第6節(jié)多元函數(shù)的極值與最值15853

1、1第六節(jié)第六節(jié) 多元函數(shù)的極值與最值多元函數(shù)的極值與最值 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx的某鄰域內(nèi)有定的某鄰域內(nèi)有定義，對(duì)于該鄰域內(nèi)異于義，對(duì)于該鄰域內(nèi)異于),(00yx的點(diǎn)的點(diǎn)),(yx：若恒有：若恒有),(),(00yxfyxf ，則稱(chēng)函數(shù)在，則稱(chēng)函數(shù)在),(00yx有有極大值極大值；若恒有若恒有),(),(00yxfyxf ， 則稱(chēng)函數(shù)在， 則稱(chēng)函數(shù)在),(00yx有有極極小值小值. . 一、多元函數(shù)的極值與最值一、多元函數(shù)的極值與最值極大值、極小值統(tǒng)稱(chēng)為極大值、極小值統(tǒng)稱(chēng)為極值極值. . 使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱(chēng)為使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱(chēng)為極值點(diǎn)極值點(diǎn). . 2(1)(2)

2、(3)例例1 1處有極小值處有極小值在在函數(shù)函數(shù))0 , 0(4322yxz 例例處有極大值處有極大值在在函數(shù)函數(shù))0 , 0(22yxz 例例處無(wú)極值處無(wú)極值在在函數(shù)函數(shù))0 , 0(xyz 3的圖形的圖形觀(guān)察二元函數(shù)觀(guān)察二元函數(shù)22eyxxyz 播放播放4的圖形的圖形觀(guān)察二元函數(shù)觀(guān)察二元函數(shù)22eyxxyz 5的圖形的圖形觀(guān)察二元函數(shù)觀(guān)察二元函數(shù)22eyxxyz 6的圖形的圖形觀(guān)察二元函數(shù)觀(guān)察二元函數(shù)22eyxxyz 7的圖形的圖形觀(guān)察二元函數(shù)觀(guān)察二元函數(shù)22eyxxyz 8的圖形的圖形觀(guān)察二元函數(shù)觀(guān)察二元函數(shù)22eyxxyz 9的圖形的圖形觀(guān)察二元函數(shù)觀(guān)察二元函數(shù)22eyxxyz 10的

3、圖形的圖形觀(guān)察二元函數(shù)觀(guān)察二元函數(shù)22eyxxyz 11的圖形的圖形觀(guān)察二元函數(shù)觀(guān)察二元函數(shù)22eyxxyz 12設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點(diǎn)點(diǎn)),(00yx具具有有偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，且且在在點(diǎn)點(diǎn)),(00yx處處有有極極值值，則則它它在在該該點(diǎn)點(diǎn)的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)必必然然為為零零：0),(00 yxfx， 0),(00 yxfy. . 極值的求法極值的求法（稱(chēng)（稱(chēng)駐點(diǎn)駐點(diǎn)） 但但不不是是極極值值點(diǎn)點(diǎn).駐點(diǎn)駐點(diǎn)或或不可導(dǎo)點(diǎn)不可導(dǎo)點(diǎn)極值點(diǎn)極值點(diǎn)注意注意：定理定理1 1（必要條件）（必要條件） 問(wèn)題：如何判定一個(gè)駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)？問(wèn)題：如何判定一個(gè)駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)？點(diǎn)點(diǎn) 是函數(shù)是函數(shù) 的不可導(dǎo)點(diǎn)，

4、不的不可導(dǎo)點(diǎn)，不是極值點(diǎn)是極值點(diǎn)33zxy)0 , 0(13設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx的某鄰域內(nèi)連續(xù)，的某鄰域內(nèi)連續(xù)，有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)， 設(shè)設(shè) 0),(00 yxfx, , 0),(00 yxfy， 定理定理2 2（充分條件）（充分條件）則則),(yxf在在點(diǎn)點(diǎn)),(00yx處處是是否否取取得得極極值值的的條條件件如如下下：令令 ayxfxx ),(00，byxfxy ),(00，cyxfyy ),(00， （1 1）02 acb時(shí)時(shí)具具有有極極值值，且且當(dāng)當(dāng)0 a時(shí)時(shí)有有極極大大值值，當(dāng)當(dāng)0 a時(shí)時(shí)有有極極小小值值； （2 2）02 ac

