新函數(shù)凹凸性34

1、第四節(jié)第四節(jié)一、曲線的凹凸與拐點一、曲線的凹凸與拐點與函數(shù)作圖曲線的凹凸性 第三三章 二、二、 曲線的漸近線曲線的漸近線三、三、 函數(shù)圖形的描繪函數(shù)圖形的描繪一、曲線的凹凸與拐點一、曲線的凹凸與拐點221xx 221xx xyoabcxyo)(xfy 1xxyo1x2x)(xfy 2x定義定義1212121212( ),()(),(),( )22;()()(),( )22f xiixxf xf xx xff xixxf xf xff xi設(shè)在區(qū)間上連續(xù) 如果對上任意兩點恒有那末稱在上的圖形是凹的（或凹弧）如果恒有那末稱在上的圖形是凸的（或凸?。?xyo)(xfy xyo)(xfy abab遞增

2、遞增)(xf abba0 y遞減遞減)(xf 0 y定理定理2 2( (凹凸性判定凹凸性判定) ).)()()()()()()(,)()(上的圖形是凸的上的圖形是凸的在在則則上的圖形是凹的上的圖形是凹的在在則則內(nèi)內(nèi)若在若在具有一階和二階導(dǎo)數(shù)具有一階和二階導(dǎo)數(shù)內(nèi)內(nèi)在在上連續(xù)上連續(xù)在在如果如果b ,axf,xf;b ,axf,xfb ,ab ,a,b ,axf0201 證證: :,b ,ax,x21利用拉格朗日中值定理得利用拉格朗日中值定理得)()(1fxf221xx )()(2fxf221xx )(f 2)(2x221xx 兩式相加兩式相加)(2)()(21fxfxf221xx 212xx )(

3、-)(12 f f,0)(時當(dāng) xf),(2)()(21fxfxf221xx 說明 (1) 成立;(2)(f 1)(1x221xx 證畢例例1 1.3的凹凸性的凹凸性判斷曲線判斷曲線xy 解解,32xy ,6xy 時，時，當(dāng)當(dāng)0 x, 0 y為凸的；為凸的；在在曲線曲線0 ,(時，時，當(dāng)當(dāng)0 x, 0 y為凹的；為凹的；在在曲線曲線), 0 .)0 , 0(點點是曲線由凸變凹的分界是曲線由凸變凹的分界點點注意到注意到,曲線的拐點及其求法曲線的拐點及其求法連續(xù)曲線上凹凸的分界點稱為連續(xù)曲線上凹凸的分界點稱為曲線的拐點曲線的拐點.1 1、定義、定義2 2、拐點的求法、拐點的求法例例2 2.1433

4、4凹、凸的區(qū)間凹、凸的區(qū)間的拐點及的拐點及求曲線求曲線 xxy解解),(: d,121223xxy ).32(36 xxy, 0 y令令.32, 021 xx得得x)0 ,( ),32()32, 0(032)(xf )(xf 00凹的凹的凸的凸的凹的凹的拐點拐點拐點拐點)1 , 0()2711,32().,32,32, 0,0 ,(凹凸區(qū)間為凹凸區(qū)間為例例3 3 求曲線求曲線3xy 的拐點的拐點. . 解解: :,3231xy3592 xyxy y0)0,(),0(不存在不存在0因此點因此點( 0 , 0 )( 0 , 0 )為曲線為曲線3xy 的拐點的拐點 . .oxy凹凹凸凸特別地特別地:

5、 :.xfyxf ,x,xf,xf,xxf的拐點的拐點線線是曲是曲那末那末而而且且的鄰域內(nèi)三階可導(dǎo)的鄰域內(nèi)三階可導(dǎo)在在若函數(shù)若函數(shù))()()()()( 0000000例例4 4.)2 , 0(cossin的拐點的拐點內(nèi)內(nèi)求曲線求曲線 xxy解解,sincosxxy ,cossinxxy .sincosxxy , 0 y令令.47,4321 xx得得2)43( f, 0 2)47( f, 0 內(nèi)曲線有拐點為內(nèi)曲線有拐點為在在2 , 0 ).0 ,47(),0 ,43( 二、漸近線二、漸近線定義定義: :.)(,)(一條漸近線一條漸近線的的就稱為曲線就稱為曲線那么直線那么直線趨向于零趨向于零的距離

6、的距離到某定直線到某定直線如果點如果點移向無窮點時移向無窮點時沿著曲線沿著曲線上的一動點上的一動點當(dāng)曲線當(dāng)曲線xfyllppxfy 1.1.鉛直漸近線鉛直漸近線)(軸的漸近線軸的漸近線垂直于垂直于 x.)()(lim)(lim000的一條鉛直漸近線的一條鉛直漸近線就是就是那么那么或或如果如果xfyxxxfxfxxxx 例如例如,)3)(2(1 xxy有鉛直漸近線兩條有鉛直漸近線兩條: :. 3, 2 xx2.2.水平漸近線水平漸近線)(軸的漸近線軸的漸近線平行于平行于 x.)()()(lim)(lim的一條水平漸近線的一條水平漸近線就是就是那么那么為常數(shù)為常數(shù)或或如果如果xfybybbxfbx

7、fxx 例如例如,arctan xy 有水平漸近線兩條有水平漸近線兩條: :.2,2 yy3.3.斜漸近線斜漸近線.xfybaxya ,b ,abaxxfbaxxfxx的一條斜漸近線的一條斜漸近線就是就是那么那么為常數(shù)為常數(shù)或或如果如果)()()()(lim)()(lim000斜漸近線求法斜漸近線求法:,)(limaxxfx .)(limbaxxfx .)(的一條斜漸近線的一條斜漸近線就是曲線就是曲線那么那么xfybaxy 注意注意:;)(lim)1(不存在不存在如果如果xxfx ,)(lim,)(lim)2(不存在不存在但但存在存在axxfaxxfxx .)(不存在斜漸近線不存在斜漸近線可以

