D18函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)

1、二、二、 函數(shù)的間斷點(diǎn)函數(shù)的間斷點(diǎn) 一、一、 函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性 第八節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn) 第一章 函數(shù)與極限第一章引入引入 連續(xù)函數(shù)具有很強(qiáng)的幾何直觀，且在生活中有許連續(xù)函數(shù)具有很強(qiáng)的幾何直觀，且在生活中有許多現(xiàn)實(shí)的例子多現(xiàn)實(shí)的例子. .比如比如, ,隨著時(shí)間的微小變化，我們的身隨著時(shí)間的微小變化，我們的身高也進(jìn)行微小的改變，氣溫也進(jìn)行微小的變化，開著高也進(jìn)行微小的改變，氣溫也進(jìn)行微小的變化，開著的汽車的行程也作了微小的變化。的汽車的行程也作了微小的變化。 總得說(shuō)來(lái)，可以抽象為隨著自變量的微小變化，總得說(shuō)來(lái)，可以抽象為隨著自變量的微小變化，相應(yīng)的函數(shù)值也只有微小的變化。來(lái)刻畫這種相

2、互依相應(yīng)的函數(shù)值也只有微小的變化。來(lái)刻畫這種相互依賴的微小變化用到的工具就是函數(shù)的極限。賴的微小變化用到的工具就是函數(shù)的極限。自變量與應(yīng)變量的變化描述自變量與應(yīng)變量的變化描述).()( , )( )( ), ( , )( 0000000 xfxxfyyxxfxfyxxxxxxxfy 對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的變變化化量量記記為為則則函函數(shù)數(shù)值值變變到到相相應(yīng)應(yīng)地地從從函函數(shù)數(shù)為為變變化化量量記記時(shí)時(shí)變變到到在在這這鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)從從當(dāng)當(dāng)自自變變量量的的某某一一個(gè)個(gè)鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有定定義義在在點(diǎn)點(diǎn)設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)xyoy=f (x)0 x)(0 xfxx 0)(0 xxf xy一、一、 函數(shù)在點(diǎn)函數(shù)在點(diǎn) x0 連續(xù)

3、的定義連續(xù)的定義. )( , 0)()(limlim , )( 000000連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù)那那么么就就稱稱如如果果定定義義的的某某一一個(gè)個(gè)鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有在在點(diǎn)點(diǎn)設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)xxfyxfxxfyxxfyxx 記記. 0 ),( 00 xxxxxx ，時(shí)時(shí)則則變變量量代代換換于是，上述定義可以轉(zhuǎn)化為于是，上述定義可以轉(zhuǎn)化為).()(lim 00 xfxfxx 即即確切地，有以下定義：確切地，有以下定義：0)()(limlim000 xfxfyxxx可見(jiàn)可見(jiàn) , 函數(shù)函數(shù) f (x) 在點(diǎn)在點(diǎn) x0 連續(xù)連續(xù)必須具備下列條件必須具備下列條件:一、一、 函數(shù)在點(diǎn)函數(shù)在點(diǎn) x0 連續(xù)的定義（

4、續(xù)）連續(xù)的定義（續(xù)）, )( 0的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有定定義義在在設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)xxfy , )()(lim 00 xfxfxx 且且.)( 0連續(xù)連續(xù)在在則稱函數(shù)則稱函數(shù)xxf(1) f (x) 在點(diǎn)在點(diǎn) x0 有定義有定義 ，即即 f (x0 ) 存在存在 ;(2) 極限極限)(lim0 xfxx(3). )()(lim00 xfxfxx 存在存在 ;用極限的用極限的 “ ” 語(yǔ)言來(lái)描述：語(yǔ)言來(lái)描述： . | | )()(| , | |0 , 0)()(lim0000 |yxfxfxxxxfxfxx時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)單側(cè)連續(xù)的定義單側(cè)連續(xù)的定義(1) 左連續(xù)左連續(xù): . )( ),()( ),(

5、)()(lim 000000左左連連續(xù)續(xù)在在就就稱稱函函數(shù)數(shù)即即存存在在且且等等于于如如果果xxfxfxfxfxfxfxx (2) 右連續(xù)右連續(xù): . )( ),()( ),( )()(lim 000000右右連連續(xù)續(xù)在在就就稱稱函函數(shù)數(shù)即即存存在在且且等等于于如如果果xxfxfxfxfxfxfxx .)( )(00左左連連續(xù)續(xù)又又右右連連續(xù)續(xù)處處既既在在函函數(shù)數(shù)處處連連續(xù)續(xù)在在函函數(shù)數(shù)xxfxxf區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)區(qū)間上的連續(xù)函數(shù) 在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù)在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù), 叫做在該區(qū)間上叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的連續(xù)函數(shù), 或者說(shuō)函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù)或者說(shuō)函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù). ,)

6、( , , ,),(上連續(xù)上連續(xù)在閉區(qū)間在閉區(qū)間函數(shù)函數(shù)則稱則稱處左連續(xù)處左連續(xù)在右端點(diǎn)在右端點(diǎn)處右連續(xù)處右連續(xù)點(diǎn)點(diǎn)并且在左端并且在左端內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)如果函數(shù)在開區(qū)間如果函數(shù)在開區(qū)間baxfbxaxba 直觀上，連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷直觀上，連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線的曲線. ,bac在閉區(qū)間在閉區(qū)間,ba上的全體連續(xù)函數(shù)的集合記作上的全體連續(xù)函數(shù)的集合記作nnxaxaaxp 10)(在在),( 上連續(xù)上連續(xù) . 有理分式函數(shù)有理分式函數(shù))()()(xqxpxr 在其定義域內(nèi)連續(xù)在其定義域內(nèi)連續(xù).因只要因只要,0)(0 xq都有都有. )()(lim00 xrxrxx 例，

