薄板的小撓度彎曲問題

1、有關(guān)薄板小撓度彎曲問題的總結(jié)報(bào)告 學(xué)院：土 木 與 交 通 學(xué) 院 專業(yè)： 工 程 力 學(xué) 班級(jí)： 2 0 1 2 0 5 5 組員： 201205514 李俊超 201205519 陳紅杰 201205520 胡記強(qiáng) 薄板的小撓度彎曲問題一 內(nèi)容概述基本概念在彈性力學(xué)中，兩個(gè)平行面和垂直與這兩個(gè)平行面的柱面所圍成的物體，稱為平板，或簡(jiǎn)稱為板。其中，兩個(gè)平行面稱為板面，而這個(gè)柱面稱為側(cè)面或板邊。兩個(gè)板面之間的距離h稱為板厚，平分板厚h的平面稱為中面，如圖1所示。根據(jù)板的厚度，可以將板分為：（1）厚板：板厚h與板面內(nèi)的最小特征尺寸bmin之比大于1/5，即h/bmin>1/5,且厚板三個(gè)方

2、向的幾何尺寸接近于同階大小。這類班一般須按彈性力學(xué)空間問題來處理。（2）薄板：板厚h與板面內(nèi)的最小特征尺寸bmin之比在1/80和1/5之間，即1/80h/bmin1/5。這類板的抗彎剛度較大，當(dāng)受到一定大小的橫向荷載作用時(shí)，薄板 圖1將會(huì)產(chǎn)生彎曲變形，其撓度w比板厚h要小，最大撓度wmaxh/5,可認(rèn)為屬于小撓度問題，否則屬于大撓度問題。（3）膜板（薄膜）：板厚h與板面內(nèi)的最小特征尺寸bmin之比小于1/80，即h/bmin<1/80。這類板的抗彎剛度很小，抵抗彎曲變形的能力可以忽略不計(jì)，在通常的橫向荷載作用下，其撓度遠(yuǎn)較板厚要大，可認(rèn)為板只產(chǎn)生中面拉伸應(yīng)力。當(dāng)薄板彎曲時(shí)，中面所彎成的

3、曲面，稱為薄板彈性曲面，而中面內(nèi)各點(diǎn)在垂直于中面方向的位移，稱為撓度。薄板彎曲問題屬于空間問題。為了建立薄板的小撓度彎曲理論，除了引用彈性力學(xué)的5個(gè)基本假設(shè)外，還補(bǔ)充了3個(gè)計(jì)算假設(shè)，即基爾霍夫假設(shè)，用以簡(jiǎn)化空間問題的基本方程?；鶢柣舴蚣僭O(shè)是：（1）薄板變形前垂直于中面的法線，變形后仍保持為直線，且垂直于薄板彈性曲面，其長(zhǎng)度不變。這就是所謂的直法線假設(shè)，根據(jù)這一假設(shè)，有xz=yz=0和z=0,從而可導(dǎo)出w=w（x,y)。（2）與x、y和xy等相比，擠壓應(yīng)力z很小，在計(jì)算應(yīng)變時(shí)可忽略不計(jì)。從而，可導(dǎo)出薄板彎曲問題的物理方程（與平面應(yīng)力問題的物理方程相同）：x=1Ex-yy=1Ey-xxy=21+E

4、xy(3)薄板彎曲變形時(shí)，中面上各點(diǎn)只有垂直位移，而無(wú)面內(nèi)位移，即：uz=0=0，vz=0=0，wz=0=wx，y基爾霍夫假設(shè)不能使彈性力學(xué)的基本方程全部滿足，例如廣義胡克定律的第三個(gè)方程，即z=1Ez-x+y無(wú)法滿足。因?yàn)樵诩僭O(shè)中有z=0，z與x和y相比可忽略，則必有x+y=0，但在實(shí)際中x+y0。此外，假設(shè)中認(rèn)為剪應(yīng)變xz=yz=0，也即剪應(yīng)力xz=yz=0。但在推導(dǎo)平衡條件時(shí)，又必須認(rèn)為xz和yz不為零。盡管基爾霍夫假設(shè)存在一定的矛盾，但由此建立起來的彈性薄板小撓度彎曲理論，如同梁的彎曲問題一樣，具有足夠的精度。在許多工程問題的分析計(jì)算中，已得到了廣泛的應(yīng)用。矩形薄板的小撓度彎曲問題薄板

