高中數(shù)學(xué)必修5自主學(xué)習(xí)導(dǎo)學(xué)案：331二元一次不等式(組)與平面區(qū)域

1、3.3.1 二元一次不等式（組）與平面區(qū)域（教師版）1新課引入一家銀行的信貸部計(jì)劃年投入2500萬用于企業(yè)和個人貸款，希望這筆錢至少帶來100萬元的收益，其中從企業(yè)貸款中收益12%，從個人貸款中收益10%，設(shè)用于企業(yè)貸款資金為x萬元，用于個人貸款資金為y萬元，則怎么得到上述二元一次不等式組的解呢？2二元一次不等式（組）與平面區(qū)域我們把含有兩個未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式稱為二元一次不等式我們把幾個二元一次不等式組成的不等式組叫做二元一次不等式組滿足二元一次不等式組的和的取值構(gòu)成有序?qū)崝?shù)對，所有這樣的有序?qū)崝?shù)對構(gòu)成的集合稱為二元一次不等式（組）的解集，有序?qū)崝?shù)對可以看昨成直角坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)

2、的坐標(biāo)。于是二元一次不等式組的解集就可以看成直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)構(gòu)成的集合。思考1：在平面直角坐標(biāo)系中，直線將平面分成幾部分呢？答：分成三部分:（1）點(diǎn)在直線上；（2）點(diǎn)在直線的右上方；（3）點(diǎn)在直線的左下方思考2：不等式對應(yīng)平面內(nèi)哪部分的點(diǎn)呢？直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足，那么直線兩側(cè)的點(diǎn)的坐標(biāo)代入中，也等于0嗎？先完成上表，再觀察有何規(guī)律呢？ 規(guī)律：同側(cè)同號，異側(cè)異號（1）點(diǎn)集表示直線右上方的平面區(qū)域；（2）點(diǎn)集表示直線左下方的平面區(qū)域（3）直線叫做這兩個區(qū)域的邊界方法總結(jié)：判定二元一次不等式組表示的平面區(qū)域的方法是以線定界，以點(diǎn)(原點(diǎn))定域(以AxByC>0為例)(1)“以線定界”，即畫二元一次

3、方程AxByC0表示的直線定邊界，其中要注意實(shí)線或虛線(2)“以點(diǎn)定域”，由于在直線AxByC0同側(cè)的點(diǎn)，實(shí)數(shù)AxByC的值的符號都相同，故為了確定AxByC的符號，可采用取特殊點(diǎn)法，如取原點(diǎn)、坐標(biāo)軸上的點(diǎn)等(3)“交定區(qū)” 典型例題考點(diǎn)1二元一次不等式表示的平面區(qū)域【例1】判斷原點(diǎn)是否在2x3y50所表示的平面區(qū)域內(nèi)，并畫出其表示的平面區(qū)域解析：將原點(diǎn)(0,0)代入2x3y5，得5>0，不滿足已知不等式，因此原點(diǎn)不在2x3y5<0所表示的平面區(qū)域內(nèi)先作直線2x3y50，因不等式中帶等號，故應(yīng)畫成實(shí)線，由前述其表示的平面區(qū)域應(yīng)為直線2x3y50的不含原點(diǎn)的上方一側(cè)(含直線本身)，如

4、下圖點(diǎn)評：應(yīng)注意不等式所表示的區(qū)域是否包含邊界，若不包括邊界，邊界應(yīng)畫成虛線(如果是坐標(biāo)軸，應(yīng)通過文字加以說明)變式探究1畫出下面二元一次不等式表示的平面區(qū)域：(1)x2y40；(2)y>2x.解：(1)畫出直線x2y40(畫成實(shí)線)， 02×0440，x2y40表示的區(qū)域?yàn)楹?0,0)的一側(cè)，因此所求為如圖陰影所示的區(qū)域，包括邊界 (2)畫出直線y2x0(畫成虛線) 02×12<0，y2x>0(即y>2x)表示的區(qū)域?yàn)椴缓?1,0)的一側(cè)，因此所求為如圖陰影所示的區(qū)域，不包括邊界.考點(diǎn)2二元一次不等式組表示的平面區(qū)域【例2】畫出不等式組表示的平面區(qū)

