第四章幾何圖形初步

1、第四章 幾何圖形初步4.1 幾何圖形知識點1 幾何圖形例 將下圖中的立體圖形進(jìn)行分類解：柱體：(2)(3)(5)(6)；錐體：(1)；球體：(4)點睛：知識點2 從不同方向看幾何體例 如圖41-4是一個斜插吸管的飲料盒，你能想象出從正面、左面、上面看到的結(jié)果分別是圖41-5中的哪幅圖嗎?答案： 解：從正面、左面、上面看到的結(jié)果分別是A、B、C點睛：從正面、左面、上面觀察物體時，視線應(yīng)與物體的表面垂直，所以從三個方向看到的飲料盒都是長方形，其區(qū)別在于吸管，從正面看到的吸管是向右傾斜的，即圖A所示；從左面看到的吸管是豎直的，即圖B所示；從上面看到的吸管應(yīng)是“橫放”的，即圖C所示知識點3 展開圖例

2、(2011，呼和浩特)將如圖41-10所示表面帶有圖案的正方體沿某些棱展開后，得到的圖形是圖41-11中的( )答案：C點睛：考查了幾何體的展開圖，解決此類問題，要充分考慮帶有各種圖案的面的特點及位置由原正方體知，帶圖案的三個面相交于一點，而通過折疊可知A、B都不符合，D折疊后圖案的位置不對，所以選C知識點4 點、線、面、體例1 下列說法中：平面上的線都是直線；曲面上的線都是曲線；兩條線相交只能得到一個交點；兩個面相交只能得到一條線，不正確的個數(shù)為( ) A4 B3 C2 D1答案：A點睛：線有直線、曲線之分，根據(jù)點動成線，在平面上或曲面上都可以由一點任意運動形成直線或曲線，而不能誤認(rèn)為平面上

3、的線就是直的，曲面上的線就是曲的，故說法錯誤說法中沒有明確是兩條怎樣的線相交，如一條曲線可以與一條直線相交形成無數(shù)個交點，同樣兩個曲面相交也可能得到不止一條線本題主要考查幾何基本概念的辨析，線有直線和曲線之分，面有平面和曲面之分，所以我們考慮問題要全面例2 (2011，銅仁地區(qū))將如圖41-12所示的直角三角形繞直線l旋轉(zhuǎn)一周，得到的立體圖形是圖41-13中的( )答案：B點睛：此題考查面動成體；考查學(xué)生的空間想象能力及分析問題、解決問題的能力提升點全面突破例1 (2010，寧波)骰子是一種特別的數(shù)字立方體(見圖41-14)，它符合規(guī)則：相對兩面的點數(shù)之和總是7，圖41-15中可以折成符合規(guī)則

4、的骰子的是( )答案：C點睛：用排除法：A選項中，點數(shù)1與點數(shù)3相對，它們的和為4，不等于7B選項和D選項中，點數(shù)1與點數(shù)5相對，它們的和不等于7，所以選C排除法是解決此類問題常用的方法例2 如圖41-16是一個由4個相同的正方體組成的立體圖形，從正面、上面、左面看，所得圖形為圖41-17中的( )答案：B點睛：注意本題中四個正方體組成的立體圖形從左面看與從正面看得到的圖形是一樣的例3 (2011，萊蕪改編)如圖41-18所示是由幾個相同的小正方體搭成的幾何體從不同方向看所得的圖形，則搭成這個幾何體的小正方體的個數(shù)是( ) A3 B4 C5 D6答案：C點睛：這個幾何體的底層應(yīng)該有3+1=4(

5、個)小正方體，第二層應(yīng)該有1個小正方體，因此搭成這個幾何體所用小正方體的個數(shù)是4+1=5此題主要體現(xiàn)了對空間想象能力的考查綜合能力養(yǎng)成例1 新年晚會某班教室內(nèi)懸掛著多種多樣的小飾品來增加節(jié)日的喜慶氣氛，現(xiàn)在有長1 m，寬0.5 m的彩紙10張，將它們貼在正方體的表面能裝飾多少個棱長為8 cm的正方體小飾品(互相之間可以拼接，不計接頭損失)? 解：每個小正方體的表面積為6×8×8=384(cm2)，一張彩紙的面積為100×50=5000(cm2) 所以可裝飾小正方體飾品5000 x 10÷384130(個)例2 用一個平面去截正方體，截得的多邊形從邊數(shù)來看

6、，可能有哪些結(jié)果?請畫出這些可能的結(jié)果 解：用一個平面去截正方體，截面示意圖如圖41-20點睛：由于面與面相交得線，故當(dāng)用平面去截一個正方體時，平面必然和正方體的一些面相交，當(dāng)平面和正方體的三個面相交時，得到的多邊形應(yīng)該有三條邊，即三角形；當(dāng)平面和正方體的四個面相交時，得到的多邊形必然有四條邊。用平面去截一個正方體時。平面與正方體的幾個面相交，則得到的多邊形就是幾邊形，多邊形的邊數(shù)不可能超過正方體的面數(shù)例3 馬小虎準(zhǔn)備制作一個封閉的正方體盒子，他先用5個大小一樣的正方形制成如圖41-21所示的拼接圖形(實線部分)，經(jīng)折疊后發(fā)現(xiàn)還少一個面，請你在圖中的拼接圖形上再拼接一個正方形，使新拼接成的圖形

