第1章質(zhì)點運動學(xué)

1、實際物體結(jié)構(gòu)復(fù)雜，形狀各異。在很多情況下，物實際物體結(jié)構(gòu)復(fù)雜，形狀各異。在很多情況下，物體的轉(zhuǎn)動和形狀變化與所研究的問題無關(guān)。這時可將物體的轉(zhuǎn)動和形狀變化與所研究的問題無關(guān)。這時可將物體的大小形狀忽略不計，引入一種理想模型，即體的大小形狀忽略不計，引入一種理想模型，即有質(zhì)量有質(zhì)量而無形狀和大小而無形狀和大小的幾何點的幾何點研究如何描述物體運動研究如何描述物體運動物體運動的絕對性，物體運動的絕對性，世界上萬物都處在不停地運動中，大到日、世界上萬物都處在不停地運動中，大到日、月、星體，小到各種微觀粒子（分子、原子、質(zhì)月、星體，小到各種微觀粒子（分子、原子、質(zhì)子、電子子、電子），沒有不運動的物質(zhì)，也

2、沒有物），沒有不運動的物質(zhì)，也沒有物質(zhì)不運動，所以物質(zhì)運動是絕對的。質(zhì)不運動，所以物質(zhì)運動是絕對的。對運動描述的相對性。對運動描述的相對性。 例如：例如： 以固定在地面上的某標(biāo)志物為參考以固定在地面上的某標(biāo)志物為參考地面參考系地面參考系； 以實驗室的墻壁地板為參考以實驗室的墻壁地板為參考實驗室參考系實驗室參考系； 研究行星運動時以恒星為參考研究行星運動時以恒星為參考恒星參考系恒星參考系。在描述物體運動時，必須指定其他物體或物體系在描述物體運動時，必須指定其他物體或物體系作為參考，這就是作為參考，這就是（或稱（或稱。坐標(biāo)系坐標(biāo)系坐標(biāo)系坐標(biāo)系笛卡兒坐標(biāo)系笛卡兒坐標(biāo)系為定量描述物體相對所確定的參照系

3、的位置，必為定量描述物體相對所確定的參照系的位置，必須在參考系上建立固定的須在參考系上建立固定的。常用坐標(biāo)系：常用坐標(biāo)系：極坐標(biāo)系極坐標(biāo)系（坐標(biāo)系的原點和軸的方向可據(jù)具體問題任意選取。）（坐標(biāo)系的原點和軸的方向可據(jù)具體問題任意選取。）球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系柱坐標(biāo)系柱坐標(biāo)系笛卡兒坐標(biāo)系笛卡兒坐標(biāo)系xyzo),(zyxxyzx三維笛卡兒坐標(biāo)系三維笛卡兒坐標(biāo)系jik),(zzoyz柱坐標(biāo)系柱坐標(biāo)系p),(rxzoyr球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系ppppxyo),(yxpxyxyo),(p二維笛卡兒坐標(biāo)系二維笛卡兒坐標(biāo)系極坐標(biāo)系極坐標(biāo)系eeji 切向單位矢量切向單位矢量n 法線單位矢量法線單位矢量自然坐標(biāo)系自然坐標(biāo)系n

4、 po分解為三個矢量：分解為三個矢量：rkzj yi x，1. 1. 位置矢量位置矢量矢量矢量 op 與質(zhì)點的位置與質(zhì)點的位置p對應(yīng)，稱為對應(yīng)，稱為（簡稱（簡稱/ /），rk zj yi xrxyzr),(zyxxyz記為記為 ),(r 在在球坐標(biāo)球坐標(biāo)中中rxzopryeree單位矢量：單位矢量：rerrr),(eeer注注：這兩種坐標(biāo)系的單位矢量的方向除：這兩種坐標(biāo)系的單位矢量的方向除 外都是可變化的。外都是可變化的。zezzeeez),(zxopry 在在柱坐標(biāo)柱坐標(biāo)中中),(zeee單位矢量：單位矢量：zezerr)(trr2. 2. 運動函數(shù)運動函數(shù)設(shè)質(zhì)點的位置隨時間設(shè)質(zhì)點的位置隨時

