第十二章第二節(jié)1

1、1正項級數(shù)正項級數(shù)交錯級數(shù)交錯級數(shù)絕對收斂與條件收斂絕對收斂與條件收斂constant term infinite series第二節(jié)第二節(jié) 常數(shù)項級數(shù)常數(shù)項級數(shù)的審斂法的審斂法 第十一章第十一章 無窮級數(shù)無窮級數(shù)21. 定義定義 1nnu nsss21收斂的充要條件收斂的充要條件部分和數(shù)列單調(diào)增加部分和數(shù)列單調(diào)增加.nsssnn lim,)1(時時當(dāng)當(dāng) n.1發(fā)散發(fā)散級數(shù)級數(shù) nnu有上界有上界若若)2(nspositive term series0 nu常數(shù)項級數(shù)的審斂法常數(shù)項級數(shù)的審斂法一、一、正項級數(shù)正項級數(shù)審斂法審斂法定理定理1 1正項級數(shù)正項級數(shù)收斂收斂部分和數(shù)列部分和數(shù)列有界有界

2、ns3 例例1 判定判定 的斂散性的斂散性. 1121nn解解121 nn211 與與一個一個已知已知斂散性的斂散性的正項正項級數(shù)級數(shù)來來比較比較可以判定可以判定正項級數(shù)正項級數(shù)的的斂散性斂散性.,21n . 1 正項正項級數(shù)收級數(shù)收斂斂.正項級數(shù)正項級數(shù)收斂收斂部分和所成的數(shù)列部分和所成的數(shù)列ns有界有界.常數(shù)項級數(shù)的審斂法常數(shù)項級數(shù)的審斂法 nkkns1121 nkk12142. 比較審斂法比較審斂法證證定理定理2 2nnuuus 21 1nnv 設(shè)設(shè)nnvu 部分和數(shù)列有界部分和數(shù)列有界. 1nnunvvv 21,nnvu 若若收斂收斂 1nnv 1nnu收斂收斂發(fā)散發(fā)散 1nnu 1n

3、nv發(fā)散發(fā)散收斂收斂 0常數(shù)項級數(shù)的審斂法常數(shù)項級數(shù)的審斂法5nns )( nsn設(shè)設(shè)nnuv 無界數(shù)列，無界數(shù)列， 1nnv比較審斂法的不便比較審斂法的不便: 須有參考級數(shù)須有參考級數(shù). 1nnu發(fā)散發(fā)散 1nnv發(fā)散發(fā)散發(fā)散。發(fā)散。推論推論,1收斂收斂 nnu)(nnukvnn 1nnv收斂收斂證證,0nnvu 若若常數(shù)項級數(shù)的審斂法常數(shù)項級數(shù)的審斂法6解解, 1 p設(shè)設(shè), 1 p設(shè)設(shè) pn1pppnns131211 nnppxxxx121dd1(1)(2)nnp11 nnpxx1d比較審斂法比較審斂法發(fā)散發(fā)散. . 11npnppxnnx11, 時時當(dāng)當(dāng) nnpnx1d常數(shù)項級數(shù)的審斂法

4、常數(shù)項級數(shù)的審斂法例例2 2級級數(shù)數(shù) p pppn131211)0( p npxdx11)11(1111 pnp111 p有界有界ns收斂收斂. . 11npn 發(fā)散發(fā)散時時當(dāng)當(dāng)收斂收斂時時當(dāng)當(dāng)級數(shù)級數(shù),1,1ppp7(1) 幾何級數(shù)幾何級數(shù)正項正項級數(shù)的比較判定法級數(shù)的比較判定法, 常用的比較級數(shù)常用的比較級數(shù)(2) p-級數(shù)級數(shù)(3) 調(diào)和級數(shù)調(diào)和級數(shù) 0nnq 時，發(fā)散時，發(fā)散當(dāng)當(dāng)時，收斂時，收斂當(dāng)當(dāng)11pp 11npn nnn13121111發(fā)散發(fā)散常數(shù)項級數(shù)的審斂法常數(shù)項級數(shù)的審斂法 時，發(fā)散時，發(fā)散當(dāng)當(dāng)時，收斂時，收斂當(dāng)當(dāng)11qq8;1收斂收斂 nnunun1 推論推論1,1 pn