7、經(jīng)過折疊后能成為一個封閉的正方體盒子(添加所有符合要求的正方形，添加的正方形用陰影表示)答案： 解：如圖41-22所示點睛：再拼接一個正方形，這個正方形必然與這5個大小一樣的正方形相鄰。我們可逐一討論得滿足題意的正方形的位置有4種情況例4 (探究題)把正方體的六個面分別涂上六種不同顏色，并畫上朵數(shù)不等的花，各面上的顏色與花的朵數(shù)情況列表如下：顏色紅黃藍(lán)白紫綠花的朵數(shù)123456 現(xiàn)將上述大小相同，顏色、花朵分布完全一樣的四個正方體拼成一個水平放置的長方體(如圖41-23所示)，那么長方體的下底面共有多少朵花?答案： 解：由題意可得，右一的正方體的下側(cè)為白色，右二的正方體的下側(cè)為綠色，右三的正方

8、體的下側(cè)為黃色，左一的正方體的下側(cè)為紫色，那么長方體的下底面共有花4+6+2+5=17(朵)點睛：由圖中顯示的規(guī)律可分別求出右邊正方體的下面為白色，左面為綠色，后面為紫色，按此規(guī)律，可依次得出右二的正方體的下側(cè)為綠色，右三的正方體的下側(cè)為黃色，左一的正方體的下側(cè)為紫色，即可求出下底面的花朵數(shù)本題考查生活中的立體圖形，同時考查了學(xué)生的空間思維能力分層實戰(zhàn)訓(xùn)練A組1如下圖所示的幾何體中，由4個面圍成的是( )答案：C 點睛：面有平面和曲面之分，A選項由四個平面和一個曲面圍成，B選項由兩個平面和一個曲面圍成，C選項由四個平面圍成，D選項由兩個平面和一個曲面圍成6如下圖所示的四個幾何體中，從正面看與從

9、上面看所得圖形不同的共有( ) A1個 B2個 C3個 D4個答案：B點睛：圓柱從正面看是長方形或正方形，從上面看是圓，二者不同；圓錐從正面看是等腰三角形，從上面看是圓(含圓心)，二者不同7如下圖，三個正方體的六個面都按相同規(guī)律涂有紅、黃、藍(lán)、白、黑、綠六種顏色，那么黃色、白色、紅色的對面分別是( ) A藍(lán)色、綠色、黑色 B綠色、藍(lán)色、黑色 C綠色、黑色、藍(lán)色 D藍(lán)色、黑色、綠色答案：B 點睛：黃色與白、黑、紅、藍(lán)有公共邊，因此黃色與綠色相對；同理，白色與藍(lán)色相對，紅色與黑色相對B組 1由平面圖形圍成的立體圖形又叫做多面體，有幾個面，就叫做幾面體，三棱錐有4個面，所以三棱錐又叫做四面體；正方體

10、又叫做面體答案：六 點睛：多面體是以面數(shù)的多少來命名的3從長方體的正面看與從左面看得到的平面圖形如下圖所示(單位：cm)，則從其上面看得到的平面圖形的面積是( ) A12 cm2 B8 cm2 C6 cm2 D4 cm2答案：A 點睛：結(jié)合從正面看和從左面看得到的平面圖形可知從上面看得到的圖形是長為4 cm，寬為3 cm的長方形所以從上面看得到的平面圖形的面積是12 cm2，故選A5如圖41-40是一個由多個相同的小正方體堆積而成的幾何體從上面看得到的圖形，圖中所示數(shù)字為該位置小正方體的個數(shù)，則從左面看這個幾何體得到的圖形是圖41-41中的( )答案：D 點睛：根據(jù)從上面看得到的圖形，可知這個

11、幾何體從左面看共有兩列，其中左邊一列有兩個小正方體，右邊一列有三個小正方體，因此選D6(2011，自貢)某位同學(xué)用棱長為l的正方體積木在水平桌面上堆成如下圖所示的圖形，然后把露出的表面都染成紅色，則表面被他染成紅色的面積為( ) A37 B33 C24 D21答案：B 點睛：此題關(guān)鍵是在計算面積時減去不露的或重疊的面積4.2 直線、射線、線段知識點1 直線例 下列關(guān)于直線的說法中，正確的是( ) A直線ab B直線AB與直線BA不是同一條直線 C直線a D直線AB與直線CD一定是兩條直線答案：C點睛：選項A錯，用兩個字母表示直線時，必須大寫；選項B錯，直線AB與直線BA是同一條直線；選項C對；

12、選項D錯，若A、B、C、D在同一直線上，則直線AB與直線CD是同一條直線知識點2 直線的基本事實例 過兩點可確定一條直線，過A、B、C三點中的任意兩點，共可確定直線的條數(shù)是( ) A1 B3 C1或2 D1或3答案：D點睛：需要分兩種情況討論，當(dāng)A、B、C三點不在同一條直線上時，點A、點B確定一條直線，點B、點C確定一條直線，點A、點C確定一條直線，所以一共可以確定三條直線；當(dāng)A、B、C三點在同一條直線上時，直線AB、BC、AC是同一條直線知識點3 線段例1 下圖中共有線段( )A3條 B4條 C5條 D6條答案：D點睛：圖中的線段有：AB、AC、AD、BC、BD、CD，共6條有兩種解題思路，

