第9章第7節(jié)方向?qū)?shù)與梯度1

1、1實(shí)例實(shí)例：一塊長(zhǎng)方形的金屬板，四個(gè)頂點(diǎn)的坐：一塊長(zhǎng)方形的金屬板，四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是標(biāo)是(1,1)(1,1)，(5,1)(5,1)，(1,3)(1,3)，(5,3)(5,3)在坐標(biāo)在坐標(biāo)原點(diǎn)處有一個(gè)火焰，它使金屬板受熱假定原點(diǎn)處有一個(gè)火焰，它使金屬板受熱假定板上任意一點(diǎn)處的溫度與該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離板上任意一點(diǎn)處的溫度與該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離成反比在成反比在(3,2)(3,2)處有一個(gè)螞蟻，問(wèn)這只螞處有一個(gè)螞蟻，問(wèn)這只螞蟻應(yīng)沿什么方向爬行才能最快到達(dá)較涼快的蟻應(yīng)沿什么方向爬行才能最快到達(dá)較涼快的地點(diǎn)？地點(diǎn)？問(wèn)題的問(wèn)題的實(shí)質(zhì)實(shí)質(zhì)：應(yīng)沿由熱變冷變化最驟烈的方：應(yīng)沿由熱變冷變化最驟烈的方向（即負(fù)梯度方向）爬行向

2、（即負(fù)梯度方向）爬行一、問(wèn)題的提出第六節(jié)第六節(jié) 方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)與梯度2 討論函數(shù)討論函數(shù) 在一點(diǎn)在一點(diǎn)p p沿某一方向沿某一方向的變化率問(wèn)題的變化率問(wèn)題),(yxfz 二、方向?qū)?shù)的定義引射線引射線內(nèi)有定義，自點(diǎn)內(nèi)有定義，自點(diǎn)的某一鄰域的某一鄰域在點(diǎn)在點(diǎn)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)lppuyxpyxfz)(),(),().(),(,puplyyxxplx上上的的另另一一點(diǎn)點(diǎn)且且為為并并設(shè)設(shè)為為的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角角軸軸正正向向到到射射線線設(shè)設(shè) （如圖）（如圖）oyxlp xypp3 |pp,)()(22yx ),(),(yxfyyxxfz 且且當(dāng)當(dāng) 沿著沿著 趨于趨于 時(shí)，時(shí)，p pl ),(),(lim0yx

3、fyyxxf , z 考慮考慮是否存在？是否存在？oyxlp xypp4.),(),(lim0 yxfyyxxflf 的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)沿沿方方向向則則稱稱這這極極限限為為函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)存存在在，時(shí)時(shí)，如如果果此此比比值值的的極極限限趨趨于于沿沿著著當(dāng)當(dāng)之之比比值值，兩兩點(diǎn)點(diǎn)間間的的距距離離與與函函數(shù)數(shù)的的增增量量定定義義lpplpyxppyxfyyxxf 22)()(),(),( 記為記為oyxlp xyp5oyxlp xyp:說(shuō)明說(shuō)明.),(),(lim0 yxfyyxxflf 在直線上，且有在直線上，且有有約束，有約束，),(,)(yyxxpyx1 sincosyx的方向?qū)?shù)的方向?qū)?/p>

4、數(shù)軸正向軸正向沿著沿著在點(diǎn)在點(diǎn)則則存在存在若若,),(),(,),(011exyxpyxfyxfxxyoppl.),(),(lim yxfyyxxflf0 xyxfyxxfx),(),(lim0(2)方向?qū)?shù)與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系方向?qū)?shù)與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系22yx 6xyxfyxxfx),(),(lim0 xf的方向?qū)?shù)的方向?qū)?shù)沿沿在點(diǎn)在點(diǎn),),(),(011 eyxpyxf.),(),(lim yxfyyxxf0 xyxfyxxfxe),(),(lim01方向方向沿沿),(yxfx7:思考思考?,),(),(是否存在是否存在導(dǎo)數(shù)存在導(dǎo)數(shù)存在的方向的方向軸正向軸正向沿沿在點(diǎn)在點(diǎn)若若xfexyxpyxf0

