第一節(jié)多元函數(shù)的概念

1、 n維空間的記號為維空間的記號為;nr n維空間中兩點(diǎn)間維空間中兩點(diǎn)間距離公式距離公式 設(shè)兩點(diǎn)為設(shè)兩點(diǎn)為),(21nxxxp),(21nyyyq.)()()(|2222211nnxyxyxypq 特殊地當(dāng)特殊地當(dāng) 時(shí)，便為數(shù)軸、平面、時(shí)，便為數(shù)軸、平面、空間兩點(diǎn)間的距離空間兩點(diǎn)間的距離3, 2, 1 n第一節(jié)第一節(jié) 多元函數(shù)的概念多元函數(shù)的概念二元函數(shù)的定義二元函數(shù)的定義當(dāng)當(dāng)2 n時(shí)時(shí)，n元元函函數(shù)數(shù)統(tǒng)統(tǒng)稱稱為為多多元元函函數(shù)數(shù). 多元函數(shù)中同樣有定義域、值域、自變量、多元函數(shù)中同樣有定義域、值域、自變量、因變量等概念因變量等概念.類似地可定義三元及三元以上函數(shù)類似地可定義三元及三元以上函數(shù)例

2、例1 1 求求 的定義域的定義域222)3arcsin(),(yxyxyxf 解解 013222yxyx 22242yxyx所求定義域?yàn)樗蠖x域?yàn)?, 42| ),(222yxyxyxd 二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面.xyzo例如例如,2222azyx 左圖球面左圖球面.),(222ayxyxd 222yxaz .222yxaz 單值分支單值分支:1. 鄰域鄰域0p ;,|),(00nrpppppu .,|0),(000nrpppppu （2）區(qū)域）區(qū)域.),(, 0,的的內(nèi)內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)為為，則則稱稱使使得得如如果果存存在在是是一一個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)集集，設(shè)設(shè)epepuepe e

3、p .,為為開開集集則則稱稱的的點(diǎn)點(diǎn)都都是是內(nèi)內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)如如果果點(diǎn)點(diǎn)集集ee41),(221 yxyxe例如，例如，即為開集即為開集的的邊邊界界點(diǎn)點(diǎn)為為，則則稱稱的的點(diǎn)點(diǎn)的的點(diǎn)點(diǎn)，也也有有不不屬屬于于的的任任一一鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)既既有有屬屬于于如如果果點(diǎn)點(diǎn)epeepep 的的邊邊界界的的邊邊界界點(diǎn)點(diǎn)的的全全體體稱稱為為 ee是是連連通通的的稱稱開開集集中中的的折折線線連連結(jié)結(jié)起起來來，則則兩兩點(diǎn)點(diǎn)，都都可可用用內(nèi)內(nèi)任任何何是是開開集集如如果果對對于于設(shè)設(shè)dddd 連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域xyo例如，例如，.41| ),(22 yxyx例如，例如，.41| ),(22 yxy

4、xxyo0| ),( yxyx有界閉區(qū)域；有界閉區(qū)域；無界開區(qū)域無界開區(qū)域xyo例如，例如，無無界界點(diǎn)點(diǎn)集集為為有有界界點(diǎn)點(diǎn)集集，否否則則稱稱為為則則稱稱為為半半徑徑的的球球內(nèi)內(nèi)為為中中心心，包包含含在在以以某某點(diǎn)點(diǎn)，使使如如果果存存在在正正數(shù)數(shù)對對于于點(diǎn)點(diǎn)集集erpere,041| ),(22 yxyx（3）聚點(diǎn)）聚點(diǎn)10| ),(22 yxyx例例(0,0)既是既是邊界點(diǎn)也是聚點(diǎn)邊界點(diǎn)也是聚點(diǎn)例例1| ),(22 yxyx邊界上的點(diǎn)都是聚點(diǎn)邊界上的點(diǎn)都是聚點(diǎn)多元函數(shù)的極限多元函數(shù)的極限說明：說明：（1）定義中）定義中 的方式是任意的；的方式是任意的；0pp （2）二元函數(shù)的極限也叫二重極限

5、）二元函數(shù)的極限也叫二重極限);,(lim00yxfyyxx（3）二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)類似）二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)類似例例2 2 證明證明 證證01sin)(lim222200 yxyxyx01sin)(2222 yxyx22221sinyxyx 22yx , 0 , 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 22)0()0(0yx 01sin)(2222yxyx原結(jié)論成立原結(jié)論成立例例3 3 求極限求極限 .)sin(lim22200yxyxyx 解解22200)sin(limyxyxyx ,lim22200yxyxyx , 1222 yxx. 0)sin(lim22200 yxyxyx, 0l