13、思路一：如果按從左向右的順序表示線段(重復(fù)的不計)，以A開頭的線段有AB、AC、AD三條，以B開頭的線段有BC、BD兩條，以C開頭的線段有CD一條，則共有1+2+3=6(條)線段思路二：每個點和其他三個點都能確定一條線段，則四個點共可以確定3×4=12(條)線段；每條線段如線段AB在A點和B點各被統(tǒng)計了一次，同理每條線段都被統(tǒng)計了2次，所以線段的條數(shù)為6例2 下圖中共有線段條答案：31點睛：根據(jù)圖形可得：線段AB上共有3條線段；線段AC上共有3條線段；線段BC上共有6條線段；線段AG上共有3條線段；線段AF上共有3條線段；線段CH上共有10條線段；線段EF上共有3條線段，所以共有3&

14、#215;5+10+6=31(條)線段知識點4 線段的延長線例 如下圖所示，已知四點A、B、C、D(任意三點都不在一條直線上)，按照下列語句畫出圖形： (1)畫線段AB； (2)畫線段BD，作線段BD的延長線； (3)畫線段AC，與線段DB相交于點O； (4)畫線段BC并反向延長線段BC答案： 解：如下圖所示點睛：(1)畫線段AB，就是利用直尺將A、B兩點用直的線連接起來；(2)作線段BD的延長線是指從D開始，沿著BD的方向畫虛線；(3)畫出線段AC，和線段DB相交的地方點個小圓點，標(biāo)上字母O；(4)畫出線段BC，反向延長線段BC即從點B開始，沿著CB的方向畫虛線知識點5 射線例 如下圖所示，

15、圖中有幾條射線?其中可表示的是哪幾條?答案： 解：圖中有8條射線，其中可以表示的有6條，即射線AB、射線BA、射線CA、射線CB、射線DA、射線DB點睛：以端點和方向分類，以A為端點的射線左右各一條，可表示的是射線AB；以B為端點的射線左右各一條，可表示的是射線BA；以C為端點的射線左右各一條，可表示的是射線CA、射線CB；以D為端點的射線左右各一條，可表示的是射線DA、射線DB知識點6 線段的大小比較例 如下圖所示，有一張三角形紙片，你能準(zhǔn)確地比較線段AB與線段BC的長短嗎?答案： 解：方法一：疊合法：把邊BC折到AB上，可知點C在線段AB上，所以ABBC 方法二：度量法：用刻度尺測得AB=

16、2.4 cm，BC=2 cm，所以ABBC.點睛：比較兩條線段的長短可以用疊合法或度量法，如果使用疊合法，就設(shè)法使兩條線段的一個端點重合，另一端點均在重合端點的同側(cè)，從而比較線段的長短；如果使用度量法，則分別度量出兩條線段的長，然后比較度量值的大小知識點7 中點例 如圖4225，C是線段AB的中點，D是線段BC的中點，下列各式不正確的是( ) ACD=AC-DB BCD=AD-BC CCD=AB-BD DCD=AB-AD答案：C點睛：本題考查中點的文字語言、符號語言、圖形語言的相互轉(zhuǎn)化知識點8 線段的性質(zhì)例 A、B、C三點在同一條直線上，A、B兩點之間的距離為7 cm，B、C兩點之間的距離為3

17、 cm，則A、C兩點之間距離為答案：10 cm或4 cm點睛：(1)當(dāng)點C在線段AB的延長線上時(如下圖)， AC=AB+BC=10 cm(2)當(dāng)點C在線段AB上時(如下圖)， AC=AB-BC=4 cm 由于A、B、C三點共線，但沒有說明A、B、C三點的順序，故本題有兩種情況，點C在線段AB的延長線上或點C在線段AB上提升點全面突破例1 如下圖所示，圖中有直線條，射線條，線段條答案：2；11；6點睛：圖中有直線BC、AC，共兩條；射線向一方延伸，以A為端點的射線有3條，以B為端點的射線有3條，以C為端點的射線有4條，以D為端點的射線有1條，共11條；線段有兩個端點，圖中共有線段6條例2 線段

18、AB上有兩點P、Q，點P將AB分成兩部分，AP：PB=2：3；點Q將AB也分成兩部分，AQ：QB=4：1；且PQ=3 cm求AP、QB的長解：畫出圖形，如下圖所示設(shè)AP=2x cm，則PB=3x cm，AB=5x cm因為AQ：QB=4：1，所以AQ=4x cm，QB=x cm所以PQ=PB-QB=2x cm。因為PQ=3 cm，所以2x=3所以x=1.5所以AP=3 cm，QB=1.5 cm點睛：(1)題目沒有提供圖形，我們首先應(yīng)該考慮根據(jù)題意畫出圖形；(2)當(dāng)題目出現(xiàn)線段長的比的時候，我們?？紤]設(shè)未知數(shù)，利用方程思想解決例3 如下圖所示，AB=16 cm，C是AB上任意一點，D是AC的中點