5、b時(shí)時(shí)沒(méi)沒(méi)有有極極值值； （3 3）02 acb時(shí)時(shí)可可能能有有極極值值, ,也也可可能能沒(méi)沒(méi)有有極極值值，還還需需另另作作討討論論 cbba負(fù)定負(fù)定正定正定14求求函函數(shù)數(shù)xyxyxyxf933),(2233 的的極極值值. . 求求得得駐駐點(diǎn)點(diǎn)：)2 , 1(),2 , 3(),0 , 1(),0 , 3( , , 二二階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為：66, 0, 66 yffxfyyxyxx, , 例例4 4解解 063096322 yyfxxfyx令令cba acb 2)0, 3( )0, 1()2, 3( )2, 1(6 0 12 6 0 126 0 12 6 0 12 無(wú)無(wú)極值極值極極小小值

6、值- -5極極大大值值31無(wú)無(wú)極值極值1, 3 x2, 0 yf駐點(diǎn)駐點(diǎn)15二元函數(shù)的最值二元函數(shù)的最值 若根據(jù)實(shí)際問(wèn)題若根據(jù)實(shí)際問(wèn)題, ,目標(biāo)函數(shù)有最大值目標(biāo)函數(shù)有最大值( (或最小值或最小值),),而在定義區(qū)域而在定義區(qū)域內(nèi)部?jī)?nèi)部有有唯一唯一的極大的極大( (小小) )值點(diǎn)值點(diǎn), ,則可以斷則可以斷定該極大定該極大( (小小) )值點(diǎn)即為最大值點(diǎn)即為最大( (小小) )值點(diǎn)值點(diǎn). . 設(shè)生產(chǎn)某種商品需原料設(shè)生產(chǎn)某種商品需原料a和和b，設(shè)設(shè)a的單價(jià)為的單價(jià)為2 2，數(shù)量為數(shù)量為x；而而b 的單價(jià)為的單價(jià)為1 1，數(shù)量為，數(shù)量為y，而產(chǎn)量為而產(chǎn)量為 例例5 5解解，yyxxz52102022

7、且商品售價(jià)為且商品售價(jià)為5,5,求最大利潤(rùn)求最大利潤(rùn). . 利潤(rùn)函數(shù)為利潤(rùn)函數(shù)為 yxyyxxyxl 2)521020(5),(2216yxyyxxyxl 2)521020(5),(22令令， 0242004810 xlxlyx解得解得唯一唯一駐點(diǎn)駐點(diǎn) ，2 . 1, 8 . 4 yx唯一唯一駐點(diǎn)駐點(diǎn)為極為極大值大值點(diǎn)點(diǎn)，.6 .229)2 . 1 , 8 . 4( l，yyxx24104851122 ,20,0,10 yyxyxxfcfbfa,02 acb,0 a即為即為最大值最大值點(diǎn)點(diǎn)，最大利潤(rùn)最大利潤(rùn)為為 17例例6 6解解 sincos222422421xxxxs ， cossinsi

8、n2sin2422xxx 其其中中 120 x, ,20 , , 18其其中中 120 x, ,20 , , 注注意意到到 0sin, 0 x, ,化化簡(jiǎn)簡(jiǎn)后后解解得得 3, 8 x, , 由由實(shí)實(shí)際際問(wèn)問(wèn)題題可可知知, ,s 必必有有最最大大值值, ,且且內(nèi)內(nèi)部部唯唯一一駐駐點(diǎn)點(diǎn), ,故故當(dāng)當(dāng)3, 8 x時(shí)時(shí), ,槽槽的的截截面面積積最最大大, ,348 最最大大s. . ， cossinsin2sin2422xxxs 0)sin(coscos2cos240cossin2sin4sin242222xxxsxxsx令令19解解例例7 7總利潤(rùn)為總利潤(rùn)為 )258000(yxqpqcrl 800

