西安交大高數(shù)21

1、第四節(jié)第四節(jié) 隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確 定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率相關(guān)變化率 一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 二、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法二、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法 三、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)三、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 四、相關(guān)變化率四、相關(guān)變化率 五、小結(jié)五、小結(jié) 思考題思考題一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義定義: :.)(稱為隱函數(shù)稱為隱函數(shù)由方程所確定的函數(shù)由方程所確定的函數(shù)xyy .)(形式稱為顯函數(shù)形式稱為顯函數(shù)xfy 0),( yxf)(xfy 隱函數(shù)的顯化隱函數(shù)的顯化問(wèn)題問(wèn)題:隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導(dǎo)隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導(dǎo)?隱函數(shù)求導(dǎo)法

2、則隱函數(shù)求導(dǎo)法則: :用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo).例例1 1.,00 xyxdxdydxdyyeexy的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)所確定的隱函數(shù)所確定的隱函數(shù)求由方程求由方程解解,求導(dǎo)求導(dǎo)方程兩邊對(duì)方程兩邊對(duì)x0 dxdyeedxdyxyyx解得解得,yxexyedxdy , 0, 0 yx由原方程知由原方程知000 yxyxxexyedxdy. 1 例例2 2.,)23,23(,333線通過(guò)原點(diǎn)線通過(guò)原點(diǎn)在該點(diǎn)的法在該點(diǎn)的法并證明曲線并證明曲線的切線方程的切線方程點(diǎn)點(diǎn)上上求過(guò)求過(guò)的方程為的方程為設(shè)曲線設(shè)曲線ccxyyxc 解解,求導(dǎo)求導(dǎo)方程兩邊對(duì)方程兩邊對(duì)xyx

3、yyyx 333322)23,23(22)23,23(xyxyy . 1 所求切線方程為所求切線方程為)23(23 xy. 03 yx即即2323 xy法線方程為法線方程為,xy 即即顯然通過(guò)原點(diǎn)顯然通過(guò)原點(diǎn).例例3 3.)1 , 0(, 144處的值處的值在點(diǎn)在點(diǎn)求求設(shè)設(shè)yyxyx 解解求導(dǎo)得求導(dǎo)得方程兩邊對(duì)方程兩邊對(duì)x)1(04433 yyyxyx得得代入代入1, 0 yx;4110 yxy求導(dǎo)得求導(dǎo)得兩邊再對(duì)兩邊再對(duì)將方程將方程x)1(04)(122123222 yyyyyxyx得得4110 yxy, 1, 0 yx代入代入.16110 yxy二、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法二、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法觀察函數(shù)觀察函數(shù)

4、.,)4(1)1(sin23xxxyexxxy 方法方法: :先在方程兩邊取對(duì)數(shù)先在方程兩邊取對(duì)數(shù), 然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù)方法求出導(dǎo)數(shù).-對(duì)數(shù)求導(dǎo)法對(duì)數(shù)求導(dǎo)法適用范圍適用范圍: :.)()(的情形的情形數(shù)數(shù)多個(gè)函數(shù)相乘和冪指函多個(gè)函數(shù)相乘和冪指函xvxu例例4 4解解 142)1(3111)4(1)1(23 xxxexxxyx等式兩邊取對(duì)數(shù)得等式兩邊取對(duì)數(shù)得xxxxy )4ln(2)1ln(31)1ln(ln求導(dǎo)得求導(dǎo)得上式兩邊對(duì)上式兩邊對(duì) x142)1(3111 xxxyy.,)4(1)1(23yexxxyx 求求設(shè)設(shè)例例5 5解解.),0(sinyxxyx

5、求求設(shè)設(shè)等式兩邊取對(duì)數(shù)得等式兩邊取對(duì)數(shù)得xxylnsinln 求導(dǎo)得求導(dǎo)得上式兩邊對(duì)上式兩邊對(duì)xxxxxyy1sinlncos1 )1sinln(cosxxxxyy )sinln(cossinxxxxxx 一般地一般地)0)()()()( xuxuxfxv)()(1)(lnxfdxdxfxfdxd 又又)(ln)()(xfdxdxfxf )()()()(ln)()()()(xuxuxvxuxvxuxfxv )(ln)()(lnxuxvxf 三、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)三、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù).,)()(定的函數(shù)定的函數(shù)稱此為由參數(shù)方程所確稱此為由參數(shù)方程所確間的函數(shù)關(guān)系間的函數(shù)關(guān)系