5、的小撓度彎曲問題屬于空間問題。薄板小撓度彎曲理論，是從空間問題的基本方程和邊界條件出發(fā)，應(yīng)用薄板的基爾霍夫假設(shè)進(jìn)行簡(jiǎn)化，并按位移解法導(dǎo)出薄板小撓度問題的基本方程和邊界條件。最后歸結(jié)的基本未知函數(shù)w和相應(yīng)的基本方程、邊界條件都只含有x,y兩個(gè)自變量，因此，薄板小撓度彎曲問題也屬于二維問題（不屬于平面問題）。薄板的小撓度彎曲問題是按位移求解的，主要內(nèi)容包括：（1）取撓度wx,y為基本未知函數(shù)。（2）將其他未知量，即縱向位移分量u、v；主要應(yīng)變分量x、y、xy；主要應(yīng)力分量x、y、xy；次要應(yīng)力分量xz、yz及更次要應(yīng)力z均用撓度w來表示。（3）用撓度w表示薄板橫截面上的內(nèi)力。（4）用撓度w表示薄板

6、彎曲的基本方程。（5）用撓度w表示薄板邊界條件。薄板中的其他未知量用撓度w表示（1）縱向位移分量：u=-zwx，v=-zwy 1-1（2）主要應(yīng)變分量：x=-z2wx2，y=-z2wy2，xy=-2z2wxy 1-2（3）主要應(yīng)力分量：x=-Ez1-22wx2+2wy2y=-Ez1-22wy2+2wx2xy=-Ez1+2wxy 1-3可見，在薄板的小撓度彎曲問題中，縱向位移分量u，v、主要應(yīng)變分量x，y，xy以及主要應(yīng)力分量x，y，xy均沿板厚方向呈線性分布，且在中面上為零，在上下板面處達(dá)到極值。（4）次要應(yīng)力分量：xz=-E21-2z2-h24x2w, yz=E21-2z2-h24y2w 1

7、-4（5）更次要應(yīng)力分量：z=Eh361-212-zh1+zh4w 1-5因此，在薄板的小撓度彎曲問題中，次要應(yīng)力分量xz和 yz沿板厚方向呈拋物線分布，在中面處達(dá)最大值，在上下板面處為零；而更次要應(yīng)力分量z沿板厚呈三次拋物線規(guī)律分布，在上板面處達(dá)最大值，在下板面處為零。薄板橫截面上的內(nèi)力在一般情況下，應(yīng)力分量在板邊上很難精確地滿足靜力邊界條件，只能應(yīng)用圣維南原理，使其應(yīng)力分量在板邊單位寬度上所合成的內(nèi)力沿板厚總體上滿足邊界條件。為此，需要建立由內(nèi)力表示的靜力邊界條件。（1）彎矩、扭矩的表達(dá)式：Mx=-D2wx2+2wy2My=-D2wy2+2wx2Mxy=Myx=-D1-2wxy 1-6式中

8、：Mx、My分別為垂直于x軸和y軸的板橫截面單位寬度上的彎矩；Mxy和Myx分別為這兩個(gè)橫截面單位寬度上的扭矩；它們的量綱均為L(zhǎng)MT-2。（2）橫向剪力的表達(dá)式：Fsx=-Dx2wFsy=-Dy2w 1-7式中：D為薄板的抗彎剛度，即D=Eh3121-2；Fsx和Fsy分別為垂直于x軸和y軸的板橫截面的單位寬度上的橫向剪力，其量綱為MT-2。彎矩、扭矩和橫向剪力的正負(fù)號(hào)規(guī)定：彎矩Mx、My使板的橫截面上z>0的一側(cè)產(chǎn)生正號(hào)的正應(yīng)力x、y時(shí)為正；扭矩Mxy和Myx使板的橫截面上z>0的一側(cè)產(chǎn)生正號(hào)的剪應(yīng)力xy、yx時(shí)為正；橫向剪力Fsx和Fsy使板的橫截面產(chǎn)生正號(hào)的剪應(yīng)力xz、yz時(shí)

9、為正，如圖2中所示。 圖2（3）內(nèi)力與應(yīng)力分量的關(guān)系：x=12Mxh3z，y=12Myh3z，xy=yx=12Mxyh3xz=6Fsxh3h24-z2, yz=6Fsyh3h24-z2 1-8可見，正應(yīng)力x及y分別于彎矩Mx及My成正比，稱為彎應(yīng)力；剪應(yīng)力xy與扭矩Mxy成正比，稱為扭應(yīng)力；剪應(yīng)力xz及 yz分別與橫向剪力Fsx和Fsy成正比，稱為橫向剪應(yīng)力。而正應(yīng)力z與荷載q成正比，稱為擠壓應(yīng)力。（4）不同內(nèi)力之間的關(guān)系：Fsx=Mxx+MyxyFsy=Myy+MxyxFsxx+Fsyx+q=0 1-9式1-9 即為內(nèi)力表示的平衡微分方程。它是由板單元的靜力平衡條件（即Mx=0，My=0，F(xiàn)