19、，E是BC的中點，求線段DE的長 解：因為D是AC的中點(已知)，所以DC=AC(m,點的定義)因為E是BC的中點(已知)，所以CE=BC(中點的定義)因為DE=DC+CE，所以DE=AC+BC=(AC+BC)= ABN為AB=16 cm，所以DE=8 cm點睛：根據(jù)線段中點的定義，可得出DC=AC，CE=BC，而DE=DC+CE，所以DE=AC+BC=(AC+BC)= AB，可求出DE的長例4 如下圖所示，平原上有A、B、C、D四個村莊，為解決當(dāng)?shù)厝彼畣栴}，政府準(zhǔn)備投資修建一個蓄水池，不考慮其他因素，請你畫圖確定蓄水池H點的位置，使它與四個村莊的距離之和最小答案： 解：如下圖所示，連接AC、

20、BD交于點H，H點即為所求的點點睛：要求點H與四個村莊的距離之和最小，即要求HA+HB+HC+HD最小，要使HA+HC最小，則H點必須在線段AC上；要使HB+HD最小，則H點必須在線段BD上，所以H點應(yīng)該為AC與BD的交點例5 (2011，崇左)在修建崇欽高速公路時，有時需要將彎曲的道路改直，依據(jù)是答案：兩點之間，線段最短點睛：根據(jù)線段的性質(zhì)解答例6 往返于梅州與廣州的某列車，運行途中?？康能囌疽来问牵好分菖d寧華城河源惠州東莞廣州，試用所學(xué)知識說明要為該列車制作的火車票有幾種答案： 解：可將這七個站看成七個點，如果將每兩點之間都連一條線段，則可以得到條線段，每兩個站間需要制作兩種車票，所以一共

21、需要制作42種不同的車票點睛：本題易只考慮單程車票，沒考慮雙程車票數(shù)學(xué)知識的實際應(yīng)用需要考慮實際情況綜合能力養(yǎng)成例1 (閱讀理解題)如下圖，點O是線段AB上的點，點C、D分別是線段OA、OB的中點，小明很輕松地求得CD=AB。他在反思過程中突發(fā)奇想：若點O在線段AB的延長線上或直線AB外，原有的結(jié)論“CD=AB”是否仍然成立呢?請幫小明畫出圖形分析，并說明理由O在直線AB外時，通過畫圖、測量說明該結(jié)論是否成立 圖1答案： 解：當(dāng)點0在線段AB的延長線上時，如下圖， 圖2 CD=AB仍然成立 理由：因為點C、D分別是線段OA、OB的中點，所以0C=0A，OD=OB。 因為CD=OC-OD，所以C

22、D=0A-OB= (OA-OB)= AB當(dāng)點0在直線AB外時，如下圖， 圖3 可通過度量，得出CD=AB仍然成立點睛：當(dāng)點0在線段AB的延長線上時，如圖2，可以看出CD=OC-OD，由中點定義得：OC=OA，OD=0B，由于AB=OA=OB，所以我們可以很容易用AB的長表示出CD的長如圖3，當(dāng)點0在直線AB外時，通過度量CD和AB的長來檢驗結(jié)論是否成立例2 (學(xué)科內(nèi)綜合題)如下圖，在同一直線上有四點A、B、C、D，已知AD= DB，AC=CB且CD=4 cm。求AB的長答案： 解：設(shè)DB=x cm，則AD=x cm，AB=x cm AC=CB， CB=AB=×x =x (cm) CD

23、=DB-CB=x cm CD=4 cm，x=4，x=9 AB=×9=14(cm)點睛：由于AD= DB，AC=CB，故我們可借用這一關(guān)系，用一個未知數(shù)2表示出CD的長，即可得到一個關(guān)于x的一元一次方程，求出x的值，即可得到AB的長例3 如下圖所示，一只小螞蟻在圓錐形玩具底邊的A處，它想繞著圓錐爬行一周后再回到A處，你能在圓錐的側(cè)面展開圖中畫出它爬行的最短路線嗎?答案： 解：能如下圖所示，沿圓錐的頂點P和點A的連線剪開，將其側(cè)面展開得到一個扇形，點A與點A在圓錐上是同一個點，連接AA，線段AA就是小螞蟻爬行的最短路線點睛：解決立體圖形上兩點之間的最短距離問題時，通常把立體圖形展成平面圖

24、形，將問題轉(zhuǎn)化為平面圖形中兩點之間距離的問題分層實戰(zhàn)訓(xùn)練A組2下列說法正確的個數(shù)是( ) 數(shù)軸是一條射線，因為它有方向；射線AB和射線BA是同一條射線；線段AB和線段BA是同一條線段 A0 B1 C2 D3答案：B 點睛：數(shù)軸是一條具有原點、正方向、單位長度的直線；射線具有方向性，所以射線AB和射線BA不是同一條射線；線段AB和線段BA是同一條線段4四條直線兩兩相交時，交點的個數(shù)可能是( ) A1或4 B1或5 C1或6 D1、4或6答案：D 點睛：需要畫圖，分三種情況討論5下列關(guān)于作圖的語句中正確的是( ) A畫直線AB=10厘米 B畫射線OB=10厘米 C已知A、B、C三點，過這三點畫一條

25、直線 D畫線段AB=5厘米，并反向延長AB到C，使BC=10厘米答案：D點睛：由于直線和射線都無限長，所以A、B兩個選項錯誤；因為C選項并沒有說明A、B、C三點在同一直線上，所以C選項的說法也是錯誤的；D選項是正確的7如下圖所示，平面上有6個點，任意三個點都不在同一條直線上，以這些點為端點，可以得到條線段答案：15點睛：以A為一個端點的線段有AB、AC、AD、AE、AF共5條，同理：以B、C、D、E、F為一個端點的線段也分別有5條，每條線段被重復(fù)統(tǒng)計了一次，所以共有=15(條)線段9如下圖所示，有一個三角形ABC，你能說出AB+BC與AC的大小關(guān)系嗎?答案：AB+BCAC點睛：本題采用了化歸的