5、間t 運動，運動，則則p點的坐標(biāo)也隨時間變化，點的坐標(biāo)也隨時間變化，即有函數(shù)關(guān)系：即有函數(shù)關(guān)系：用來描述質(zhì)點的位置隨時間變化的函數(shù)或方程即為用來描述質(zhì)點的位置隨時間變化的函數(shù)或方程即為。xyzopr),(zyxxyzktzjtyitxtr)()()()()()()(tzztyytxx分量式分量式xyzoaarrbr3. 3. 位移位移b經(jīng)經(jīng) 時間后（即時間后（即 時刻）時刻）到達到達b點。點。ttt矢量矢量 反映了質(zhì)點的反映了質(zhì)點的位置變化，稱為位置變化，稱為，ab設(shè)在設(shè)在t 時刻，質(zhì)點處于時刻，質(zhì)點處于a點點,abrrr記為：記為：kzj yi xr位移的分量表達式：位移的分量表達式：x =

6、 xb xay = yb yaz = zb za a ( xa ， ya，za ) b ( xb ， yb ，zb ) xyzoaarrbrb位移位移是矢量，只決定于始末位置；是矢量，只決定于始末位置； 路程路程是標(biāo)量，與初態(tài)和末態(tài)之間的過程有關(guān)。是標(biāo)量，與初態(tài)和末態(tài)之間的過程有關(guān)。abrrr；和區(qū)別srrr和4. 4. 平均速度平均速度xyzoabarrbrtr平均速度是對一段時間而言的平均速度是對一段時間而言的; ; 它只能粗略地表示它只能粗略地表示質(zhì)點位置變化的急緩程度和變化方向質(zhì)點位置變化的急緩程度和變化方向。質(zhì)點在質(zhì)點在 時間間隔內(nèi)的時間間隔內(nèi)的位移位移 與該時間間隔的比值與該時間間

7、隔的比值, ,即即rt稱為質(zhì)點在這段時間間隔內(nèi)的稱為質(zhì)點在這段時間間隔內(nèi)的vxyzoarrbr5. 5. 瞬時速度瞬時速度b0limt0t當(dāng) ，trvvdtrd質(zhì)點在任意時刻質(zhì)點在任意時刻t t 的的（簡稱（簡稱）。）。a稱為稱為速度的速度的0t當(dāng)當(dāng) ，xyzoaarrbrb速度的速度的為位移的極限方向為位移的極限方向, ,也就是也就是軌跡的軌跡的; ;drdsdrdtvdsdtvkdtdzjdtdyidtdxdtrdvdtdzvdtdyvdtdxvzyxkvjvivzyx分量式分量式kzj yi xr所以所以速度的大小和方向的表示速度的大小和方向的表示大小大?。?22zyxvvvv22222

8、2222coscoscoszyxzzyxyzyxxvvvvvvvvvvvv方向：方向：速度與速度與 x、 y、z 軸的夾軸的夾角為角為 、其中其中cos、cos、cos 稱稱為為 x、 y、z 方向的方向的方向余弦方向余弦。注：注： cos、cos、cos 只有兩個是獨立的只有兩個是獨立的，因為，因為cos2 cos2 cos2 1。vxyz1）位矢與參考點有關(guān)位矢與參考點有關(guān) 位移與參考點位移與參考點(坐標(biāo)系）無關(guān)坐標(biāo)系）無關(guān)rorrrroro 2）位矢位矢變化變化的大小的大小( (位移的大小位移的大小) )與與 位矢大小的位矢大小的變化變化的區(qū)別的區(qū)別 rr)(ta)(ttb 3)3) 平

