初三數學知識點總結加經典例題講解

1、 九年級上冊知識點總結和經典例題初三數學上冊期末總復習（經典例題） 目錄第一章、圖形與證明（二）2（一）、知識框架2(二)知識詳解2（三）典型例題5第二章、數據的離散程度7（一）知識點復習7（二）經典例題8第三章、二次根式10（一）、知識框架10（二）、典型例題10第四章、一元二次方程11（一）知識框架11（二）、知識詳解12（三）、典型例題13第五章、中心對稱圖形二（圓的有關知識）14（一）、知識框架15（二）知識點詳解16（三）、典型例題21第一章、圖形與證明（二）（一）、知識框架2.直角三角形全等的判定：4.等腰梯形的性質和判定5.中位線三角形的中位線梯形的中位線注意：若等邊三角形的邊長

2、為，則：其高為： ，面積為： 。1.等腰三角形等邊三角形的性質和判定等腰三角形的性質和判定線段的垂直平分線的性質和判定角的平分線的性質和判定3.平行四邊形平行四邊形的性質和判定：4個判定定理矩形的性質和判定：3個判定定理菱形的性質和判定：3個判定定理正方形的性質和判定：2個判定定理注注意：（1）中點四邊形順次連接任意四邊形各邊中點，所得的新四邊形是 ；順次連接對角線相等的四邊形各邊中點，所得的新四邊形是 ；順次連接對角線互相垂直的四邊形各邊中點，所得的新四邊形是 ；順次連接對角線互相垂直且相等的四邊形各邊中點，所得的新四邊形是 。（2）菱形的面積公式： （是兩條對角線的長）注意：（1）解決梯形

3、問題的基本思路:通過分割和拼接轉化成三角形和平行四邊形進行解決。 即需要掌握常作的輔助線。（2）梯形的面積公式：（-中位線長）(二)知識詳解21、等腰三角形的判定、性質及推論 性質：等腰三角形的兩個底角相等（等邊對等角）判定：有兩個角相等的三角形是等腰三角形（等角對等邊）推論：等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合（即“三線合一”）22、等邊三角形的性質及判定定理性質定理：等邊三角形的三個角都相等，并且每個角都等于60度；等邊三角形的三條邊都滿足“三線合一”的性質；等邊三角形是軸對稱圖形，有3條對稱軸。判定定理：有一個角是60度的等腰三角形是等邊三角形?；蛘呷齻€角都相等的三角

4、形是等邊三角形。23、線段的垂直平分線（1）線段垂直平分線的性質及判定性質：線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等。判定：到一條線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上。（2）三角形三邊的垂直平分線的性質三角形三條邊的垂直平分線相交于一點，并且這一點到三個頂點的距離相等。（3）如何用尺規(guī)作圖法作線段的垂直平分線分別以線段的兩個端點A、B為圓心，以大于AB的一半長為半徑作弧，兩弧交于點M、N；作直線MN，則直線MN就是線段AB的垂直平分線。24、角平分線（1）角平分線的性質及判定定理性質：角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等；判定：在一個角的內部，且到角的兩邊的距離相等的點，

5、在這個角的平分線上。（2）三角形三條角平分線的性質定理性質：三角形的三條角平分線相交于一點，并且這一點到三條邊的距離相等。（3）如何用尺規(guī)作圖法作出角平分線25、直角三角形（1）勾股定理及其逆定理定理：直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。逆定理：如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形。（2）直角三角形全等的判定定理定理：斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等（HL）2.6、幾種特殊四邊形的性質 2.7. 幾種特殊四邊形的判定方法2.8、三角形的中位線：連結三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線區(qū)別三角形的中位線與三角形的中線。三角形中位線的性質三角形

6、的中位線平行于第三邊并且等于它的一半2.9、梯形的中位線：連結梯形兩腰中點的線段叫做梯形的中位線。注意：中位線是兩腰中點的連線，而不是兩底中點的連線。梯形中位線的性質梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半。（三）典型例題例題1、下列命題正確的個數是如果一個三角形有兩個內角相等，則此三角形是軸對稱圖形；等腰鈍角三角形是軸對稱圖形；有一個角是30°角的直角三角形時軸對稱圖形；有一個內角是30°，一個內角為120°的三角形是軸對稱圖形A、1個 B、2個 C、3個 D、4個答案：C解析：兩個內角相等，根據“等角對等邊”知此三角形是等腰三角形，根據三角形的內角和為18

