隱函數(shù)求導(dǎo)64378

1、9.49.4內(nèi)容回顧內(nèi)容回顧1. 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈式法則復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈式法則“連線相乘連線相乘, 分線相加分線相加, 單路求導(dǎo)單路求導(dǎo), 叉路偏導(dǎo)叉路偏導(dǎo)”例如例如, ),(, ),(yxvvyxfuuvyxyxxu1f 3f;1yu2f 3f22. 全微分形式不變性全微分形式不變性, ),(vufz 對不論不論 u , v 是自變量還是因變量是自變量還是因變量,vvufuvufzvud),(d),(d12dddzfufv 第九章第九章 一、一個方程所確定的隱函數(shù)一、一個方程所確定的隱函數(shù) 及其導(dǎo)數(shù)及其導(dǎo)數(shù) 二、方程組所確定的隱函數(shù)組二、方程組所確定的隱函數(shù)組 及其導(dǎo)數(shù)及其導(dǎo)數(shù)9.5 隱函數(shù)

2、的求導(dǎo)方法 本節(jié)討論本節(jié)討論 :1) 方程在方程在什么條件什么條件下才能確定隱函數(shù)下才能確定隱函數(shù) .例如例如, 方程方程02cyx當當 c 0 時時, 不能確定隱函數(shù)不能確定隱函數(shù);2) 給出方程給出方程(組組)能確定隱函數(shù)的條件能確定隱函數(shù)的條件 及及連續(xù)性、可微性連續(xù)性、可微性 及及求導(dǎo)公式的推導(dǎo)求導(dǎo)公式的推導(dǎo).一、一個方程所確定的隱函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)一、一個方程所確定的隱函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)定理定理1.1. 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(00yxp),(yxf;0),(00yxf則方程則方程00),(xyxf在點單值連續(xù)函數(shù)單值連續(xù)函數(shù) y = f (x) , )(00 xfy 并有連續(xù)并有連續(xù)yxffxydd

3、(隱函數(shù)求導(dǎo)公式隱函數(shù)求導(dǎo)公式)求導(dǎo)公式推導(dǎo)如下：求導(dǎo)公式推導(dǎo)如下： 具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù); ;的的某鄰域內(nèi)某鄰域內(nèi)可惟一確定一個可惟一確定一個在點在點的某一鄰域內(nèi)滿足的某一鄰域內(nèi)滿足0),(00yxfy滿足條件滿足條件導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)(偏連偏連)(非空非空)(非零非零)(關(guān)于因變量關(guān)于因變量)( , )0f x y 兩邊求微分兩邊求微分dd0 xyfxfyyxffxydd0yf在在),(00yx的某鄰域內(nèi)的某鄰域內(nèi)若若f( x , y ) 的二階偏導(dǎo)數(shù)也都連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)也都連續(xù), ,22ddxy2yxxyyxxfffff3222yxyyyxyxyxxffffffffyxff)(yxff

4、y)(2yxyxyyyyxfffffff二階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù) :)(yxffxxyxxydd則還有則還有例例1. 驗證方程驗證方程01sinyxeyx在點在點(0,0)某鄰域某鄰域可可確定一個確定一個單值可導(dǎo)隱函數(shù)單值可導(dǎo)隱函數(shù), )(xfy 0dd,0dd22xxyxxy解解: 令令, 1sin),(yxeyyxfx,0)0 , 0(f, yefxx連續(xù)連續(xù) ,由由 定理定理1 可知可知,1)0 , 0(yf0, )(xfy 導(dǎo)的隱函數(shù)導(dǎo)的隱函數(shù) 則則xyfy cos在在 x = 0 的某鄰域內(nèi)方程存在單值可的某鄰域內(nèi)方程存在單值可且且并求并求(偏連偏連)(非空非空)(非零非零)0ddxxy0

5、xffyx 1xy cosyex0, 0yx0dd22xxy)cos(ddxyyexx2)cos( xy 3100yyx)(yex)(cosxy )(yex) 1sin(yy1, 0, 0yyx0 xy30dd22xxy)(, 01sinxyyyxeyxyycos兩邊對兩邊對 x 求導(dǎo)求導(dǎo)1兩邊再對兩邊再對 x 求導(dǎo)求導(dǎo)yyyy cos)(sin2令令 x = 0 , 注意此時注意此時1,0yy0 yxyyexxey0 yx)0 , 0(cosxyyex導(dǎo)數(shù)的另一求法導(dǎo)數(shù)的另一求法 利用隱函數(shù)求導(dǎo)利用隱函數(shù)求導(dǎo)定理定理2 . 若函數(shù)若函數(shù) ),(000zyxp),(zyxfzyzxffyzff