9、均速度平均速度與時間間隔和位移有關(guān)與時間間隔和位移有關(guān), ,方向是該時間方向是該時間間隔內(nèi)的位移的方向間隔內(nèi)的位移的方向; ; 平均速率平均速率與時間間隔和路程有關(guān)與時間間隔和路程有關(guān), ,標(biāo)量。標(biāo)量。4 4）瞬時速度與瞬時速率）瞬時速度與瞬時速率rorrrr)(ta)(ttbdtdsdtrdvvdtdr?drd rdr rr qpqprrrrrr qpqprrrrr drd rdtdtrorrrr)(ta)(ttb1. 1. 平均加速度平均加速度xyzoabtvavbvavbvvabvv平均加速度是對平均加速度是對一段時間一段時間而言的，它只能而言的，它只能粗略地粗略地表示質(zhì)點表示質(zhì)點速度變

10、化速度變化的情況。的情況。質(zhì)點在質(zhì)點在 時間里時間里的速度改變量的速度改變量 與該與該時間間隔的比值，即時間間隔的比值，即tv稱為質(zhì)點在稱為質(zhì)點在 時間里的時間里的tabv2. 2. 瞬時加速度瞬時加速度avv加速度的方向加速度的方向為速度增加量為速度增加量 的的極限方向極限方向, , 不是軌跡的不是軌跡的！vdtvd0limt0t當(dāng) ，tvaa22dtrd質(zhì)點在任意時刻質(zhì)點在任意時刻t t 的的（簡稱（簡稱）。）。dtvda22dtrd222222dtzddtdvadtyddtdvadtxddtdvazzyyxxkajaiazyx加速度的大小和方向的表示與加速度的大小和方向的表示與速度的完全

11、類似。速度的完全類似。分量式分量式 加速度的加速度的大小大小kdtdvjdtdvidtdvzyxkdtzdjdtydidtxd222222例 某質(zhì)點的運動學(xué)方程為某質(zhì)點的運動學(xué)方程為（單位：（單位：m,s）。求）。求t=0，1時質(zhì)點的速度和加速度矢量。時質(zhì)點的速度和加速度矢量。ktj titr251510)( 矢量物理量全面地反映物體的運動狀態(tài)，便矢量物理量全面地反映物體的運動狀態(tài)，便于理論推導(dǎo)和一般性的定義。于理論推導(dǎo)和一般性的定義。位置矢量、速度和加速度三者之間的關(guān)系是位置矢量、速度和加速度三者之間的關(guān)系是ra微分法微分法積分法積分法微分法微分法積分法積分法1. 1. 勻勻加速運動的一般描

12、述加速運動的一般描述dtavd加速度的大小和方向都不隨時間改變，加速度的大小和方向都不隨時間改變，即即 為常矢量為常矢量。a根據(jù)加速度的定義，有根據(jù)加速度的定義，有0vvta設(shè)設(shè)，0t，0vvtvvdtavd00tdta0t avv0rrrd0dtvrd根據(jù)速度的定義，有根據(jù)速度的定義，有20021t atvrr即得即得 設(shè)設(shè)，0t，0rrdttavrd0tdtt av00tavvtavvzzzyyy002002002121tatvzztatvyyzzyyt avv020021t atvrr20021tatvxxxxtavvxxx02. 2. 勻勻加速直線運動加速直線運動是指質(zhì)點沿直線作一維的

13、勻加速運動。是指質(zhì)點沿直線作一維的勻加速運動。tavvxxx020021tatvxxxx，atvv020021attvxx，)(20202xxavv略去下標(biāo)，略去下標(biāo)，消去消去t ，得，得實例：自由落體運動，上拋運動實例：自由落體運動，上拋運動ga2s/m 80665. 9 gg加速度為加速度為 。以起點為坐標(biāo)原點，取以起點為坐標(biāo)原點，取y 軸沿鉛直向上為正向，則軸沿鉛直向上為正向，則gtv221gty自由落體自由落體)0(0vgtvv02021ygttv)0(0v上拋上拋運動學(xué)的二類問題運動學(xué)的二類問題第一類問題：第一類問題： , av已知運動學(xué)方程，求已知運動學(xué)方程，求(1) t =1s

