解析幾何教程

1、3.2 柱面和錐面柱面和錐面一一 柱面柱面母線母線準(zhǔn)準(zhǔn)線線 1 lclc 定義空間中一直線 沿著一條曲線 平移時(shí)所產(chǎn)生的曲面稱(chēng)為柱面. 稱(chēng)為母線， 稱(chēng)為準(zhǔn)線. 對(duì)于一個(gè)柱面來(lái)說(shuō),它的準(zhǔn)線和母線都不唯一,但母線方向是唯一的(平面除外),與每一條母線都相交的曲線可作為準(zhǔn)線. ( , , )m x y z點(diǎn)在柱面上12 ( , , )0 ( , , )0( , ),cf x y zf x y zlvl m n 設(shè)柱面的準(zhǔn)線 方程為母線 的方向向量為我們來(lái)求柱面的方程：00000(,)mcmxyzmmv在某一條母線上，即準(zhǔn)線上有一點(diǎn)，使在過(guò)且方向?yàn)?的直線上. 即有10002000000(,)0(,)

2、0f xyzf xyzxxluyymuzznu 000,xyz消去，得12( - , -, -)0 ( - , -, -)0f x lu y mu z nuf x lu y mu z nu, ,.ux y z 再消去參數(shù) ，得到的一個(gè)方程，就是所求的柱面方程柱面舉例：柱面舉例：xozyxy 平面平面xy 平面方程：平面方程： 1 .zzzz定理若一個(gè)柱面的母線平行于 軸，則它的方程中不含 反之，一個(gè)三元方程如果不含 ，則它一定表示一個(gè)母線平行于 軸的柱面從柱面方程看從柱面方程看柱面的特征柱面的特征：實(shí)實(shí) 例例12222 czby橢圓柱面，橢圓柱面，x12222 byax雙曲柱面雙曲柱面 ，zp

3、zx22 拋物柱面，拋物柱面，y母線母線/ 軸軸母線母線/ 軸軸母線母線/ 軸軸1. 1. 橢圓柱面橢圓柱面12222 byaxxyzo2. 雙曲柱面雙曲柱面12222 byaxxozyxozyyx22 3 拋物柱面拋物柱面yx22 1111( , , )0,( , , )0( , )0.( , )0( , )0( , )00cf x y zg x y zyzf x yg x zf x yzf x ycxoyzcxoy 設(shè)空間曲線 的方程為 若分別消去坐標(biāo) 和 后，得到與之等價(jià)的方程組 其中：表示母線平行與 的柱面，此柱面稱(chēng)為空間曲線 向面投影的投影柱面,而曲線稱(chēng)為空間曲線 向面上的投影曲線.

4、的圖形討論曲線例zxzyzxzy1283442 2222 zxzyzxzy1283442 2222將將其其換換成成l:xz y0( )投投影影柱柱面面的的交交線線 消去消去z(消去消去x ).y2+(z 2)2 = 4y2+(z 2)2 = 4y2 = 4x y2 = 4x 1283442 2222xzyzxzy將將其其換換成成l：l:xz y0l轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)系，有下頁(yè)圖( )投投影影柱柱面面的的交交線線. 消去消去z(消去消去x ).y2+(z 2)2 = 4y2 = 4x y2+(z 2)2 = 4y2 = 4x l：lxz y0y2+(z 2)2 = 4y2 = 4x (消去消去z)y 2

5、+ (z 2)2 = 4 (消去消去x)y2 = 4x 二二 錐面錐面00 2 mclmcl 定義空間中過(guò)一定點(diǎn)且與定曲線 相交的動(dòng)直線 所產(chǎn)生的曲面稱(chēng)為錐面.定點(diǎn)稱(chēng)為錐面的頂點(diǎn)，定曲線 稱(chēng)為準(zhǔn)線，動(dòng)直線 稱(chēng)為母線.000012(,) ( , , )0 ,( , , )0mxyzcf x y zf x y z 設(shè)錐面的頂點(diǎn)，準(zhǔn)線 方程為我們來(lái)求錐面的方程：準(zhǔn)線準(zhǔn)線頂點(diǎn)頂點(diǎn)x0z y111110( ,)mcmx y zmm m在某一條母線上，即準(zhǔn)線上有一點(diǎn)，使在直線上.即有11112111100100100( ,)0( ,)0 ()()()f x y zf x y zxxxx uyyyy uzz

6、zz u111,x y z消去，得10000002000000() ,() ,() )0 () ,() ,() )0f xxx u yyy u zzz uf xxx u yyy u zzz u, ,.ux y z再消去參數(shù) ，得到的一個(gè)方程，就是所求的錐面方程m點(diǎn)在錐面上 3 定義如果錐面有一對(duì)稱(chēng)軸，它的每條母線與對(duì)稱(chēng)軸所夾的銳角都相等，則此錐面稱(chēng)為圓錐面，母線與對(duì)稱(chēng)軸所夾的銳角稱(chēng)為圓錐面的半頂角.m點(diǎn)在圓錐面上3(0,0,1)omze 與 軸的坐標(biāo)向量的夾角為半頂角 或3cos(,)cosom e 因此：2222tan0 xyz于是有oz選取圓錐面的頂點(diǎn) 為坐標(biāo)原點(diǎn)，圓錐面對(duì)稱(chēng)軸為 軸建立右手直角坐標(biāo)系.我們來(lái)求圓錐面的方程： 4 ( , , ), , ( ,)( , , ),( , , )0, ,kf x y zktx ty tzx y zf tx ty tzt f x y ztf x y zx y zk定義一個(gè)函數(shù)稱(chēng)為 次齊次函數(shù)，如果以代替時(shí)，有其中 是任意實(shí)數(shù).此時(shí)，方程稱(chēng)為的 次齊次方程.