D18函數(shù)的連續(xù)性與間斷點

1、二、二、 函數(shù)的間斷點函數(shù)的間斷點 一、一、 函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性 第八節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點 第一章 函數(shù)與極限第一章引入引入 連續(xù)函數(shù)具有很強的幾何直觀，且在生活中有許連續(xù)函數(shù)具有很強的幾何直觀，且在生活中有許多現(xiàn)實的例子多現(xiàn)實的例子. .比如比如, ,隨著時間的微小變化，我們的身隨著時間的微小變化，我們的身高也進行微小的改變，氣溫也進行微小的變化，開著高也進行微小的改變，氣溫也進行微小的變化，開著的汽車的行程也作了微小的變化。的汽車的行程也作了微小的變化。 總得說來，可以抽象為隨著自變量的微小變化，總得說來，可以抽象為隨著自變量的微小變化，相應的函數(shù)值也只有微小的變化。來刻畫這種相

2、互依相應的函數(shù)值也只有微小的變化。來刻畫這種相互依賴的微小變化用到的工具就是函數(shù)的極限。賴的微小變化用到的工具就是函數(shù)的極限。自變量與應變量的變化描述自變量與應變量的變化描述).()( , )( )( ), ( , )( 0000000 xfxxfyyxxfxfyxxxxxxxfy 對對應應的的變變化化量量記記為為則則函函數(shù)數(shù)值值變變到到相相應應地地從從函函數(shù)數(shù)為為變變化化量量記記時時變變到到在在這這鄰鄰域域內內從從當當自自變變量量的的某某一一個個鄰鄰域域內內有有定定義義在在點點設設函函數(shù)數(shù)xyoy=f (x)0 x)(0 xfxx 0)(0 xxf xy一、一、 函數(shù)在點函數(shù)在點 x0 連續(xù)

3、的定義連續(xù)的定義. )( , 0)()(limlim , )( 000000連連續(xù)續(xù)在在點點函函數(shù)數(shù)那那么么就就稱稱如如果果定定義義的的某某一一個個鄰鄰域域內內有有在在點點設設函函數(shù)數(shù)xxfyxfxxfyxxfyxx 記記. 0 ),( 00 xxxxxx ，時時則則變變量量代代換換于是，上述定義可以轉化為于是，上述定義可以轉化為).()(lim 00 xfxfxx 即即確切地，有以下定義：確切地，有以下定義：0)()(limlim000 xfxfyxxx可見可見 , 函數(shù)函數(shù) f (x) 在點在點 x0 連續(xù)連續(xù)必須具備下列條件必須具備下列條件:一、一、 函數(shù)在點函數(shù)在點 x0 連續(xù)的定義（

4、續(xù)）連續(xù)的定義（續(xù)）, )( 0的的某某鄰鄰域域內內有有定定義義在在設設函函數(shù)數(shù)xxfy , )()(lim 00 xfxfxx 且且.)( 0連續(xù)連續(xù)在在則稱函數(shù)則稱函數(shù)xxf(1) f (x) 在點在點 x0 有定義有定義 ，即即 f (x0 ) 存在存在 ;(2) 極限極限)(lim0 xfxx(3). )()(lim00 xfxfxx 存在存在 ;用極限的用極限的 “ ” 語言來描述：語言來描述： . | | )()(| , | |0 , 0)()(lim0000 |yxfxfxxxxfxfxx時時，當當單側連續(xù)的定義單側連續(xù)的定義(1) 左連續(xù)左連續(xù): . )( ),()( ),(

5、)()(lim 000000左左連連續(xù)續(xù)在在就就稱稱函函數(shù)數(shù)即即存存在在且且等等于于如如果果xxfxfxfxfxfxfxx (2) 右連續(xù)右連續(xù): . )( ),()( ),( )()(lim 000000右右連連續(xù)續(xù)在在就就稱稱函函數(shù)數(shù)即即存存在在且且等等于于如如果果xxfxfxfxfxfxfxx .)( )(00左左連連續(xù)續(xù)又又右右連連續(xù)續(xù)處處既既在在函函數(shù)數(shù)處處連連續(xù)續(xù)在在函函數(shù)數(shù)xxfxxf區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)區(qū)間上的連續(xù)函數(shù) 在區(qū)間上每一點都連續(xù)的函數(shù)在區(qū)間上每一點都連續(xù)的函數(shù), 叫做在該區(qū)間上叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的連續(xù)函數(shù), 或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù)或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù). ,)

6、( , , ,),(上連續(xù)上連續(xù)在閉區(qū)間在閉區(qū)間函數(shù)函數(shù)則稱則稱處左連續(xù)處左連續(xù)在右端點在右端點處右連續(xù)處右連續(xù)點點并且在左端并且在左端內連續(xù)內連續(xù)如果函數(shù)在開區(qū)間如果函數(shù)在開區(qū)間baxfbxaxba 直觀上，連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷直觀上，連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線的曲線. ,bac在閉區(qū)間在閉區(qū)間,ba上的全體連續(xù)函數(shù)的集合記作上的全體連續(xù)函數(shù)的集合記作nnxaxaaxp 10)(在在),( 上連續(xù)上連續(xù) . 有理分式函數(shù)有理分式函數(shù))()()(xqxpxr 在其定義域內連續(xù)在其定義域內連續(xù).因只要因只要,0)(0 xq都有都有. )()(lim00 xrxrxx 例，