7、0°，判斷出此三角形是等腰三角形，所以都是等腰三角形，是軸對稱圖形，故正確，故選C。例題2、下列性質中，等腰三角形具有而直角三角形不一定具有的是A、兩邊之和大于第三邊 B、有一個角平分線垂直于這個角的對邊C、有兩個銳角的和等于90° D、內角和等于180°答案：B解析：A、D是任何三角形都必須滿足的，C項直角三角形的兩個銳角的和等于90°，等腰三角形不一定具有，B項等腰三角形的頂角平分線垂直于底邊，直角三角形不具有這個性質，故選B。例題3、等腰三角形的腰長為5，底邊長為8，則等腰三角形的面積為 。答案：12解析：根據等腰三角形的性質，底邊上的高垂直平分底

8、邊，所以由勾股定理得到底邊的高為，所以等腰三角形的面積為，故填12。例題4、在ABCD中，點E為AD的中點，連接BE，交AC于點F，則AF：CF（ ） A1：2B1：3C2：3D2：5 【答案】A例題5、在ABCD中，BAD的平分線交直線BC于點E，交直線DC于點F（1）在圖1中證明；（2）若，G是EF的中點（如圖2），直接寫出BDG的度數；（3）若，FGCE，分別連結DB、DG（如圖3），求BDG的度數123圖3圖1圖2 【答案】(1)證明：如圖1AF平分BAD，BAF=DAF四邊形ABCD是平行四邊形，ADBC，ABCDDAF=CEF，BAF=FCEF=FCE=CF(2)BDG=45

9、76; (3)解：分別連結GB、GE、GC（如圖3） ABDC，ABC=120°ECF=ABC=120°FGCE且FG=CE四邊形CEGF是平行四邊形由(1)得CE=CF，平行四邊形CEGF是菱形EG=EC，GCF=GCE=ECF=60°ECG是等邊三角形EG=CG， GEC=EGC=60° GEC=GCFBEG=DCG 由ADBC及AF平分BAD可得BAE=AEBAB=BE在平行四邊形ABCD中，AB=DCBE=DC 由得BEGDCGBG=DG1=2BGD=1 +3=2+3=EGC=60°BDG=60°例題6、如圖，D是ABC內一點

10、，BDCD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分別是AB、AC、CD、BD的中點，則四邊形EFGH的周長是（ ）A7B9C10D11【答案】D 例題7、已知：如圖，在梯形ABCD中，ADBC，AB=DC，E、F、M、N分別是AD、BC、BD、AC的中點。試說明：EF與MN互相垂直平分。（學生自己思考）第二章、數據的離散程度（一）知識點復習1、極差：一組數據中的最大值與最小值的差叫做極差。計算公式：極差=最大值-最小值。極差是刻畫數據離散程度的一個統(tǒng)計量，可以反映一組數據的變化范圍。一般說，極差越小，則說明數據的波動幅度越小。2、 方差各個數據與平均數的差的平均數叫做這組數據的方差，記

11、作S2。巧用方差公式：1、基本公式：S2=(X1-)2+(X2-)2+(Xn-)22、簡化公式：S2=(X12+X22+Xn2)-n2也可寫成：S2=(X12+X22+Xn2)-23、簡化：S2=(X12+X22+Xn2)-n2 也可寫成: S2=(X12+X22+Xn2)-23、標準差:方差的算術平方根叫做這組數據的標準差,記作S。S=意義：1、極差、方差和標準差都是用來描述一組數據波動情況的特征，常用來比較兩組數據的波動大小，我們通常研究的是這組數據的個數相等、平均數相等或比較接近的情況。2、方差較大的波動較大，方差較小的波動較小。3、方差大，標準差就大，方差小，標準差就小。因此標準差同樣