8、斷定可以斷定xfy 例例5 5.1)3)(2(2)(的漸近線的漸近線求求 xxxxf解解)., 1()1 ,(:d )(lim1xfx, )(lim1xfx, .1是曲線的鉛直漸近線是曲線的鉛直漸近線 x xxfx)(lim又又)1()3)(2(2lim xxxxx, 2 2)1()3)(2(2limxxxxxx 1)1(2)3)(2(2lim xxxxxx, 4 .42是曲線的一條斜漸近線是曲線的一條斜漸近線 xy的兩條漸近線如圖的兩條漸近線如圖1)3)(2(2)( xxxxf三、函數(shù)圖形的描繪三、函數(shù)圖形的描繪利用函數(shù)特性描繪函數(shù)圖形利用函數(shù)特性描繪函數(shù)圖形.第一步第一步第二步第二步 求求

9、出出方方程程0)( xf和和0)( xf 在在函函數(shù)數(shù)定定義義域域內(nèi)內(nèi)的的全全部部實實根根，用用這這些些根根同同函函數(shù)數(shù)的的間間斷斷點點或或?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)不不存存在在的的點點把把函函數(shù)數(shù)的的定定義義域域劃劃分分成成幾幾個個部部分分區(qū)區(qū)間間.)(xf( )fx ，求出函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)， 和二階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)第三步第三步 確定在這些部分區(qū)間內(nèi)確定在這些部分區(qū)間內(nèi))(xf和和)(xf的符的符號，并由此確定函數(shù)的增減性與極值及曲線的凹號，并由此確定函數(shù)的增減性與極值及曲線的凹凸與拐點凸與拐點（可列表進行討論） ；可列表進行討論） ；第四步第四步 確定函數(shù)圖形的水平、鉛直漸近線、斜確定函數(shù)圖形

10、的水平、鉛直漸近線、斜漸近線以及其他變化趨勢漸近線以及其他變化趨勢;第五步第五步 描描出出與與方方程程0)( xf和和0)( xf的的根根對對應(yīng)應(yīng)的的曲曲線線上上的的點點，有有時時還還需需要要補補充充一一些些點點，再再綜綜合合前前四四步步討討論論的的結(jié)結(jié)果果畫畫出出函函數(shù)數(shù)的的圖圖形形.作圖舉例作圖舉例例例6 6.2)1(4)(2的圖形的圖形作函數(shù)作函數(shù) xxxf解解, 0: xd非奇非偶函數(shù)非奇非偶函數(shù),且無對稱性且無對稱性.,)2(4)(3xxxf .)3(8)(4xxxf , 0)( xf令令, 2 x得駐點得駐點, 0)( xf令令. 3 x得得特特殊殊點點2)1(4lim)(lim2

11、 xxxfxx, 2 ; 2 y得水平漸近線得水平漸近線2)1(4lim)(lim200 xxxfxx, . 0 x得得鉛鉛直直漸漸近近線線列表確定函數(shù)升降區(qū)間列表確定函數(shù)升降區(qū)間,凹凸區(qū)間及極值點和拐點凹凸區(qū)間及極值點和拐點:x)3,( ), 0( )2, 3( 3 )0 , 2( )(xf )(xf 00)(xf 2 0 不存在不存在拐點拐點極值點極值點間間斷斷點點3 )926, 3( :補補充充點點);0 , 31(),0 , 31( ),2, 1( a),6 , 1(b).1 , 2(c作圖作圖xyo2 3 2111 2 3 6abc2)1(4)(2 xxxf例例7 7.21)(22的

12、圖形的圖形作函數(shù)作函數(shù)xex 解解),(:d偶函數(shù)偶函數(shù), 圖形關(guān)于圖形關(guān)于y軸對稱軸對稱.,2)(22xexx , 0)( x令令, 0 x得駐點得駐點, 0)( x令令. 1, 1 xx得得特特殊殊點點. 4 . 021)(0: xw.2)1)(1()(22xexxx 2221lim)(limxxxex , 0 . 0 y得水平漸近線得水平漸近線x)1,( ), 1( )0 , 1( 1 )1 , 0()(x )(x 00)(x 01 拐點拐點極大值極大值 21)21, 1(e 列表確定函數(shù)升降區(qū)間列表確定函數(shù)升降區(qū)間,凹凸區(qū)間及極值點與拐點凹凸區(qū)間及極值點與拐點:0拐點拐點)21, 1(

13、e xyo11 212221)(xex 例例8 8.1)(23的圖形的圖形作函數(shù)作函數(shù) xxxxf解解),(:d無奇偶性及周期性無奇偶性及周期性.),1)(13()( xxxf).13(2)( xxf, 0)( xf令令. 1,31 xx得駐點得駐點, 0)( xf令令.31 x得特殊點得特殊點:補補充充點點),0 , 1( a),1 , 0(b).85,23(c列表確定函數(shù)升降區(qū)間列表確定函數(shù)升降區(qū)間, 凹凸區(qū)間及極值點與拐點凹凸區(qū)間及極值點與拐點:x)31,( ), 1( )31,31( 31 )1 ,31( 0311 拐點拐點極大值極大值2732)2716,31(0)(xf )(xf)(xf 極小值極