第4章 結(jié)構(gòu)抗震計算

1、 1.結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)結(jié)構(gòu)地震反應(yīng) 地震對結(jié)構(gòu)的影響稱為結(jié)構(gòu)的地震對結(jié)構(gòu)的影響稱為結(jié)構(gòu)的地震反應(yīng)地震反應(yīng)( (如速度、加速如速度、加速度、位移和內(nèi)力等度、位移和內(nèi)力等) )。結(jié)構(gòu)在地震作用過程中的每一瞬間上，。結(jié)構(gòu)在地震作用過程中的每一瞬間上，其動力反應(yīng)是不同的，且結(jié)構(gòu)的動力反應(yīng)又是與自身的動力其動力反應(yīng)是不同的，且結(jié)構(gòu)的動力反應(yīng)又是與自身的動力特性互相影響的。只有求解結(jié)構(gòu)體系的運動微分方程才能了特性互相影響的。只有求解結(jié)構(gòu)體系的運動微分方程才能了解每一瞬間時的結(jié)構(gòu)動力反應(yīng)。解每一瞬間時的結(jié)構(gòu)動力反應(yīng)。 2.2.地震作用地震作用 各類施加于結(jié)構(gòu)上的荷載為直接作用；結(jié)構(gòu)的地震反應(yīng)各類施加于結(jié)構(gòu)上的荷

2、載為直接作用；結(jié)構(gòu)的地震反應(yīng)是地震動通過結(jié)構(gòu)慣性產(chǎn)生的，因此是一個間接作用是地震動通過結(jié)構(gòu)慣性產(chǎn)生的，因此是一個間接作用, ,而不稱而不稱為荷載。為荷載。 地震作用和結(jié)構(gòu)抗震驗算是建筑抗震設(shè)計的重要環(huán)節(jié)，是地震作用和結(jié)構(gòu)抗震驗算是建筑抗震設(shè)計的重要環(huán)節(jié)，是確定所設(shè)計的結(jié)構(gòu)滿足最低抗震設(shè)防安全要求的關(guān)鍵步驟。確定所設(shè)計的結(jié)構(gòu)滿足最低抗震設(shè)防安全要求的關(guān)鍵步驟。計算步驟 （1）計算結(jié)構(gòu)地震作用； （2）計算結(jié)構(gòu)、構(gòu)件的地震作用效應(yīng)； （3）與其他荷載進行組合； （4）驗算結(jié)構(gòu)構(gòu)件的強度、變形（小震 不壞、中震可修、大震不倒）。其中: (1)地震作用的計算:彈性反應(yīng)譜理論； (2)結(jié)構(gòu)的內(nèi)力分析:線

3、彈性理論； (3)結(jié)構(gòu)構(gòu)件截面抗震驗算:各種靜力 設(shè)計規(guī)范方法和基本指標; (4)脆性結(jié)構(gòu)（無筋砌體）：抗震構(gòu)造措 施上加強； (5)延性結(jié)構(gòu)（易倒塌結(jié)構(gòu)）：薄弱層彈 塑性變形驗算。4.1.1 各類建筑結(jié)構(gòu)的地震作用各類建筑結(jié)構(gòu)的地震作用，應(yīng)按下列原則考慮：各類建筑結(jié)構(gòu)的地震作用，應(yīng)按下列原則考慮： ( 1）一般情況下，應(yīng)允許在建筑結(jié)構(gòu)的兩個主軸方向分別計算）一般情況下，應(yīng)允許在建筑結(jié)構(gòu)的兩個主軸方向分別計算水平地震作用并進行抗震驗算，各方向的水平地震作用由該方水平地震作用并進行抗震驗算，各方向的水平地震作用由該方向抗側(cè)力構(gòu)件承擔。向抗側(cè)力構(gòu)件承擔。 ( 2 ）有斜交抗側(cè)力構(gòu)件的結(jié)構(gòu)，當相交角

4、度大于）有斜交抗側(cè)力構(gòu)件的結(jié)構(gòu)，當相交角度大于 15 時，應(yīng)時，應(yīng)分別計算各抗側(cè)力構(gòu)件方向的水平地震作用。分別計算各抗側(cè)力構(gòu)件方向的水平地震作用。 ( 3 ）質(zhì)量和剛度分布明顯不對稱的結(jié)構(gòu)，應(yīng)計入雙向水平地）質(zhì)量和剛度分布明顯不對稱的結(jié)構(gòu)，應(yīng)計入雙向水平地震作用下的扭轉(zhuǎn)影響；其他情況，允許采用調(diào)整地震作用效應(yīng)震作用下的扭轉(zhuǎn)影響；其他情況，允許采用調(diào)整地震作用效應(yīng)的方法計入扭轉(zhuǎn)影響。的方法計入扭轉(zhuǎn)影響。 ( 4 ) 8 度和度和 9 度時的大跨度結(jié)構(gòu)（如跨度大于度時的大跨度結(jié)構(gòu)（如跨度大于 24m 的屋架的屋架等）、長懸臂結(jié)構(gòu)（如等）、長懸臂結(jié)構(gòu)（如 1 . 5m 以上的懸挑陽臺等）以上的懸挑陽

5、臺等） , 9 度時的度時的高層建筑，應(yīng)計算豎向地震作用。高層建筑，應(yīng)計算豎向地震作用。 4 . 1 . 2 各類建筑結(jié)構(gòu)的抗震計算各類建筑結(jié)構(gòu)的抗震計算規(guī)范規(guī)范規(guī)定的以下三種方法：規(guī)定的以下三種方法：(1)高度高度40米的，以剪切變形為主且質(zhì)量和剛度沿高度分米的，以剪切變形為主且質(zhì)量和剛度沿高度分布均勻的結(jié)構(gòu)，以及近似單質(zhì)點體系的結(jié)構(gòu)，宜采用底部布均勻的結(jié)構(gòu)，以及近似單質(zhì)點體系的結(jié)構(gòu)，宜采用底部剪力法；剪力法；(2)除除1外外 振型分解反應(yīng)譜法；振型分解反應(yīng)譜法；(3)特別不規(guī)則建筑特別不規(guī)則建筑(平面、豎向不規(guī)則，見表平面、豎向不規(guī)則，見表4-1、表、表4-2)、甲類建筑和表甲類建筑和表4

6、-3所列高度范圍的高層建筑所列高度范圍的高層建筑時程分析法時程分析法進行補充計算。進行補充計算。 類別選取不少于類別選取不少于2條以上實際強震記條以上實際強震記 錄曲線和錄曲線和1條人工模擬波。條人工模擬波。(4) 罕遇地震下結(jié)構(gòu)的變形，采用簡化的彈塑性分析方法罕遇地震下結(jié)構(gòu)的變形，采用簡化的彈塑性分析方法或彈塑性時程分析法；或彈塑性時程分析法；(5)采用隔震和消能減震設(shè)計的建筑結(jié)構(gòu)，應(yīng)采用第九、采用隔震和消能減震設(shè)計的建筑結(jié)構(gòu)，應(yīng)采用第九、十章的方法進行計算。十章的方法進行計算。不規(guī)則類型不規(guī)則類型 定義定義扭轉(zhuǎn)不規(guī)則扭轉(zhuǎn)不規(guī)則樓層的最大彈性水平位移（或?qū)娱g位移），大于該樓層的最大彈性水平位