6、xz,的某鄰域內(nèi)具有的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) ,則方程則方程0),(zyxf在點在點),(00yx并有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)并有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), ),(000yxfz 定一個單值連續(xù)函數(shù)定一個單值連續(xù)函數(shù) z = f (x , y) , 求導(dǎo)公式推導(dǎo)如下求導(dǎo)公式推導(dǎo)如下:滿足滿足0),(000zyxf0),(000zyxfz 在點在點滿足滿足:某一鄰域內(nèi)可惟一確某一鄰域內(nèi)可惟一確(偏連偏連)(非空非空)(非零非零)( , , )0f x y z兩邊求微分兩邊求微分xyfdxfdyxzzfxf zyffyzzfdz00),(000zfzyx的某鄰域內(nèi)在yxzzffdzdxdyff 所所以以例例2. 設(shè)

7、設(shè),04222zzyx解法解法1 利用隱函數(shù)求導(dǎo)利用隱函數(shù)求導(dǎo)0422xzxzzxzxxz2.22xz求)2(22zxxxz2)2()2(zxzxz322)2()2(zxz解法解法2 利用公式利用公式設(shè)設(shè)zzyxzyxf4),(222則則,2xfxzxffxz)2(22zxxxz2)2()2(zxzxz322)2()2(zxz2zxzx242 zfzzxffxz xz例例3. 設(shè)設(shè)f( x , y)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 0),(zyzxf.dz求解法解法1 利用偏導(dǎo)數(shù)公式利用偏導(dǎo)數(shù)公式.是由方程設(shè)),(yxfz 0),(zyzxf yz212fyfxfz211fyfxfzyyzxxz

8、zdddzf11 1f)(2zx 2f)(2zyzf12 確定的隱函數(shù)確定的隱函數(shù),)dd(2121yfxffyfxz則則)()(2221zyzxff 已知方程已知方程故故對方程兩邊求微分對方程兩邊求微分: 1f)dd(d2121yfxffyfxzz)dd(2zzxxzzzfyfxd221 zyfxfdd21解法解法2 微分法微分法. .0),(zyzxf)dd(2zzyyz)(dzx 2f0)(dzy 1f 2f0二、方程組所確定的隱函數(shù)組及其導(dǎo)數(shù)二、方程組所確定的隱函數(shù)組及其導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)存在定理還可以推廣到方程組的情形隱函數(shù)存在定理還可以推廣到方程組的情形.0),(0),(vuyxgvuyx

9、f),(),(yxvvyxuu由由 f、g 的偏導(dǎo)數(shù)組成的行列式的偏導(dǎo)數(shù)組成的行列式vuvuggffvugfj),(),(稱為稱為f、g 的的雅可比雅可比( jacobi )行列式行列式.以兩個方程確定兩個隱函數(shù)的情況為例以兩個方程確定兩個隱函數(shù)的情況為例 ,即即( 關(guān)于關(guān)于u,v )定理定理3.3.,0),(0000vuyxf的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(0000vuyxp),(, ),(vuyxgvuyxf則方程組則方程組0),(,0),(vuyxgvuyxf),(00yx在點的的單值連續(xù)函數(shù)單值連續(xù)函數(shù)),(, ),(yxvvyxuu且有偏導(dǎo)數(shù)公式且有偏導(dǎo)

10、數(shù)公式 : : 在點在點的某一鄰域內(nèi)可的某一鄰域內(nèi)可惟一惟一確定一組滿足條件確定一組滿足條件滿足滿足: :0),(),(pvugfpj;0),(0000vuyxg導(dǎo)數(shù)；導(dǎo)數(shù)；, ),(000yxuu ),(000yxvv ( 關(guān)于關(guān)于u,v )(偏連偏連)(非空非空)(非零非零),(),(1vxgfjxu),(),(1vygfjyu),(),(1xugfjxv),(),(1yugfjyv推導(dǎo)偏導(dǎo)數(shù)公式推導(dǎo)偏導(dǎo)數(shù)公式如下：如下：vvvuvugfggff1vvvuvugfggff1uuvuvugfggff1uuvuvugfggff1xxgfyygfxxgfyygf0),(),(,(0),(),(,

