數(shù)字信號(hào)處理實(shí)驗(yàn)三 ——用雙線性變換法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器

1、n 為了克服沖激響應(yīng)不變法產(chǎn)生的頻率混疊現(xiàn)象，這是從為了克服沖激響應(yīng)不變法產(chǎn)生的頻率混疊現(xiàn)象，這是從s平面到平面到z平面的標(biāo)準(zhǔn)變換平面的標(biāo)準(zhǔn)變換zest的多值對(duì)應(yīng)關(guān)系導(dǎo)致的，為了的多值對(duì)應(yīng)關(guān)系導(dǎo)致的，為了克服這一缺點(diǎn)，產(chǎn)生了雙線性變換法?？朔@一缺點(diǎn)，產(chǎn)生了雙線性變換法。 雙線性變換法的映射函數(shù)：雙線性變換法的映射函數(shù)：1112 12112tszszttzs分式展開(kāi)分式展開(kāi)1022ttszsz 固定其中一個(gè)變量，則另一個(gè)是線性的?；蛘哒f(shuō)，這種變固定其中一個(gè)變量，則另一個(gè)是線性的?；蛘哒f(shuō)，這種變換對(duì)于換對(duì)于s和和z是雙線性的。是雙線性的。n（1）把）把s=+j帶入上式得帶入上式得： 因此：因此：

2、 （2）整個(gè)左半平面映射成單）整個(gè)左半平面映射成單位圓的內(nèi)部，因此這是一個(gè)位圓的內(nèi)部，因此這是一個(gè)穩(wěn)定的變換。穩(wěn)定的變換。（3）虛軸以一一對(duì)應(yīng)的方式）虛軸以一一對(duì)應(yīng)的方式映射成單位圓，因此在頻域映射成單位圓，因此在頻域中不會(huì)出現(xiàn)混疊。中不會(huì)出現(xiàn)混疊。 112222ttttzjj 1220112212011212201122ttjzttjtjztjttjzttj 12012jtjetj z由于幅度為由于幅度為1，把，把看做看做的函數(shù)求解，得到：的函數(shù)求解，得到： 12222tantantt 這說(shuō)明這說(shuō)明和和的關(guān)系是非線性的，但是沒(méi)出現(xiàn)混疊。在把的關(guān)系是非線性的，但是沒(méi)出現(xiàn)混疊。在把變換為變換為時(shí)

3、產(chǎn)生了非線性畸變。為了克服它帶來(lái)的問(wèn)題，通常要使時(shí)產(chǎn)生了非線性畸變。為了克服它帶來(lái)的問(wèn)題，通常要使按上式預(yù)按上式預(yù)修正，以抵消畸變的影響。修正，以抵消畸變的影響。（4）根據(jù)上述變換關(guān)系，可以寫(xiě)出：）根據(jù)上述變換關(guān)系，可以寫(xiě)出： 11211azstzh zhs上式就是模擬濾波器和經(jīng)采樣后的數(shù)字濾波器之間的變換關(guān)系。上式就是模擬濾波器和經(jīng)采樣后的數(shù)字濾波器之間的變換關(guān)系。 iir數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)流程圖數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)流程圖求最小階數(shù)求最小階數(shù)n，cbuttord,cheblordcheb2ord,ellipord合為一步的設(shè)計(jì)函數(shù)合為一步的設(shè)計(jì)函數(shù)butter，cheb1，cheb2，ellip，be

4、sself模擬低通濾波器原型設(shè)計(jì)buttap,cheb1ap,cheb2ap,besselap,ellipap函數(shù)頻率變換（變?yōu)楦咄?、頻率變換（變?yōu)楦咄?、帶通、帶阻等）帶通、帶阻等）lp2lp,lp2hp,lp2bp,lp2bs模擬數(shù)字變換模擬數(shù)字變換bilinear，impinvar濾波器濾波器系數(shù)系數(shù)b，a濾波器系數(shù)濾波器系數(shù)b，a典型設(shè)計(jì)典型設(shè)計(jì)直接設(shè)計(jì)直接設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)指標(biāo)設(shè)計(jì)指標(biāo)iiriir數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)流程數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)流程n設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)iir數(shù)字濾波器的一般步驟：數(shù)字濾波器的一般步驟：把給出的數(shù)字濾波器的性能指標(biāo)轉(zhuǎn)換為模擬濾波器的把給出的數(shù)字濾波器的性能指標(biāo)轉(zhuǎn)換為模擬濾波器的性能指標(biāo)性能指