12、反映數據的波動大小。注意：對兩組數據來說，極差大的那一組不一定方差大，反過來，方差大的極差也不一定大。（二）經典例題例題1、“恒盛”超市購進一批大米，大米的標準包裝為每袋30kg，售貨員任選6袋進行了稱重檢驗，超過標準重量的記作“”， 不足標準重量的記作“”，他記錄的結果是，那么這6袋大米重量的平均數和極差分別是A0，1.5B29.5，1C 30，1.5D30.5，0【答案】C例題2、甲、乙兩同學參加跳遠訓練，在相同條件下各跳了6次，統(tǒng)計兩人的成績得；平均數x甲=x乙，方差S2甲S2乙，則成績較穩(wěn)定的是 （填甲或乙）例題3、省射擊隊為從甲、乙兩名運動員中選拔一人參加全國比賽，對他們進行了六次測

13、試，測試成績如下表（單位：環(huán)）：ll 第一次l 第二次l 第三次l 第四次l 第五次l 第六次l 甲l 10l 8l 9l 8l 10l 9l 乙l 10l 7l 10l 10l 9l 8（1）根據表格中的數據，計算出甲的平均成績是 環(huán)，乙的平均成績是 環(huán)；（2）分別計算甲、乙六次測試成績的方差；（3）根據（1）、（2）計算的結果，你認為推薦誰參加全國比賽更合適，請說明理由 （計算方差的公式：s2）【答案】解：（1）9；9 （2）s2甲 ；s2乙 （3）推薦甲參加全國比賽更合適，理由如下：兩人的平均成績相等，說明實力相當；但甲的六次測試成績的方差比乙小，說明甲發(fā)揮較為穩(wěn)定，故推薦甲參加比賽更合

14、適第三章、二次根式（一）、知識框架運算概念性質定義：形如：最簡二次根式：（1）被開方數不含分母；（2）被開方數中不含能開盡方的因數或因式。加減法：先將二次根式化成最簡的二次根式，再將被開方數相同的二次根式進行合并。乘法：除法：混合運算二次根式（二）、典型例題例題1、化簡： 解:即 =例題2、如果最簡二次根式與是同類二次根式，則_解：最簡二次根式與是同類二次根式 解得小結：把一個二次根式化為最簡（同類）二次根式的一般步驟：把根號下的帶分數或絕對值大于1的小數化為假分數，絕對值小于1的小數化為真分數；被開方數是多項式的進行因式分解；使被開方數不含分母；將被開方數中開得盡方的因數或因式用它的算術平方

15、根代替后移到根號外面；化去分母中的根號（即分母有理化）例題3、能使等式成立的取值范圍是（ ）A B C D解：要使就要滿足以下條件：，解得：，故正確選項為C例題4、估算的值（ ）A5和6之間 B6和7之間 C7和8之間 D8和9之間 解： ， 正確選項為C第四章、一元二次方程（一）知識框架一元二次方程的概念一元二次方程列一元二次方程解應用題一元二次方程的根與系數的關系,方程有兩個不相等的實根;=0時,方程有兩個相等的實根;時,方程無實根.一元二次方程的根的情況公式法配方法因式分解法直接配方法一元二次方程的解法一元二次方程的探索等量關系數量關系一元二次方程的應用方程的兩根為,則, （二）、知識詳

16、解1、一元二次方程定義含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的整式方程叫做一元二次方程。（二）、一元二次方程的一般形式，它的特征是：等式左邊是一個關于未知數x的二次多項式，等式右邊是零，其中叫做二次項，a叫做二次項系數；bx叫做一次項，b叫做一次項系數；c叫做常數項。2、一元二次方程的解法 1、直接開平方法直接開平方法適用于解形如的一元二次方程。當時，；當b<0時，方程沒有實數根。2、配方法一般步驟：（1） 方程兩邊同時除以a,將二次項系數化為1.（2） 將所得方程的常數項移到方程的右邊。（3） 所得方程的兩邊都加上一次項系數一半的平方（4） 配方，化成（5）開方。當時，；當b<

17、0時，方程沒有實數根。3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。一元二次方程的求根公式：4、因式分解法一元二次方程的一邊另一邊易于分解成兩個一次因式的乘積時使用此方法。3：一元二次方程根的判別式 根的判別式1、定義：一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判別式。2、性質：當0時，方程有兩個不相等的實數根；當0時，方程有兩個相等的實數根；當0時，方程沒有實數根。4：一元二次方程根與系數的關系 如果方程的兩個實數根是，那么，。（三）、典型例題例題1、下列方程中是一元二次方程的是（ ）A、2x10 B、y2x1 C、x210 D、解：C例題2、解方程（1）（