5、11不一定不一定,),(0100122eyxz點(diǎn)處沿點(diǎn)處沿在在如如方向?qū)?shù)方向?qū)?shù),)()(lim1220 yxlz不存在不存在但但xxxxxzxx020lim)(lim8證明證明由于函數(shù)可微，則增量可表示為由于函數(shù)可微，則增量可表示為)(),(),( oyyfxxfyxfyyxxf 兩邊同除以兩邊同除以,得到得到?:如何求如何求方向?qū)?shù)何時(shí)存在方向?qū)?shù)何時(shí)存在問(wèn)題問(wèn)題coscosyfxflf),(yxfz ),(yxp定理如果函數(shù)定理如果函數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)那末函數(shù)在該點(diǎn)沿任意方向那末函數(shù)在該點(diǎn)沿任意方向l l的方向?qū)?shù)都存在，且有的方向?qū)?shù)都存在，且有 是可微分的，是可微分的，的方向余弦。的方向余

6、弦。是方向是方向，其中其中l(wèi)coscos9coscos )(),(),(oyyfxxfyxfyyxxf 故有方向?qū)?shù)故有方向?qū)?shù) ),(),(lim0yxfyyxxf .coscosyfxf lf10例例1 1 已知平面已知平面x o y上各點(diǎn)的溫度上各點(diǎn)的溫度t = x2 + y2， 求在點(diǎn)求在點(diǎn)（1，1）處沿與處沿與x軸正向成軸正向成30o，45o 轉(zhuǎn)角方向的溫度變化率。轉(zhuǎn)角方向的溫度變化率。（1,1）0 xyl1l2解解22)1,1()1 , 1( xxt22)1,1()1 , 1( yyt3160cos30cos0)1 , , 1(0)1 , , 1()1 , 1(1ytxtlt224

7、5cos45cos0)1 , , 1(0)1 , , 1()1 , 1(2ytxtlt因因 t = x2+y2 可微分，所以有可微分，所以有11例例 2 2 求函數(shù)求函數(shù)yxez2 在點(diǎn)在點(diǎn))0 , 1(p處沿從點(diǎn)處沿從點(diǎn) )0 , 1(p到點(diǎn)到點(diǎn))1, 2( q的方向的方向?qū)?shù)的方向的方向?qū)?shù). 解解; 1)0, 1(2)0, 1( yexz, 22)0, 1(2)0, 1( yxeyz所求方向?qū)?shù)所求方向?qū)?shù) lz.22 21cos21cos，的方向余弦的方向余弦lcoscosyzxz12對(duì)于三元函數(shù)對(duì)于三元函數(shù)),(zyxfu ，它在空間一點(diǎn)，它在空間一點(diǎn)),(zyxp沿著方向沿著方向

8、l的方向?qū)?shù)的方向?qū)?shù) ，可定義，可定義為為,),(),(lim0 zyxfzzyyxxflf 推廣可得三元函數(shù)方向?qū)?shù)的定義推廣可得三元函數(shù)方向?qū)?shù)的定義（ 其中其中222)()()(zyx ）13 同理：當(dāng)函數(shù)在此點(diǎn)可微時(shí)，那末函數(shù)在該點(diǎn)同理：當(dāng)函數(shù)在此點(diǎn)可微時(shí)，那末函數(shù)在該點(diǎn)沿任意方向沿任意方向 l 的方向?qū)?shù)都存在，且有的方向?qū)?shù)都存在，且有 .coscoscos zfyfxflf 設(shè)設(shè)方方向向 l 的的方方向向角角為為 ,cos x,cos y,cos z14例例 3 3 設(shè)設(shè)n是是曲曲面面632222 zyx 在在點(diǎn)點(diǎn))1 , 1 , 1(p處處的的指指向向外外側(cè)側(cè)的的法法向向量量

9、，求求函函數(shù)數(shù)2122)86(1yxzu 在在此此處處沿沿方方向向 n 的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù). 解解令令, 632),(222 zyxzyxf, 44 ppxxf, 66 ppyyf, 22 ppzzf故故 zyxfffn , ,2, 6, 4 ,142264222 n方向余弦為方向余弦為15,142cos ,143cos .141cos ppyxzxxu22866 ;146 ppyxzyyu22868 ;148 ppzyxzu22286 .14 ppzuyuxunu)coscoscos( .711 故故16定義定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfz 在平面區(qū)域在平面區(qū)域 d 內(nèi)具有內(nèi)具有一階連續(xù)偏