7、多項(xiàng)式函數(shù)例，多項(xiàng)式函數(shù)例例. . ) ,( sin 內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在證明函數(shù)證明函數(shù) xy證證: ),(0 x00sin)sin(xxxy 220sin)cos(2xxx )cos(sin2202xxxy 122 xx 0 x即即. 0lim0 yx由由 x0 的任意性知函數(shù)的任意性知函數(shù)同樣可證同樣可證: 函數(shù)函數(shù)0. ) ,( sin內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在 xy. ) ,( cos內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在 xy二、二、 函數(shù)的間斷點(diǎn)函數(shù)的間斷點(diǎn)(1) 函數(shù)函數(shù) f (x) 在點(diǎn)在點(diǎn) x0 (2)函數(shù)函數(shù) f (x) 在點(diǎn)在點(diǎn) x0 )(lim0 xfxx不存在不存在;(3)函數(shù)函數(shù) f (x) 在點(diǎn)在

8、點(diǎn) x0 )(lim0 xfxx存在存在 ,但但)()(lim00 xfxfxx 設(shè)設(shè) f (x) 在點(diǎn)在點(diǎn) x0 的某去心鄰域內(nèi)有定義的某去心鄰域內(nèi)有定義 ,則有下列情則有下列情形之一的函數(shù)形之一的函數(shù) f (x) 在點(diǎn)在點(diǎn) x0 不連續(xù)不連續(xù) :雖有定義雖有定義 , 但但雖有定義雖有定義 , 且且這樣的點(diǎn)這樣的點(diǎn) x0 稱為間斷點(diǎn)或不連續(xù)點(diǎn)稱為間斷點(diǎn)或不連續(xù)點(diǎn) .無(wú)定義無(wú)定義 ;間斷點(diǎn)的分類間斷點(diǎn)的分類: :第一類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn):)(0 xf及及)(0 xf均存在均存在 , )()(00 xfxf若若稱稱0 x, )()(00 xfxf若若稱稱0 x第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn):)(0 x

9、f及及)(0 xf中至少有一個(gè)不存在中至少有一個(gè)不存在 ,，稱，稱0 x若其中有一個(gè)振蕩若其中有一個(gè)振蕩 ,稱稱0 x若其中有一個(gè)為若其中有一個(gè)為 為為可去間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn) .為為跳躍間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn) .為為無(wú)窮間斷點(diǎn)無(wú)窮間斷點(diǎn) .為為振蕩間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn) .xytan)1( 2 x為其無(wú)窮間斷點(diǎn)為其無(wú)窮間斷點(diǎn) .為其振蕩間斷點(diǎn)為其振蕩間斷點(diǎn) .xy1sin) 2( 為可去間斷點(diǎn)為可去間斷點(diǎn) .11)()3(2 xxxfyxoy1例如例如,xytan2xyo在在 處無(wú)定義處無(wú)定義.2 x在在 x = 0 處無(wú)定義處無(wú)定義.在在 x = 1 處無(wú)定義處無(wú)定義.xyxy1sin0 x = 0 x

10、= 1補(bǔ)充定義補(bǔ)充定義 f (1) = ？, 則函數(shù)在則函數(shù)在 x = 1 連續(xù)連續(xù).)1(1)(lim1fxfx 顯然顯然x = 1 為其可去間斷點(diǎn)為其可去間斷點(diǎn) . 1,1,)(21xxxxfyxoy1211(5) 0,10,00,1)(xxxxxxfy,1)0( f1)0( fx = 0 為其跳躍間斷點(diǎn)為其跳躍間斷點(diǎn) .。xyo(4)修改定義修改定義 f (1) = ？時(shí)可使函數(shù)在？時(shí)可使函數(shù)在 x = 1 處連續(xù)處連續(xù).小結(jié)小結(jié))()(lim00 xfxfxx 0)()(lim000 xfxxfx)()()(000 xfxfxf左連續(xù)左連續(xù)右連續(xù)右連續(xù)第一類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)

11、可去間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)(左右極限都存在左右極限都存在) 第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn)無(wú)窮間斷點(diǎn)無(wú)窮間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn)(左右極限至少有一個(gè)不存在左右極限至少有一個(gè)不存在)2. f (x) 在點(diǎn)在點(diǎn) x0 間斷的類型間斷的類型 1. f (x) 在點(diǎn)在點(diǎn) x0 連續(xù)的兩種等價(jià)形式連續(xù)的兩種等價(jià)形式0lim0 yx可補(bǔ)充或修改定義可補(bǔ)充或修改定義使之成為連續(xù)點(diǎn)使之成為連續(xù)點(diǎn)!課堂練習(xí)課堂練習(xí). 231)( . 122間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)的的類類型型討討論論函函數(shù)數(shù) xxxxfx = 2 是第二類無(wú)窮間斷點(diǎn)是第二類無(wú)窮間斷點(diǎn) . 0,0,sin)( . 221xxaxxxfx設(shè)設(shè)_, a提示提示:,0)0( f )0(f)0(fa 0時(shí)時(shí) f (x)為連續(xù)函數(shù)為連續(xù)函數(shù).答案答案: x = 1 是第一類可去間斷點(diǎn)是第一類可去間斷點(diǎn) ,可補(bǔ)充定義可補(bǔ)充定義 f (1) = 2 則函數(shù)就在則