11、(yxvyxuyxgyxvyxuyxf,的線性方程組這是關(guān)于xvxu0),(0),(vuyxgvuyxf有隱函數(shù)組有隱函數(shù)組則則兩邊對兩邊對 x 求導(dǎo)得求導(dǎo)得,),(),(yxvvyxuu設(shè)方程組設(shè)方程組,0vuvuggffj在點在點p 的某鄰域內(nèi)的某鄰域內(nèi)xuxvxuxvxfufvf0 xgugvg0故得故得系數(shù)行列式系數(shù)行列式同樣可得同樣可得),(),(1vygfjyu),(),(1vxgfjxu),(),(1xugfjxv),(),(1yugfjyv例例4. 設(shè)設(shè), 1,0vxuyvyux.,yvxvyuxu解解:xyyxjxu22yxvxuyyu方程組兩邊對方程組兩邊對 x 求導(dǎo)，并移

12、項得求導(dǎo)，并移項得求求vxvxxuy22yxvyuxxv22yxuyvx同理可求同理可求yvyu,uxvyxux022yx22yxvyuxyv答案答案:設(shè)設(shè)故有故有例例5.5.設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)在點在點(u,v) 的某一的某一),(, ),(vuyyvuxx0),(),(vuyx1) 證明函數(shù)組證明函數(shù)組),(),(vuyyvuxx( x, y) 的某一鄰域內(nèi)的某一鄰域內(nèi). ),(, ),(yxvvyxuu2) 求求),(, ),(yxvvyxuu解解: 1) 令令0),(),(vuxxvuyxf0),(),(vuyyvuyxg對對 x , y 的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).在與點在與點 (u, v) 對應(yīng)的點

13、對應(yīng)的點鄰域內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)鄰域內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù), ,且且 惟一確定一組單值、連續(xù)且具有惟一確定一組單值、連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的反函數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的反函數(shù)),(),(),(),(yxvyxuyyyxvyxuxx式兩邊對式兩邊對 x 求導(dǎo)求導(dǎo), 得得uy0 xvxu1xuxvuxvxvy則有則有),(),(vugfj,0),(),(vuyx由由定理定理 3 可知結(jié)論可知結(jié)論 1) 成立成立.2) 求反函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)求反函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù). , 0j注意從方程組從方程組解出解出(1.偏連偏連;2.非空非空;3.非零非零.)( , , , )( , )f x y u vxx u v( , , , )( , )

14、g x y u vyy u vxxuvyyvvxxuvyyvvxuxv,1vyj uyj 1同理同理, 式兩邊對式兩邊對 y 求導(dǎo)求導(dǎo), 可得可得,1vxjyuuxjyv1xuj(,)( , )f gvx10 xvyv( , , , )( , )f x y u vxx u v( , , , )( , )g x y u vyy u v1j ,1vyj 用公式用公式(,)( , )f gu v其他其他內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 隱函數(shù)隱函數(shù)( 組組) 存在定理存在定理2. 隱函數(shù)隱函數(shù) ( 組組) 求導(dǎo)方法求導(dǎo)方法方法方法1. 利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接計算利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接計算 ;方法方法2. 利用微分形式不變性利用微分形式不變性 ;方法方法3. 代公式代公式條件：、條件：、2、3偏連；非空；非零偏連；非空；非零作業(yè)作業(yè)p893 , 7 , 10 (1); (3),(zyxzyxfz解法解法2. 利用全微分形式不變性同時求出各偏導(dǎo)數(shù)利用全微分形式不變性同時求出各偏導(dǎo)數(shù). .,yxzd1f zyxddd2f zyxyzxxzyddd:dx解出 d x21fzyfzfyxfd121yfzxfd21.zx由由d y, d z 的系數(shù)即可得的系數(shù)即可得例例5. 設(shè)設(shè)二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù), ,求下列表達式在求下列表達式在),(yxfu 222222)2