2015年湖南卷數(shù)學試題及答案(理)

1、2015年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（湖南卷）理科數(shù)學本試題包括選擇題，填空題和解答題三部分，共6頁，時間120分鐘，滿分150分.選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，賊每小題給出的四個選項中，只有一項是復合題目要求的.1.i （i為虛數(shù)單位）z二()2.3.4.5.6.A. 1 i B.設A,B是兩個集合，則”A.充分不必要條件C.充要條件C.D. 1 iD.AIB.A” 是 “ A B ” 的()必要不充分條件既不充分也不必要條件執(zhí)行如圖1所示的程序框圖，如果輸入A. 6 B. 3 C.77若變量A.-73,則輸出的S （）x, y滿足約束條件B.-1C.1D.2f(x) l

2、n(1 x)D.2x1,則z 3x y的最小值為（Iln(1x）,則 f （x）是（）A.奇函數(shù)，且在（0,1）上是增函數(shù) B.奇函數(shù)，且在（0,1）上是減函數(shù)C.偶函數(shù)，且在（0,1）上是增函數(shù)D.偶函數(shù)，且在（0,1）上是減函數(shù)已知（.x5的展開式中含3x2的項的系數(shù)為30,則aA.3B. .3C.6D.-67.在如圖2所示的正方形中隨機投擲10000個點，則落入陰影部分（曲線為正態(tài)分布N（0,1）的密度曲線）的點的個數(shù)的估計值為（CA.2386B.2718C.3413D.4772o ouuruuuuur8 .已知點A, B,C在圓x2y21上運動，且AB BC,若點P的坐標為(2,0 )

3、,則| PAPBPC|的最大值為()A.6B.7C.8D.99 .將函數(shù)f (x) sin 2x的圖像向右平移(0)個單位后得到函數(shù) g(x)的圖像，若對滿足2| f(xi) g(x2)| 2 的 x1,x2,有 |x1 x2 |min 不則 ()3A. 5-B. C. D. -1234610.某工件的三視圖如圖 3所示，現(xiàn)將該工件通過切割，加工成一個體積盡可能大的長方體新工件，并使新工件的一個面落在原工件的一個面內，則原工件材料的利用率為(材料利用率新工件的體積=)()原工件的體積B.16C.4( .2 1)3D.12( . 2 1)3二、填空題：本大題共 5小題，每小題5分，共25分.2

4、，11 .0(x 1)dx 12 .在一次馬拉松比賽中，35名運動員的成績(單位：分鐘)的莖葉圖如圖 4所示.若將運動員按7人，則其中成績在區(qū)間139,151上成績由好到差編為1: 35號，再用系統(tǒng)抽樣方法從中抽取的運動員人數(shù)是13 0D345668S8914 I I J2223344555667S15 0 12 2 3 3 3圖42213 .設F是雙曲線C：)2 匕 1的一個焦點，若 C上存在點P,使線段PF的中點恰為其虛軸的一 a b個端點，則 C的離心率為 。14 .設Sn為等比數(shù)列 a的前n項和，若ai 1 ,且3s1,2S2,S3成等差數(shù)列，則an x3 x a15 .已知f (x)

5、2,右存在頭數(shù)b ,使函數(shù)g (x) f (x) b有兩個手點，則a的取值氾圍x ,x a是 三、解答題：本大題共 6小題，共75分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。16 .(本小題滿分12分)本小題設有I, n,出三個選做題，請考生任選兩題作答，并將解答過程寫在答題卡中相應 題號的答題區(qū)域內。如果全做，則按所做的前兩題計分。(I )(本題滿分6分)選修4-1 :幾何證明選講M N,直線 MO與直線CD的中點如圖5,在e O中，相交于點E的兩弦AB, CD的中點分別是分別是M, N,直線MOW直線CD相交于點F,證明：(i) MEN NOM 180°(ii) FEg=N FM

6、gFO(n)(本題滿分6分)選修4-4 :坐標系與參數(shù)方程.3tx 5 t,已知直線l :2(t為參數(shù))，以坐標原點為極點,y 3 2tx軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為2cos(i)將曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程；(ii)設點M的直角坐標為(5, J3),直線l與曲線C的交點為A,B ,求| MA |g MB |的值。(出)(本題滿分6分)選修4-5 :不等式選講1 1設a 0,b 0,且a b ,證明： a b(i) a b 2;2.2(ii) a a 2與b b 2不可能同時成立。17 .(本小題滿分12分)設 ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,a b

7、tanA,且B為鈍角。(I)證明：B A ;2(n)求sin A sin C的取值范圍。18 .(本小題滿分12分)某商場舉行有獎促銷活動，顧客購買一定金額的商品后即可抽獎。每次抽獎都是從裝有4個紅球、6個白球的甲箱和裝有 5個白球的乙箱中，各隨機摸出1個球。在摸出的2個球中，若都是紅球，則獲一等獎；若只有 1個紅球，則獲二等獎；若沒有紅球，則不獲獎。(I )求顧客抽獎1次能獲獎的概率；(n)若某顧客有3次抽獎機會，記該顧客在 3次抽獎中獲一等獎的次數(shù)為 X ,求X的分布列和數(shù)學期望。19 .(本小題滿分13分)如圖6,已知四棱臺 ABCD A1B1C1D1的上、下底面分別是邊長為3和6的正方