5、域，并指出x，y的取值范圍分析：解析：不等式xy50表示直線xy50上及右下方的點(diǎn)的集合；xy0表示直線xy0上及右上方的點(diǎn)的集合；x3表示直線x3上及左方的點(diǎn)的集合所以，不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示結(jié)合圖中可行域得x，y3,8點(diǎn)評：判定二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域的常用方法是以線定界，以點(diǎn)(原點(diǎn))定域(以AxByC>0為例)(1)“以線定界”，即畫二元一次方程AxByC0表示的直線定邊界，其中要注意實(shí)線或虛線(2)“以點(diǎn)定域”，由于在直線AxByC0同側(cè)的點(diǎn)，實(shí)數(shù)AxByC的值的符號都相同，故為了確定AxByC的符號，可采用取特殊點(diǎn)法，如取原點(diǎn)、坐標(biāo)軸上的點(diǎn)等(3)“交定區(qū)”

6、變式1畫出下列不等式表示的平面區(qū)域(1)(xy)(xy1)0；(2)x|y|2x.解析：(1)0xy1，或矛盾無解，故點(diǎn)(x，y)在一帶形區(qū)域內(nèi)(含邊界)，如圖1(陰影部分)圖1 圖2(2)由x2x，得x0；當(dāng)y>0時，有點(diǎn)(x，y)在一條形區(qū)域內(nèi)(含邊界)；當(dāng)y0，由對稱性得出如圖2(陰影部分).考點(diǎn)3二元一次不等式組表示的平面區(qū)域的面積【例3】不等式|x|y|2所表示的平面區(qū)域的面積為_分析：先通過不等式準(zhǔn)確確定所求區(qū)域的形狀，然后通過相應(yīng)的距離、面積公式可求該區(qū)域的面積解析：不等式|x|y|2等價于不等式組：畫在直角坐標(biāo)系中，如圖，易得圖形為正方形ABCD，|AB|2，所以S(2)

7、28.變式1滿足不等式組的點(diǎn)(x，y)構(gòu)成的區(qū)域的面積為_解析：畫出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示(包括邊界)易知A點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,3)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,2)，從而可知圖中陰影部分的面積為×2×11.考點(diǎn)4二元一次不等式組表示平面區(qū)域的實(shí)際應(yīng)用【例4】某工廠用兩種不同的原料均可生產(chǎn)同一產(chǎn)品，若采用甲種原料，每噸成本1 000元，運(yùn)費(fèi)500元；若采用乙種原料，每噸成本1 500元，運(yùn)費(fèi)400元若每日預(yù)算總成本不得超過6 000元，運(yùn)費(fèi)不得超過2 000元，請你列出滿足生產(chǎn)條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式，并在直角坐標(biāo)系中畫出相應(yīng)的平面區(qū)域分析：先根據(jù)限制條件列出不等式組，再根據(jù)不

8、等式組畫出平面區(qū)域解析：將已知數(shù)據(jù)列成下表：原料成本(元)運(yùn)費(fèi)(元)甲1 000500乙1 500400設(shè)工廠每日需用甲原料x噸，乙原料y噸，根據(jù)題意，則：即畫出平面區(qū)域，如圖 變式1某廠使用兩種零件A、B裝配甲、乙兩種產(chǎn)品，該廠的生產(chǎn)能力是每月生產(chǎn)甲產(chǎn)品最多2500件，每月生產(chǎn)乙產(chǎn)品最多1200件，而且裝一件甲產(chǎn)品需要4個A,6個B，裝一件乙產(chǎn)品需要6個A,8個B.2014年1月，該廠能用的A最多有14000個，B最多有12000個，用不等式將甲、乙兩種產(chǎn)品產(chǎn)量之間的關(guān)系表示出來，并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域解：設(shè)每月生產(chǎn)甲產(chǎn)品x件，每月生產(chǎn)乙產(chǎn)品y件，則x、y滿足即在平面直角坐標(biāo)系中，畫出上述不等