5、upn.1發(fā)散發(fā)散 nnu定理定理2 2 比較審斂法比較審斂法,0nnvu 若若收斂收斂 1nnv收斂收斂 1nnu發(fā)散發(fā)散 1nnu發(fā)散發(fā)散 1nnv常數(shù)項級數(shù)的審斂法常數(shù)項級數(shù)的審斂法9例例3 討論討論正項級數(shù)正項級數(shù)的斂散性的斂散性.nnn3sin2)1(1 解解 (1) nnnu3sin2 等比級數(shù)等比級數(shù) 收斂收斂. 1)32(nn 原級數(shù)收斂原級數(shù)收斂.n)32( nn32 比較審斂法，比較審斂法，常數(shù)項級數(shù)的審斂法常數(shù)項級數(shù)的審斂法10解解3)1(1 nnun32)1(1 n 132)1(1nnp-級數(shù)發(fā)散級數(shù)發(fā)散. 原級數(shù)原級數(shù) nn321 13)1(1)2(nnn 發(fā)散發(fā)散時

6、時當(dāng)當(dāng)收斂收斂時時當(dāng)當(dāng)級數(shù)級數(shù),1,1ppp,11 npn發(fā)散發(fā)散.2比較審斂法，比較審斂法，常數(shù)項級數(shù)的審斂法常數(shù)項級數(shù)的審斂法11解解xxnd10 1231nn, 123 p原級數(shù)原級數(shù)xxxunnd1102 23132n xxxnnd1)3(1102 0收斂收斂.p-級數(shù)級數(shù), 收斂收斂.比較審斂法，比較審斂法，常數(shù)項級數(shù)的審斂法常數(shù)項級數(shù)的審斂法12,11都都是是正正項項級級數(shù)數(shù)與與設(shè)設(shè) nnnnvu如果如果,limlvunnn ,0)1(時時當(dāng)當(dāng) l,0)2(時時當(dāng)當(dāng) l,)3(時時當(dāng)當(dāng) l3.3.比較審斂法的極限形式比較審斂法的極限形式定理定理3 3,1收斂收斂若若 nnv;1收斂

7、收斂則則 nnu,1發(fā)散發(fā)散若若 nnv.1發(fā)散發(fā)散則則 nnu兩級數(shù)有相同的斂散性兩級數(shù)有相同的斂散性;常數(shù)項級數(shù)的審斂法常數(shù)項級數(shù)的審斂法!的的階階數(shù)數(shù)實(shí)實(shí)質(zhì)質(zhì)是是比比較較通通項項無無窮窮小小13證證,lim)1(lvunnn 02 l 取取,n ,時時當(dāng)當(dāng)nn 22llvullnn )(232nnvluvlnnn 即即比較審斂法，斂散性相同。比較審斂法，斂散性相同。,0)1(時時當(dāng)當(dāng) l斂斂散散性性相相同同。,limlvunnn 常數(shù)項級數(shù)的審斂法常數(shù)項級數(shù)的審斂法14注注快速的審斂法快速的審斂法: (1)與與p-級數(shù)比較級數(shù)比較. 127223132nnnnn例如例如收斂收斂.123

8、p常數(shù)項級數(shù)的審斂法常數(shù)項級數(shù)的審斂法 12tan3nnn 例如例如發(fā)散發(fā)散., n,232tan3nnn 123nn發(fā)散發(fā)散.(2)與冪級數(shù)比較。與冪級數(shù)比較。,1231322/3272nnnnn 15解解)1(nnn 31limnn1sinlim 1 )2(nnn311lim 1 .311收斂收斂 nn原級數(shù)原級數(shù)收斂收斂。原級數(shù)發(fā)散。原級數(shù)發(fā)散。n31例例4 判定下列判定下列級數(shù)級數(shù)的斂散性的斂散性 11sin)1(nn 131)2(nnn比較審斂法的極限形式，比較審斂法的極限形式，n1常數(shù)項級數(shù)的審斂法常數(shù)項級數(shù)的審斂法16.)cos1(1的斂散性的斂散性判定級數(shù)判定級數(shù) nn 解解n