9、0)25( yxqp,8000)25(2000003 . 01 . 05 . 1 yxyxpp208000)25(2000003 . 01 . 05 . 1 yxyxppl令令,0)75(1000003 . 01 . 05 . 2 yxpplp,01)25(200003 . 09 . 05 . 1 yxpplx01)25(600007 . 01 . 05 . 1 yxpply解得解得,750 p3555540 x(元元)，1066662300 xy(元元) 最最佳佳經(jīng)經(jīng)營(yíng)營(yíng)時(shí)時(shí)的的產(chǎn)產(chǎn)量量為為 711112000003 . 001 . 005 . 100 yxpq(件件) 此此時(shí)時(shí)企企業(yè)業(yè)獲獲

10、得得的的最最大大利利潤(rùn)潤(rùn)為為 21253348000)25(),(0000000 yxqpyxpl(元元) 21 用鐵皮做一個(gè)有蓋的長(zhǎng)方形水箱用鐵皮做一個(gè)有蓋的長(zhǎng)方形水箱, ,要求容積為要求容積為v, ,問(wèn)怎么做用料最??？問(wèn)怎么做用料最??？ 二、條件極值與拉格朗日乘數(shù)法二、條件極值與拉格朗日乘數(shù)法設(shè)設(shè)水水箱箱的的長(zhǎng)長(zhǎng)、寬寬、高高分分別別為為zyx, ,則則 目目標(biāo)標(biāo)函函數(shù)數(shù)：)( 2zxyzxys , , 約約束束條條件件：xyzv , , 實(shí)際問(wèn)題中實(shí)際問(wèn)題中, ,目標(biāo)函數(shù)的自變量除了受到定義目標(biāo)函數(shù)的自變量除了受到定義域的限制外域的限制外, , 往往還受到一些附加條件的約束往往還受到一些附

11、加條件的約束, ,這類(lèi)這類(lèi)極值問(wèn)題稱(chēng)極值問(wèn)題稱(chēng)條件極值條件極值問(wèn)題問(wèn)題. . 例例8 8解解 即表面積最小即表面積最小. . ，xyvz 代入目標(biāo)函數(shù)代入目標(biāo)函數(shù), ,化為無(wú)條件極值問(wèn)題：化為無(wú)條件極值問(wèn)題： xyz22目目標(biāo)標(biāo)函函數(shù)數(shù)化化為為：)( 2yvxvxys , , 0, 0 yx 令令 0)(20)(222yvxsxvysyx, , 求得唯一駐點(diǎn)求得唯一駐點(diǎn)3vyx , ,從而從而3vz , , 內(nèi)部唯一駐點(diǎn)內(nèi)部唯一駐點(diǎn), ,且由實(shí)際問(wèn)題且由實(shí)際問(wèn)題s有最大值有最大值, ,故做成立方故做成立方體表面積最小體表面積最小. . 這種做法的缺點(diǎn)：這種做法的缺點(diǎn)： 1.1.變量之間的平等關(guān)

12、系和對(duì)稱(chēng)性被破壞；變量之間的平等關(guān)系和對(duì)稱(chēng)性被破壞； 2.2.有時(shí)隱函數(shù)有時(shí)隱函數(shù)顯化顯化困難甚至不可能困難甚至不可能. . 23 要要找找函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在條條件件0),( yx 下下的的可可能能極極值值點(diǎn)點(diǎn)，解解出出 , yx，其其中中yx,就就是是可可能能的的極極值值點(diǎn)點(diǎn)的的坐坐標(biāo)標(biāo).拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法其其中中 為為參參數(shù)數(shù)， 引入拉格朗日函數(shù)引入拉格朗日函數(shù)),(),();,(yxyxfyxf 令令,0),(0),(),(0),(),( yxfyxyxffyxyxffyyyxxx 若這樣的點(diǎn)唯一若這樣的點(diǎn)唯一, ,由實(shí)際問(wèn)題由實(shí)際問(wèn)題, ,可直接確定此即所求的點(diǎn)可直

13、接確定此即所求的點(diǎn). .24如如果果目目標(biāo)標(biāo)函函數(shù)數(shù)是是三三元元函函數(shù)數(shù)),(zyxf, ,且且約約束束條條件件有有兩兩個(gè)個(gè), , 0),( zyxg, ,0),( zyxh, , 則構(gòu)造拉格朗日函數(shù)為則構(gòu)造拉格朗日函數(shù)為 . ),(),(),(),;,(zyxhzyxgzyxfzyxl 令令,0),(0),(),(),(),(0),(),(),(0),(),(),( zyxhzyxgzyxhzyxgzyxfzyxhzyxgzyxfzyxhzyxgzyxfzzzyyyxxx 25 用鐵皮做一個(gè)有蓋的長(zhǎng)方形水箱用鐵皮做一個(gè)有蓋的長(zhǎng)方形水箱, ,要求容積為要求容積為v, ,問(wèn)怎么做用料最??？問(wèn)怎么