6、與與確定確定若參數(shù)方程若參數(shù)方程xytytx 例如例如 ,22tytx2xt 22)2(xty 42x xy21 消去參數(shù)消去參數(shù)問(wèn)題問(wèn)題: : 消參困難或無(wú)法消參如何求導(dǎo)消參困難或無(wú)法消參如何求導(dǎo)?t),()(1xttx 具有單調(diào)連續(xù)的反函數(shù)具有單調(diào)連續(xù)的反函數(shù)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(1xy , 0)(,)(),( ttytx 且且都可導(dǎo)都可導(dǎo)再設(shè)函數(shù)再設(shè)函數(shù)由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則得由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則得dxdtdtdydxdy dtdxdtdy1 )()(tt dtdxdtdydxdy 即即,)()(中中在方程在方程 tytx ,)()(二階可導(dǎo)二階可導(dǎo)若函數(shù)若函數(shù) tytx)(22

7、dxdydxddxyd dxdtttdtd)()( )(1)()()()()(2tttttt .)()()()()(322tttttdxyd 即即例例6 6解解dtdxdtdydxdy ttcos1sin taatacossin 2cos12sin2 tdxdy. 1 .方方程程處的切線處的切線在在求擺線求擺線2)cos1()sin( ttayttax.),12(,2ayaxt 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 所求切線方程為所求切線方程為)12( axay)22( axy即即例例7 7解解.)2(;)1(,21sin,cos,002000的速度大小的速度大小炮彈在時(shí)刻炮彈在時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)方向的運(yùn)動(dòng)方向炮彈在時(shí)刻炮彈在時(shí)

8、刻求求其運(yùn)動(dòng)方程為其運(yùn)動(dòng)方程為發(fā)射炮彈發(fā)射炮彈發(fā)射角發(fā)射角以初速度以初速度不計(jì)空氣的阻力不計(jì)空氣的阻力ttgttvytvxv xyovxvyv0v.,)1(00可由切線的斜率來(lái)反映可由切線的斜率來(lái)反映時(shí)刻的切線方向時(shí)刻的切線方向軌跡在軌跡在時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)方向即時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)方向即在在tt)cos()21sin(020 tvgttvdxdy cossin00vgtv .cossin0000 vgtvdxdytt軸方向的分速度為軸方向的分速度為時(shí)刻沿時(shí)刻沿炮彈在炮彈在yxt,)2(000)cos(0ttttxtvdtdxv cos0v 00)21sin(20ttttygttvdtdyv 00singtv

9、時(shí)刻炮彈的速度為時(shí)刻炮彈的速度為在在0t22yxvvv 2020020sin2tggtvv 例例8 8解解.sincos33表示的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)表示的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)求由方程求由方程 taytaxdtdxdtdydxdy )sin(cos3cossin322ttatta ttan )(22dxdydxddxyd )cos()tan(3 tatttatsincos3sec22 tatsin3sec4 四、相關(guān)變化率四、相關(guān)變化率.,)()(變化率稱為相關(guān)變化率變化率稱為相關(guān)變化率這樣兩個(gè)相互依賴的這樣兩個(gè)相互依賴的之間也存在一定關(guān)系之間也存在一定關(guān)系與與從而它們的變化率從而它們的變化率之間存在某種

10、關(guān)系之間存在某種關(guān)系與與而變量而變量都是可導(dǎo)函數(shù)都是可導(dǎo)函數(shù)及及設(shè)設(shè)dtdydtdxyxtyytxx 相關(guān)變化率問(wèn)題相關(guān)變化率問(wèn)題: :已知其中一個(gè)變化率時(shí)如何求出另一個(gè)變化率已知其中一個(gè)變化率時(shí)如何求出另一個(gè)變化率?例例9 9解解?,500./140,500率是多少率是多少觀察員視線的仰角增加觀察員視線的仰角增加米時(shí)米時(shí)當(dāng)氣球高度為當(dāng)氣球高度為秒秒米米其速率為其速率為上升上升米處離地面鉛直米處離地面鉛直一汽球從離開(kāi)觀察員一汽球從離開(kāi)觀察員則則的仰角為的仰角為觀察員視線觀察員視線其高度為其高度為秒后秒后設(shè)氣球上升設(shè)氣球上升, ht500tanh 求導(dǎo)得求導(dǎo)得上式兩邊對(duì)上式兩邊對(duì)tdtdhdtd

11、 5001sec2 ,/140秒秒米米 dtdh2sec,5002 米時(shí)米時(shí)當(dāng)當(dāng)h)/(14. 0分分弧度弧度 dtd 仰角增加率仰角增加率 米米500米米500例例1010解解?,20,120,4000,/803水面每小時(shí)上升幾米水面每小時(shí)上升幾米米時(shí)米時(shí)問(wèn)水深問(wèn)水深的水槽的水槽頂角為頂角為米米形狀是長(zhǎng)為形狀是長(zhǎng)為水庫(kù)水庫(kù)秒的體流量流入水庫(kù)中秒的體流量流入水庫(kù)中米米河水以河水以則則水庫(kù)內(nèi)水量為水庫(kù)內(nèi)水量為水深為水深為設(shè)時(shí)刻設(shè)時(shí)刻),(),(tvtht234000)(htv 求導(dǎo)得求導(dǎo)得上式兩邊對(duì)上式兩邊對(duì)tdtdhhdtdv 38000,/288003小時(shí)小時(shí)米米 dtdv小時(shí)小時(shí)米米/10