18、2）（3）x233(x1)解：（1）配方，得：（x2）25，解得：x12，x22（2） （3）原方程變?yōu)椋簒23x0，解得：0，3例題3、已知關于的一元二次方程2-2=0 (1) 若=-1是方程的一個根，求的值和方程的另一根；(2) 對于任意實數，判斷方程的根的情況，并說明理由解：（1） =-1是方程的一個根，所以1+-2=0， 解得=1 方程為2-2=0， 解得， 1=-1， 2=2 所以方程的另一根為=2 （2） =2+8， 因為對于任意實數，20，所以2+8>0，所以對于任意的實數，方程有兩個不相等的實數根例題4、某商品經過兩次連續(xù)降價，每件售價由原來的55元降到了35元設平均每次

19、降價的百分率為x，則下列方程中正確的是（）A55 (1+x)2=35 B35(1+x)2=55C55 (1x)2=35 D35(1x)2=55解：C例5：（2006南京）西瓜經營戶以2元/千克的價格購進一批小型西瓜，以3元/千克的價格出售,每天可售出200千克.為了促銷,該經營戶決定降價銷售.經調查發(fā)現,這種小型西瓜每降價O.1元/千克，每天可多售出40千克.另外，每天的房租等固定成本共24元.該經營戶要想每天盈利2O0元，應將每千克小型西瓜的售價降低多少元?解：設應將每千克小型西瓜的售價降低x元根據題意，得：解得：0.2，0.3 答：應將每千克小型西瓜的售價降低0.2或0.3元。第五章、中心

20、對稱圖形二（圓的有關知識）（一）、知識框架與圓有關的位置關系相切的兩圓的連心線過切點相交的兩圓的連心線垂直平分相交弦外離內含外切內切相離相交相交相切圓與圓的位置關系三角形的內切圓切線長定理性質判定相離相相切相交直線與圓的位置關系點和圓的位置關系點在圓內點在圓外點在圓上三角形的外接圓不共線的三點確定一個圓確定圓的條件基本性質圓周角定理及其推論弧、弦、弦心距、圓心角關系定理及其推論圓的對稱性垂徑定理及其推論圓的定義,弧、弦等概念圓圓內接正多邊形正多邊形和圓軸截面?zhèn)让娣e全面積圓錐扇形的弧長、面積其中為弧長，R為半徑正四、八邊形正三、六、十二邊形 正多邊形的半徑、邊心距、正多邊形的內角、中心角、外角、

21、正多邊形的周長、面積正多邊形的有關計算正多邊形與圓圓內接正多邊形作法-等份圓（二）知識點詳解一、圓的概念集合形式的概念： 1、 圓可以看作是到定點的距離等于定長的點的集合；2、圓的外部：可以看作是到定點的距離大于定長的點的集合；3、圓的內部：可以看作是到定點的距離小于定長的點的集合軌跡形式的概念：1、圓：到定點的距離等于定長的點的軌跡就是以定點為圓心，定長為半徑的圓；（補充）2、垂直平分線：到線段兩端距離相等的點的軌跡是這條線段的垂直平分線3、角的平分線：到角兩邊距離相等的點的軌跡是這個角的平分線；4、到直線的距離相等的點的軌跡是：平行于這條直線且到這條直線的距離等于定長的兩條直線；5、到兩條

22、平行線距離相等的點的軌跡是：平行于這兩條平行線且到兩條直線距離都相等的一條直線。二、點與圓的位置關系1、點在圓內 點在圓內；2、點在圓上 點在圓上；3、點在圓外 點在圓外；三、直線與圓的位置關系1、直線與圓相離 無交點；2、直線與圓相切 有一個交點；3、直線與圓相交 有兩個交點；四、圓與圓的位置關系外離（圖1） 無交點 ；外切（圖2） 有一個交點 ；相交（圖3） 有兩個交點 ；內切（圖4） 有一個交點 ；內含（圖5） 無交點 ； 五、垂徑定理垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對的弧。推論1：（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條??； （2）弦的垂直平分線經過圓心，并