14、到到 t =2s 質(zhì)點的位移質(zhì)點的位移;(3) 軌跡方程。軌跡方程。(2) t =2s 時時 ； a ，v12rij242rij21(42)(2 1)23rrrijij d22 drit jtv224 ijv222tytx4/22xy已知一質(zhì)點運動方程為已知一質(zhì)點運動方程為 。22 (2) rt itj求求:例例1解解 (1)(2)(3) 由由當(dāng)當(dāng) t =2s 時時2 2 aj 22dd 2ddrajtt v由運動方程得由運動方程得得軌跡方程為得軌跡方程為解解d16dajtvt 0 0vvj 16 0t-vv26 88rt it jk已知已知16aj006 ,8irkvv求求和運動方程。和運動

15、方程。代入初始條件代入初始條件08rk代入初始條件代入初始條件第二類問題：第二類問題：d 16d t jv616 it jvvtrdd (616 )drit j dt已知加速度和初始條件，求已知加速度和初始條件，求 , rv例例2, t =0 時，時，trr 0 026 ,8 ,8xtytzl 積分初始值（下限）由初始條件確定積分初始值（下限）由初始條件確定l 等式兩邊積分變量的積分限一一對應(yīng)等式兩邊積分變量的積分限一一對應(yīng)得運動方程為得運動方程為得得由由例例3 子彈子彈(質(zhì)點質(zhì)點)射入固定在地面上的砂箱內(nèi)，假設(shè)射射入固定在地面上的砂箱內(nèi)，假設(shè)射入時刻定為入時刻定為 t = 0 ，子彈速率為，

16、子彈速率為v0 。加速度與速率成正加速度與速率成正比，比例系數(shù)為比，比例系數(shù)為k 。求。求 oxm ax( ),txv解：解：(1)(1)建坐標(biāo)系如圖建坐標(biāo)系如圖dkdt v砂箱砂箱a由由dadt有式有式dkdt 0( )0ttdkdt0( )kttevv(2) 由式由式dxdtv有有0ktdxedt000 xtktdxe dtdxdtv0(1)ktxekv0maxtxkv特點特點: :曲線運動；曲線運動； 在鉛直平面內(nèi)（二維運動）；在鉛直平面內(nèi)（二維運動）； 勻加速運動勻加速運動( (忽略空氣阻力忽略空氣阻力) ) ga恒矢量恒矢量設(shè)設(shè)t = 0 時，質(zhì)點位于原點時，質(zhì)點位于原點o，并以初速

17、率，并以初速率v0 和仰角和仰角 拋出，拋出，xyo0vgaayx , 0;sin ,cos0000vvvvyx ; 000yx2220cos2tanxvgxy：速度函數(shù)速度函數(shù)：gtvgtvvvvvyyxxsin cos 0000運動函數(shù)：運動函數(shù)：2020021)sin(21 )cos( gttvgttvytvxy20021 ,t gtvrt gvv相應(yīng)的矢量式相應(yīng)的矢量式：為二次曲線為二次曲線拋物線拋物線 運動運動的的與與任何一個復(fù)雜的運動可看作兩個或多個方向的任何一個復(fù)雜的運動可看作兩個或多個方向的簡單分運動的疊加。簡單分運動的疊加。運動的運動的：如果一個質(zhì)點同時參與幾個分運動：如果一

18、個質(zhì)點同時參與幾個分運動,其中任何一個運動都不受到其他運動的影響，就好其中任何一個運動都不受到其他運動的影響，就好像只有自己存在一樣。像只有自己存在一樣。運動的運動的：質(zhì)點的一般運動可以看做由幾個相：質(zhì)點的一般運動可以看做由幾個相互獨立的運動的合成，且合成的物理量滿足平行四互獨立的運動的合成，且合成的物理量滿足平行四邊形法則。邊形法則。 考慮空氣阻尼考慮空氣阻尼0vxyo一般阻尼力總是一般阻尼力總是與速度反向，大小與與速度反向，大小與速率有關(guān)，故運動規(guī)速率有關(guān)，故運動規(guī)律十分復(fù)雜。律十分復(fù)雜。動力學(xué)動力學(xué)彈道學(xué)問題彈道學(xué)問題0vxyo20021)sin( )cos( gttvytvx2021t