5、標(biāo)根據(jù)轉(zhuǎn)換后的性能指標(biāo)，通過(guò)濾波器階數(shù)選擇函數(shù)，根據(jù)轉(zhuǎn)換后的性能指標(biāo)，通過(guò)濾波器階數(shù)選擇函數(shù)，來(lái)確定濾波器的最小階數(shù)來(lái)確定濾波器的最小階數(shù)n和固有頻率和固有頻率wn由最小階數(shù)由最小階數(shù)n得到低通濾波器原型得到低通濾波器原型由固有頻率由固有頻率wn把模擬低通濾波器原型轉(zhuǎn)換為低通、高把模擬低通濾波器原型轉(zhuǎn)換為低通、高通、帶通、帶阻濾波器通、帶通、帶阻濾波器運(yùn)用脈沖響應(yīng)不變法或雙線性變換法把模擬濾波器轉(zhuǎn)運(yùn)用脈沖響應(yīng)不變法或雙線性變換法把模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器換成數(shù)字濾波器n低通濾波器，采樣頻率為低通濾波器，采樣頻率為1000hz，通帶臨界頻率，通帶臨界頻率fl =200hz，通帶內(nèi)衰減小于，通帶

6、內(nèi)衰減小于1db（p=1）；阻帶臨界頻率）；阻帶臨界頻率fh=300hz，阻帶內(nèi)衰減大于，阻帶內(nèi)衰減大于25db（s=25）。設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字）。設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字濾波器滿足以上參數(shù)。濾波器滿足以上參數(shù)。nfs=1000;nfl=200;fh=300; %通帶、阻帶截止頻率通帶、阻帶截止頻率nrp=1;rs=25;nwp=fl*2*pi; %臨界頻率采用角頻率表示臨界頻率采用角頻率表示nws=fh*2*pi; %臨界頻率采用角頻率表示臨界頻率采用角頻率表示nwp1=wp/fs; %求數(shù)字頻率求數(shù)字頻率nws1=ws/fs; %求數(shù)字頻率求數(shù)字頻率nomegap=2*fs*tan(wp1/2);%頻率預(yù)畸

7、頻率預(yù)畸nomegas=2*fs*tan(ws1/2);%頻率預(yù)畸頻率預(yù)畸 n%選擇濾波器的最小階數(shù)選擇濾波器的最小階數(shù)nn,wn=buttord(omegap,omegas,rp,rs,s); %此處是代入經(jīng)預(yù)畸變后獲得的歸一化模擬此處是代入經(jīng)預(yù)畸變后獲得的歸一化模擬頻率參數(shù)頻率參數(shù)nbt,at=butter(n,wn,s); % 設(shè)計(jì)一個(gè)設(shè)計(jì)一個(gè)n階的巴特沃思模擬濾波器階的巴特沃思模擬濾波器nbz,az=bilinear(bt,at,fs); %雙線性變換為數(shù)字濾波器雙線性變換為數(shù)字濾波器nh,w = freqz(bz,az); %求解數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)求解數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)nplot

8、(w*fs/(2*pi),abs(h);grid; nxlabel(頻率頻率/hz);ylabel(幅值幅值);z,p,k=buttap(n);b,a = zp2tf(z,p,k); % 零極點(diǎn)增益模型到傳遞零極點(diǎn)增益模型到傳遞函數(shù)模型的轉(zhuǎn)換函數(shù)模型的轉(zhuǎn)換bt,at = lp2lp(b,a,wn); % 低通到低通的轉(zhuǎn)變低通到低通的轉(zhuǎn)變22 tant 示例結(jié)果示例結(jié)果010020030040050000.10.20.30.40.50.60.70.80.91頻率/hz幅值設(shè)計(jì)示例設(shè)計(jì)示例n設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字信號(hào)處理系統(tǒng)，它的采樣率為設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字信號(hào)處理系統(tǒng)，它的采樣率為fs=100hz，希望在該系統(tǒng)中