10、z=0)所得到的。薄板彎曲的基本方程（1）用撓度w表示：22w=4w=qD 1-10式1-10又稱為薄板的彈性曲面微分方程。它可直接通過式1-5，并由邊界條件z2=-h/2=-q得到。（2）用內(nèi)力表示：2Mxx2+22Mxyxy+2Myy2+q=0 1-11事實(shí)上，式1-11是由式1-9得到的，而將式1-6代入式1-11，同樣可以得到式1-10。這表明，彈性曲面微分方程是薄板在橫向的平衡方程，即薄板每單位面積所受的彈性內(nèi)力與外力平衡。同時(shí)，薄板的彎曲問題不是簡(jiǎn)單的縱、橫梁彎曲的疊加，還應(yīng)考慮扭矩及扭率的作用。薄板的邊界條件薄板的邊界條件可分為3類，如圖3所示。 圖3（1）固定邊界，屬于位移邊界

11、條件。沿固定邊oAx=0,薄板的撓度w和轉(zhuǎn)角wx均為零：wx=0=0 , wxx=0=0 1-12(2)簡(jiǎn)支邊界，屬于混合邊界條件。簡(jiǎn)支邊oCy=0上的撓度和彎矩為零：wy=0=0 , 2wy2y=0=0 1-13在式1-13中，因wy=0=0 ,所以wxy=0=0，2wx2y=0=0,故由Myy=0=0可簡(jiǎn)化為2wy2y=0=0。（3）自由邊界，屬于靜力邊界條件。在自由邊BCx=a和ABy=b上，薄板的彎矩、扭矩及橫向剪應(yīng)力都為零，因而有三個(gè)邊界條件：Mxx=a=0，Mxyx=a=0，F(xiàn)sxx=a=0Myy=b=0，Myxy=b=0，F(xiàn)syy=b=0其中，扭矩可以化為靜力等效的橫向剪力。因此

12、，橫截面上總的分布剪力為：Ftsx=Fsx+Mxyy，F(xiàn)tsy=Fsy+Myxx相應(yīng)的自由邊界條件減少為兩個(gè)獨(dú)立的條件：Mxx=a=0，F(xiàn)tsxx=a=Fsx+Mxyyx=a=0 1-14Myy=b=0，F(xiàn)tsyy=b=Fsx+Myxxy=b=0 1-15此外，在角點(diǎn)B處，將合成一個(gè)集中反力FRB：FRB=MyxB+MxyB=2MxyB=-2D1-2wxyB 1-16若在角點(diǎn)B處沒有支座對(duì)薄板施以上述集中反力，則角點(diǎn)條件FRB=0：2wxyB=2wxyx=a,y=b=0 1-17若在B點(diǎn)處沒有集中荷載F，且沿z軸的正方向，則角點(diǎn)條件FRB=-F：2wxyB=2wxyx=a,y=b=F2D1-

13、1-18若在B點(diǎn)有支座約束，則在B處的角點(diǎn)條件：wB=wx=a,y=b=0 1-19或者有角點(diǎn)條件wB=wx=a,y=b= 1-20式中：為支座上端的沉陷。如圖4所示為以正方向標(biāo)示于矩形薄板中面上的總剪力、角點(diǎn)反力以及彎矩（以矩矢表示，右手螺旋，雙箭頭為大拇指方向，其余四指的繞向即 為彎矩作用的方向），但表明其增量。 圓形薄板的小撓度彎曲問題對(duì)于圓形、扇形、圓環(huán)形等形狀的薄板，采用極坐標(biāo)求解往往比較方便。圓形薄板彎曲問題的基 圖4 本方程、邊界條件和內(nèi)力公式，均可通過直角坐標(biāo)系與極坐標(biāo)系的導(dǎo)數(shù)變換關(guān)系，從直角坐標(biāo)系的相應(yīng)公式中轉(zhuǎn)換得到。表1. 圓形薄板的小撓度彎曲問題的基本方程、內(nèi)力、和總分布

14、剪力的表達(dá)式名稱圓形薄板的小撓度彎曲問題圓形薄板的軸對(duì)稱彎曲問題基本方程22+1+12222w，=q，Dd2d2+1dd2w=qD或1dddd1dddwd=qD內(nèi)力M=-D2w2+1w+122w2M=-D1w+122w2+2w2M=-D1-1wFs=-D2w，F(xiàn)s=-D2wM=-D2w2+dwdM=-D1dwd+d2wd2M=0Fs=-Ddd2w，F(xiàn)s=0總剪力Fts=Fs+1M，F(xiàn)ts=Fs+MFts=Fs=-Ddd2w，F(xiàn)ts=0算子2=22+1+12222=d2d2+1dd注明：M=M，-12w21w，dd2w2dwd 當(dāng)圓形薄板所受的橫向荷載q和邊界條件是繞z軸對(duì)稱的，則該板的撓度和內(nèi)