23、且平分弦所對的兩條??； （3）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧 以上共4個定理，簡稱2推3定理：此定理中共5個結論中，只要知道其中2個即可推出其它3個結論，即： 是直徑 弧弧 弧弧中任意2個條件推出其他3個結論。推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。 即：在中， 弧弧六、圓心角定理圓心角定理：同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弦相等，所對的弧相等，弦心距相等。 此定理也稱1推3定理，即上述四個結論中，只要知道其中的1個相等，則可以推出其它的3個結論，即：； 弧弧七、圓周角定理1、圓周角定理：同弧所對的圓周角等于它所對的圓心的角的一半。即：和是弧所對的圓心角和圓周角 2

24、、圓周角定理的推論：推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧是等??；即：在中，、都是所對的圓周角 推論2：半圓或直徑所對的圓周角是直角；圓周角是直角所對的弧是半圓，所對的弦是直徑。 即：在中，是直徑 或 是直徑推論3：若三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。即：在中， 是直角三角形或注：此推論實是初二年級幾何中矩形的推論：在直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半的逆定理。八、圓內接四邊形圓的內接四邊形定理：圓的內接四邊形的對角互補，外角等于它的內對角。 即：在中， 四邊形是內接四邊形 九、切線的性質與判定定理（1）切線的判定定理：過半徑外端

25、且垂直于半徑的直線是切線； 兩個條件：過半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可 即：且過半徑外端是的切線（2）性質定理：切線垂直于過切點的半徑（如上圖） 推論1：過圓心垂直于切線的直線必過切點。 推論2：過切點垂直于切線的直線必過圓心。以上三個定理及推論也稱二推一定理：即：過圓心；過切點；垂直切線，三個條件中知道其中兩個條件就能推出最后一個。十、切線長定理切線長定理： 從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。即：、是的兩條切線平分十一、兩圓公共弦定理圓公共弦定理：兩圓圓心的連線垂直并且平分這兩個圓的的公共弦。如圖：垂直平分。即：、相交于、兩點 垂直平分十二、圓

26、內正多邊形的計算（1） 正三角形 ：在中是正三角形有關計算在中進行：；（2）正四邊形同理，四邊形的有關計算在中進行，：（3）正六邊形同理，六邊形的有關計算在中進行，.十三、扇形、圓柱和圓錐的相關計算公式1、扇形：（1）弧長公式：；（2）扇形面積公式： ：圓心角 ：扇形多對應的圓的半徑 ：扇形弧長 ：扇形面積 2、圓錐側面展開圖（1）=（2）圓錐的體積：3、圓錐與圓柱的比較名稱圓柱圓錐圖形圖形的形成過程由一個矩形旋轉得到，如矩形ADDG繞直線AB旋轉一周由一個直角三角形旋轉得到，如RtSOA繞直線SO旋轉一周圖形的組成兩個底面圓和一個側面一個底面圓和一個側面面積、體積的計算公式S側=2rhS全=

27、 S側+2S底=2rh+2r2V=r2hS側=rS全= S側+S底=r +r2V=r2h（三）、典型例題例題1某居民小區(qū)的一處圓柱形的輸水管道破裂，維修人員為更換管道，需要確定管道圓形截面的半徑，如圖所示是水平放置的破裂管道有水部分的截面. (1)請你補全這個輸水管道的圓形截面圖；(2)若這個輸水管道有水部分的水面寬AB=16cm，水最深的地方的高度為4cm，求這個圓形截面的半徑.思路點撥：本題考查圓的確定、垂徑定理以及直角三角形的性質有關等知識.解：(1)作法略.如圖所示.(2)如圖所示，過O作OCAB于D，交于C， OCAB， . 由題意可知，CD=4cm. 設半徑為x cm，則. 在RtBOD中，由勾股定理得： . . 即這個圓形截面的半徑為10cm.例題2、在中，弦平行于弦，若，則_度【考點要求】本題主要考查圓中圓心角與圓周角之間的關系ADCBO 圖7-1【思路點拔】B=AOC，B=40°ADBCB =40°【答案】填：40例題3、AB