26、數(shù)學(xué)思想，將AB、BC兩條線段組合在一起理解成從A到C的一條折線，然后根據(jù)“兩點之間，線段最短”來確定AB+BC與AC的大小關(guān)系B組3如下圖所示，在直線PQ上找一點C，使PC=3CQ，則點C( )A在點P、Q之間 B在點P左邊C在點Q右邊 D在點P、Q之間或在點Q的右邊答案：D 點睛：注意應(yīng)分情況討論8在同一所學(xué)校上學(xué)的小明、小偉、小紅三位同學(xué)住在A、B、C三個住宅區(qū)，如下圖所示，A、B、C三點共線，且AB=60米，BC=100米，他們打算合租一輛接送車去上學(xué)，由于車位緊張，準(zhǔn)備在此之間只設(shè)一個?？奎c(設(shè)在直線AC上)，為使三位同學(xué)步行到?？奎c的路程之和最小，你認(rèn)為?？奎c應(yīng)該設(shè)在什么位置?答案

27、： 解：易知?？奎c不應(yīng)設(shè)在A左邊或C右邊若?？奎c設(shè)在A住宅區(qū)，則他們的路程總和為220米； 若?？奎c設(shè)在A住宅區(qū)與8住宅區(qū)之間，則他們的路程總和大于160米而小于220米； 若?？奎c設(shè)在B住宅區(qū)，則他們的路程總和為160米； 若停靠點設(shè)在B住宅區(qū)與C住宅區(qū)之間，則他們的路程總和大于160米而小于260米； 若?？奎c設(shè)在C住宅區(qū)，則他們的路程總和為260米 綜上可知，接送車?？奎c應(yīng)設(shè)在B住宅區(qū)點睛：要確定?？奎c的位置，我們需要分情況討論4.3 角4.3.1 角知識點1 角的定義例 下列說法：兩條射線所組成的圖形叫做角；一條射線旋轉(zhuǎn)而成的圖形叫做角；兩邊成一直線的角是平角；平角是一條直線其中正確的

28、有( ) A1個 B2個 C3個 D4個答案：A點睛：由于和沒有說明兩條射線是否有公共端點，缺少角的組成要素，因而都是錯的；正確；錯，因為平角是角，不是直線角的概念是識別一個圖形是不是角的主要依據(jù)，其他圖形的識別也是如此，所以我們要十分重視對概念的正確理解。知識點2 角的四種表示方法例 如下圖所示，(1)寫出能用一個字母表示的角；(2)寫出以點B為頂點的角；(3)圖中共有多少個小于平角的角?解：(1)能用一個字母表示的角有：A、C(2)以點B為頂點的角有3個，即ABD、ABC、DBC(3)圖中共有7個小于平角的角點睛：在統(tǒng)計圖中小于平角的角的個數(shù)時，應(yīng)有明確的分類標(biāo)準(zhǔn)，可以按頂點來分類：以A為

29、頂點的角有1個，以B為頂點的角有3個，以C為頂點的角有1個，以D為頂點的角有2個知識點3 角的度量例 (1)把3.38°化為度、分、秒的形式(2)把28°1818化成度的形式解：(1)3.38°=3°2248；(2)28°1818=28.305°點睛：(1)3.38°先取整數(shù)，得到3°，還剩下0.38°=(0.38×60)=22.8，取整數(shù)后是22，還剩下0.8=(0.8×60)=48，所以3.38°=3°2248；(1)28°1818=28°+

30、(18+)=28+°=28.305°.提升點全面突破例1 如下圖所示，圖中共有個小于平角的角答案：9點睛：以0A為一邊的角有AOB、AOC、AOD；以O(shè)B為一邊的角(除去已經(jīng)統(tǒng)計的)有：BOC、BOD、BOE；以O(shè)C為一邊的角(除去已經(jīng)統(tǒng)計的)有：COD、COE；以O(shè)D為一邊的角(除去已經(jīng)統(tǒng)計的)有：DOE所以圖中共有4+2+3+3=9(個)小于平角的角例2 如下圖所示，已知：1：2：3：4=1：2：3：4，求1、2、3、4的度數(shù)答案： 解：設(shè)1=x°，2=2 x°，3=3 x°，4=4 x° 因為1+2+3+4=360°，

31、所以x+2 x+3 x+4 x=360，解得x=36 所以1=36°，2=72°，3=108°，4=144°點睛：由于本題圖中1、2、3、4四個角恰好組成一個周角，因此我們可以根據(jù)這四個角的比例關(guān)系設(shè)出這四個角的度數(shù)，列方程解決這個問題綜合能力養(yǎng)成例 (探究題)由2點30分到2點55分，時針走了度。分針走了度答案：12.5；150點睛：時針一小時轉(zhuǎn)過的角度為30。，分針-h,時轉(zhuǎn)過的角度為360°，因此時針轉(zhuǎn)動的速度為0.5度分鐘，分針轉(zhuǎn)動的速度為6度分鐘，又因為由2點30分到2點55分共經(jīng)過了25分鐘所以時針走了0.5×25=12.