6、im00 yyx例例4 4 證明證明 不存在不存在 證證26300limyxyxyx 取取,3kxy 26300limyxyxyx 6263303limxkxkxxkxyx ,12kk 其值隨其值隨k的不同而變化，的不同而變化，故極限不存在故極限不存在n元元函函數(shù)數(shù)的的極極限限 設(shè)設(shè)n元函數(shù)元函數(shù))(pf的定義域?yàn)辄c(diǎn)集的定義域?yàn)辄c(diǎn)集0, pd是其聚點(diǎn)且是其聚點(diǎn)且dp 0，如果，如果)()(lim00pfpfpp 則稱則稱n元函數(shù)元函數(shù))(pf在點(diǎn)在點(diǎn)0p處連續(xù)處連續(xù). .多元函數(shù)的連續(xù)性多元函數(shù)的連續(xù)性定義定義3 3例例5 5 討論函數(shù)討論函數(shù) )0 , 0(),(, 0)0 , 0(),(,

7、),(2233yxyxyxyxyxf在在(0,0)處的連續(xù)性處的連續(xù)性解解取取,cos x sin y)cos(sinlim),(lim330)0,0(),( yxfyx則則)0 , 0(0f 故函數(shù)在故函數(shù)在(0,0)處連續(xù)處連續(xù).例例6 6 討論函數(shù)討論函數(shù) 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf在在(0,0)的連續(xù)性的連續(xù)性解解取取kxy 2200limyxxyyx 22220limxkxkxkxyx 21kk 其值隨其值隨k的不同而變化，的不同而變化，極限不存在極限不存在故函數(shù)在故函數(shù)在(0,0)處不連續(xù)處不連續(xù)閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 在有界閉區(qū)域在

8、有界閉區(qū)域d d上的多元連續(xù)函數(shù)，在上的多元連續(xù)函數(shù)，在d d上至少取得它的最大值和最小值各一次上至少取得它的最大值和最小值各一次 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域d d上的多元連續(xù)函數(shù)，如上的多元連續(xù)函數(shù)，如果在果在d d上取得兩個(gè)不同的函數(shù)值，則它在上取得兩個(gè)不同的函數(shù)值，則它在d d上上取得介于這兩值之間的任何值至少一次取得介于這兩值之間的任何值至少一次（1）最大值和最小值定理）最大值和最小值定理（2）介值定理）介值定理一切多元初等函數(shù)在其定義域內(nèi)的任一開區(qū)域一切多元初等函數(shù)在其定義域內(nèi)的任一開區(qū)域或閉區(qū)域上是連續(xù)的或閉區(qū)域上是連續(xù)的例例.11lim00 xyxyyx 求求解解)11(11lim

9、00 xyxyxyyx原式原式111lim00 xyyx.21 ).()(lim)()()()(lim00000pfpfppfpfppfpfpppp 處連續(xù)，于是處連續(xù)，于是在點(diǎn)在點(diǎn)的定義域內(nèi)的點(diǎn)，則的定義域內(nèi)的點(diǎn)，則是是數(shù)，且數(shù)，且是初等函是初等函時(shí)，如果時(shí)，如果一般地，求一般地，求多元函數(shù)極限的概念多元函數(shù)極限的概念多元函數(shù)連續(xù)的概念多元函數(shù)連續(xù)的概念閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（注意趨近方式的（注意趨近方式的任意性任意性）小結(jié)小結(jié)多元函數(shù)的定義多元函數(shù)的定義 若點(diǎn)若點(diǎn)),(yx沿著無數(shù)多條平面曲線趨向于沿著無數(shù)多條平面曲線趨向于點(diǎn)點(diǎn)),(00yx時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù)),(yx

10、f都趨向于都趨向于 a，能否，能否斷定斷定ayxfyxyx ),(lim),(),(00？思考題思考題思考題解答思考題解答不能不能.例例,),(263yxyxyxf )0 , 0(),(yx取取,kxy )0( , 0),(2422264時(shí)時(shí) xkxkxxkxkxkxxf但由例但由例4知知 不存在不存在.),(lim)0,0(),(yxfyx一、一、 填空題填空題: :1 1、 若若yxxyyxyxftan),(22 , ,則則),(tytxf= =_. .2 2、 若若xyyxyxf2),(22 , ,則則 )3, 2(f_; ; ), 1(xyf_. .3 3、 若若)0()(22 yyy

11、xxyf, ,則則 )(xf_. .4 4、 若若22),(yxxyyxf , , 則則 ),(yxf_. .函數(shù)函數(shù))1ln(4222yxyxz 的定義域是的定義域是_. .練練 習(xí)習(xí) 題題 6 6、函數(shù)、函數(shù)yxz 的定義域是的定義域是_. . 7 7、函數(shù)、函數(shù)xyzarcsin 的定義域是的定義域是_. . 8 8、函數(shù)、函數(shù)xyxyz2222 的間斷點(diǎn)是的間斷點(diǎn)是_. .二二、 求求下下列列各各極極限限: :1 1、 xyxyyx42lim00 ；2 2、 xxyyxsinlim00；3 3、 22222200)()cos(1limyxyxyxyx . .三、三、 證明：證明：0lim2200 yxxyyx. .四、四、 證明極限證明極限yxxyyx 11lim00不存在不存在 . .一、一、 1 1、 ),(2yxft； 2 2、1213 ,