狀、大小完全相同的3個(gè)紅球和2個(gè)白球，從中隨機(jī)取出一個(gè)記下顏色后放回，當(dāng)紅球取到2次時(shí)停止取球那么取球次數(shù)恰為3次的概率是()A. B.C. D.答案B解析從5個(gè)球中隨機(jī)取出一個(gè)球放回，連續(xù)取3次的所有取法有5×5×5125種，有兩次取紅球的所有取法有3A·A36種所以概率為.6隨機(jī)變量X的分布列如下：X101Pabc其中a，b，c成等差數(shù)列，則P(|X|1)等于()

12、A. B. C. D.答案D解析a，b，c成等差數(shù)列，2bac.又abc1，b，P(|X|1)ac.7將一枚均勻的硬幣拋擲6次，則正面出現(xiàn)的次數(shù)比反面出現(xiàn)的次數(shù)多的概率為_答案解析正面出現(xiàn)的次數(shù)比反面出現(xiàn)的次數(shù)多，則正面可以出現(xiàn)4次，5次或6次，所求概率PC6C6C6.8某次知識(shí)競(jìng)賽規(guī)則如下：在主辦方預(yù)設(shè)的5個(gè)問題中，選手若能連續(xù)正確回答出兩個(gè)問題，即停止答題，晉級(jí)下一輪假設(shè)某選手正確回答每個(gè)問題的概率都是0.8，且每個(gè)問題的回答結(jié)果相互獨(dú)立，則該選手恰好回答了4個(gè)問題就晉級(jí)下一輪的概率為_答案0.128解析由題設(shè)，分兩類情況：第1個(gè)正確，第2個(gè)錯(cuò)誤，第3、4個(gè)正確，由乘法公式得P10.8&#

13、215;0.2×0.8×0.80.102 4；第1、2個(gè)錯(cuò)誤，第3、4個(gè)正確，此時(shí)概率P20.2×0.2×0.8×0.80.025 6.由互斥事件概率公式得PP1P20.102 40.025 60.128.9小王參加了2014年春季招聘會(huì)，分別向A，B兩個(gè)公司投遞個(gè)人簡(jiǎn)歷假定小王得到A公司面試的概率為，得到B公司面試的概率為p，且兩個(gè)公司是否讓其面試是獨(dú)立的記為小王得到面試的公司個(gè)數(shù)若0時(shí)的概率P(0)，則隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望E()_.答案解析由題意，得P(2)p，P(1)(1p)p，的分布列為012Pp由p1，得p.所以E()0×1&

14、#215;2×p.10(2014·成都模擬)某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種芯片，其質(zhì)量按測(cè)試指標(biāo)劃分為：指標(biāo)大于或等于82為合格品，小于82為次品現(xiàn)隨機(jī)抽取這兩種芯片各100件進(jìn)行檢測(cè)，檢測(cè)結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下：測(cè)試指標(biāo)70,76)76,82)82,88)88,94)94,100)芯片甲81240328芯片乙71840296(1)試分別估計(jì)芯片甲，芯片乙為合格品的概率；(2)生產(chǎn)一件芯片甲，若是合格品可盈利40元，若是次品則虧損5元；生產(chǎn)一件芯片乙，若是合格品可盈利50元，若是次品則虧損10元在(1)的前提下，記X為生產(chǎn)1件芯片甲和1件芯片乙所得的總利潤，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；求生

15、產(chǎn)5件芯片乙所獲得的利潤不少于140元的概率解(1)芯片甲為合格品的概率約為，芯片乙為合格品的概率約為.(2)隨機(jī)變量X的所有可能取值為90,45,30，15.P(X90)×，P(X45)×，P(X30)×，P(X15)×，所以，隨機(jī)變量X的分布列為X90453015P隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)90×45×30×15×66.設(shè)生產(chǎn)的5件芯片乙中合格品有n件，則次品有(5n)件依題意，得50n10(5n)140，解得n.所以n4或n5.設(shè)“生產(chǎn)5件芯片乙所獲得的利潤不少于140元”為事件A，則P(A)C()4

16、15;()5.11在體育課上，甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)行籃球投籃練習(xí)，甲、乙、丙投中的概率分別為p1，p2，且p1p21，現(xiàn)各自投籃一次，三人投籃相互獨(dú)立(1)求三人都沒有投進(jìn)的概率的最大值，并求此時(shí)甲、乙投籃命中的概率；(2)在(1)的條件下，求三人投中次數(shù)之和X的分布列和數(shù)學(xué)期望解(1)記甲、乙、丙投籃一次命中分別為事件A，B，C，則P(A)p1，P(B)p2，P(C).各自投籃一次都沒有投進(jìn)為事件D，則D ，故P(D)P( )P()P()P()1P(A)1P(B)1P(C)(1p1)(1p2)()2，當(dāng)且僅當(dāng)p1p2時(shí)等號(hào)成立即各自投籃一次三人都沒有投進(jìn)的概率的最大值是，此時(shí)甲、乙投籃命中的

17、概率都是.(2)X0,1,2,3.根據(jù)(1)知P(X0)；P(X1)P(A B C)××××××；P(X2)P(ABACBC)××××××；P(X3)P(ABC)××.所以X的分布列為X0123PX的數(shù)學(xué)期望E(X)0×1×2×3×.12(2013·重慶)某商場(chǎng)舉行的“三色球”購物摸獎(jiǎng)活動(dòng)規(guī)定：在一次摸獎(jiǎng)中，摸獎(jiǎng)?wù)呦葟难b有3個(gè)紅球與4個(gè)白球的袋中任意摸出3個(gè)球，再從裝有1個(gè)藍(lán)球與2個(gè)白球的袋中任意摸出1個(gè)球，根據(jù)摸出4個(gè)球中紅球與藍(lán)球的個(gè)數(shù)，設(shè)一、二、三等獎(jiǎng)如下：獎(jiǎng)級(jí)摸出紅、藍(lán)球個(gè)數(shù)獲獎(jiǎng)金額一等獎(jiǎng)3紅1藍(lán)200元二等獎(jiǎng)3紅0藍(lán)50元三等獎(jiǎng)2紅1藍(lán)10元其余情況無獎(jiǎng)且每次摸獎(jiǎng)最多只能獲得一個(gè)獎(jiǎng)級(jí)(1)求一次摸獎(jiǎng)恰好摸到1個(gè)紅球的概率；(2)求摸獎(jiǎng)?wù)咴谝淮蚊?jiǎng)中獲