12、4. 0 dtdh水面上升之速率水面上升之速率0604000m,20米時(shí)米時(shí)當(dāng)當(dāng) h五、小結(jié)五、小結(jié)隱函數(shù)求導(dǎo)法則隱函數(shù)求導(dǎo)法則: : 直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo)直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo);對(duì)數(shù)求導(dǎo)法對(duì)數(shù)求導(dǎo)法: : 對(duì)方程兩邊取對(duì)數(shù)對(duì)方程兩邊取對(duì)數(shù),按隱函數(shù)的求按隱函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo)導(dǎo)法則求導(dǎo);參數(shù)方程求導(dǎo)參數(shù)方程求導(dǎo): 實(shí)質(zhì)上是利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則實(shí)質(zhì)上是利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則;相關(guān)變化率相關(guān)變化率: : 通過(guò)函數(shù)關(guān)系確定兩個(gè)相互依賴的通過(guò)函數(shù)關(guān)系確定兩個(gè)相互依賴的變化率變化率; ; 解法解法: : 通過(guò)建立兩者之間的關(guān)系通過(guò)建立兩者之間的關(guān)系, , 用鏈用鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法求解式求導(dǎo)法求解. .思考題思考題設(shè)設(shè)

13、)()(tytx ，由由)()(ttyx )0)( t 可可知知)()(ttyx ，對(duì)對(duì)嗎嗎？思考題解答思考題解答不對(duì)不對(duì) xxydxdy dxdtdtydx )(1)()(tttt 一、一、 填空題填空題： 1 1、 設(shè)設(shè)01552223 yxyyxx確定了確定了y是是x的函的函數(shù)，則數(shù)，則)1 , 1(dxdy=_=_， 22dxyd_._. 2 2、 曲線曲線733 xyyx在點(diǎn)（在點(diǎn)（1 1，2 2）處的切線方程）處的切線方程是是_._. 3 3、 曲線曲線 ttyttxsincos在在2 t處的法線方處的法線方程程_._. 4 4、 已知已知 teytexttsincos, ,則則d

14、xdy=_=_；3 tdxdy=_.=_. 5 5、 設(shè)設(shè)yxexy , ,則則dxdy=_.=_. 練練 習(xí)習(xí) 題題二、二、 求下列方程所確定的隱函數(shù)求下列方程所確定的隱函數(shù) y y 的二階導(dǎo)數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)22dxyd：1 1、 yxey 1；2 2、 )tan(yxy ；3 3、 yxxy )00( yx，. .三、三、 用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法則求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法則求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：1 1、 2xxy ；2 2、 54)1()3(2 xxxy；3 3、 xexxy 1sin. .四、四、 求下列參數(shù)方程所確定的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)求下列參數(shù)方程所確定的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)22dxyd：1 1、 tby

15、taxsincos ；2 2、 )()()(tftf tytfx 設(shè)設(shè))(tf 存在且不為零存在且不為零 . .五、五、 求由參數(shù)方程求由參數(shù)方程 ttytxarctan)1ln(2所確定的函數(shù)的所確定的函數(shù)的 三階導(dǎo)數(shù)三階導(dǎo)數(shù)33dxyd . .六、設(shè)六、設(shè))(xf滿足滿足xxfxf3)1(2)( ，求，求)(xf . .七七 在中午十二點(diǎn)正甲船的在中午十二點(diǎn)正甲船的 6 6 公里公里/ /小時(shí)的速率小時(shí)的速率向東行駛， 乙船在甲船之北向東行駛， 乙船在甲船之北 1616 公里， 以公里， 以 8 8 公里公里/ /小時(shí)的速率向南行駛， 問(wèn)下午一點(diǎn)正兩船相距小時(shí)的速率向南行駛， 問(wèn)下午一點(diǎn)正兩船相距的速率為多少？的速率為多少？ 八八 水注入深水注入深 8 8 米， 上頂直徑米， 上頂直徑 8 8 米的正圓錐形容米的正圓錐形容器中，其速率為每分鐘器中，其速率為每分鐘 4 4 立方米，當(dāng)水深為立方米，當(dāng)水深為 5 5米時(shí)，其表面上升的速率為多少？米時(shí)，其表面上升的速率為多少？ 一、一、1 1、34, ,5210)(102084622 xxyyxyyyxxyx； 2 2、02311 yx 3 3、022 yx； 4 4、32,sincoscossin tttt； 5 5、yxyxexye . .二、二、1 1、32)2()3(yyey ； 2 2、- -)(tan)(csc232