32、5(度)，分針走了6×25=150(度)分層實戰(zhàn)訓(xùn)練A組1如下圖所示的四個圖形中，能用l、AOB、0三種方法表示同一個角的圖形是( )答案：B點睛：A選項不能用O表示，C選項也不能用O表示，D選項1和O表示的不是同一個角3如圖4312所示，與B不是同一個角的是( )A1 BABCCDBE DDAC答案：D點撥：DAC的頂點是A，不是BB組1從1點15分到1點35分，時鐘的分針轉(zhuǎn)了度，時針轉(zhuǎn)了度答案：120；10 點睛：時針每分鐘轉(zhuǎn)0.5°，分針每分鐘轉(zhuǎn)6°3如下圖所示是一只蝸牛在地面上爬行時留下來的痕跡，若蝸牛從P點出發(fā)按順時針方向沿圖中弧線爬行，最后又回到P點，

33、則該蝸牛共轉(zhuǎn)過了多少度角?答案： 解：由P點開始轉(zhuǎn)一圈回到P點與由A點開始轉(zhuǎn)一圈回到A點所轉(zhuǎn)角度一樣，而由A點轉(zhuǎn)至C有180°，由C點轉(zhuǎn)至D有180°，由D點轉(zhuǎn)至E有180°，由E點轉(zhuǎn)至F有180°，由F點轉(zhuǎn)到B有180°，由B點轉(zhuǎn)到A有180°，共6×180°=1080°答：該蝸牛共轉(zhuǎn)過了1080°點睛：注意可將問題轉(zhuǎn)化為更簡單的形式4.3.2 教的比較與運算知識點1 角的大小比較例 某工廠生產(chǎn)如下圖所示的工件，其中稱為工件的中心角，生產(chǎn)要求的角度為30°±1°，

34、一名質(zhì)檢員在檢驗時，手拿一量角器逐一測量的度數(shù)。 請你運用所學(xué)的知識分析一下，該名質(zhì)檢員采用的是哪種比較方法?你還能給該質(zhì)檢員設(shè)計較好的質(zhì)檢方法嗎?請說說你的方法答案： 解：該質(zhì)檢員采用的是度量法還可以使用疊合法，即分別找一個中心角度數(shù)為31°和一個中心角度數(shù)為29°的工件，然后可把所要檢驗的工件夾在這兩個工件中間，使頂點和一邊重合，觀察另一邊的情況點睛：角的比較方法有兩種，即度量法和疊合法，度量具體，而疊合更直觀在檢驗中，采用疊合法比較快捷知識點2 兩角的和與差例1 如下圖所示，已知AOC-BOD=78°，BOC=35°，則AOD的度數(shù)為( ) A86

35、° B156° C121° D113°答案：C點睛：本題主要考查角的度量和運算，解題的關(guān)鍵是搞清已知角和未知角的關(guān)系：AOD=AOC+BOD-BOC例2 計算： (1)36°5326+37°1749； (2)108°2730-98°2542； (3)23°2514×7； (4)109°114÷7答案： 解：(1) 36°5326+37°1749=73°7075=74°1115；(2)108°2730-98°2542=

36、108°2690-98°2542=10°148；(3)23°2514×7=161°17598=l63°5638；(4) 109°114÷7=(105°+4°114)÷7=15°+2514÷7=15°+35+64÷7=15°+35+364÷7=15°+35+52=15°3552點睛：角的加減運算應(yīng)把度、分、秒分別加減，計算中要注意滿60進(jìn)1或借1為60的進(jìn)位制，乘除法也是如此進(jìn)行除法運算時，先用度除

37、以除數(shù)，整數(shù)保留，余數(shù)化為分后與原分相加，再除以除數(shù)，整數(shù)保留，余數(shù)化為秒后與原秒相加，再除以除數(shù)知識點3 角平分線例 如下圖所示，AOD=80°，OB是AOC的平分線，AOB=30°，求COD的度數(shù)答案： 解：因為OB是AOC的平分線，AOB=30°， 所以AOC=2AOB=60° 因為AOD=80°，COD=AOD-AOC， 所以COD=20°°點睛：由于AOD=80°，根據(jù)COD=AOD-AOC可知，要求出COD，首先要求出AOC，而AOC可由角平分線的定義求得提升點全面突破例1 如下圖所示，DOE：BOE=

38、1：2，DOC：COA=1：2，如果AOB=120°，那么EOC是多少度?答案： 思路一：由于DOE：BOE=1：2，DOC：COA=1：2，所以BOD=BOE+DOE=3DOE，AOD=DOC+COA=3DOC然后根據(jù)AOB=BOD+AOD=3DOE+3DOC=3(DOE+DOC)=3EOC=120°，即可求解 解：因為DOE：BOE=1：2，DOC：COA=1：2， 所以BOE=2DOE，COA=2DOC，所以BOD=3DOE，AOD=3DOC 又因為AOB=BOD+AOD=3DOE+3DOC=3(DOE+DOC)=3EOC， 所以EOC=AOB=40° 思路