19、 gtvrr拋體運動是拋體運動是運動和運動和運動的疊加；運動的疊加；也可看作也可看作運動和運動和運運動（勻加速直線）的疊加。動（勻加速直線）的疊加。 例例 已知質(zhì)點運動方程為已知質(zhì)點運動方程為22 (si)rt it j求求121s3stt之間的路程之間的路程 。2dd(2)22 ddrtit jit jttv213103 102ln9.98 m12sss 221122dd2 1dd2 1dstststttsttv22222242 1xyttvvv22211d1ln122ttttttc解解 質(zhì)點運動速度為質(zhì)點運動速度為速率為速率為路程滿足路程滿足1. 1. 勻速圓周運動的勻速圓周運動的2nar

20、v（指向圓心）（指向圓心）向心加速度意義：向心加速度意義： 速度方向變化的快慢速度方向變化的快慢練習(xí)練習(xí) ：從加速度定義出發(fā)，導(dǎo)出：從加速度定義出發(fā)，導(dǎo)出2narv速率速率=const.2. 2. 變速圓周運動的變速圓周運動的加速度定義：加速度定義：tvat0lim21vvvotvtvtt2010limlimrabv1vvbav1v2vvvvvvrabv 1vvv2vr，vrabv 1vvvv2tvt10limrvtabt0limrv2：（ 的極限方向的極限方向) )1vtvt20limtvt0limdtdv（ 的極限方向的極限方向) )2vatvt10limtvt20lim引入引入法向單位矢

21、量法向單位矢量 和和切向單位矢量切向單位矢量 ，加速度表示為：，加速度表示為：tn 分量分量分量分量rvan2dtdvattdtdvnrva2 切向加速度反映了切向加速度反映了速度大小速度大小變化的快慢；變化的快慢； 法向加速度反映法向加速度反映了了速度方向速度方向變化的快慢。變化的快慢。tana曲率圓曲率圓 曲率半徑曲率半徑 切向加速度和法向加速度可切向加速度和法向加速度可以推廣到任意曲線運動：以推廣到任意曲線運動：dtdvat2van 圓周運動的總加速度：圓周運動的總加速度：tanaa22ntaaatnaatan （勻速率圓周運動只有法向加速度，且大小不變（勻速率圓周運動只有法向加速度，且

22、大小不變方向總是指向圓心，因此也稱方向總是指向圓心，因此也稱。）。）3. 3. 角位移角位移 角速度角速度 角加速度角加速度dtdtt0lim：220limdtddtdtt: :bvavbaoryx0rvratrrvan224. 4. 圓周運動的圓周運動的線量和線量和角量關(guān)系角量關(guān)系(2) 速度與角速度速度與角速度( (標(biāo)量式標(biāo)量式) )(3) 加速度與角加速度加速度與角加速度(1) 位移與角位移位移與角位移rdrd(4)關(guān)于角速度和關(guān)于角速度和角加速度的積分關(guān)系：角加速度的積分關(guān)系：tdt00tdt00(5) 笛卡兒坐標(biāo)系下的笛卡兒坐標(biāo)系下的勻速勻速 圓周運動：圓周運動：)cos(0trx)

23、sin(0try0oryx),(00yx例例 一質(zhì)點在水平面內(nèi)以順時針方向沿半徑為一質(zhì)點在水平面內(nèi)以順時針方向沿半徑為2 m 的的圓形軌道運動。此質(zhì)點的角速度與運動時間的平方成圓形軌道運動。此質(zhì)點的角速度與運動時間的平方成正比，即正比，即=kt 2 ，k 為待定常數(shù)為待定常數(shù).已知質(zhì)點在已知質(zhì)點在2 s 末的線末的線速度為速度為 32 m/s 。求。求t =0.5 s 時質(zhì)點的線速度和加速度。時質(zhì)點的線速度和加速度。32 m/s v24rrtv2d88.0 m/sdarttv322 4 sktrtv2 4t2 42.0 m/srtv解解當(dāng)當(dāng)t =0.5 s 時時由題意得由題意得2228.25