15、力也是繞z軸對(duì)稱的，這類問題就是圓板的軸對(duì)稱彎曲問題。此時(shí)，板的撓度、彎曲基本方程和內(nèi)力僅是的函數(shù)，而與無(wú)關(guān)，如表1中右邊所示。彎矩及總剪力的正方向如圖5所示（注：未標(biāo)明內(nèi)力增量），圓形板的圓弧形邊界上不存在角點(diǎn)反力。 圖5圓形薄板彎曲時(shí)的邊界條件如表1所示。其中，設(shè)邊界=a處分別為固定邊、簡(jiǎn)支邊、自由邊，且無(wú)給定的位移或外力。 表2. 圓形薄板彎曲的邊界條件名稱圓形薄板的小撓度彎曲問題軸對(duì)稱彎曲問題說明固定邊界w=a=0 , w=a=0w=a=0 , dwd=a=0位移邊界條件簡(jiǎn)支邊界w=a=0 , M=a=0w=a=0 , M=a=0混合邊界條件自由邊界M=a=0,Fs+Mx=a=0M=a

16、=0,Fsx=a=0靜力邊界條件圓形薄板的軸對(duì)稱彎曲問題，其撓度函數(shù)的通解即內(nèi)力表達(dá)式如表2所示。其中，w1為特解，由板面荷載來確定。表3. 圓形薄板的軸對(duì)稱彎曲問題的解答名稱表 達(dá) 式撓 度w=C1ln+C22ln2+C33+C4+w*w*=1Ddddqd內(nèi) 力M=-D-1-2C1+C22ln+3+2ln+2C31+-Dd2w*d2+dw*dM=-D1-2C1+C22ln+1+2ln+3+2C31+-D1dw*d+d2w*d2Fs=-4DC2-Dddd2w*d2+1dw*dM=Fs=0對(duì)于有孔板，則可由內(nèi)外各兩個(gè)邊界條件確定撓度表達(dá)式的C1、C2、C3、C4；對(duì)于無(wú)孔邊，則可由板中心處的撓度

17、和內(nèi)力為有限值得條件，得出C1=C2=0，再由邊界條件確定C3和C4。但需指出的是，在某些特殊情況下（例如，板面上作用有集中力或者板面上有約束），為了求得問題的解答，可以對(duì)內(nèi)力進(jìn)行放松，即C20。二 經(jīng) 典 例 題橢圓形薄板問題例1.設(shè)有半橢圓形薄板，如圖6所示，邊界AoB為簡(jiǎn)支邊，ACB為固定邊，受有荷載q=q0xa。試證w=mxx2a2+y2b2-12能滿足一切條件，其中m是待定系數(shù)；并求撓度以及它的最大值。解：先檢驗(yàn)撓度表達(dá)式w=mxx2a2+y2b2-12是否滿足全部的邊界條件。在本例題中，薄板的全部邊界條件為：在簡(jiǎn)支邊ABx=0上，其邊界條件為：wx=0=0,2wx2x=0=0 a容

18、易驗(yàn)證，式a是滿足的。在固定邊ACB上，其邊界條件為：ws=0,wns=wxxn+wyyns=0 b 圖6式中：n為橢圓板邊界s的外法線方向。因?yàn)樵诎暹吔鐂上有：wxs=mx2a2+y2b2-15x2a2+y2b2-1=0wys=4mxyb2x2a2+y2b2-1=0 故式b也能滿足?，F(xiàn)將撓度函數(shù)的表達(dá)式代入薄板彎曲的基本方程中，可得：D4w=Dmx120a4+48a2b2+24b4=q0xa c由式c可得：m=q024a5a4+2a2b2+1b4D d將式d代入到撓度的表達(dá)式中，可得：w=q024aD5a4+2a2b2+1b4x2a2+y2b2-1 2 e為了求撓度的最大值，先考慮其駐點(diǎn)：w

19、x=mx2a2+y2b2-15x2a2+y2b2-1=0 fwy=4mxyb2x2a2+y2b2-1=0 g由于在半橢圓形薄板的全部邊界上，各點(diǎn)的撓度均為零，故撓度的最大值不可能發(fā)生在板邊上。同時(shí)，又因荷載和薄板形式都關(guān)于x軸對(duì)稱，故撓度的最大值比發(fā)生在x軸(即y=0）上。因此，將y=0代入式f中，并考慮到0xa以及在邊界上撓度不能取得最大值，所以必有：5x2a2+y2b2-1y=0=0從而求得駐點(diǎn)15a,0。故撓度的最大值為：wmax=wx=5a/5,y=0=25q0375D5a4+2a2b2+1b4分析(1)當(dāng)周邊固定的橢圓形薄板，板面受均勻分布的荷載q0作用，其半軸分別為a和b，則可假定