14、做用料最??？ 例例8 8目目標(biāo)標(biāo)函函數(shù)數(shù)：)( 2zxyzxys , , 約約束束條條件件：xyzv , , 解解構(gòu)構(gòu)作作拉拉格格朗朗日日函函數(shù)數(shù) )()( 2vxyzzxyzxyl , , 令令 vxyzxyyxlxzzxlyzzylzyx0)(20)(20)(2 , , 解解得得唯唯一一駐駐點(diǎn)點(diǎn)3vzyx , , 由實(shí)際問(wèn)題由實(shí)際問(wèn)題, ,即為最小值點(diǎn)即為最小值點(diǎn). . 設(shè)設(shè)水水箱箱的的長(zhǎng)長(zhǎng)、寬寬、高高分分別別為為zyx, ,則則 xyz26 在實(shí)際問(wèn)題中在實(shí)際問(wèn)題中, ,經(jīng)常要求某多元函數(shù)在已知區(qū)經(jīng)常要求某多元函數(shù)在已知區(qū)域域d內(nèi)的最大值和最小值內(nèi)的最大值和最小值. .根據(jù)實(shí)際情況根據(jù)實(shí)

15、際情況, ,我們往往我們往往可以判斷最大值或最小值在區(qū)域可以判斷最大值或最小值在區(qū)域d的內(nèi)部達(dá)到，若的內(nèi)部達(dá)到，若函數(shù)在函數(shù)在d內(nèi)僅有一個(gè)駐點(diǎn)，則可以斷定，該駐點(diǎn)就內(nèi)僅有一個(gè)駐點(diǎn)，則可以斷定，該駐點(diǎn)就是最大值點(diǎn)或最小值點(diǎn)是最大值點(diǎn)或最小值點(diǎn). . 27在在周周長(zhǎng)長(zhǎng)為為p2的的一一切切三三角角形形中中, ,求求出出面面積積最最大大的的三三角角形形. . 設(shè)設(shè)三三角角形形的的三三條條邊邊長(zhǎng)長(zhǎng)分分別別為為zyx, , 則則面面積積為為 )()(zpypxpps , , 約約束束條條件件: : pzyx2 , , 目目標(biāo)標(biāo)函函數(shù)數(shù)取取為為：)()(),(zpypxpzyxf , , 令令 pzyxyp

16、xplzpxplzpyplzyx20)(0)(0)( , , 例例9 9解解，)2()()(pzyxzpypxpl 解得唯一駐點(diǎn)解得唯一駐點(diǎn) ，pzyx32 即即做成做成正三角形時(shí)面積最大正三角形時(shí)面積最大. . 28用用一一根根長(zhǎng)長(zhǎng)為為p2的的鐵鐵絲絲做做一一個(gè)個(gè)網(wǎng)網(wǎng)兜兜邊邊框框： 五五邊邊形形( (正正) ): : 222752. 051025251pp ； 圓圓：2223183. 0/ pprs , ,最最大大. . 三角形中三角形中, ,以正三角形面積為最大以正三角形面積為最大: : .1925. 09322pp 四邊形中四邊形中, ,以正方形面積為最大：以正方形面積為最大： .25.

17、 04122pp 29解解xyo6 yxd例例1010先求函數(shù)在先求函數(shù)在d內(nèi)的駐點(diǎn)，內(nèi)的駐點(diǎn)， 0)4(),(0)4(2),(222yxyxxyxfyxyxxyyxfyx解方程組解方程組 06)268()1 , 2()1 ,2(2 yxyyfaxx4)438()1 , 2()1 ,2(2 xyxxfbxy,82)1 , 2()1 ,2(2 xfcyy,02 acb,0 a. 4)1 , 2( 是極大值是極大值所以所以 f30 xyo6 yxd再再求求),(yxf在在 d邊邊界界上上的的最最值值， 在在邊邊界界0 x和和0 y上上0),( yxf, 是是極極大大值值 4)1 ,2( f在在邊邊