9、設(shè)計(jì)一個(gè)，希望在該系統(tǒng)中設(shè)計(jì)一個(gè)butterworth型高通數(shù)字濾波器，使其通帶中允許的最大衰減為型高通數(shù)字濾波器，使其通帶中允許的最大衰減為0.5db，阻帶內(nèi)的，阻帶內(nèi)的最小衰減為最小衰減為40db，通帶上限臨界頻率為，通帶上限臨界頻率為40hz，阻帶下限臨界頻率為，阻帶下限臨界頻率為30hz。matlab源程序設(shè)計(jì)如下：源程序設(shè)計(jì)如下：fp=40;fs=30;ft=100;rp=0.5;rs=40;wp=fp/(ft/2);ws=fs/(ft/2); %利用利用nyquist頻率進(jìn)行歸一化頻率進(jìn)行歸一化n,wc=buttord(wp,ws,rp,rs); %求數(shù)字濾波器的最小階數(shù)和截止頻率

10、求數(shù)字濾波器的最小階數(shù)和截止頻率b,a=butter(n,wc, high); %設(shè)計(jì)高通數(shù)字濾波器系數(shù)設(shè)計(jì)高通數(shù)字濾波器系數(shù)b，ah,w=freqz(b,a,256); %繪出頻率響應(yīng)曲線繪出頻率響應(yīng)曲線plot(w*ft/(2*pi),abs(h);grid; xlabel(頻率頻率/hz);ylabel(幅值幅值);函數(shù)說(shuō)明函數(shù)說(shuō)明n n,wcn,wc=buttord(wp,ws,rp,rsbuttord(wp,ws,rp,rs););設(shè)計(jì)任意選頻的巴特沃斯濾波器設(shè)計(jì)任意選頻的巴特沃斯濾波器 對(duì)于低通濾波器，對(duì)于低通濾波器，wpws; 對(duì)于帶通濾波器，對(duì)于帶通濾波器，wp和和ws分別為具

11、有兩個(gè)元素的矢量分別為具有兩個(gè)元素的矢量wp=wp1, wp2和和ws=ws1, ws2，并且，并且ws1wp1 wp2ws2; 對(duì)于帶阻濾波器，對(duì)于帶阻濾波器，wp和和ws分別為具有兩個(gè)元素的矢量，分別為具有兩個(gè)元素的矢量，wp=wp1, wp2和和ws=ws1, ws2，并且，并且wp1ws1 ws2wp2;n b,ab,a=butter(n,wc, high)=butter(n,wc, high)：設(shè)計(jì)：設(shè)計(jì)n n階高通濾波器，階高通濾波器，wcwc為它的為它的3db3db邊緣頻率，以邊緣頻率，以為單位。為單位。n b,ab,a=butter(n,wcbutter(n,wc) )：當(dāng)：當(dāng)

12、wcwc為具有兩個(gè)元素的矢量為具有兩個(gè)元素的矢量wcwc=w1, w2=w1, w2時(shí)，時(shí)，它設(shè)計(jì)它設(shè)計(jì)2n2n階帶通濾波器，階帶通濾波器，3db3db通帶為通帶為w1 ww2 w1 ww2 ，以，以為單位。為單位。n b,ab,a=butter(n,wcbutter(n,wc, high), high)：若：若wcwc=w1, w2=w1, w2時(shí)，它設(shè)計(jì)時(shí)，它設(shè)計(jì)2n2n階帶階帶阻濾波器，阻濾波器，3db3db通帶為通帶為w1 ww2 w1 ww2 ，以，以為單位。為單位。示例結(jié)果示例結(jié)果設(shè)計(jì)示例設(shè)計(jì)示例n設(shè)計(jì)一個(gè)設(shè)計(jì)一個(gè)cb-型帶通型帶通df，滿足：通帶邊界頻率為，滿足：通帶邊界頻率為8