20、撓度函數(shù)為w=mx2a2+y2b2-12,此撓度表達(dá)式可以滿足全部邊界條件，同時(shí)由薄板彎曲的基本方程確定待定系數(shù)m。（2）對(duì)于周邊固定的橢圓形薄板，當(dāng)板面所受荷載沿x軸線性分布，即q=q0x/a,可假定撓度函數(shù)w=mx2a2+y2b2-12，同樣可以滿足全部邊界條件。矩形薄板問題例2.矩形薄板oABC的兩對(duì)邊AB與oC為簡(jiǎn)支，受均勻分布的彎矩M作用，oA與BC為自由邊，受均勻分布的彎矩M作用，板面無(wú)橫向荷載作用，如圖7所示。試證明撓度w=wy可以作為此問題的解，并求撓度、內(nèi)力、和總剪力。解：將撓度w=wy代入薄板彎曲的基本方程 圖7式（1-10）中，可得d4wydy4=0 對(duì)wy積分，得wy=

21、A1y3+A2y2+A3y+A4根據(jù)內(nèi)力與總剪力的表達(dá)式為：Mx=-D2wx2+2wy2=-2D3A1y+A2My=-D2wy2+2wx2=-2D3A1y+A2Mxy=-D1-2wxy=0Fsx=-Dx2w=0,Fsy=-Dy2w=-6DA1Ftsx=Fsx+Mxyy=0，F(xiàn)tsy=Fsy+Myxx=-6DA1再由邊界條件確定待定系數(shù)：在邊界oAx=0上，其邊界條件為：Mxx=0=M,Ftsxx=0=0從而，可以求得：A1=0，A2=-M2D。在邊界BCx=a上，其邊界條件為：Mxx=a=M,Ftsxx=a=0,同樣可求得：A1=0，A2=-M2D。在邊界oCy=0上，其邊界條件為：wy=0=

22、0，Myy=0=M從而可得：A4=0。在邊界ABy=b上，由其邊界條件wy=b=0，Myy=b=M可求得待定系數(shù)A3=bM2D。因此，撓度、內(nèi)力和總剪力為：w=-M2Dy2+bM2Dy=My2Db-yMx=M，My=M,Mxy=0,Fsx=Fsy=0Ftsx=Ftsy=0綜上所述，撓度w=wy能滿足域內(nèi)的基本微分方程和全部的邊界條件，故撓度w=wy可以作為此問題的解。分析 如果oA與BC為簡(jiǎn)支邊，受均勻分布的彎矩M的作用，AB與oC為自由邊，受均勻分布的彎矩M作用，且板面無(wú)橫向荷載作用，則撓度函數(shù)w=wx可以作為此問題的解。例3.兩條邊簡(jiǎn)支、兩條邊自由的矩形薄板，板面無(wú)橫向荷載作用；對(duì)于下列兩

23、種情況：1.在角點(diǎn)B處受向下的橫向集中力F作用，如圖8所示。2.在角點(diǎn)C處有一豎直向下的微小位移，且與固定的鏈桿相連接，如圖9所示。試分別求矩形薄板的內(nèi)力和角點(diǎn)反力。 圖8圖9解：1.在角點(diǎn)B處受向下的橫向集中力F作用時(shí)，可設(shè)撓度的表達(dá)式為：w=mxy a很顯然，它能滿足本問題的基本微分方程4w=0。根據(jù)撓度的表達(dá)式（a），可求得內(nèi)力及總剪力的表達(dá)式為:Mx=-D2wx2+2wy2=0My=-D2wy2+2wx2=0Mxy=-D1-2wxy=-D1-mFSx=-Dx2w=0，F(xiàn)Sy=-Dy2w=0FSxt=FSx+Mxyy=0，F(xiàn)Syt=FSy+Mxyx=0由邊界條件確定待定系數(shù)m。本題的全部

24、邊界條件：wx=0=0，MXx=0=0；MXx=a=0，F(xiàn)Sxtx=a=0；wy=0=0，Myy=0=0；Myy=b=0，F(xiàn)Syty=b=0 顯然，上述邊界條件均能自動(dòng)滿足。對(duì)于兩自由邊的角點(diǎn)B，其角點(diǎn)條件為： FRB=-2D1-2wxyx=a，y=b=-F (b)由式（b）可解得：m=FD1-故撓度、內(nèi)力及角點(diǎn)反力為：w=FD1-xyMx=My=FSx=FSy=0，Mxy=-F2 FRA=2Mxyx=0，y=b=-F同理： FRB= FRC= FRD=-F各角點(diǎn)集中反力的正負(fù)號(hào)可參考圖42.在角點(diǎn)C處有一豎直向下的微小位移，且與固定的鏈桿相連接時(shí)，可設(shè)撓度的表達(dá)式為： w=mxy-b (c)

25、顯然，式（3）也能滿足本問題的基本微分方程4w=0。由撓度可得內(nèi)力和總剪力的表達(dá)式為：Mx=-D2wx2+2wy2My=-D2wy2+2wx2Mxy=-D1-2wxy=-D1-mFSx=-Dx2w=0，F(xiàn)Sy=-Dy2w=0FSxt=FSx+Mxyy=0，F(xiàn)Syt=FSy+Mxyx=0本題的全部邊界條件：wx=0=0，MXx=0=0；MXx=a=0，F(xiàn)Sxtx=a=0；Myy=0=0 ，F(xiàn)Syty=0=0，wy=b=0，Myy=b=0 同樣地，全部邊界條件也能自動(dòng)滿足。對(duì)于兩自由邊的角點(diǎn)C處有一豎直向下的微小位移，則角點(diǎn)條件為wC=wx=a，y=0= d由式（4）可得：m=- ab撓度以沿z方