8、形，AA 6,且AA 底面ABCD ,點P,Q分別在棱 DD1,BC 上。(I)若P是DD的中點，證明： AB1 PQ ；3(n )若PQ /平面ABB1A1 ,二面角P QD A的余弦值為-,20 .(本小題滿分13分)2已知拋物線C1：x2 4y的焦點F也是橢圓Cz： a求四面體ADPQ的體積。0)的一個焦點，g與C22 x 0 1(a b b2的公共弦的長為2J6。(I)求C2的方程;uuur uur(n )過點F的直線l與Ci相交于A, B兩點，與C2相交于C,D兩點，且AC與BD同向。(i )若| AC | | BD |,求直線l的斜率；(ii)設Ci在點A處的切線與x軸的交點為M

9、,證明：直線l繞點F旋轉時，MFD總是鈍角三角形。21 .(本小題滿分13分)已知a 0,函數(shù)f(x) e sin x(x 0,)。記xn為f (x)的從小到大的第 n(n N )個極值點。證明：(I)數(shù)列f (xn)是等比數(shù)列；1(n)右a ,，則對一切n N兇| f(xn)|恒成立。,e2 12015年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試(湖南卷)理科數(shù)學參考答案.選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，賊每小題給出的四個選項中，只有一項是1.D2.C3.B6.D7.C8.B、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分11. 012.413. 5復合題目要求的4.A5. A9.D10.A

10、n14. 315. (,0)U(1,)三、解答題：16. ( I )證明：(i)如圖a所示，因為M,N分別是弦AB,CD的中點,所以OM ,ON CD ,即OME 90o, ENO 900,因此OME ENO 180°,又四邊形的內角和等于360°,故 MEN NOM 1800。(ii)由(i)知， O,M,E,N四點共圓，故由割線定理即得FEg=N FMgFO(n)解：(i ) 2cos等價于2 2 cos222將 x y , cosx代入即得曲線C的直角坐標方程為22-x y 2x 0x 5 芻，_(ii)將2 代入，得t2 5內 18 0。設這個方程的兩個實根分別為，

11、則y 3 2由參數(shù)t的幾何意義即知，| MA |gMB | 111t2 | 18(ID)證明：,11 a b由 a b ,a 0,b 0,得 ab 1a b ab(i)由基本不等式及 ab 1 ,有a b 2jOb 2 ,即a b 2(ii)假設a2 a 2與b2 b 2同時成立，則由a2 a 2及a 0得0 a 1;同理，0 b 1,從而ab 1,這與ab 1矛盾。故a2 a 2與b2 b 2不可能同時成立。sin A,所以sin B sin BcosA,即17.解:由a b tan A及正弦定理，得 snA acos A bsin Bsin( 2A)又B為鈍角，因此(n)由(I)知,(AB

12、)(2A ) 2A 0,所以 A (0,一)224sin Asin Csin Asin(- 2A)2sin Acos2A2sin 2 A sin A 11 292(sin A )48因為0一,所以04二 2(sin212 99A )488由此可知sin A sinC的取值范圍是(，2,?2 8解：(I)記事件 A1 從甲箱中摸出的1個球是紅球,A2 從乙甲箱中摸出的1個球是紅球,B1 顧客抽獎1次獲一等獎,B2顧客抽獎1次獲二等獎,C 顧客抽獎1次能獲獎由題意，A1與A2相互獨立， AA2與AA2互斥，B1與B2互斥，且B1 AA2,B2 AA2 A4,C B1 B24251因為 P(AJ-,

13、P(A2)二，所以1051022 11P(B)P(AA2)P(A) P(4)-5 2 5p(B2)p(aA2 Aa) p(aK) P(AA)P(A)P(A2)P(A)P(AOP(A)(1 P(A2) (1 P(A)P(A2)2一 1、一 2、1(1) (1 一)一5252故所求概率為-117P(C) P(B1 B2) P(B1) P(B2)5 2 101(n)顧客抽獎3次可視為3次獨立重復試驗，由(I)知，顧客抽獎1次狄一等獎的概率為 -，5 ,1所以 X B(3,-)5于是P(X 0) C30(-)0(335564，1251 1 1 4 2P(X 1) C3(1) (4)5 54812512

14、12511253)，uuir ngDQ uuuurQgDD12 1 2 4 1P(X 2) G()() 553 1 3 4 0P(X 3)c33(5)3(5)0故X的分布列為X01236448121P125125125125X的數(shù)學期望為13E(X) 3 -5 519.解法由題設知，AA1, AB, AD兩兩垂直，以A為坐標原點，AB, AD , AA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖b所示的空間直角坐標系，則相關各點的坐標為A(0,0,0), B(3,0,6), D(0,6,0), D(0,3,6), Q(6,m,0),其中 m BQ,0 m 6。9uur9(l)若 P是 DDi的中