10、導(dǎo)數(shù)，則對(duì)于每一點(diǎn)一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對(duì)于每一點(diǎn)dyxp ),(，都可定出一個(gè)向量都可定出一個(gè)向量jyfixf ，這向量稱為函數(shù)，這向量稱為函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(yxp的梯度，記為的梯度，記為 ),(yxgradfjyfixf .三、梯度的概念?:最最快快沿沿哪哪一一方方向向增增加加的的速速度度函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)問(wèn)問(wèn)題題p17coscosyfxflfcos,cos,yfxfeyxgradf ),(,cos| ),(| yxgradf 其中其中),(,eyxgradf 當(dāng)當(dāng)1),(cos( eyxgradf時(shí)，時(shí)，lf 有有最最大大值值.由方向?qū)?shù)公式知由方向?qū)?shù)公式知jiecoscos

11、l設(shè)設(shè)是方向是方向 上的單位向量，上的單位向量，18 函數(shù)在某點(diǎn)的梯度是這樣一個(gè)向量，它的函數(shù)在某點(diǎn)的梯度是這樣一個(gè)向量，它的方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致,而它的模為而它的模為方向?qū)?shù)的最大值梯度的模為方向?qū)?shù)的最大值梯度的模為 22| ),(| yfxfyxgradf.結(jié)論：結(jié)論：19),(yxfz 在幾何上在幾何上 表示一個(gè)曲面表示一個(gè)曲面曲面被平面曲面被平面 所截得所截得cz ,),( czyxfz所得曲線在所得曲線在 x o y 面上投影如圖面上投影如圖oyx2),(cyxf1),(cyxfcyxf),(等高線等高線yxffyxgradf,),(梯度

12、為等高線上的法向量梯度為等高線上的法向量p20等高線的畫法等高線的畫法播放播放21圖形及其等高線圖形圖形及其等高線圖形函數(shù)函數(shù)xyzsin 例如例如,22梯度與等高線的關(guān)系：梯度與等高線的關(guān)系：向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)的的方方于于函函數(shù)數(shù)在在這這個(gè)個(gè)法法線線方方向向模模等等高高的的等等高高線線，而而梯梯度度的的值值較較值值較較低低的的等等高高線線指指向向數(shù)數(shù)從從數(shù)數(shù)線線的的一一個(gè)個(gè)方方向向相相同同，且且在在這這點(diǎn)點(diǎn)的的法法高高線線的的等等的的梯梯度度的的方方向向與與點(diǎn)點(diǎn)在在點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù)cyxfpyxpyxfz ),(),(),(23 三元函數(shù)三元函數(shù)),(zyxfu 在空間區(qū)域在空間區(qū)域 g 內(nèi)具有內(nèi)具有

13、一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對(duì)于每一點(diǎn)一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對(duì)于每一點(diǎn)gzyxp ),(，都可定義一個(gè)向量都可定義一個(gè)向量(梯度梯度).),(kzfjyfixfzyxgradf 類似于二元函數(shù)，此梯度也是一個(gè)向量，類似于二元函數(shù)，此梯度也是一個(gè)向量，其方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，其模其方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，其模為方向?qū)?shù)的最大值為方向?qū)?shù)的最大值.梯度的概念可以推廣到三元函數(shù)梯度的概念可以推廣到三元函數(shù)24類似地類似地,設(shè)曲面設(shè)曲面czyxf ),(為函數(shù)為函數(shù)),(zyxfu 的等量面，此函數(shù)在點(diǎn)的等量面，此函數(shù)在點(diǎn)),(zyxp的梯度的方向與的梯度的方向與過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn) p的等量面的等量面czyxf ),(在這點(diǎn)的法線的一在這點(diǎn)的法線的一個(gè)方向相同，且從數(shù)值較低的等量面指向數(shù)值較個(gè)方向相同，且從數(shù)值較低的等量面指向數(shù)值較高的等量面，而梯度的模等于函數(shù)在這個(gè)法線方高的等量面，而梯度的模等于函數(shù)在這個(gè)法線方向的方向?qū)?shù)向的方向?qū)?shù).25例例 4 4 求求函函數(shù)數(shù) yxzyxu2332222 在在點(diǎn)點(diǎn) )2 , 1 , 1 (處處的的梯梯度度，并并問(wèn)問(wèn)在在 哪哪些些點(diǎn)點(diǎn)處處梯梯度度為為零零？解解 由梯度計(jì)算公式得由梯度計(jì)算公式得kzujyuixuzyxgradu ),(,6)24()32(kzjyi