7、移（或?qū)娱g位移），大于該樓層兩端彈性水平位移（或?qū)娱g位移）平均值的樓層兩端彈性水平位移（或?qū)娱g位移）平均值的1.2倍倍凹凸不規(guī)則凹凸不規(guī)則結(jié)構(gòu)平面凹進的一側(cè)尺寸，大于相應(yīng)投影方向總尺結(jié)構(gòu)平面凹進的一側(cè)尺寸，大于相應(yīng)投影方向總尺寸的寸的30%樓板局部不連樓板局部不連續(xù)續(xù)樓板的尺寸和平面剛度急劇變化，例如，有效樓板樓板的尺寸和平面剛度急劇變化，例如，有效樓板寬度小于該層樓板典型寬度的寬度小于該層樓板典型寬度的50%,或開洞面積大于或開洞面積大于該層樓面面積的該層樓面面積的30%，或較大的樓層錯層，或較大的樓層錯層 平面不規(guī)則的類型平面不規(guī)則的類型 表表4-1 1221222 . 1122扭轉(zhuǎn)不規(guī)則

8、扭轉(zhuǎn)不規(guī)則max3 . 0 bbmaxbmax3 . 0 bbmaxbmaxbmax3 . 0 bbmaxbmax3 . 0 bb凹凸角不規(guī)則凹凸角不規(guī)則扭轉(zhuǎn)不規(guī)則與凹凸不規(guī)則扭轉(zhuǎn)不規(guī)則與凹凸不規(guī)則 平面不規(guī)則的類型平面不規(guī)則的類型bbb5 . 0bblaaa 3 . 00l局部不連續(xù)局部不連續(xù)大開洞大開洞錯層錯層樓板局部不連續(xù)樓板局部不連續(xù)豎向不規(guī)則的類型豎向不規(guī)則的類型 表表4-2 不規(guī)則類型不規(guī)則類型 定義定義側(cè)向剛度不規(guī)則側(cè)向剛度不規(guī)則該層的側(cè)向剛度小于相鄰上一層的該層的側(cè)向剛度小于相鄰上一層的70%，或，或小于其上相鄰三個樓層側(cè)向剛度平均值的小于其上相鄰三個樓層側(cè)向剛度平均值的80%

9、；除頂層外，局部收進的水平向尺寸大；除頂層外，局部收進的水平向尺寸大于相鄰下一層的于相鄰下一層的25%豎向抗側(cè)力構(gòu)件不豎向抗側(cè)力構(gòu)件不連續(xù)連續(xù)豎向抗側(cè)力構(gòu)件（柱、抗震墻、抗震支撐）豎向抗側(cè)力構(gòu)件（柱、抗震墻、抗震支撐）的內(nèi)力由水平轉(zhuǎn)換構(gòu)件（梁、桁架等的內(nèi)力由水平轉(zhuǎn)換構(gòu)件（梁、桁架等)向下傳向下傳遞遞樓層承載力突變樓層承載力突變抗側(cè)力結(jié)構(gòu)的層間受剪承載力小于相鄰上一抗側(cè)力結(jié)構(gòu)的層間受剪承載力小于相鄰上一樓層的樓層的80%側(cè)向剛度不規(guī)則與豎向抗側(cè)力構(gòu)件不連續(xù)17 . 0iikkik1ik2ik3ik)3( 8 . 0321iiiikkkk沿豎向的側(cè)向剛度不規(guī)則（有柔軟層）沿豎向的側(cè)向剛度不規(guī)則（有

10、柔軟層） 豎向抗側(cè)力構(gòu)件不連續(xù)豎向抗側(cè)力構(gòu)件不連續(xù)樓層承載力突變豎向抗側(cè)力結(jié)構(gòu)屈服抗剪強度不均勻豎向抗側(cè)力結(jié)構(gòu)屈服抗剪強度不均勻 （有薄弱層）（有薄弱層）iyq,1, iyq1,8.0iyiyqq 嚴重不規(guī)則是指體型復(fù)雜，嚴重不規(guī)則是指體型復(fù)雜，多項不規(guī)則指標超過表中指標或多項不規(guī)則指標超過表中指標或某一項大大超過規(guī)定值，具有嚴某一項大大超過規(guī)定值，具有嚴重的抗震薄弱環(huán)節(jié)，將會導(dǎo)致地重的抗震薄弱環(huán)節(jié)，將會導(dǎo)致地震破壞的嚴重后果者。震破壞的嚴重后果者。注：以上規(guī)定主要針對鋼筋混凝注：以上規(guī)定主要針對鋼筋混凝土和鋼結(jié)構(gòu)的多層和高層建筑。土和鋼結(jié)構(gòu)的多層和高層建筑。4 . 1 . 3 地基與結(jié)構(gòu)相互

11、作用的影響地基與結(jié)構(gòu)相互作用的影響 地基與結(jié)構(gòu)的相互作用表現(xiàn)在兩個方面：地基與結(jié)構(gòu)的相互作用表現(xiàn)在兩個方面： (1)結(jié)構(gòu)對地基的反饋作用結(jié)構(gòu)對地基的反饋作用 放大了接近結(jié)構(gòu)自振頻率放大了接近結(jié)構(gòu)自振頻率的分量，導(dǎo)致的分量，導(dǎo)致 削減；削減； (2)地基變形改變結(jié)構(gòu)的振動特性：周期增大，阻尼增地基變形改變結(jié)構(gòu)的振動特性：周期增大，阻尼增大，位移增大，結(jié)構(gòu)所受的地震作用下降。大，位移增大，結(jié)構(gòu)所受的地震作用下降。 相互作用的影響范圍相互作用的影響范圍 （1）上部結(jié)構(gòu)剛度較大，而地基剛度相對較小，非常）上部結(jié)構(gòu)剛度較大，而地基剛度相對較小，非常顯著；顯著； （2）上部結(jié)構(gòu)剛度較小，而地基剛度相對較大

12、，相互）上部結(jié)構(gòu)剛度較小，而地基剛度相對較大，相互作用趨于消失作用趨于消失 max折減系數(shù)折減系數(shù)（1）h/b3的結(jié)構(gòu)，各樓層地震剪力的折減系的結(jié)構(gòu)，各樓層地震剪力的折減系數(shù)數(shù) 按剛性地基假定確定的結(jié)構(gòu)基本自振周期按剛性地基假定確定的結(jié)構(gòu)基本自振周期 計入地基與結(jié)構(gòu)動力相互作用的附加周期計入地基與結(jié)構(gòu)動力相互作用的附加周期(2)h/b不小于不小于3的結(jié)構(gòu)，底部的地震剪力按（的結(jié)構(gòu)，底部的地震剪力按（1）款規(guī)定）款規(guī)定折減，頂部不折減，中間各層按線性插值；折減，頂部不折減，中間各層按線性插值；(3)折減后各樓層的水平地震力，應(yīng)符合規(guī)范相關(guān)規(guī)定。折減后各樓層的水平地震力，應(yīng)符合規(guī)范相關(guān)規(guī)定。4.1