9、n cos1lim 12)(nn 1221nn 收斂收斂,級數(shù)級數(shù) 1)cos1 (nn 1 2cos12xx 0 x收斂收斂.2, pp級數(shù)級數(shù)常數(shù)項級數(shù)的審斂法常數(shù)項級數(shù)的審斂法2)(21n 17.ln12的斂散性的斂散性判定級數(shù)判定級數(shù) nnn解解2lnlimnnn 231nnnnlnlim 0 收斂收斂 1231nn.ln12收斂收斂 nnn常數(shù)項級數(shù)的審斂法常數(shù)項級數(shù)的審斂法18證證 nnuu1定理定理4 4達(dá)朗貝爾達(dá)朗貝爾,17171783, 法國數(shù)學(xué)家、力學(xué)家、哲學(xué)家法國數(shù)學(xué)家、力學(xué)家、哲學(xué)家,1 nnu設(shè)正項級數(shù)設(shè)正項級數(shù) nnnuu1lim nnuu14.4.比值審斂法比值審

10、斂法( (達(dá)朗貝爾達(dá)朗貝爾 判定法判定法) ) alembertd,收斂收斂發(fā)散發(fā)散 方法失效方法失效 1nnu 1nnu1 1 1 常數(shù)項級數(shù)的審斂法常數(shù)項級數(shù)的審斂法, 0 ,n ,時時當(dāng)當(dāng)nn 19,1時時當(dāng)當(dāng) , 取取, 1 r使使,時時當(dāng)當(dāng)nn ,1nnnuuru nnu lim發(fā)散發(fā)散發(fā)散發(fā)散級數(shù)級數(shù) 11nn收斂收斂級數(shù)級數(shù) 121nn例如例如,1時時當(dāng)當(dāng) 比值審斂法失效比值審斂法失效. nnuu10 nnnuu1lim1 常數(shù)項級數(shù)的審斂法常數(shù)項級數(shù)的審斂法,n , 0 取取,n ,時時當(dāng)當(dāng)nn ,1時時當(dāng)當(dāng) , 1 r 使使,1nnuru ,nkknuru 等比級數(shù)收斂等比級

11、數(shù)收斂202. 比值判別法判定級數(shù)發(fā)散，比值判別法判定級數(shù)發(fā)散，注注 方法失效方法失效.級數(shù)的通項級數(shù)的通項un不趨于零不趨于零.3. 當(dāng)當(dāng)=1nnnuu1lim 或或 不存在時不存在時,4. 條件是充分的條件是充分的,含有連乘積。含有連乘積。一般項一般項nu. 1不是必要的不是必要的.收斂收斂正項級數(shù)正項級數(shù) 1nnu1lim1 nnnuu,1時時 常數(shù)項級數(shù)的審斂法常數(shù)項級數(shù)的審斂法21nn2)1(2 nnuu1.a,a,nn2361122 nnnuu1lim 12)1(2nnn級數(shù)級數(shù)例如例如n23 級數(shù)級數(shù)收斂收斂 )1(22)1(21nnna不存在不存在 1nnu)0( nu收斂收斂

12、1lim1 nnnuu常數(shù)項級數(shù)的審斂法常數(shù)項級數(shù)的審斂法22解解)( n)1( nnuu1101 n.10!1發(fā)散發(fā)散級數(shù)級數(shù) nnn比值審斂法的優(yōu)點(diǎn)比值審斂法的優(yōu)點(diǎn):不必找參考級數(shù)不必找參考級數(shù). . 例例5 判定下列判定下列級數(shù)級數(shù)的斂散性的斂散性 110!)1(nnn 12)12(1)2(nnn!1010)!1(1nnnn 常數(shù)項級數(shù)的審斂法常數(shù)項級數(shù)的審斂法23nnnuu1lim 1 比值審斂法失效比值審斂法失效, )12(21lim nnn.)12(211收斂收斂級數(shù)級數(shù) nnn解解)22()12(2)12(lim nnnnn21n41 改用比較審斂法改用比較審斂法的極限形式的極限

