高中數學新人教A版必修5習題 3.4 基本不等式

1、人教版高中數學必修精品教學資料基本不等式a組基礎鞏固1若x>0,y>0,且1,則xy有()a最大值64 b最小值c最小值 d最小值64解析：xyxy2y8x28,8,即xy64,當且僅當即時等號成立答案：d2已知x>0,y>0,x2y2xy8,則x2y的最小值是()a3 b4c. d.解析：x2y2xy8,y>0,1<x<8,x2yx2·(x1)2224,當且僅當x1時“”成立,此時x2,y1.答案：b3若a>0,b>0,且ln(ab)0,則的最小值是()a. b1c4 d8解析：由a>0,b>0,ln(ab)0,得2

2、224,當且僅當ab時,取等號答案：c4已知x3y20,則3x27y1的最小值是()a3 b12c6 d7解析：3x27y13x33y1212×317,當且僅當3x33y且x3y20,即x1,y時,等號成立,所求最小值為7.答案：d5設m是abc內一點,且abc的面積為1,定義f(m)(m,n,p),其中m、n、p分別是mbc,mca,mab的面積,若f(m),則的最小值是()a8 b9c16 d18解析：abc的面積為mbc,mca,mab的面積之和,xy1,即xy,(2x2y)1018.當且僅當x,y時等號成立答案：d6設a>b>c>0,則2a210ac25c2

3、的最小值是()a2 b4c2 d5解析：a>b>c>0,原式a210ac25c2a2a2abab(a5c)22204,當且僅當a(ab)1,ab1,a5c0時取等號即當a,b,c時,所求式的最小值為4.答案：b7函數ya1x(a>0,a1)的圖象恒過定點a,若點a在直線mxny10(mn>0)上,則的最小值為_解析：函數ya(1x)(a>0,a1)的圖象恒過定點a(1,1),因為點a在直線mxny1上,所以mn1.又因為mn>0,所以·1(mn)2224.當且僅當mn時,取等號答案：48若對任意的x>0,a恒成立,則a的取值范圍是_解析

4、：根據題意,令f(x),x>0,x2,f(x),當且僅當x1時,取得最大值.若使不等式恒成立,只需a即可答案：a9已知a>0,b>0,ab1,求證：9.證明：方法一：因為a>0,b>0,ab1,所以112.同理12,故52549.所以9.方法二：111,因為a,b為正數,ab1,所以ab2,于是4,8,因此18910已知函數y(x>2)(1)求的取值范圍(2)當x為何值時,y取何最大值？解：(1)設x2t,xt2,t>0(x>2),則t323,的取值范圍為(2)欲使y最大,必有最小,此時t,t,x2,y,當x2時,y最大,最大值為.b組能力提升1

5、1在abc中,角a,b,c所對邊的長分別為a,b,c,若a2b22c2,則cosc的最小值為()a. b.c. d解析：由余弦定理得a2b2c22abcosc.又c2(a2b2),所以2abcosc(a2b2),即cosc,所以選c.答案：c12設ab2,b>0,則當a_時,取得最小值解析：ab2,則t.當a>0時,即a(0,2)時,t21,當且僅當,即b2a時等號成立又ab2,此時a.當a<0時,t21,當且僅當,即b2a時等號成立又ab2,此時a2.綜上所述,當a2時,取得最小值為.答案：213如圖,已知小矩形花壇abcd,ab3 m,ad2 m,現要將小矩形花壇建成大矩

6、形花壇ampn,使點b在am上,點d在an上,且對角線mn過點c.(1)要使矩形ampn的面積大于32 m2,an的長應在什么范圍內？(2)m,n是否存在這樣的位置,使矩形ampn的面積最??？若存在,求出這個最小面積及相應的am,an的長度；若不存在,說明理由解：(1)設amx,any(x>3,y>2),矩形ampn的面積為s,則sxy.ndcnam,x,s(y>2)由>32,得2<y<,或y>8.an的長度應在或(8,)內(2)當y>2時,s33×(44)24,當且僅當y2,即y4時,等號成立,解得x6.存在m,n點,當am6,an4時,smin24.14記f(x,y)xya(x2),x、y(0,)若對