13、.4結(jié)構(gòu)樓層水平地震剪力的分配結(jié)構(gòu)樓層水平地震剪力的分配 (1)現(xiàn)澆和裝配整體式鋼筋砼樓、屋蓋，按抗側(cè)力現(xiàn)澆和裝配整體式鋼筋砼樓、屋蓋，按抗側(cè)力構(gòu)件等效剛度的比例分配。構(gòu)件等效剛度的比例分配。 (2)木樓、屋蓋等柔性建筑，宜按抗側(cè)力構(gòu)件從屬木樓、屋蓋等柔性建筑，宜按抗側(cè)力構(gòu)件從屬面積上重力荷載代表值的比例分配。面積上重力荷載代表值的比例分配。 (3)普通的預(yù)制裝配式鋼筋混凝土半剛性樓、屋蓋普通的預(yù)制裝配式鋼筋混凝土半剛性樓、屋蓋的建筑，可取上述兩種分配法結(jié)果的平均值。的建筑，可取上述兩種分配法結(jié)果的平均值。 (4)考慮空間作用、樓蓋變形、墻體彈塑性變形和考慮空間作用、樓蓋變形、墻體彈塑性變形和

14、扭轉(zhuǎn)的影響時，適當調(diào)整。扭轉(zhuǎn)的影響時，適當調(diào)整。4.1.5 結(jié)構(gòu)抗震驗算的基本原則結(jié)構(gòu)抗震驗算的基本原則 1、6度時的建筑（建造于類場地上較高的高層建筑除外），以及生土房屋和木結(jié)構(gòu)房屋等，允許不進行截面抗震驗算，但應(yīng)符合有關(guān)的抗震措施要求； 2、6度時建造于類場地上較高的高層建筑，7度和7度以上的建筑結(jié)構(gòu)多遇地震作用下的截面抗震驗算； 3、對于鋼筋混凝土框架、框架抗震墻、框架、對于鋼筋混凝土框架、框架抗震墻、框架核心筒、抗震墻、筒中筒、框支層結(jié)構(gòu)和多、高層核心筒、抗震墻、筒中筒、框支層結(jié)構(gòu)和多、高層鋼結(jié)構(gòu)，除按規(guī)定進行多遇地震作用下的截面抗震鋼結(jié)構(gòu)，除按規(guī)定進行多遇地震作用下的截面抗震驗算外，

15、尚應(yīng)進行罕遇地震作用下的變形驗算；驗算外，尚應(yīng)進行罕遇地震作用下的變形驗算； 4、結(jié)構(gòu)在罕遇地震作用下薄弱層的彈塑性變形驗、結(jié)構(gòu)在罕遇地震作用下薄弱層的彈塑性變形驗算，符合下列要求：算，符合下列要求： (1)規(guī)范規(guī)定了一些結(jié)構(gòu)應(yīng)進行彈塑性變形驗算；規(guī)范規(guī)定了一些結(jié)構(gòu)應(yīng)進行彈塑性變形驗算； (2)規(guī)范規(guī)定了一些結(jié)構(gòu)宜進行彈塑性變形驗算；規(guī)范規(guī)定了一些結(jié)構(gòu)宜進行彈塑性變形驗算； (3)彈塑性變形計算可采用下列方法：彈塑性變形計算可采用下列方法：a)a)不超過不超過1212層且剛度無突變的鋼筋砼框架結(jié)構(gòu)、層且剛度無突變的鋼筋砼框架結(jié)構(gòu)、單層鋼筋混凝土柱廠房可采用本章的簡化計算單層鋼筋混凝土柱廠房可采

16、用本章的簡化計算方法；方法；b)b)除第除第a)a)款外，可采用靜力彈塑性方法或彈塑性款外，可采用靜力彈塑性方法或彈塑性時程分析法等；時程分析法等；c)c)規(guī)則結(jié)構(gòu)可采用彎剪層模型或平面桿系模型，規(guī)則結(jié)構(gòu)可采用彎剪層模型或平面桿系模型，屬于表屬于表4 41 1、4 42 2規(guī)定的不規(guī)則結(jié)構(gòu)應(yīng)采用空規(guī)定的不規(guī)則結(jié)構(gòu)應(yīng)采用空間結(jié)構(gòu)模型。間結(jié)構(gòu)模型。4.2 地震作用地震作用由地震引起的結(jié)構(gòu)動態(tài)作用(豎向、水平)。 地震作用的特點： 與結(jié)構(gòu)的動力特性密切相關(guān) 結(jié)構(gòu)體系的運動微分方程。 由于地震作用的復(fù)雜性和地震作用發(fā)生的強由于地震作用的復(fù)雜性和地震作用發(fā)生的強度的不確定性，以及結(jié)構(gòu)和體形的差異等，地震

17、度的不確定性，以及結(jié)構(gòu)和體形的差異等，地震作用的計算方法是不同的。可分為簡化方法和較作用的計算方法是不同的?？煞譃楹喕椒ê洼^復(fù)雜的精細方法。復(fù)雜的精細方法。底部剪力法底部剪力法振型分解反應(yīng)譜振型分解反應(yīng)譜時程分析法時程分析法靜力彈塑性方法靜力彈塑性方法1. 1. 結(jié)構(gòu)動力計算方法結(jié)構(gòu)動力計算方法2.2.結(jié)構(gòu)抗震理論的發(fā)展結(jié)構(gòu)抗震理論的發(fā)展1 1）. .靜力理論階段靜力理論階段-靜力法靜力法19201920年，日本大森房吉提出。年，日本大森房吉提出。假設(shè)建筑物為絕對剛體。假設(shè)建筑物為絕對剛體。)(txg m)(txmg 地震作用地震作用gkxggxmfggmaxmax gxkgmax -地震系

18、數(shù)地震系數(shù)將將f f作為靜荷載，按靜力計算方法計算結(jié)構(gòu)的地震效應(yīng)作為靜荷載，按靜力計算方法計算結(jié)構(gòu)的地震效應(yīng)2 2）. .定函數(shù)理論定函數(shù)理論tatxgcos)( 蘇聯(lián)扎夫里耶夫首先提出的，他認為地震地面蘇聯(lián)扎夫里耶夫首先提出的，他認為地震地面運動可用余弦函數(shù)來描述，也即地面位移為運動可用余弦函數(shù)來描述，也即地面位移為teatxniitigi1sin)( 蘇聯(lián)的柯爾琴斯基提出地面運動可用若干個不蘇聯(lián)的柯爾琴斯基提出地面運動可用若干個不同振幅、不同阻尼和不同頻率的衰減正弦函數(shù)的和同振幅、不同阻尼和不同頻率的衰減正弦函數(shù)的和來表示，也即來表示，也即3 3）. .反應(yīng)譜理論反應(yīng)譜理論-反應(yīng)譜法反應(yīng)譜

19、法19401940年，美國皮奧特提出。年，美國皮奧特提出。地震作用地震作用gkfgk-重力荷載代表值重力荷載代表值-地震系數(shù)（反映震級、震中距、地基等的影響）地震系數(shù)（反映震級、震中距、地基等的影響）-動力系數(shù)動力系數(shù)( (反映結(jié)構(gòu)的特性反映結(jié)構(gòu)的特性, ,如周期、阻尼等的影響如周期、阻尼等的影響) )按靜力計算方法計算結(jié)構(gòu)的地震效應(yīng)按靜力計算方法計算結(jié)構(gòu)的地震效應(yīng)目前，世界上普遍采用的方法。目前，世界上普遍采用的方法。4 4）. .直接動力分析理論直接動力分析理論-時程分析法時程分析法 將實際地震加速度時程記錄（簡稱地震記錄將實際地震加速度時程記錄（簡稱地震記錄 earth-quakerec

