第六節(jié)線性微分方程解的結(jié)構(gòu)58089

1、第六節(jié)第六節(jié) 線性微分方程解的結(jié)構(gòu)線性微分方程解的結(jié)構(gòu)二、線性齊次微分方程解的結(jié)構(gòu)二、線性齊次微分方程解的結(jié)構(gòu) 三、線性非齊次微分方程解的結(jié)構(gòu)三、線性非齊次微分方程解的結(jié)構(gòu) 一、二階線性微分方程舉例一、二階線性微分方程舉例 一、二階線性微分方程舉例一、二階線性微分方程舉例 當(dāng)重力與彈性力抵消當(dāng)重力與彈性力抵消時(shí)時(shí), 物體物體處于平衡處于平衡狀態(tài)狀態(tài), 例例 質(zhì)量質(zhì)量為為m的的物體自由懸掛在一端固定的彈簧物體自由懸掛在一端固定的彈簧上上,力作用下作往復(fù)運(yùn)動(dòng)力作用下作往復(fù)運(yùn)動(dòng), ,xxo解解阻力的大小與運(yùn)動(dòng)速度阻力的大小與運(yùn)動(dòng)速度下拉物體使它離開下拉物體使它離開平衡位置后放開平衡位置后放開,若用手

2、向若用手向物體在彈性力與阻物體在彈性力與阻取平衡時(shí)物體的位置為坐標(biāo)原點(diǎn)取平衡時(shí)物體的位置為坐標(biāo)原點(diǎn), ,如圖建立坐標(biāo)系如圖建立坐標(biāo)系. .設(shè)時(shí)刻設(shè)時(shí)刻 t 物物體體位移為位移為x = x(t).1. 彈性彈性恢復(fù)力恢復(fù)力物體所受的力有物體所受的力有: :,xcf 成成正比正比, 方向方向相反相反.建立位移滿足的微分方程建立位移滿足的微分方程. .2. 阻力阻力,ddtxr 據(jù)牛頓第二定律得據(jù)牛頓第二定律得,dddd22txxctxm ,2mck ,2mn 令令則得有阻尼則得有阻尼自由振動(dòng)方程自由振動(dòng)方程: :. 0dd2dd222 xktxntx二階線性微分方程二階線性微分方程).()()(x

3、fyxqyxpy ,0)(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xf二階線性齊次微分方程二階線性齊次微分方程;二階線性非齊次微分方程二階線性非齊次微分方程./,0)(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xfn 階線性微分方程階線性微分方程的一般形式為的一般形式為).()()()(1)1(1)(xfyxayxayxaynnnn ,0)(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xf n 階線性齊次微分方程階線性齊次微分方程; n 階線性非齊次微分方程階線性非齊次微分方程./,0)(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xf復(fù)習(xí)復(fù)習(xí): : 一階線性方程一階線性方程)()(xqyxpy 通解通解: : xexqexxpxxpd)(d)(d)( xxpecyd)(非齊次方程特解非齊次方程特解齊次方程通解齊次方程通

4、解y y y二、線性齊次微分方程的解的結(jié)構(gòu)二、線性齊次微分方程的解的結(jié)構(gòu)定理定理1 1.)1(),(,)1()()(21221121的解的解也是也是是任意常數(shù)是任意常數(shù)則則的兩個(gè)解的兩個(gè)解是方程是方程與與若函數(shù)若函數(shù)ccycycyxyxy )1(0)()( yxqyxpy問題問題: :一一定定是是通通解解嗎嗎？2211ycycy 例：設(shè)例：設(shè) y1 為為 (1) 的解的解 , 則則 y2=2 y1 是是 (1) 的解的解,但但是是 , y=c1 y1+c2 y2 不為不為 (1) 的通解的通解 .(解得疊加原理解得疊加原理) 為解決通解的判別問題為解決通解的判別問題, ,下面引入下面引入函數(shù)的

5、線性相關(guān)函數(shù)的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)與線性無(wú)關(guān)概念概念. . )(11 ycxp )(11 ycxq證證)()(2211xycxycy 將將代入方程左邊代入方程左邊, , 得得 11 yc22yc 22yc 22yc)()(1111yxqyxpyc )()(2222yxqyxpyc . 0 定義定義)(,),(),(21xyxyxyn設(shè)設(shè)是定義在是定義在區(qū)間區(qū)間 i 上上的的 n 個(gè)函數(shù)個(gè)函數(shù),21nkkk使得使得ixxykxykxyknn , 0)()()(2211則稱則稱這這 n個(gè)函數(shù)在個(gè)函數(shù)在 i 上上線性相關(guān)線性相關(guān), , 否則稱為否則稱為線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān). .例如：例如： ,sin,co