26、向?yàn)檎?，即向下為正。?.四邊簡(jiǎn)支的矩形薄板，邊長(zhǎng)分別為a和b， 如圖10所示，板面上受有分布荷載 q=x，y =q0sinxasinyb，其中q0為板面中心的荷載集度， 試求薄板的撓度、內(nèi)力及角點(diǎn)反力。解在本例題中，薄板彎曲的基本方程為：圖104w=4wx4+24w x2y2+4wy4=q0sinxasinyba本例題的全部邊界條件wx=0=0，2wx2x=0=0wx=a=0，2wx2x=a=0wy=0=0，2wy2y=0=0wy=b=0，2wy2y=b=0顯然，若取撓度函數(shù)為：w=x，y=msinxasinyb b則能滿足全部邊界條件。將式（2）代入式（1）中，可得： m=q04D1a2+

27、1b22 c從而，可求得的內(nèi)力如下：Mx=-D2wx2+2wy2Dm21a2+b2sinxasinybMy=-D2wy2+2wx2Dm2a2+1b2sinxasinyb顯然，最大撓度和最大彎矩發(fā)生在板的中心：wmax= wa2，b2=q04D1a2+1b22MXmax=q021a2+1b221a2+b2Mymax=q021a2+1b22a2+1b2四個(gè)角的集中反力為： FRi=2Mxyi=-2D1-2wxyi=-21-q021a2+1b22abcosxacosybi由扭矩的正負(fù)號(hào)（參見圖4）可知，這四個(gè)角點(diǎn)的集中反力都向下。例5.如圖11所示四邊簡(jiǎn)支的矩形薄板邊長(zhǎng)分別是a和b，在任一點(diǎn)D x0

28、，y0處受集中力F的作用，試求薄板的撓度。解采用納維解法，將撓度函數(shù)取為重三角級(jí)數(shù)： w=m=1n=1Amnsinmxasinnyb a 圖11現(xiàn)將集中力F看作是作用在微面積xy上的均布荷載，即q= Fxy，而板面的其余處的圖11荷載為零。將q代入納維解中的系數(shù)表達(dá)式：Amn= 40a0bq x，ysinmxasinnyb dxdy 4abDm2a2+n2b22 =44abDm2a2+n2b22x0-x2x0+x2y0-y2y0+y2Fxysinmxasinnyb dxdy =4F4abDm2a2+n2b22xysinmx0asinny0b xy =4F4abDm2a2+n2b22sinmx0

29、asinny0b b將式（b）代入式（a）中，可得薄板的撓度為：w=4F4abD m=1n=1sinmx0asinny0bm2a2+n2b22sinmxasinnyb分析對(duì)于四邊簡(jiǎn)支的矩形薄板，納維（Navier）提出來重三角級(jí)數(shù)表示的解答。即將撓度函數(shù)w表示為：w=m=1n=1Amnsinmxasinnyb上式完全滿足了四邊簡(jiǎn)支的邊界條件。再將撓度表達(dá)式代入薄板彎曲的基本微分方程中，可求得待定系數(shù)AmnAmn= 40a0bq x，ysinmxasinnyb dxdy 4abDm2a2+n2b22事實(shí)上，納維解答是各種正弦波形的函數(shù)疊加而成，在數(shù)學(xué)上稱為Fourier級(jí)數(shù)。納維解法的優(yōu)點(diǎn)是能適

30、用于各種荷載，且級(jí)數(shù)運(yùn)算簡(jiǎn)單；其缺點(diǎn)是只適用于四邊簡(jiǎn)支的矩形板，且在計(jì)算內(nèi)力時(shí)級(jí)數(shù)收斂較慢。例6.如圖12所示的四邊簡(jiǎn)支的矩形薄板,邊長(zhǎng)分別是a和b，在y=±b2的邊界上受分布力矩f1x、f2x作用，試求薄板的撓度。解采用萊維法求解。因板面無(wú)分布荷載作用，故薄板彎曲的基本方程為：4w=4wx4+24w x2y2+4wy4=0 a本題的邊界條件為：圖12 圖12wx=0，a=0，2wx2x=0，a=0 b wy=b2=0，Myy=b2=-D2wy2y=b2=f1x cwy=-b2=0，Myy=-b2=-D2wy2y=-b2=f2x d為了分析簡(jiǎn)便，可將作用在邊界y=±b2上的