20、ord）作為動荷載輸入，進行結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng)分）作為動荷載輸入，進行結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng)分析。析。 此外，有用隨機振動理論來分析結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)統(tǒng)計特此外，有用隨機振動理論來分析結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)統(tǒng)計特征的，有以地震時輸入結(jié)構(gòu)的能量進行設(shè)計，使結(jié)構(gòu)所吸征的，有以地震時輸入結(jié)構(gòu)的能量進行設(shè)計，使結(jié)構(gòu)所吸收的能量不致造成結(jié)構(gòu)破壞的理論等。但這些方法還沒有收的能量不致造成結(jié)構(gòu)破壞的理論等。但這些方法還沒有進入抗震設(shè)計規(guī)范，因此未被抗震設(shè)計使用進入抗震設(shè)計規(guī)范，因此未被抗震設(shè)計使用 。5 5）. .非線性靜力分析方法（非線性靜力分析方法（push over analysis)push over analysis) 正確

21、反映結(jié)構(gòu)的慣性作用才能準確計算結(jié)構(gòu)的動正確反映結(jié)構(gòu)的慣性作用才能準確計算結(jié)構(gòu)的動力反應(yīng)，結(jié)構(gòu)的慣性是由結(jié)構(gòu)的質(zhì)量及其分布決定的力反應(yīng)，結(jié)構(gòu)的慣性是由結(jié)構(gòu)的質(zhì)量及其分布決定的，因此確定結(jié)構(gòu)計算簡圖的關(guān)鍵是如何表述結(jié)構(gòu)的質(zhì)，因此確定結(jié)構(gòu)計算簡圖的關(guān)鍵是如何表述結(jié)構(gòu)的質(zhì)量及其分布。結(jié)構(gòu)質(zhì)量及其分布的描述有：量及其分布。結(jié)構(gòu)質(zhì)量及其分布的描述有：1.1.分布質(zhì)量描述；分布質(zhì)量描述；2.2.集中質(zhì)量描述集中質(zhì)量描述3 3、結(jié)構(gòu)計算簡圖、結(jié)構(gòu)計算簡圖集中質(zhì)量描述集中質(zhì)量描述： 按質(zhì)量分布劃分區(qū)域；以按質(zhì)量分布劃分區(qū)域；以區(qū)域內(nèi)質(zhì)量中心為基準，將區(qū)域區(qū)域內(nèi)質(zhì)量中心為基準，將區(qū)域內(nèi)全部質(zhì)量集中于此，形成質(zhì)點；

22、內(nèi)全部質(zhì)量集中于此，形成質(zhì)點；單層廠房、水塔等絕大部分質(zhì)量單層廠房、水塔等絕大部分質(zhì)量集中在屋蓋處或儲水柜處，可把集中在屋蓋處或儲水柜處，可把結(jié)構(gòu)中參與振動的質(zhì)量按動能等結(jié)構(gòu)中參與振動的質(zhì)量按動能等效的原理全部集中在一個點上，效的原理全部集中在一個點上，并用無質(zhì)量的彈性桿支承在地面并用無質(zhì)量的彈性桿支承在地面上，形成一個單質(zhì)點體系。上述上，形成一個單質(zhì)點體系。上述體系在單一水平向地震作用下，體系在單一水平向地震作用下，可按一個單自由度彈性體系來分可按一個單自由度彈性體系來分析。析。4.2.1 4.2.1 單質(zhì)點彈性體系的地震反應(yīng)單質(zhì)點彈性體系的地震反應(yīng) 一一. 體系的體系的運動方程運動方程 4

23、.2.1 4.2.1 單質(zhì)點彈性體系的地震反應(yīng)單質(zhì)點彈性體系的地震反應(yīng) 一一. 體系的體系的運動方程運動方程 取質(zhì)點為隔離體，由結(jié)構(gòu)力學(xué)知道作用在質(zhì)點上的力有： (1)彈性恢復(fù)力s(t)：使質(zhì)點從任意位置回到平衡位置的力，大小為質(zhì)點相對位移 與側(cè)移剛度 的乘積，方向與位移方向相反,即： )(txk)(txk (2)阻尼力r(t)：使體系振動不斷衰減的力，大小為質(zhì)點相對于地面的速度 與體系阻尼系數(shù) 的乘積，方向與 的方向相反，即： )(.tx)(.txc)(.txc (3)慣性力i(t)： 其大小為質(zhì)點的質(zhì)量與其絕對加速度的乘積，方向與絕對加速度的方向相反，即： )()()(.txtxmtig由

24、質(zhì)點的力系作用平衡，可導(dǎo)出體系的運動方程 (4-5)(4-5)0)()()()(.txktxctxtxmg 整理后可導(dǎo)出體系在水平地震作用下的運動方程 (4-7)(4-7)()()()(.txmtxktxctxmg)(tx)(txgmm)(gxxm kxxc式中： 質(zhì)點的質(zhì)量； 質(zhì)點相對于地面的加速度； 地面運動加速度； 作用在體系上的擾力 ； 體系的阻尼比， 0.010.1 (一般結(jié) 構(gòu))，規(guī)范取為0.05。)(.tx)(.txg.)(txmg)(tp若令 ； (4-8)(4-8)mk2mcmkc22可簡化為 (4-9)(4-9)()()(2)(.2.txtxtxtxg 無阻尼單自由度彈性體

25、系的圓頻率， 單位為赫茲( ) 結(jié)構(gòu)的自振周期(振動一次所需要的時間) ，單位為 。hzts二. 運動方程的求解m 當體系無干擾力 時，體系的運動為有阻尼的自由振動，其運動方程為一個齊次微分方程： (4-12) 當阻尼c0時，描述無阻尼單自由度彈性體系的自由振動方程為 )(tp0)()(.2)(.2txtxtx 0)()(2.txtx22tm k (4-10)解：解：（1 1）求結(jié)構(gòu)體系的自振周期）求結(jié)構(gòu)體系的自振周期kn/m249601248021222hikct 4 .71s/m8 . 9/kn700/2ggms336. 024960/4 .712/2kmt例：單層單跨框架。屋蓋剛度為無窮

26、大，質(zhì)量集中于屋例：單層單跨框架。屋蓋剛度為無窮大，質(zhì)量集中于屋蓋處。已知設(shè)防烈度為蓋處。已知設(shè)防烈度為8 8度，設(shè)計地震分組為二組，度，設(shè)計地震分組為二組，類類場地；屋蓋處的重力荷載代表值場地；屋蓋處的重力荷載代表值g=700kng=700kn，框架柱線剛，框架柱線剛度度 , ,阻尼比為阻尼比為0.050.05。試。試求結(jié)構(gòu)體系求結(jié)構(gòu)體系的自振周期的自振周期mkn106 . 2/4heiicch=5mh=5m 單自由度彈性體系的地震反應(yīng)分析就是常系數(shù)二階非齊次對方程(4-9)求解。解答包含兩個部分：a方程(4-9)相對應(yīng)齊次方程的通解；代表體系的 有阻尼自由振動。b方程(4-9)的特解；代表