39、二：本題也可利用方程思想，可設(shè)DOE=x，COD=y，即求x + y ，易推得3(x + y)=120°，故x + y=40° 解：設(shè)DOE=x，COD= y，由題意得BOE=2x，COA=2y 因為AOB=DOE+COD+BOE+COA，所以AOB=3x +3 y 因為AOB=120°，所以3x + 3y =120°，即x + y=40° 所以EOC=40°點睛：第二種方法體現(xiàn)了方程思想，比第一種方法更直觀弄清各個角之間的關(guān)系，尤其是EOC和AOB的倍分關(guān)系很重要例2 如下圖所示，AOB=90°，OM平分BOC，ON平分A

40、OC，求MON的度數(shù)答案： 思路一：雖然AOB=90°，但AOC的度數(shù)卻不知道因為ON平分AOC，所以不妨設(shè)CON=x°，則AON=x°，BOC=90°+2x°又OM平分BOC，所以MOC=45°+x°.因此根據(jù)兩角的差可以求出MON的度數(shù) 解：因為ON平分AOC(已知)，所以AON=CON(角平分線的定義) 設(shè)CON=x°，所以AON=CON=AOC=x° 又因為AOB=90°，所以BOC=AOB+AOC=90°+2x° 又因為OM平分BOC，所以MOC=BOC=45

41、76;+x°(角平分線的定義) 因為MOC=MON+NOC，所以MON=MOC-NOC=45°+x°-x°=45° 思路二：要求出MON的度數(shù)，由于MON=MOC-NOC，因此我們可轉(zhuǎn)而求MOC-NOC 解：因為ON平分AOC，OM平分BOC(已知)， 所以MOC=BOC，NOc=AOC(角平分線的定義)因為AOB=90°，所以MON=MOC-NOC=BOC-AOC= (BOC-AOC)= AOB=45°例3 在飛機飛行時，飛行方向是用飛行路線與實際的南或北方向線之問的夾角大小來表示的，如圖43-25，用AN(南北線)與飛行

42、線之間順時針方向夾角作為飛行方向角，從A到B的飛行方向角為35°，從A到C的飛行方向角為60°，從A到D的飛行方向角為145°，則AB與AC之間夾角為多少度?AD與AC之問夾角為多少度?并畫出從A飛出且方向角為105°的飛行線°答案： 解：由題意可知NAB=35°，NAC=60°，NAD=145° 故AB與AC之間夾角為BAC=NAC-NAB=60°-35°=25°， AD與AC之間夾角為CAD=NAD-NAC=l45°-60°=85°以A為頂點，AN為一

43、邊作l05°角，另一邊為AE，如圖4326，AE即為從A飛出且方向角為105°的飛行線點睛：此題是一道材料分析題，解答時要認(rèn)真閱讀，明確題目條件，找到南北線與飛行線之間順時針方向夾角是解題關(guān)鍵綜合能力養(yǎng)成例1 (操作題)用一副三角板畫一個角，使這個角等于75°答案： 解：如圖4327，AOB就是要畫的角點睛：三角板中的角的度數(shù)有30°、45°、60°、90°四種，利用三角板畫角，即為用這四種角的和、差得到要畫的角，分析可得75°=30°+45°，所以只要利用三角板中的30°和45

44、76;兩個角畫角即可例2 (計算評估題)已知BOC在AOB的外部，OE平分AOB，OF平分BOC，OD平分AOC，AOE=30°，BOD=20°，試求COF的度數(shù) 下面是李小雨同學(xué)的解題過程：解：如圖43-28所示 因為OE平分AOB，所以BOE=AOE=30°， 所以DOE=BOE-BOD=30°-20°=l0°， AOD=AOE+DOE=30°+10°=40°. 因為OD平分AOC，所以COD=AOD=40°. 所以BOC=COD-BOD=40°-20°=20°

45、 又因為OF平分BOC，所以COF=BOC=×20°=l0° 請判斷李小雨同學(xué)的解題過程是否正確，若不正確，請寫出正確的解題過程，答案： 解：李小雨同學(xué)的解題過程不完整，正確的解題過程為： (1)當(dāng)AOBBOC時，見李小雨的解題過程(2)當(dāng)AOB2BOC時，如圖43-29所示 因為0E平分AOB，所以AOB=2AOE=2×30°=60°， 所以AOD=AOB+BOD=60°+20°=80° 因為0D平分AOC，所以COD=AOD=80°， 所以BOC=COD+BOD=80°+20

46、76;=l00° 又因為OF平分BOC，所以COF=BOC=×100°=50°. 綜上可知，COF的度數(shù)為l0°或50°點睛：正確畫出圖形，結(jié)合圖形解題是解答此類題目的關(guān)鍵題目中沒有給出圖形，而根據(jù)題意，本題應(yīng)有AOBBOC和AOBBOC兩種情況，應(yīng)分情況進(jìn)行討論.注意可能出現(xiàn)的情況，避免漏解分層實戰(zhàn)訓(xùn)練A組1在AOB的內(nèi)部任取一點C，作射線OC，則一定成立的是( ) AAOBAOC BAOCBOC CBOCAOC DAOC=BOC答案：A 點睛：AOC+BOC=AOB，因此AOBAOC，AOBBOC2(2011，邵陽)如下圖所示，已