13、形式。 12)12(1)2(nnn常數(shù)項級數(shù)的審斂法常數(shù)項級數(shù)的審斂法24例例6 討論級數(shù)討論級數(shù) 的斂散性的斂散性.)0(1 xnxnn解解nnnuu1lim 當(dāng)當(dāng)0 x1時時,當(dāng)當(dāng) x=1時時, xnnn1lim nxnxnnn1lim1 發(fā)散發(fā)散;發(fā)散發(fā)散.x 調(diào)和級數(shù)調(diào)和級數(shù),收斂收斂;常數(shù)項級數(shù)的審斂法常數(shù)項級數(shù)的審斂法25例例7 判定級數(shù)判定級數(shù) 的斂散性的斂散性.3cos221 nnnn 解解3cos202 nnn nnnnn221lim1 收斂，收斂， 12nnn比較判別法，比較判別法，原級數(shù)收斂原級數(shù)收斂.2121lim nnn1 nn2 常數(shù)項級數(shù)的審斂法常數(shù)項級數(shù)的審斂法

14、26例例8 利用級數(shù)收斂性，證明利用級數(shù)收斂性，證明. 0) !(lim2 nnnn證證 考慮級數(shù)考慮級數(shù),) !(12 nnnnnnnuu1lim nnnnnnn221) !()!1()1(lim nnnn1111lim0 級數(shù)級數(shù) 收斂收斂. 12) !(nnnn必要條件，必要條件，. 0) !(lim2 nnnn1 常數(shù)項級數(shù)的審斂法常數(shù)項級數(shù)的審斂法27例例9 證明證明:級數(shù)級數(shù) 發(fā)散發(fā)散. 1!nnnnne證證 nnuu1nnne)1( nne)11( , e . 11 nnuu.1nnuu . 0lim nnu級數(shù)收斂的必要條件級數(shù)收斂的必要條件, 原級數(shù)原級數(shù)發(fā)散發(fā)散.!)1()

15、!1(11nennnennnn nn)11( 常數(shù)項級數(shù)的審斂法常數(shù)項級數(shù)的審斂法28, 0 a設(shè)設(shè) 112102)1()1()1)(1)(1(nnnnaaaaa解解 nnnuu1lim 10 a01 a211 aa,10時時當(dāng)當(dāng) a發(fā)散發(fā)散.收斂收斂;,1時時當(dāng)當(dāng) a nnnaa1lim1常數(shù)項級數(shù)的審斂法常數(shù)項級數(shù)的審斂法討論級數(shù)的斂散性討論級數(shù)的斂散性。29.11 nnn級數(shù)級數(shù)定理定理5 5柯西柯西(cauchy) (法法)17891857適用于適用于:以以n為指數(shù)冪的因子為指數(shù)冪的因子5. 根值審斂法根值審斂法 (柯西判別法柯西判別法),1 nnu設(shè)正項級數(shù)設(shè)正項級數(shù) 方法失效方法失

16、效收斂收斂 1nnu發(fā)散發(fā)散 1nnu1 1 1 nnnulim常數(shù)項級數(shù)的審斂法常數(shù)項級數(shù)的審斂法30例例10 討論級數(shù)討論級數(shù) 的斂散性的斂散性. 1)12(nnann解解annn)12(lim a)21( 當(dāng)當(dāng)a0時時,a)21(級數(shù)級數(shù)收斂收斂;當(dāng)當(dāng)a0時時,a)21(級數(shù)級數(shù)發(fā)散發(fā)散;當(dāng)當(dāng)a=0時時,根值法根值法失效失效, 11 n發(fā)散發(fā)散.nnnu limnnannn)12(lim , 1 , 1 常數(shù)項級數(shù)的審斂法常數(shù)項級數(shù)的審斂法31判定判定 的斂散性的斂散性. 1ln72nnn解解根值審斂法根值審斂法)(12 n. 0lnlim nnn級數(shù)發(fā)散級數(shù)發(fā)散.nnln72 nnnnnuln72常數(shù)項級數(shù)的審斂法常數(shù)項級數(shù)的審斂法32注注 1. 根值法條件是充分的根值法條件是充分的,不是必要的不是必要的. 1