27、體系在地震作用下的強 迫振動。運動方程的解運動方程的解(1)(1)齊次方程的通解齊次方程的通解根據(jù)常系數(shù)微分方程理論，齊次方程(4-12)的解為 (4-13)sincos)(tbtaetxt其中 (4-14) 21無阻尼時體系的圓頻率有阻尼時體系的圓頻率 阻尼系數(shù)c與臨界阻尼系數(shù) 的比值稱為臨界阻尼比 ，或稱為阻尼比。 rca當阻尼比 1時， 0，則體系產(chǎn)生振動；b當阻尼比 1時， 0，則體系不振動，為 過阻尼c當阻尼比 1時， 0，則體系不振動。為 臨界阻尼 利用體系的初始條件( 時，質(zhì)點的位移為 ，質(zhì)點的速度為 )來確定待定參數(shù) 、0t)0(x)0(.xa ，最后得出方程的解答：b (4-

28、15) sin)0()0(cos)0()(.txxtxetxt 從上式看出，當質(zhì)點的 或 不為零時，才產(chǎn)生自由振動，且振幅隨時間不斷衰減，阻尼比 愈大，振幅的衰減也愈快。 由此可以繪出有阻尼單自由度體系作自由振動時的位移時程曲線，如圖。 ) 0( x) 0(.xytasin(t)et無阻尼自由振動：振幅始終不變無阻尼自由振動：振幅始終不變有阻尼自由振動：振幅隨時間的增加而減小，體系有阻尼自由振動：振幅隨時間的增加而減小，體系 的阻尼越大，其振幅的衰減就越快。的阻尼越大，其振幅的衰減就越快。 結(jié)構(gòu)的阻尼比 的值： 最常用的試驗方法有以下兩種：(1)自由振動試驗：(2)強迫振動試驗(帶寬法)：（1

29、）強迫振動試驗（帶寬法） 在結(jié)構(gòu)頂部安裝一臺可調(diào)振動頻率的起振機，使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生各種頻率的水平向簡諧振動圖4-5，用測振儀可以測得結(jié)構(gòu)振幅-頻率關(guān)系曲線。 (振幅)最大值所對應(yīng)的頻率 為結(jié)構(gòu)自振圓頻率;振幅0.707 的兩點所對應(yīng)的圓頻率為 和 mxrmx12212r（2）自由振動試驗： 牽拉結(jié)構(gòu)的頂點，使其產(chǎn)生一個側(cè)移，然后突然釋放，結(jié)構(gòu)就產(chǎn)生水平向的自由振動，用測振儀可記錄到結(jié)構(gòu)頂點位移的衰減時程曲線。(1)1( )1lnln2()2( )mmxix tx ttxi(2)非齊次方程的特解duhamel積分 原理： 將激勵看成是無窮多個連續(xù)作用的微分脈沖組成圖4-6(a)，將這些脈沖作用后產(chǎn)生的

30、自由振動疊加起來即可求得運動微分方程的解 圖4-6(b)。瞬時沖量及其引起的自由振動 ）（ 21. 3sin000000tmpdtetxmpdt)( x ,xmpdtvvmvmvpdtt由振動方程則得瞬時荷載作用下自因式3.11）根據(jù)自由振動的方程（則此時的速度若體系原先靜止，即瞬時沖量：（4-18）即為式(4-15)的初始條件，利用式(4-15)求得當 時作用一個微分脈沖后位移反應(yīng)dtxetdxgt)(sin)()()( 只要把這無窮多個微分脈沖作用后所產(chǎn)生的自由振動只要把這無窮多個微分脈沖作用后所產(chǎn)生的自由振動疊加起來即可求得方程疊加起來即可求得方程(4-9)(4-9)的特解的特解 )(d

31、x)(tx 有阻尼單自由度彈性體系在地震作用下總的位移有阻尼單自由度彈性體系在地震作用下總的位移反應(yīng)反應(yīng) ，用積分表達即為，用積分表達即為)(tx.()01( )( )sin()tgtxx tetd (4-20)(4-20) 上式是非齊次線性微分方程(4-9)的特解(杜哈曼積分)，它與齊次方程的通解式(4-15)之和構(gòu)成了運動微分方程(4-9)的通解(4-21)(4-21)sin)0()0(cos)0()(.txxtxetxt.()01( )sin()tgtxetd ttddx(t)dxg 地震發(fā)生前，體系的 和 均為零，即式中第一項為零。所以，常用式(4-21)來計算體系的位移反應(yīng) 。將式(

32、4-21)對時間求導(dǎo)數(shù)，求得體系在水平地震作用下相對于地面的速度反應(yīng) 為) 0 ( x) 0 (.x)(tx)(.txttgdtetxdttdxtx0)(.)(cos)()()(+ + dtetxttg)(sin)()(0.(4-(4-22)22)由此式（4-20）（4-22）（4-9）可求得單自由度彈性體系的絕對加速度為 .2.)()(2)()(txtxtxtxg(4-23)(4-23)(三) 地震反應(yīng) 因地面運動加速度時程 是復(fù)雜的曲線，只能把加速度時程曲線 劃分為許多t的時段，用數(shù)值積分來計算體系的地震反應(yīng)。令)(.txg)(.txgmax)(txsdmax.)(txsvmax.)()(

33、txtxsga(4-24) 對式(4-24)作以下簡化處理：(1) 忽略上述式中的 和 項，阻尼比 值較小，一般結(jié)構(gòu) 為0.05；(2) 取 ，因為兩者非常接近；(3) 用 取代 ，這樣處理，相位差/2。 2)(sint)(cost 這樣，體系的最大絕對加速度、速度、位移間的近似關(guān)系為： dvasss2.()0max( )sin()ttgasxetd max)(0.)(sin)(dtexsttgvmax)(0.)(sin)(1dtexsttgd(4-24,25,26) 4.2.2.單自由度彈性體系的水平地震作用 理論基礎(chǔ)：將慣性力看作一種反應(yīng)地震對結(jié)構(gòu)體系影響得等效力 結(jié)構(gòu)在地震持續(xù)過程中經(jīng)受

34、得最大地震作用最大地震作用為：(4-28)max( ) ( )( )gaf tm x tx tms.max.max( )( )gagxtsm gk gggxt 4 . 2 . 3 重力荷載代表值的確定 抗震規(guī)范 規(guī)定，結(jié)構(gòu)的重力荷載代表值應(yīng)取結(jié)構(gòu)和構(gòu)配件自重標準值 加上各可變荷載組合值 ，即 kgikniqiq1ikniqikqgg1(4-32)重力荷載代表值例題之一4.3 4.3 設(shè)計反應(yīng)譜設(shè)計反應(yīng)譜4.3.1 4.3.1 地震反應(yīng)譜地震反應(yīng)譜(3-25) .()0max( )sin()ttgasxetd .()0max( )sin()ttgvsxetd max)(0.)(sin)(1dte