47、知O是直線AB上一點，1=40°，OD平分BOC，則2的度數(shù)是( ) A20° B25° C30° D70°答案：D點睛：本題考查的是平角的定義及角平分線的定義.先根據(jù)平角的定義求出COB的度數(shù)，再由OD平分BOC即可求出2的度數(shù)3已知AOB=60°，其角平分線為OM，BOC=20°，其角平分線為ON，則MON的度數(shù)為( ) A20° B40° C20°或40° D10°或30°答案：C點睛：分OCAOB內(nèi)部和OC在AOB外部兩種情況討論4如圖下圖所示，已知1=2，

48、3=4，則下列結(jié)論正確的個數(shù)為( ) AD平分BAF；AF平分BAC；AE平分DAF；AF平分DAC；AE平分BACA4 B3 C2 D1答案：C點睛：AE平分DAF，同時平分BAC6如圖下圖所示，如果AOC=BOD，那么AOB與COD的大小關(guān)系是答案：相等 點睛：因為AOC=BOD，所以AOC-BOC=BOD-BOC，即AOB=COD8如圖下圖所示，已知直線AB、CD相交于點O，OA平分EOC，EOC=70°，則BOD的度數(shù)等于答案：35°點睛：因為OA平分EOC，EOC=70°，所以AOC=35°因為BOD+BOC=AOC+BOC=180°

49、，所以BOD=AOC=35°4.3.3 余角和補角知識點1 互余、互補例 如下圖所示，AB是一條直線，AOC=90°，DOE=90°，圖中互余的角有幾對?互補的角有幾對(直角除外)?請寫出來答案： 解：互余的角有4對：AOD與COD，AOD與BOE，COE與COD，COE與BOE； 互補的角有4對：AOD與BOD，COE與8OD，COD與AOE，BOE與AOE點睛：由互為余角和互為補角的定義，只需找出圖中和為90°的兩個角以及和為180°的兩個角即可提升點全面突破【例l】 (2011，湛江)已知1=30°，則l的補角的度數(shù)為度答案：1

50、50點睛：本題考查了補角的定義，解題時牢記定義是關(guān)鍵.例2 (2012，郴州模擬)一個角的補角是它的余角的4倍，則這個角等于度答案：60點睛：設(shè)這個角為x°，則根據(jù)題意，得180°-x°=4(90°-x°)，所以180°-x=360°-4x°，所以x°=60° 根據(jù)一個角與它的補角的和是平角，與它的余角的和是直角，設(shè)這個角為x°，則它的補角是180°-x°，余角是90°-x°，由題目中所給的數(shù)量關(guān)系列出方程，便可以解決問題例3 如下圖所示，已知C

51、DF=OEF=90°，CE與OA相交于點F，若C=20°，求O的大小解：因為CDF=OEF=90°，所以O(shè)十OFE=90°，C+CFD=90°因為OFE十CFO=180°，CFD+CFO=180°，所以O(shè)FE=CFD(同角的補角相等)，所以O(shè)=C=20°(等角的余角相等)點睛：OFE、CFD都是CFO的補角，根據(jù)同角的補角相等，可得OFE=CFD；又O與OFE互余，C與CFD互余，根據(jù)等角的余危相等，可得O與C相等例4 如圖4.3-45所示，在O處測得北偏東30°的小島A處有一暗礁區(qū)，為避開這一危險區(qū)，輪

52、船在O處應(yīng)改為向東北方向航行才能避開(1)在圖中畫出輪船的航線；(2)求出輪船航線與OA的夾角解：(1)如圖43-46所示，作MON=45°，射線OM即為輪船的航線(2)由題意可得AON=30°，所以MOA=MON-AON=45°-30°=15°，所以輪船的航線與OA的夾角為15°點睛：方位角可看成將正北或正南方向的射線旋轉(zhuǎn)一定角度形成的，東北方向就是北偏東45°的方向綜合能力養(yǎng)成例 如果和互補，且，則下列表示的余角的式子中：90°-；-90°； (+)；(-)，正確的有( ) A4個 B3個 C2個 D

53、1個 答案：B點睛：因為和互補，所以+=180°，所以的余角為：90°-=90°-(180°-)=-90°或90°-=(+)-=(-)分層實戰(zhàn)訓(xùn)練A組1(2011，葫蘆島)如圖4.3-47，1的余角可能是圖4.3-48中的( )答案：C點睛：本題主要考查了互余兩角的和為90°，比較簡單2若+=90°，+=90°，則與的關(guān)系是( ) A互余 B互補 C相等 D以上都不對答案：C點睛：根據(jù)同角的余角相等，知=4(2011，蕪湖)一個角的補角是36°35，這個角是.答案：143°25點撥：此

54、題考查了補角的定義，屬于基礎(chǔ)題，較簡單，主要記住互為補角的兩個角的和為180度5如圖43-49.小明把一塊含60°的三角板ABC繞60°角的頂點A逆時針旋轉(zhuǎn)到三角形AED的位置.若已量出CAE=100°，則DAB=答案：20°點睛：因為CAE=100°，EAD=60°，所以CAD=40°，而CAB=60°，所以DAB=20°B組1若1與2互余，1與3互補，2與3的和等于周角的，則1、2、3這三個角的度數(shù)分別是( )A50°、40°、l30° B70°、20°、110° C75°、15°、l05° D60°、30°、120°答案：C點睛：設(shè)1=x°，則2=(90-x)°，3=(180-x)°因為2+3=120°，所以90-x+180=120°所以x=75，所以l=75°，2=15°，3=105°5輪船航行到C處觀測小島A的方向是北偏西46°，