31、分布彎矩分成對(duì)稱與反對(duì)稱兩部分：對(duì)稱部分：My'y=b2=12fx1+fx2，My'y=-b2=12fx1+fx2反對(duì)稱部分：My''y=b2=12fx1-fx2，My''y=-b2=12fx1-fx2這兩組邊界分布彎矩分別按Fourier級(jí)數(shù)展開為：My'y=±b2=12fx1+fx2=m=1Am'sinmxaMy''y=±b2=±12fx1-fx2=±m=1Am''sinmxa其中，系數(shù)Am'和Am''可按Fourier級(jí)數(shù)展開定理

32、求得。設(shè)對(duì)稱與反對(duì)稱情況下板的撓度分別為w1和w2，對(duì)應(yīng)的邊界條件分別為：w1y=±b2=0，-D2w1y2y=±b2=m=1Am'sinmxa ew2y=±b2=0，-D2w2y2y=±b2=±m=1Am''sinmxa f將w1和w2疊加，可得到滿足邊界條件式（c）、式（d）的撓度。在對(duì)稱情況下w1應(yīng)為y的偶函數(shù)。故在萊維解答中（參見本題的解析），系數(shù)Cm 和Dm 均為零，因?yàn)闊o(wú)板面荷載，可取特解Ym*y=0，于是有：w1=m=1Am coshmya+Bm myasinhmyasinmxa g利用邊界條件式（5），可

33、確定系數(shù)Am 和Bm 為：Am = abAm'tanhmb2a4D coshmb2aBm =-a2Am'2Dm22coshmb2a在反對(duì)稱情況下，撓度w2應(yīng)為y的奇函數(shù)。故在萊維解答中系數(shù)Am 和Bm 均為零，同樣取特解Ym*y=0，于是w2為：w2=m=1Cm sinhmya+Dm myacoshmyasinmxa h同樣的利用邊界條件式（6），可確定系數(shù)Cm 和Dm 為：Cm = abAm''cothmb2a4D sinhmb2aDm =-a2Am''2D2m2sinhmb2a將式（g）與式（h）相疊加，得到滿足邊界條件式（c）、式（d）的撓

34、度解答:w= a22D2m=11m2Am'coshmmtanhmcoshmya-myasinhmya+Am''coshmmcothmsinhmya-myacoshmyasin mxa其中：m=mb2a分析當(dāng)矩形薄板的兩對(duì)邊為簡(jiǎn)支邊，另兩對(duì)邊為任意自由的邊界條件時(shí)，萊維提出了單三角級(jí)數(shù)表示的解答：w=m=1Ym ysin mxa a顯然，撓度w已滿足了x=0，a兩對(duì)邊簡(jiǎn)支的條件。將撓度表達(dá)式a代入薄板彎曲的基本的方程（8.10）中，可求得Ym 的表達(dá)式：Ym =Am coshmya+Bm myasinhmya+Cm sinhmya+Dm myacoshmya+Ym*y(b

35、)其中，Am 、Bm 、Cm 和Dm 應(yīng)由y=±b2的邊界條件來確定。同時(shí)，Ym*y為下列方程的任意一個(gè)特解：d4Ym dy4-2m a2d2Ym dy2+m a4Ym =2aD0aqsinmxadx (c)應(yīng)用疊加原理，可將萊維提出的單三角級(jí)數(shù)解，用于解決各種邊界條件的矩形薄板問題。圓形薄板問題例7.設(shè)有半徑為a的圓形薄板，受均布荷載q0作用，如圖13和圖14所示。在下列兩種支承條件下：1. 薄板周邊固定，如圖13所示。2. 薄板周邊簡(jiǎn)支，如圖14所示。試求薄板的撓度和內(nèi)力。 圖13 圖14解:本題屬于圓形薄板的軸對(duì)稱彎曲問題，考慮到圓形薄板內(nèi)無(wú)空洞，在薄板中心（即=0）處撓度和應(yīng)

36、力應(yīng)為有限值，故撓度一般表達(dá)式中的常數(shù)C1=C2 =0，即撓度可簡(jiǎn)化為： w=C32+C4+w* a其中，特解w*可由下式得：w* =1Ddddq0d=q064D4 (b)于是，撓度與內(nèi)力的表達(dá)式：w=C32+C4+q064D4，dwd=2C3+q016D3M=-21+DC3-3+16Dq02M=-21+DC3-1+316Dq02M= M=0 FS=-q02 c下面由邊界條件求解待定系數(shù)C3和C4。1. 薄板周邊固定，其邊界條件為：w =a=0，dwd=a=0 d從而，可求得：C3=q0a232D，C4=q0a464D2. 薄板周邊簡(jiǎn)支，其邊界條件為：w =a=0，M=a=0 e從而，可求得：