35、xsttgd(3-26) dvasss2 繪制反應(yīng)譜的步驟：1給定地面輸入 ；2單自由度體系設(shè)定 ；3設(shè)， ， ；4設(shè)定t；5利用duhamel積分求響應(yīng)；對于不同的可產(chǎn)生一系列sa-t曲線、或sv-t曲線、 sd-t曲線。 可以看出： 當選定了地面加速度時程曲線 和給定阻尼比 時（ ）， 、 和 僅是體系自振周期 (或圓頻率 )的函數(shù)。以 為橫坐標， 為縱坐標，可以繪制如右圖a所示的譜曲線(擬加速度反應(yīng)譜)。 所謂“反應(yīng)譜”是單自由度彈性體系在給定的地震作用下某個最大反應(yīng)量(如 、 、 等)與體系自振周期的關(guān)系曲線。)(.txg05. 0dsvsasttasdsvsas (4) 結(jié)構(gòu)自振周期

36、 接近于場地的特征周期時，加速度反應(yīng)譜隨 快速上升；反之則快速下降；當 大于3.0s，加速度反應(yīng)變化很??； (5) 地震動持續(xù)時間僅影響結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)的循環(huán)往復(fù)次數(shù)。 ttt不同場地的平均加速度反應(yīng)譜。其特點： (1) 阻尼比對反應(yīng)譜的影響很大(降低反應(yīng)的幅值)，使曲線變得平緩； (2) 地震動振幅越大，加速度反應(yīng)譜值也越大，它們間呈線性關(guān)系； (3) 地震動頻譜對加速度反應(yīng)譜的形狀有影響。影響振動頻譜的各種因素對反應(yīng)譜均有影響。如場地條件、震中距等； 不同的加速度時程曲線可得出不同的反應(yīng)譜曲線。在結(jié)構(gòu)設(shè)計時，無法預(yù)知建筑物會遭遇到怎樣的地震。因此，僅用某一次地震加速度時程曲線所得到的反應(yīng)譜曲線

37、 作為設(shè)計標準來計算地震作用是不恰當?shù)?，因此必須加以處理，使之能用簡單表達式來描述它的變化。)(tsa4.3.2 4.3.2 設(shè)計反應(yīng)譜設(shè)計反應(yīng)譜 規(guī)范根據(jù)同一類場地在各級烈度地震作用下地面運動的 ，分別計算出的反應(yīng)譜曲線，再進行統(tǒng)計分析，求出最有代表性的平均反應(yīng)譜曲線作為設(shè)計依據(jù)；通常稱之為抗震設(shè)計反應(yīng)譜。 )(.txg1動力系數(shù) ： 地震作用下結(jié)構(gòu)的最大加速度較地面振動加速度的放大倍數(shù)，其影響因素有震中距、場地條件、結(jié)構(gòu)動力特性等，為了簡化計算，a.結(jié)構(gòu)動力特性僅考慮自振周期的影響， 取為0.05；b.按震中距、場地條件將實測的地面加速度時程曲線 進行分組，計算結(jié)構(gòu)在各組地面加速度時程曲線

38、下 的動力反應(yīng)，再加以簡化；)(t質(zhì)點的慣性作用為質(zhì)量與加速度的乘積，因此有g(shù)ktgmgtxtxstfgga)()()()()(max.max.max(3-27)c. 計算結(jié)構(gòu)在各組地面加速度時程曲線下的最大動 力反應(yīng)，并根據(jù)可靠度的方法繪制 曲線。k2地震系數(shù) ： 反映了地震振動強弱對體系地震作用大小的影響，根據(jù)統(tǒng)計分析，地震烈度增加1度，地震系數(shù)值增大1倍。曲線3曲線2曲線1曲線4)(t)(t3地震影響系數(shù) ： 在相同的地震振動條件下， 與 的形狀完全一樣，僅數(shù)值相差 倍；當結(jié)構(gòu)的自振周期 時，結(jié)構(gòu)為一剛體，其加速度將與地面加速度相等，即 ,因此 有 k)(t)(tk0t1 kkt25.

39、2)(maxmax2max45. 0)0(t地震影響系數(shù)曲線的方程：max2max2max12max0.455.50.25ggttttt 0 . 6551 . 01 . 00ttttttttgggg (3-28) 衰減指數(shù)； 直線下降段的下降斜率調(diào)整系數(shù)； 阻尼調(diào)整系數(shù)； 結(jié)構(gòu)自振周期(s)； 特征周期，對應(yīng)于反應(yīng)譜峰值區(qū)拐點處的周期12tgt當結(jié)構(gòu)的 時，應(yīng)對曲線形狀參數(shù)進行修正： (4-34) (4-35)05. 0)55 . 0()5 . 0(.9 . 08)05. 0(02. 0155. 0)4 . 106. 0 ()05. 0 (124 . 3 . 3 水平地震影響系數(shù)最大值的確定

40、已知水平地震影響系數(shù) 水平地震影響系數(shù)最大值與基本烈度的關(guān)系： 與基本烈度的關(guān)系：場地特征周期設(shè)計地震 分組場地類別第一組0.250.350.450.65第二組0.300.400.550.75第三組0.350.450.650.90 規(guī)范給出在不同設(shè)計地震分組和不同的場地類別條件下的場地特征周期 的數(shù)值；詳見下表。gt查表確定查表確定max16. 0max解：解：例：單層單跨框架。屋蓋剛度為無窮大，質(zhì)量集中于屋例：單層單跨框架。屋蓋剛度為無窮大，質(zhì)量集中于屋蓋處。已知設(shè)防烈度為蓋處。已知設(shè)防烈度為8 8度，設(shè)計地震分組為二組，度，設(shè)計地震分組為二組，類類場地；屋蓋處的重力荷載代表值場地；屋蓋處的

41、重力荷載代表值g=700kng=700kn，框架柱線剛，框架柱線剛度度 , ,阻尼比為阻尼比為0.050.05。試求該結(jié)構(gòu)多。試求該結(jié)構(gòu)多遇地震時的水平地震作用。遇地震時的水平地震作用。 mkn106 . 2/4heiicc（1 1）求結(jié)構(gòu)體系的自振周期）求結(jié)構(gòu)體系的自振周期kn/m249601248021222hikct 4 .71s/m8 . 9/kn700/2ggms336. 024960/4 .712/2kmt（2 2）求水平地震影響系數(shù)）求水平地震影響系數(shù)h=5mh=5m查表確定查表確定gt3 . 0gt地震特征周期分組的特征周期值（地震特征周期分組的特征周期值（s s）0.90 0

42、.65 0.450.35第三組第三組0.75 0.55 0.400.30第二組第二組0.65 0.45 0.35 0.25第一組第一組 場地類別場地類別ggttt5)(st01 . 0gtgt50 . 6max2max45. 0max2)(ttgmax12)5(2 . 0gtt max2)(ttg9 . 055 . 005. 09 . 017 . 106. 005. 012144. 016. 0)336. 0/3 . 0(9 . 0（3 3）計算結(jié)構(gòu)水平地震作用）計算結(jié)構(gòu)水平地震作用kn8 .100700144.0gf 4.4 振型分解反應(yīng)譜法振型分解反應(yīng)譜法 1 分析模型分析模型 實際工程中