13、00hz1800hz，通帶衰，通帶衰耗小于耗小于3db，過(guò)渡帶寬，過(guò)渡帶寬30hz，阻帶衰耗大于，阻帶衰耗大于15db，取樣頻率，取樣頻率fs=5000hz。matlab源程序設(shè)計(jì)如下：源程序設(shè)計(jì)如下：fp=800,1800;fs=770,1830;ft=5000;rp=3;rs=15;wp=fp/(ft/2);ws=fs/(ft/2);n,wn=cheb2ord(wp,ws,rp,rs);b,a=cheby2(n,rs,wn);h,w = freqz(b,a);plot(w*ft/(2*pi),abs(h);grid; xlabel(頻率頻率/hz);ylabel(幅值幅值);示例結(jié)果示例結(jié)

14、果iiriir數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)函數(shù)數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)函數(shù)注意：在直接設(shè)計(jì)注意：在直接設(shè)計(jì)iir數(shù)字濾波器的函數(shù)中，采用的是雙線性變換函數(shù)數(shù)字濾波器的函數(shù)中，采用的是雙線性變換函數(shù)bilinear，如果要用沖激響應(yīng)不變法就得分步進(jìn)行，即采用典型設(shè)計(jì)法。上，如果要用沖激響應(yīng)不變法就得分步進(jìn)行，即采用典型設(shè)計(jì)法。上表中的表中的butter函數(shù)、函數(shù)、 cheby1函數(shù)、函數(shù)、 cheby2函數(shù)和函數(shù)和 ellip函數(shù)，不僅可以設(shè)函數(shù)，不僅可以設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器，而且還可以設(shè)計(jì)模擬濾波器。但設(shè)計(jì)模擬濾波器時(shí)，截止頻率計(jì)數(shù)字濾波器，而且還可以設(shè)計(jì)模擬濾波器。但設(shè)計(jì)模擬濾波器時(shí)，截止頻率的單位為弧度的單位為弧度/秒

15、，它可以大于秒，它可以大于1.0。1)模擬濾波器的設(shè)計(jì)函數(shù)模擬濾波器的設(shè)計(jì)函數(shù)設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)bessel模擬低通濾波器模擬低通濾波器z,p,k=besselap(n) %設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)bessel模擬低通濾波器模擬低通濾波器設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)butterworth模擬低通濾波器模擬低通濾波器z,p,k=buttap(n) %設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)butterworth模擬低通濾波器模擬低通濾波器設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)chebyshevi型模擬低通濾波器型模擬低通濾波器z,p,k=cheb1ap(n,rp) %設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)chebyshevi型模擬低通濾波器型模擬低通濾波器%rp：通帶內(nèi)的波紋系數(shù)，單位分貝：通帶內(nèi)的波紋系數(shù)，單位分貝設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)che

16、byshevii型模擬低通濾波器型模擬低通濾波器z,p,k=cheb2ap(n,rs) %設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)chebyshevii型模擬低通濾波器型模擬低通濾波器%rs：阻帶內(nèi)的波紋系數(shù)低于通帶：阻帶內(nèi)的波紋系數(shù)低于通帶rs分貝分貝設(shè)計(jì)橢圓模擬濾波器設(shè)計(jì)橢圓模擬濾波器z,p,k=ellipap(n,rp.rs) %設(shè)計(jì)橢圓模擬濾波器設(shè)計(jì)橢圓模擬濾波器2）濾波器階數(shù)的選擇）濾波器階數(shù)的選擇下列函數(shù)除了能選擇模擬濾波器的階數(shù)外，同時(shí)也能選擇數(shù)字濾波器的階數(shù)。下列函數(shù)除了能選擇模擬濾波器的階數(shù)外，同時(shí)也能選擇數(shù)字濾波器的階數(shù)。選擇選擇butterworth濾波器階數(shù)濾波器階數(shù)數(shù)字域：數(shù)字域：n,wn=butt

17、ord(wp,ws,rp,rs)模擬域：模擬域：n,wn=buttord(wp,ws,rp,rs,s)選擇選擇chebyshevi型濾波器階數(shù)型濾波器階數(shù)數(shù)字域：數(shù)字域：n,wn=cheb1ord(wp,ws,rp,rs)模擬域：模擬域：n,wn=cheb1ord(wp,ws,rp,rs,s)選擇選擇chebyshevii型濾波器階數(shù)型濾波器階數(shù)數(shù)字域：數(shù)字域：n,wn=cheb2ord(wp,ws,rp,rs)模擬域：模擬域：n,wn=cheb2ord(wp,ws,rp,rs,s)選擇橢圓濾波器階數(shù)選擇橢圓濾波器階數(shù)數(shù)字域：數(shù)字域：n,wn=ellipord(wp,ws,rp,rs)模擬域：