18、界界6 yx上上，即即xy 6， 得得 4, 021 xx， ,2|64 xxy,64)2 , 4( f 比比較較后后可可知知4)1 , 2( f為為最最大大值值, 64)2 , 4( f為最小值為最小值., )6(223xx )2)(6(2 xxz)60( x,0)4(6 xxz, )4(),(2yxyxyxfz 31例例1111解解目目標(biāo)標(biāo)函函數(shù)數(shù) 414380),(yxyxq ， 約約束束條條件件 4000002000600 yx, , 或或 2000103 yx, , ，)2000103(804143 yxyxl 32由由，)2000103(804143 yxyxl 200010301

19、020036043434141yxyxlyxlyx ，3103 yx，yx10 ,50,500 yx由實(shí)際問(wèn)題，此即最佳分配方案由實(shí)際問(wèn)題，此即最佳分配方案. . 33設(shè)兩種產(chǎn)品的需求量設(shè)兩種產(chǎn)品的需求量21,qq分別為分別為112 . 024pq ， 2205. 010pq ( (21, pp為其價(jià)格為其價(jià)格),),總成本為總成本為 )(403521qqc , ,問(wèn)如何定價(jià)，才能獲取最大利潤(rùn)？問(wèn)如何定價(jià)，才能獲取最大利潤(rùn)？ 解法解法1),(),(21221121qqcqpqpqql ,139605. 02 . 01232222121 pppp 01 . 01204 . 0322121plpl

20、pp,12080 21 pp例例1212因駐點(diǎn)唯一因駐點(diǎn)唯一，且由問(wèn)題的實(shí)際含義可知必有最大利潤(rùn)，且由問(wèn)題的實(shí)際含義可知必有最大利潤(rùn)， 34設(shè)兩種產(chǎn)品的需求量設(shè)兩種產(chǎn)品的需求量21,qq分別為分別為112 . 024pq ， 2205. 010pq ( (21, pp為其價(jià)格為其價(jià)格),),總成本為總成本為 )(403521qqc , ,問(wèn)如何定價(jià)，才能獲取最大利潤(rùn)？問(wèn)如何定價(jià)，才能獲取最大利潤(rùn)？ 因駐點(diǎn)唯一因駐點(diǎn)唯一，且由問(wèn)題的實(shí)際含義可知必有最大利潤(rùn)，且由問(wèn)題的實(shí)際含義可知必有最大利潤(rùn)， 解法解法2cpqpqqql 221121),(,3520160580222211 qqqq010801

21、1 qlq,8 1 q04016022 qlq,4 2 q212211404035)20200()5120(qqqqqq ,80 1 p,120 2 p例例121235練習(xí)：練習(xí)：p317 習(xí)題八習(xí)題八36附錄、最小二乘法附錄、最小二乘法37例例 價(jià)格與供給量的觀(guān)察數(shù)據(jù)見(jiàn)下表：價(jià)格與供給量的觀(guān)察數(shù)據(jù)見(jiàn)下表：x (元元) 2 3 4 5 6 810 12 14 16y (噸噸) 15 20 25 30 35 45 60 80 80 110散點(diǎn)圖散點(diǎn)圖由圖可以看出，由圖可以看出，x 與與 y 之間存在一定的相關(guān)關(guān)系，之間存在一定的相關(guān)關(guān)系，且這種關(guān)系是線(xiàn)性關(guān)系且這種關(guān)系是線(xiàn)性關(guān)系.0204060801001200510152038,bxay niiibxaybaq12)(),(達(dá)到最小達(dá)到最小. .上述估計(jì)上述估計(jì)a, ,b的方法稱(chēng)為的方法稱(chēng)為最小二乘法最小二乘法. .lse (least square estimation)求線(xiàn)性經(jīng)驗(yàn)公式求線(xiàn)性經(jīng)驗(yàn)公式( (回歸直線(xiàn)方程回歸直線(xiàn)方程) )使使39ba,的的求求解解： niiibxaybaq12)(),( 0)(20)(211 niiiiniiixbxaybqbxayaq niniiiiyxbxaxnynbxnna112)( 稱(chēng)為稱(chēng)為