43、，只有少數(shù)結(jié)構(gòu)可以簡化為單質(zhì)點體系，大量的結(jié)構(gòu)(多層建筑、多跨不等高單層工業(yè)廠房)都應(yīng)簡化為多質(zhì)點體系來分析。而振型分解反應(yīng)譜法是彈性體系地震反應(yīng)的基本方法。 質(zhì)點的質(zhì)量通常為 層樓面的活荷載加其上、下兩半層的自重，集中于第 層的樓面處，形成一個多質(zhì)點體系。在單一方向水平地震作用下的一個 個質(zhì)點的結(jié)構(gòu)體系有 個自由度。 iiinn多層建筑多跨不等高廠房m2m1m2m4m3m1ii 利用振型正交和振型分解原理，將求解多自由度體系的總地震反應(yīng)分解為求解n個獨立的單自由度彈性體系的最大地震反應(yīng)及每一個振型下的作用效應(yīng)(彎矩、剪力、軸向力和變形)，再按一定的規(guī)則將每個振型的作用效應(yīng)組合成總的地震作用效

44、應(yīng)進行截面抗震驗算。 由于基本振型(或稱為第一振型)在總的地震效應(yīng)中的貢獻為最大，高振型的貢獻隨著振型階數(shù)的增高而迅速減小。因此，只需對前幾個振型(一般是前35個振型)的地震作用效應(yīng)進行組合。2 2振型分解反應(yīng)譜法的基本概念：振型分解反應(yīng)譜法的基本概念：其基本思路： (1)假定建筑結(jié)構(gòu)是線彈性多自由度體系； (2)利用振型分解，變?yōu)榍蠼鈔個獨立的等效單自由度彈性體系的最大地震反應(yīng)，從而求得每一振型的作用效應(yīng)； (3)按平方和方根法srss(square root of sum square method）或完全二次型方法cqc（complete quadric combination meth

45、od)法則進行作用效應(yīng)組合。振型分解法只需考慮前幾階振型，減小計算量。 對大多數(shù)質(zhì)量和剛度分布比較均勻和對稱的結(jié)構(gòu)，不需要考慮水平地震作用下的扭轉(zhuǎn)影響，可在建筑物的兩個主軸方向分別考慮水平地震作用進行驗算，各個方向的水平地震作用全部由該方向的抗側(cè)力構(gòu)件承擔。所以，在單一方向水平地震作用下的一個 n 質(zhì)點的結(jié)構(gòu)體系只有 n 個自由度。4.4.1 4.4.1 多自由度彈性體系的運動方程多自由度彈性體系的運動方程 設(shè) 為地震時地面運動的水平位移， 表示質(zhì)點 相對于基礎(chǔ)的位移;p(t)=0(體系上無外荷載)，這樣作用在質(zhì)點 上的力有4.4.1 4.4.1 多自由度彈性體系的運動方程多自由度彈性體系的運

46、動方程)(txg)(txiiinkkikinkkikitxctrtxktstgxtiximtii1.1)()()()()(.)(.)(阻尼力彈性力慣性力(438) (439) (437) nknkgikikkikiitxmtxktxctxm11.)()()()(nkni,.2, 1;,.2, 1(4(440)40)式中 、 、 分別為作用于 質(zhì)點上的慣性力、彈性恢復(fù)力和阻尼力；)(tii)(tsi)(trii對多質(zhì)點體系中的每個質(zhì)點均存在平衡 方程式：i3s3i2s2i1s1x4x1xgi4r4s4r3r2r1ikkkiikckiimiii質(zhì)點 處產(chǎn)生單位側(cè)移，而其他質(zhì)點 保持 不時，在質(zhì)點

47、引起的彈性反力；質(zhì)點 處產(chǎn)生單位速度，而其他質(zhì)點 保持 不動時，在質(zhì)點 處產(chǎn)生的阻尼力；集中在 質(zhì)點上的集中質(zhì)量； 質(zhì)點 在t時刻相對于基礎(chǔ)的位移； 質(zhì)點 在t時刻相對于基礎(chǔ)的速度； 質(zhì)點 在t時刻相對于基礎(chǔ)的加速度；)(tx)(.tx)(.txiii 因此對于一 個質(zhì)點的體系可寫出由 個微分方程組成的微分方程組，其矩陣表達形式為nn(442) )()()()(.tximtxktxctxmg式中 對角型的質(zhì)量矩陣； 剛度矩陣，為nn階的對稱方陣； 阻尼矩陣，取為質(zhì)量矩陣和剛度矩 陣的線性組合。 即cmkmkc其中系數(shù)、分別為 (447) 22111221212222112122 方程(442)

48、中： 除質(zhì)量矩陣是對角矩陣，不存在耦聯(lián)外，剛度矩陣和阻尼矩陣都不是對角矩陣，存在著耦聯(lián)現(xiàn)象，給求解微分方程組帶來困難。需用振型正交性和振型分解原理來解耦，以簡化方程組的求解。 用振型分解反應(yīng)譜法計算多自由度彈性體系的地震作用時，需知道體系的各個自振周期及振型。將式(442)中的阻尼項和非齊次項略去，即得到無阻尼多質(zhì)點彈性體系的自由振動方程，求解體系的自由振動方程可得到體系的各個自振周期及振型。2 2 多自由度彈性體系的自由振動多自由度彈性體系的自由振動.( )( )0mx tkx t(449)無阻尼多質(zhì)點彈性體系的自由振動方程為設(shè)方程(449)的解為 )sin()(txtx)()(2.txtx

49、(450)所以式中 x 體系的振動幅值向量，即振型； 初相角。將式(450 451)代入式(449)，得 0)(2xmk(452) (451) x為體系的振動幅值向量，其元素 不能全為零，否則體系就不能產(chǎn)生振動。因此，系數(shù)行列式| |必須等于零，得 12,.nx xx2mk0.22122222211121211nnnnnnnmkkkkmkkkkmk（453） 將其展開后得到以 為未知數(shù)的一元 次方程，這個方程的 個根( 、 、 )即為體系的 個自振頻率。由 個 值可求得 個自振周期 ，其中自振頻率 和自振周期 稱為第一頻率和第一周期(基本頻率和基本周期),而其余的順次稱為第2、3、 自振頻率(

50、或自振周期)。 將求得的 依次代入方程(453)，可求對應(yīng)每一頻率時各質(zhì)點的相對振幅值 ，由相對振幅值繪制的各質(zhì)點的側(cè)移曲線為對應(yīng)于該頻率的主振型(振型)。第一振型稱為基本振型，其他各振型統(tǒng)稱為高振型。2nn21222nnnnt11tni ix 多質(zhì)點體系的自由振動方程也可用柔度矩陣表示。用柔度矩陣表示的多質(zhì)點體系自由振動方程為： (455) 0)(xim 它有非零解的充分必要條件也是系數(shù)行列式等于零，即 0.221122221211212111nnnnnnnnnmmmmmmmmm(456) 式中 表示在 質(zhì)點處作用一個單位力，在 質(zhì)點處引起的位移。將上式展開則是以為未知數(shù)的一元 次方程，求解