24、m/snaaa222.0 m/snarvat地車r地物rabtt車物r設(shè)有兩個相對設(shè)有兩個相對平動平動的參照系（地面和車），的參照系（地面和車），平動速度為平動速度為 。trtrtr0地車車物地物rrr0rrr或或0tuvvuvv逆變換逆變換正變換正變換ss物體從車內(nèi)物體從車內(nèi)a點移到點移到b點，經(jīng)點，經(jīng) t 時間。考察相應(yīng)的位移：時間。考察相應(yīng)的位移：uuuvv速度變換：速度變換：dtuddtvddtvd加速度變換：加速度變換：0aaa 特別地，當(dāng)特別地，當(dāng) 常量時，常量時， ，有，有即相對于作勻速直線運動的兩參照系的加速度是相等的。即相對于作勻速直線運動的兩參照系的加速度是相等的。00dt

25、udauaatrtrtr00rrr不同參照系看相同？不同參照系看相同？問題問題：bat0rrabttrss galileo速度變換的速度變換的： 低速（低速（ ）cu 高速下用相對論速度變換式高速下用相對論速度變換式變換變換不同參照系不同參照系合成合成同一參照系同一參照系 速度變換速度變換不同于不同于速度合成速度合成說明說明： galileo速度變換是基于長度速度變換是基于長度測測量和時間間隔測量的量和時間間隔測量的絕對性的基礎(chǔ)上的。絕對性的基礎(chǔ)上的。 長度和時間間隔的測量值與參照系無關(guān)，即時間長度和時間間隔的測量值與參照系無關(guān)，即時間和空間具有絕對意義和空間具有絕對意義絕對時間絕對時間和和絕

26、對空間絕對空間參照系相對運動為參照系相對運動為平動平動（無轉(zhuǎn)動）（無轉(zhuǎn)動）解解：去程船的行駛速度為：去程船的行駛速度為 例例1 1 一條寬度為一條寬度為2l 的河，河水流速沿河的橫向按的河，河水流速沿河的橫向按的分布（岸邊流速為的分布（岸邊流速為0 0，河心流速為，河心流速為u0 0）。今有一小船以勻速率）。今有一小船以勻速率 v 垂直河岸垂直河岸向?qū)Π缎旭偅捎谒髯饔?，船沿水流方向漂移。?dāng)船行至河中央時，因故向?qū)Π缎旭?，由于水流作用，船沿水流方向漂移。?dāng)船行至河中央時，因故返航，隨以勻速率返航，隨以勻速率v /2/2 垂直于岸邊駛回。忽略船在調(diào)頭時的加、減速過程，垂直于岸邊駛回。忽略船在調(diào)

27、頭時的加、減速過程，求船駛回本岸時偏離出發(fā)點的距離。求船駛回本岸時偏離出發(fā)點的距離。02)1 (1 ulyuxyovuvuvxvvydylyvudx20)/1 (102 )/1 (1ulydtdxvdtdy即即1x2xdylyvudx20)/1 (1lxdylyvudx0200)/1 (11lvux32 01vu2v回回程船的行駛速度為程船的行駛速度為uvx2vvydylyvudx20)/1 (12即即020)/1 (1221lxxdylyvudxlvuxx34 012lvulvuxx0012234 于是于是解解：由牛頓第二定律，有：由牛頓第二定律，有 例例2 2 一物體由高空自由下落，空氣阻力正比于速率，即一物體由高空自由下落，空氣阻力正比于速率，即 ，求下落過程中速度與時間的變化關(guān)系。求下落過