9、式組表示的平面區(qū)域，如下圖的陰影部分所示考點(diǎn)5二元一次不等式表示的平面區(qū)域的應(yīng)用【例5】試確定的范圍，使點(diǎn)和在的異側(cè)若在同側(cè)呢？解：由于在異側(cè)，則和代入所得數(shù)值異號，則有，所以，即：由于在同側(cè)，則和代入所得數(shù)值異號則有所以，即：或變式1若二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域是一個三角形，求的取值范圍答案： 5a<7 當(dāng)堂檢測1下面給出的四個點(diǎn)中，位于表示的平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)是()A(0,2) B(2,0) C(0，2) D(2,0)解析：點(diǎn)(0，2)的坐標(biāo)滿足不等式組故選C項(xiàng)2下列二元一次不等式組中，能表示圖中陰影部分的是()A. B. C. D.答案：C3不等式組所表示的平面區(qū)域的面積等于()

10、A. B. C. D.解析：平面區(qū)域如圖解得A(1,1)，易得B(0,4)，C，|BC|4.SABC××1.答案：C4在平面直角坐標(biāo)系中，不等式組表示的平面區(qū)域的面積是_解析：畫出可行域，如圖陰影部分所示，則該三角形的面積是×4×24.5畫出不等式組所表示的平面區(qū)域并求其面積解：如圖所示，其中的陰影部分便是欲表示的平面區(qū)域由得A(1,3)同理得B(1,1)，C(3，1)|AC|2，而點(diǎn)B到直線2xy50的距離為d，SABC|AC|·d×2×6.6.畫出下列不等式(組)表示的平面區(qū)域(1)2xy60；(2)(3) 解(1)如圖

11、，先畫出直線2xy60，取原點(diǎn)O(0,0)代入2xy6中，2×01×0660，與點(diǎn)O在直線2xy60同一側(cè)的所有點(diǎn)(x，y)都滿足2xy60，因此2xy60表示直線下方的區(qū)域(包含邊界)(2)先畫出直線xy50(畫成實(shí)線)，如圖，取原點(diǎn)O(0,0)代入xy5，00550，原點(diǎn)在xy50表示的平面區(qū)域內(nèi)，即xy50表示直線xy50上及其右下方的點(diǎn)的集合同理可得，xy0表示直線xy0上及其右上方的點(diǎn)的集合，x3表示直線x3上及其左方的點(diǎn)的集合右上圖中陰影部分就表示原不等式組的平面區(qū)域(3)不等式xy5表示直線xy50上及左下方的區(qū)域不等式x2y3表示直線x2y30右下方的區(qū)域不

12、等式x2y0表示直線x2y0上及右上方的區(qū)域所以不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示§3.3.1 二元一次不等式（組）與平面區(qū)域（學(xué)生版）1新課引入一家銀行的信貸部計(jì)劃年投入2500萬用于企業(yè)和個人貸款，希望這筆錢至少帶來100萬元的收益，其中從企業(yè)貸款中收益12%，從個人貸款中收益10%，設(shè)用于企業(yè)貸款資金為x萬元，用于個人貸款資金為y萬元，則怎么得到上述二元一次不等式組的解呢？2二元一次不等式（組）與平面區(qū)域我們把含有兩個未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式稱為二元一次不等式我們把幾個二元一次不等式組成的不等式組叫做二元一次不等式組滿足二元一次不等式組的和的取值構(gòu)成有序?qū)崝?shù)對，所有這樣

13、的有序?qū)崝?shù)對構(gòu)成的集合稱為二元一次不等式（組）的解集，有序?qū)崝?shù)對可以看昨成直角坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)于是二元一次不等式組的解集就可以看成直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)構(gòu)成的集合思考1：在平面直角坐標(biāo)系中，直線將平面分成幾部分呢？答：分成三部分:（1）點(diǎn)在直線上；（2）點(diǎn)在直線的右上方；（3）點(diǎn)在直線的左下方思考2：不等式對應(yīng)平面內(nèi)哪部分的點(diǎn)呢？直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足，那么直線兩側(cè)的點(diǎn)的坐標(biāo)代入中，也等于0嗎？先完成上表，再觀察有何規(guī)律呢？ 規(guī)律：同側(cè)同號，異側(cè)異號（1）點(diǎn)集表示直線右上方的平面區(qū)域；（2）點(diǎn)集表示直線左下方的平面區(qū)域（3）直線叫做這兩個區(qū)域的邊界方法總結(jié)：判定二元一次不等式組表示的平面區(qū)域的方法是以