51、該方程并利用 ，可得出體系的 個自振頻率。 ikkinjj1n 利用振動頻率 與振動周期 的關(guān)系，可求出體系的 個振動周期 。njjtjt 現(xiàn)在討論一個兩質(zhì)點體系，由剛度表示的自由振動方程為211111222212220xkmkxkkm(457) 其系數(shù)行列式為零，展開后得到以 為未知數(shù)的一元二次方程20)()(2121122211222211122mmkkkkmkmk其兩個根為： 212112221122221112221112)(21)(21mmkkkkmkmkmkmk(458)將 或 代回式(457)中212221211111 11222221111212xxkmkxxkmk(459)解

52、解: :例例. .求圖示體系的頻率、振型求圖示體系的頻率、振型. . 已知已知: :.;2121mmmkkk0222221122111mkkkmkm12k1ei1ei1km20121212111xmxkxk0222222121xmxkxkkkkk22111kkk2112kk220222mkkkmk0)(2(222kmkmkmk /618. 01mk /618. 121121122211;1.6180.618xxxx 618. 111x 618. 012x1 11.6181.6181 10.6180.618 1x 2x 體系在每個自振頻率下，各質(zhì)點均按同一頻率 和相位角 作簡諧振動，且同時達到各

53、自的最大幅值；在整個振動過程中，兩質(zhì)點的振幅比是一個常數(shù)，由此比值確定的振動形式是與頻率相對應(yīng)的振型。 多自由度體系作自由振動時，任意兩不同的主振型間存在著正交性。 當作 振型振動時質(zhì)點 因其振幅 引起的的慣性力為 ；作 振型振動時質(zhì)點 因其振幅 引起的慣性力為 。因此由 振型產(chǎn)生的各質(zhì)點慣性力在 振型的虛位移上所作的功為 ；而 振型產(chǎn)生的各質(zhì)點慣性力在 振型的虛位移上作的功為 ； jijix2ikkimxkikix2ijjimx3 振型的正交性 jjkkkjejke21112222111222()()jkjjkjkijikinjnknkjkkjkjikijinknjnem x xm xxm

54、x xm x xem x xm xxm x xm x x1）振型關(guān)于質(zhì)量矩陣的正交性根據(jù)功的互等定理 ，得 kjjkee10nijikiim x x 由于各質(zhì)點在 下的 構(gòu)成體系第 振型的振幅向量 ;上式可以改寫成矩陣表達式：jjixj jx 0ktjxmx)(kj (461) 振型關(guān)于質(zhì)量矩陣正交性的物理意義是： 某一振型在振動過程中所產(chǎn)生的慣性力不在其他振型上作功，也就是體系按某一振型作自由振動時不會激起該體系其他振型的振動。因因 ktjktjxmxxkx2 因振型關(guān)于質(zhì)量矩陣正交，當 時，上式右邊為零。所以有下式： kj 0 ()tjkxkxjk(468)2 2）振型關(guān)于剛度矩陣的正交性

55、）振型關(guān)于剛度矩陣的正交性 kkxmxk2 振型關(guān)于剛度矩陣正交性的物理意義： 體系按k振型振動時引起的彈性恢復(fù)力在振j型位移上所作的功之和等于零，也即體系按某一振型振動時，它的勢能不會轉(zhuǎn)移到其他振型上去。 由于阻尼矩陣是質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的線性組合，運用振型關(guān)于質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的正交性原理，振型關(guān)于阻尼矩陣也是正交的，即：(472) 0 ()tjkxcxjk3 3）振型關(guān)于阻尼矩陣的正交性）振型關(guān)于阻尼矩陣的正交性當當 時時，jk jtjjjtjjjtjjxcxcxkxkxmxm*廣義阻尼廣義剛度廣義質(zhì)量4 4振型分解振型分解 個自由度的彈性體系具有 個振型；為體系按某一振型振動時各個質(zhì)點

56、的相對位置。以某三層框架為例，其三個振型如圖，其中 為 振型下 質(zhì)點的水平相對位移。其三個振型的振型向量如下：nnjixji 111213121222323132333tttxxxxxxxxxxxx(475)x33x23x131x31x321x12x11-1x22x21主 振 型 分 布 圖 把n個振型集中起來形成振型矩陣a(nn階的方陣)。 112131122232123132333 xxxaxxxxxxxxx (474) 根據(jù)振型疊加原理，體系每一質(zhì)點在振動中的位移可分解為以振型為變量的線性組合：)(txi1( )( )nijijjx tx q t(476) 是以振型為廣義坐標體系的一坐標

57、軸， 是坐標 的分量。 可視為 的函數(shù)。因此多質(zhì)點體系的位移、速度和加速度列向量分別表示為：)(tqijix)(tqi)(txi)(tq.xaqxaqxaq(478) 多質(zhì)點彈性體系運動微分方程的矩陣表達式（442）可改為： )(.tximqakqacqamg(481)5 計算水平地震作用的振型分解反應(yīng)譜法 )()()()(.tximtxktxctxmg等式兩端左乘 得ta )(.tximaqakaqacaqamagtttt (482) 因 ( )，將上式展開后可得 個獨立的二階微分方程，引入廣義質(zhì)量、廣義剛度和廣義阻尼的符號；對于體系的第 j 振型，式（482）可寫為 0,ktjxckmxk

58、j n .*( )tgjjjjjjjm qc qk qxmixt (484)令 得*2jjjmc*2*jjjmk.22( )gjjjjjjjqqqx t (4-86) 上式為一單自由度彈性體系的運動方程，它是以廣義坐標 作為未知量；同時考慮與體系自振頻率有關(guān)地震波的參與程度。經(jīng)過上述處理，把多自由度體系運動微分方程組(4-42)化為一組由 個以廣義坐標 為未知量的獨立方程，其中每個方程對應(yīng)體系的一個振型。由單質(zhì)點體系的振動可知，方程(4-86)的解為)(tqin 112211 nntijijiijiijtnnjjijijiiiim xx gxm ixmxm xx g (4-87)(488) t

59、jjjtgjjitdtextqjj0)(.)()(sin)()(), 2 , 1(nj 為阻尼比、自振頻率分別為 和 的單自由度體系以廣義坐標 作為坐標的體系位移。 )(tijj)(tqi 因此多自由度體系 質(zhì)點相對于基礎(chǔ)(直角坐標系)的位移和加速度為i1( )( )nijjjijx tt x.1( )( )njijjijx tt x(4-90)tjtgjjdtextjj0)(.)(sin)(1)(489) 3.4.3 運動方程的解續(xù) 質(zhì)點任意時刻的水平地震作用1質(zhì)點 任意時刻的水平地震作用 由結(jié)構(gòu)動力學(xué)得 (4-92)i11njjijxt 時刻體系第 j 振型下 i 質(zhì)點的水平地震作用 為

60、)(tfji.( )( )( )jgjiijjijjiftmt xxt x(4-93)第i質(zhì)點t時刻的水平地震作用 就等于作用在i質(zhì)點慣性力：( )if t.( )( )( )igiiftmxtxt.1( )( )njgijjijjijmt xxxt 質(zhì)點在 振型下的水平地震作用標準值 為 (4-94) 式的最大值： ijjif.maxmax( )( )( )jgjijiijjijjjiifftmxtxtx g (1,2, 1,2,)injn式中 振型的地震影響系數(shù) 振型下 質(zhì)點的水平位移 振型的振型參與系數(shù) 質(zhì)點的重力荷載代表值jjixjigjjiij(4-95) 式中的 為阻尼 和自振頻率