7、多項式函數(shù)例，多項式函數(shù)例例. . ) ,( sin 內連續(xù)內連續(xù)在在證明函數(shù)證明函數(shù) xy證證: ),(0 x00sin)sin(xxxy 220sin)cos(2xxx )cos(sin2202xxxy 122 xx 0 x即即. 0lim0 yx由由 x0 的任意性知函數(shù)的任意性知函數(shù)同樣可證同樣可證: 函數(shù)函數(shù)0. ) ,( sin內連續(xù)內連續(xù)在在 xy. ) ,( cos內內連連續(xù)續(xù)在在 xy二、二、 函數(shù)的間斷點函數(shù)的間斷點(1) 函數(shù)函數(shù) f (x) 在點在點 x0 (2)函數(shù)函數(shù) f (x) 在點在點 x0 )(lim0 xfxx不存在不存在;(3)函數(shù)函數(shù) f (x) 在點在

8、點 x0 )(lim0 xfxx存在存在 ,但但)()(lim00 xfxfxx 設設 f (x) 在點在點 x0 的某去心鄰域內有定義的某去心鄰域內有定義 ,則有下列情則有下列情形之一的函數(shù)形之一的函數(shù) f (x) 在點在點 x0 不連續(xù)不連續(xù) :雖有定義雖有定義 , 但但雖有定義雖有定義 , 且且這樣的點這樣的點 x0 稱為間斷點或不連續(xù)點稱為間斷點或不連續(xù)點 .無定義無定義 ;間斷點的分類間斷點的分類: :第一類間斷點第一類間斷點:)(0 xf及及)(0 xf均存在均存在 , )()(00 xfxf若若稱稱0 x, )()(00 xfxf若若稱稱0 x第二類間斷點第二類間斷點:)(0 x

9、f及及)(0 xf中至少有一個不存在中至少有一個不存在 ,，稱，稱0 x若其中有一個振蕩若其中有一個振蕩 ,稱稱0 x若其中有一個為若其中有一個為 為為可去間斷點可去間斷點 .為為跳躍間斷點跳躍間斷點 .為為無窮間斷點無窮間斷點 .為為振蕩間斷點振蕩間斷點 .xytan)1( 2 x為其無窮間斷點為其無窮間斷點 .為其振蕩間斷點為其振蕩間斷點 .xy1sin) 2( 為可去間斷點為可去間斷點 .11)()3(2 xxxfyxoy1例如例如,xytan2xyo在在 處無定義處無定義.2 x在在 x = 0 處無定義處無定義.在在 x = 1 處無定義處無定義.xyxy1sin0 x = 0 x

10、= 1補充定義補充定義 f (1) = ？, 則函數(shù)在則函數(shù)在 x = 1 連續(xù)連續(xù).)1(1)(lim1fxfx 顯然顯然x = 1 為其可去間斷點為其可去間斷點 . 1,1,)(21xxxxfyxoy1211(5) 0,10,00,1)(xxxxxxfy,1)0( f1)0( fx = 0 為其跳躍間斷點為其跳躍間斷點 .。xyo(4)修改定義修改定義 f (1) = ？時可使函數(shù)在？時可使函數(shù)在 x = 1 處連續(xù)處連續(xù).小結小結)()(lim00 xfxfxx 0)()(lim000 xfxxfx)()()(000 xfxfxf左連續(xù)左連續(xù)右連續(xù)右連續(xù)第一類間斷點第一類間斷點可去間斷點

11、可去間斷點跳躍間斷點跳躍間斷點(左右極限都存在左右極限都存在) 第二類間斷點第二類間斷點無窮間斷點無窮間斷點振蕩間斷點振蕩間斷點(左右極限至少有一個不存在左右極限至少有一個不存在)2. f (x) 在點在點 x0 間斷的類型間斷的類型 1. f (x) 在點在點 x0 連續(xù)的兩種等價形式連續(xù)的兩種等價形式0lim0 yx可補充或修改定義可補充或修改定義使之成為連續(xù)點使之成為連續(xù)點!課堂練習課堂練習. 231)( . 122間間斷斷點點的的類類型型討討論論函函數(shù)數(shù) xxxxfx = 2 是第二類無窮間斷點是第二類無窮間斷點 . 0,0,sin)( . 221xxaxxxfx設設_, a提示提示:,0)0( f )0(f)0(fa 0時時 f (x)為連續(xù)函數(shù)為連續(xù)函數(shù).答案答案: x = 1 是第一類可去間斷點是第一類可去間斷點 ,可補充定義可補充定義 f (1) = 2 則函數(shù)就在則