18、模擬域：n,wn=ellipord(wp,ws,rp,rs,s)注意：注意：n：返回符合要求性能指標(biāo)的數(shù)字濾波器或模擬濾波器的最小階數(shù)：返回符合要求性能指標(biāo)的數(shù)字濾波器或模擬濾波器的最小階數(shù)wn：濾波器的截至頻率（即：濾波器的截至頻率（即3db頻率）頻率）wp：通帶的截至頻率，：通帶的截至頻率，ws：阻帶的截至頻率，單位：阻帶的截至頻率，單位rad/s。且均為歸一化頻率，即。且均為歸一化頻率，即。1對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)弧度。弧度。 頻率歸一化：信號(hào)處理工具箱中使用的頻率為萊奎斯特頻率，根據(jù)香農(nóng)定理，它為采樣頻頻率歸一化：信號(hào)處理工具箱中使用的頻率為萊奎斯特頻率，根據(jù)香農(nóng)定理，它為采樣頻率的一半，在濾波器設(shè)

19、計(jì)中的截止頻率均使用萊奎斯特頻率進(jìn)行歸一化。歸一化頻率轉(zhuǎn)換率的一半，在濾波器設(shè)計(jì)中的截止頻率均使用萊奎斯特頻率進(jìn)行歸一化。歸一化頻率轉(zhuǎn)換為角頻率，則將歸一化頻率乘以為角頻率，則將歸一化頻率乘以。如果將歸一化頻率轉(zhuǎn)換為。如果將歸一化頻率轉(zhuǎn)換為hz，則將歸一化頻率乘以，則將歸一化頻率乘以采樣頻率的一半。采樣頻率的一半。5直接設(shè)計(jì)直接設(shè)計(jì)iir數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器1）butterworth模擬和數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)模擬和數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)數(shù)字域：數(shù)字域：b,a=butter(n,wn)可設(shè)計(jì)出截止頻率為可設(shè)計(jì)出截止頻率為wn的的n階階butterworth濾波器濾波器 b,a=butter(n,wn,ftyp

20、e)當(dāng)當(dāng)ftype=high時(shí)，可設(shè)計(jì)出截止頻率為時(shí)，可設(shè)計(jì)出截止頻率為wn的的高通濾波器；當(dāng)高通濾波器；當(dāng)ftypestop時(shí)，可設(shè)計(jì)出帶阻濾波器時(shí)，可設(shè)計(jì)出帶阻濾波器 z,p,k=butter(n,wn) zp,k=buter(n,wn,ftype) a,b,c,d=butter(n,wn) a,b,c,d=butter(n,wn,ftype)模擬域：模擬域：b,a=butter(n,wn,s)可設(shè)計(jì)出截止頻率為可設(shè)計(jì)出截止頻率為wn的的n階模擬階模擬butterworth濾波器，濾波器， 其余形式類似于數(shù)字域的。其余形式類似于數(shù)字域的。2）chebyshevi型濾波器（通帶等波紋）設(shè)計(jì)型濾波器（通帶等波紋）設(shè)計(jì)數(shù)字域：數(shù)字域：b,a=cheby1(n,rp,wn)可設(shè)計(jì)出可設(shè)計(jì)出n階階chebyshevi濾波器濾波器,其截止頻率由其截止頻率由wn確定，通帶內(nèi)的波紋由確定，通帶內(nèi)的波紋由rp確定確定 b,a=cheby1(n,rp,wn,ftype)當(dāng)當(dāng)ftype=high時(shí)，可設(shè)計(jì)出截止頻率為時(shí)，可設(shè)計(jì)出截止頻率為wn的高通濾波器；當(dāng)?shù)母咄V波器；當(dāng)ftypestop時(shí)，可設(shè)