14、線定界，以點(diǎn)(原點(diǎn))定域(以AxByC>0為例)(1)“以線定界”，即畫二元一次方程AxByC0表示的直線定邊界，其中要注意實(shí)線或虛線(2)“以點(diǎn)定域”，由于在直線AxByC0同側(cè)的點(diǎn)，實(shí)數(shù)AxByC的值的符號都相同，故為了確定AxByC的符號，可采用取特殊點(diǎn)法，如取原點(diǎn)、坐標(biāo)軸上的點(diǎn)等(3)“交定區(qū)” 典型例題考點(diǎn)1二元一次不等式表示的平面區(qū)域【例1】判斷原點(diǎn)是否在2x3y50所表示的平面區(qū)域內(nèi)，并畫出其表示的平面區(qū)域點(diǎn)評：應(yīng)注意不等式所表示的區(qū)域是否包含邊界，若不包括邊界，邊界應(yīng)畫成虛線(如果是坐標(biāo)軸，應(yīng)通過文字加以說明)變式1畫出下面二元一次不等式表示的平面區(qū)域：(1)x2y40；

15、 (2)y>2x.考點(diǎn)2二元一次不等式組表示的平面區(qū)域【例2】畫出不等式組表示的平面區(qū)域，并指出x，y的取值范圍點(diǎn)評：判定二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域的常用方法：(1)“以線定界”，即畫二元一次方程AxByC0表示的直線定邊界，其中要注意實(shí)線或虛線(2)“以點(diǎn)定域”，由于在直線AxByC0同側(cè)的點(diǎn)，實(shí)數(shù)AxByC的值的符號都相同，故為了確定AxByC的符號，可采用取特殊點(diǎn)法，如取原點(diǎn)、坐標(biāo)軸上的點(diǎn)等(3)“交定區(qū)” 變式1畫出下列不等式表示的平面區(qū)域(1)(xy)(xy1)0； (2)x|y|2x.考點(diǎn)3二元一次不等式組表示的平面區(qū)域的面積【例3】不等式|x|y|2所表示的平面區(qū)域

16、的面積為_變式1滿足不等式組的點(diǎn)(x，y)構(gòu)成的區(qū)域的面積為_考點(diǎn)4二元一次不等式組表示平面區(qū)域的實(shí)際應(yīng)用【例4】某工廠用兩種不同的原料均可生產(chǎn)同一產(chǎn)品，若采用甲種原料，每噸成本1 000元，運(yùn)費(fèi)500元；若采用乙種原料，每噸成本1 500元，運(yùn)費(fèi)400元若每日預(yù)算總成本不得超過6 000元，運(yùn)費(fèi)不得超過2 000元，請你列出滿足生產(chǎn)條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式，并在直角坐標(biāo)系中畫出相應(yīng)的平面區(qū)域分析：先根據(jù)限制條件列出不等式組，再根據(jù)不等式組畫出平面區(qū)域變式1某廠使用兩種零件A、B裝配甲、乙兩種產(chǎn)品，該廠的生產(chǎn)能力是每月生產(chǎn)甲產(chǎn)品最多2500件，每月生產(chǎn)乙產(chǎn)品最多1200件，而且裝一件甲產(chǎn)品需要4個A,6個B，裝一件乙產(chǎn)品需要6個A,8個B.2014年1月，該廠能用的A最多有14000個，B最多有12000個，用不等式將甲、乙兩種產(chǎn)品產(chǎn)量之間的關(guān)系表示出來，并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域考點(diǎn)5二元一次不等式表示的平面區(qū)域的應(yīng)用【例5】試確定的范