37、C3=-3+q0a2321+D，C4=5+q0a4641+D再將C3和C4值代入到式（c）中即可求解。分析（1） 若圓形薄板面荷載為q=aq0，其他條件不變，則只需將特解換成：w* =1Ddddq0ad=q0225aD5并代入撓度表達(dá)式（a）中，再由邊界條件式（d）、式（e）來確定系數(shù)C3和C4的值。（2） 若圓形薄板面荷載q=1-aq0，其他條件不變，也則只需將特解換成：w* =q0Dddd1-ad=q064D4-q0225aD5同樣，再由邊界條件式（d）、式（e）來確定系數(shù)C3和C4的值。(例8.9)設(shè)有一半經(jīng)為a的圓形彈性薄板,如圖15所示，周邊界固定，圓心處有一鏈桿支座，設(shè)鏈桿支座發(fā)生

38、微小沉陷。試求薄板的撓度和內(nèi)力。解本題屬于軸對(duì)稱彎曲問題，板面無(wú)分布荷載，故特解w*為零。根據(jù)圓形薄板的軸對(duì)稱彎曲問題的一般解答： w=C1ln+C22ln+C32+C4 a考慮到板心無(wú)孔洞，其撓度值應(yīng)為有限值，故C1=0。本題邊界條件為：圖15w =a=0，dwd=a=0 b將式（a）代入到式（b）中，可得：C2a2lna+C3a2+C4=0 ，C2a+2 alna+2C3a=0 c同時(shí)，由于板中心處的鏈桿支座發(fā)生微小沉陷，故補(bǔ)充條件：w =0= d再將式（a）代入到式（c）中，考慮到當(dāng)0時(shí)，有2ln0，從而可求得： C4= e有式（c）和式（e）可解得：C2=2 a2，C3=- a21+2

39、lna f于是薄板的撓度函數(shù)為：w=1-2a2+22a2lna g薄板的內(nèi)力為：M=-4D a21+1+lna M=-4D a2+1+lna FS=-8D a2M= FS= 0 h需要指出的是：從薄板的內(nèi)力表達(dá)式即式h中可知，當(dāng)0時(shí)，（M，M，F(xiàn)S），即內(nèi)力在圓形薄板的中心處具有奇異性。分析在本題中，如果在板面的中心處作用的是集中力F，如圖15所示，則其撓度的表達(dá)式仍取為式（a），且C1=0。其邊界條件仍為式（b），不同之處是需補(bǔ)充靜力平衡條件，即任取半徑為的部分圓形薄板為脫離體，其靜力平衡條件為：Fz=0，可得2FS+F= 0其中，分布剪力FS在外半徑處向下為正（參考圖5），且其值為：FS=

40、-Ddd2w=-Dddd2d2+1ddw=-4DC2從而，問題可求解。例9.設(shè)有一半經(jīng)為a的圓形薄板，周邊簡(jiǎn)支，在板中半徑為b的圓面積桑受均布和荷載q0作用，如圖16所示。試求其撓度。圖16解本題本題屬于圓形薄板的軸對(duì)稱彎曲問題。由于荷載不連續(xù)，需要將撓度函數(shù)分段來表示：w1=C32+C4+q064D40b aw2=C1'ln+C2'2ln+C3'2+C4'ba b由=a處的邊界條件及=b處的連續(xù)性條件來確定系數(shù)：w1 =a=0，M2 =a=-Dd2w2d2+dw2d=a=0 cw1 =b=w2 =b，dw1d =b=dw2d =b d根據(jù)M1 =b=M2 =b

41、可得：d2w1d2+dw1d=b=d2w2d2+dw2d=b e根據(jù)FS1t=b=FS2t=b可得：dd2w1=b=dd2w2=b f在一階導(dǎo)數(shù)相等的情況下，即在式（d）下，式（e）、式（f）可分別轉(zhuǎn)化為二階導(dǎo)數(shù)和三階導(dǎo)數(shù)相等：d2w1d2=b=d2w2d2=b gd3w1d3=b=d3w2d3=b h從而，可求得6個(gè)系數(shù)的值為：C3=q0b232D4lnba+1-b21+a2-41+C4=q0b464D4lnba+43+a21+b2-7+31+C1'=q0b416DC2'=q0b28DC3'=q0b232D(1-)b2(1+)a2-4lna-2(3+)1+C4'=q0b232D2(3+)a2(1+)-(1-)b21+-2b2lna分析（1）若令b的區(qū)域內(nèi)荷載總和為F，即F=b2q0,如果F值不變，而b0，即可得到簡(jiǎn)支圓形薄板在中心處受集中力F作用的情形，如圖例（a）所示。用F替代w2中的q0b2項(xiàng)，且令b0，從而可求得撓度函數(shù)為：w=w2= F8D3+(1+)-a2-2+22lna圖17 (2)若在=b處的圓周上作用集度為p的環(huán)向線荷載情況，如圖例（b），此時(shí)只需將條件時(shí)（f）改為：(FSt)=b=-Ddd(d2w2d2+1dw2d)=b=-p其中，負(fù)號(hào)表示實(shí)際的總剪力方向與圖例中的總剪力方向相反。通過相同