6、s,122xx在在( , )上都有上都有0sincos122 xx故它們?cè)谌魏螀^(qū)間故它們?cè)谌魏螀^(qū)間 i 上都上都線性相關(guān)線性相關(guān);又如：又如：,12xx若在某若在某區(qū)間區(qū)間 i 上上,02321 xkxkk則根據(jù)二次多項(xiàng)式至多只有兩個(gè)則根據(jù)二次多項(xiàng)式至多只有兩個(gè)零點(diǎn)零點(diǎn) ,321,kkk必需必需全為全為 0 ,可見可見2,1xx故故在任何在任何區(qū)間區(qū)間 i 上都上都線性線性無(wú)關(guān)無(wú)關(guān). .若存在若存在不全不全為為 0 的常數(shù)的常數(shù))(),(21xyxy線性相關(guān)線性相關(guān)存在不全存在不全為為 0 的的21, kk使使0)()(2211 xykxyk.)()(21常數(shù)常數(shù) xyxy)(),(21xyx

7、y線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān))()(21xyxy常數(shù)常數(shù)思考思考: :)(),(21xyxy若若中有一個(gè)恒為中有一個(gè)恒為 0, 則則)(),(21xyxy必線性必線性相關(guān)相關(guān)兩個(gè)兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間函數(shù)在區(qū)間 i 上線性上線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)的相關(guān)與線性無(wú)關(guān)的充要條件充要條件: :定理定理 2 2 如果如果)(1xy與與)(2xy是方程是方程(1)的兩個(gè)的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān)的特解的特解, , 那么那么2211ycycy 就是方程就是方程(1)的通解的通解. . 例如例如, 0 yy,sin,cos21xyxy 有解有解,tan12常數(shù)常數(shù)且且 xyy.sincos21為方程的通解為方程的通解xcxcy 推論推

8、論nyyy,21若若是是 n 階線性齊次微分方程階線性齊次微分方程 0)()()(1)1(1)( yxayxayxaynnnn的的 n 個(gè)線性無(wú)關(guān)解個(gè)線性無(wú)關(guān)解, 則方程的通解為則方程的通解為)(11為任意常數(shù)為任意常數(shù)knncycycy 三、線性非齊次微分方程解的結(jié)構(gòu)三、線性非齊次微分方程解的結(jié)構(gòu) )(* xy設(shè)設(shè)是二階非齊次方程是二階非齊次方程的一個(gè)特解的一個(gè)特解, )(*)(xyxyy y (x) 是相應(yīng)是相應(yīng)齊次方程的通解齊次方程的通解, ,定理定理 3)()()(xfyxqyxpy 則則是非齊次方程的通解是非齊次方程的通解 . .證證 將將)(*)(xyxyy 代入方程代入方程左端左

9、端, , 得得)*( yy)*( )( yyxp)*)(*)(*(yxqyxpy )()(yxqyxpy )(0)(xfxf )*( )(yyxq )(*)(xyxyy 故故是非齊次方程的解是非齊次方程的解, ,又又y 中含有中含有兩個(gè)獨(dú)立任意常數(shù)兩個(gè)獨(dú)立任意常數(shù), ,例如例如, 方程方程有特解有特解,*xy ,sincos21xcxcy 對(duì)應(yīng)齊次方程對(duì)應(yīng)齊次方程有通解有通解因此該方程的通解為因此該方程的通解為xxcxcy sincos21因而因而 是通解是通解 .xyy 0 yy.,0,1的通解的通解求求的一個(gè)特解的一個(gè)特解為為又又的兩個(gè)解的兩個(gè)解為二階線性非齊次方程為二階線性非齊次方程已知

10、已知例例xyyxyyxyyyeexx 例例2 設(shè)設(shè) 是二階線性非齊次方程的三個(gè)是二階線性非齊次方程的三個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，試用線性無(wú)關(guān)的解，試用 表示方程的通解表示方程的通解.321,yyy321,yyy 1322313yycyycyy xxececxy 21例例3已知已知 y = x 及及 y = sinx 為某二階線性齊次為某二階線性齊次 方程的解方程的解 , 求該方程求該方程 .解解,0)()( yxqyxpy設(shè)方程為設(shè)方程為,為其解為其解xy )1(,0)()( xxqxp有有,sin為為其其解解xy )2(,0)(sin)(cossin xxqxxpx有有解得：解得：聯(lián)立聯(lián)立, )2(