15、點，則 P(0,-,3), PQ (6, m -, 22ULLT又 AB1 (3,0,6),uuir uur于是 ABgPQ 18 18 0,uuuruur所以 aH PQ ,即 AB1PQuuiruuuu(n)由題設知，DQ (6,m 6,0), DD1 (0, 3,6)是平面PQD內的兩個不共線向量。設n1(x, y, z)是平面PQD的一個法向量，0,即 6x (m 6)y 0, 0, 3y 6z 0.(6 m,6,3) o又平面AQD的一個法向量是 1(0,0,1),所以| n1 |g n2 |1g/(6 m)2 62 32J(6 m)2 45333而二面角P QD A的余弦值為 二，

16、因此一-,7,(6 m)2 457解得m 4,或m 8 (舍去)，此時Q(6,4,0)uur uuuruuur設 DPDD1 (01),而 DD1 (0, 3,6),由此得點 P(0,6 3 ,6 ),uuu所以 PQ (6,32, 6 )因為PQ/平面ABBiA ,且平面ABB1A1的一個法向量是 % (0,1,0),uur2所以PQgi3 0,即32 0,亦即 一，從而P(0,4,4)3于是，將四面體 ADPQ視為以 ADQ為底面的三棱錐P ADQ ,則其高h 4故四面體ADPQ的體積1 一1 1V -S ADQgh6 6 4 243 A3 2解法二：(I)如圖C,取AA的中點R,連結PR

17、, BR。因為AA,DQ是梯形AADDi的兩腰，P是DQ的中點，所以PR/ AD ,于是由ADBC知，PR/BC ,所以P,R, B,C四點共面由題設知，BC AB, BC AA,所以BC 平面ABB1A1 ,因此BC AB1因為 tan ABRA§1 tan a1ABi 所以 ABRAB 6 A1AA1AB1,因此ABRBABiA1AB1BAB1 90o于是ABi BR再由即知AB1 平面PRBC又PQ 平面PRBC ,故AB1 PQ (n)如圖d,過點P作PM /AA交AD于點M ,則PM 平面 ABB1A因為AA 平面ABCD ,所以PM 平面ABCD過點M作MN QD于點N

18、,連結PN ,則PN QD , 3 r MN 3 ，一PNM為二面角P QD A的平面角，所以cos PNM ,即 ，從而7 PN 7PM 40 MN 3連結MQ ,由PQ/平面ABB1A1及知，平面 PQM /平面ABB1A1 ,所以MQ / AB又ABCD是正方形，所以 ABQM為矩形，故MQ AB 6MNMQgMD 6t .MQ2 MD236-12過點Di作DiEAiA交AD于點E,則AA1D1E為矩形,所以 D1E AA 6 , AE A1D1 3 ,因此 ED AD AE 3,于是 PM DE 6 2 ,所以 PM 2MD 2tMD ED 3一.36 t240再由，得，解得t 2,因

19、此PM 433故四面體ADPQ的體積20.解:(D 由 C1 :x21V gSADQgPM1 16 6 4 243 24y知其焦點F的坐標為（0,1）,因為F也是橢圓C2的一個焦點，所以又C1與C2的公共弦的長為2捉,2C1與C2都關于y軸對稱，且C1的方程為x3.此易知C1與C2的公共點的坐標為（J6,一）,所以2962-214a2 b2聯(lián)立得a2 9,b2 8 ,故C2的方程為2 y9(n)如圖 f，設 A(x1,yJB(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)uuur uuur(i )因AC與BD同向，且| AC |uiur|BD |,所以 ACuuurBD,從而 x3 Xix4

20、XiX2X3X4,十足(XiX2)24x1x2(X3X4)24X3X4設直線l的斜率為k ,則l的方程為y kx 1kx 1,2得 x 4kx 44y0 ,而,x2是這個方程的兩根，所以Xix24 Kxix2kx2 y91,得(9 8k2)x2116kx64 0 ,而x3, x4是這個方程的兩根，所以x3x416k2?3羽9 8k2648k2將代入,2.16(k2 1) (9 8k2)2所以(ii)由 x2因此21.證明:216(k21)162 9(k2 1)2 2,(9 8k )(9 8k2)24y得yuur故直線16x1x2uuuuFAfM,所以C1在點2x1rrx1即 M(-,0)2AFM是銳角,2x1從而l繞點F旋轉時,(i) f (x) aeaxsinx eaxcosxeax(asinx cos x)、a2 1eaxsin(x)y11即直線l的斜率為A處的切線方程為uuuu FMyy1x1.(x x),即2uu1),而 FA (x1,y1 1)，于MFD 180o AFMMFD總是鈍角三角形是鈍角。-1其中tan ,0 am ，即 x m2k(2k