11、, )1(,cossinsin)(,cossinsin)(xxxxxxqxxxxxp ,0)(cossinsincossinsin: yxqxxxxyxxxxy故所求方程為故所求方程為.)2(;)(),()1(:,1)()(2此方程的通解此方程的通解的表達(dá)式的表達(dá)式試求試求的齊次方程有一特解為的齊次方程有一特解為對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)有一特解為有一特解為設(shè)設(shè)xfxpxxxfyxpy 例例4 4解解(1)由題設(shè)可得：由題設(shè)可得： ),()1)(2, 02)(223xfxxpxxxp解此方程組，得解此方程組，得.3)(,1)(3xxfxxp (2)原方程為原方程為.313xyxy , 1221的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特

12、解的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解程程是原方程對(duì)應(yīng)的齊次方是原方程對(duì)應(yīng)的齊次方顯見顯見xyy 是原方程的一個(gè)特解，是原方程的一個(gè)特解，又又xy1* 由解的結(jié)構(gòu)定理得方程的通解為由解的結(jié)構(gòu)定理得方程的通解為.1221xxccy 定理定理 4 4 設(shè)非齊次方程設(shè)非齊次方程(2)的右端的右端)(xf是幾個(gè)函是幾個(gè)函 數(shù)之和數(shù)之和, , 如如)()()()(21xfxfyxqyxpy 而而*1y與與*2y分別是方程分別是方程, , )()()(1xfyxqyxpy )()()(2xfyxqyxpy 的特解的特解, , 那么那么*2*1yy 就是原方程的特解就是原方程的特解. . (非齊次方程之解的疊加原理非齊次方

13、程之解的疊加原理) n 階線性微分方程階線性微分方程).()()()(1)1(1)(xfyxpyxpyxpynnnn 二階非齊次線性方程的解的結(jié)構(gòu)可以推廣二階非齊次線性方程的解的結(jié)構(gòu)可以推廣: :定定理理 設(shè)設(shè)*y是是 n 階階非非齊齊次次線線性性方方程程 )()()()1(1)(xfyxpyxpynnn 的的一一個(gè)個(gè)特特解解, , y是是與與其其對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的齊齊次次方方程程的的 通通解解, , 那那么么*yyy 是是 n 階階非非齊齊次次線線性性微微分分 方方程程的的通通解解. . 四、小結(jié)四、小結(jié)主要內(nèi)容主要內(nèi)容2、二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)定理、二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)定理1、函數(shù)的線性相

14、關(guān)與線性無(wú)關(guān)；、函數(shù)的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)；思考題思考題已知已知31 y，223xy ，xexy 233都是微分都是微分方程方程)1(6)22()2()2(22 xyxyxyxx 的解，求此方程所對(duì)應(yīng)齊次方程的通解的解，求此方程所對(duì)應(yīng)齊次方程的通解. 解解321,yyy都是微分方程的解都是微分方程的解,23xeyy 212xyy 是對(duì)應(yīng)齊次方程的解是對(duì)應(yīng)齊次方程的解,21223xeyyyyx 常數(shù)常數(shù)所求通解為所求通解為.221xcecx )()(122231yycyycy 補(bǔ)充內(nèi)容補(bǔ)充內(nèi)容可觀察出一個(gè)特解可觀察出一個(gè)特解0)()( yxqyxpy, 0)()()1( xxqxp若若;xy 特解

15、特解, 0)()(1)2( xqxp若若;xey 特特解解, 0)()(1)3( xqxp若若.xey 特特解解一、一、 驗(yàn)證驗(yàn)證21xey 及及22xxey 都是方程都是方程0)24(42 yxyxy的解的解, ,并寫出該方程的通并寫出該方程的通解解 . .二、二、 證明下列函數(shù)是相應(yīng)的微分方程的通解證明下列函數(shù)是相應(yīng)的微分方程的通解: :1 1、),(ln212221是任意常數(shù)是任意常數(shù)ccxxcxcy 是方程是方程 0432 yyxyx的通解；的通解；2 2、),(2)(12121是任意常數(shù)是任意常數(shù)cceececxyxxx 是是 方程方程xexyyyx 2的通解的通解 . .練練 習(xí)習(xí) 題題