高中數(shù)學(xué)第二章圓錐曲線與方程2.2雙曲線2.2.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)案新人教A版選修110912297

1、高中數(shù)學(xué)選修精品教學(xué)資料2.2.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.理解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程(重點(diǎn))2.掌握雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其求法(重點(diǎn))3.會(huì)利用雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程解決簡(jiǎn)單的問題(難點(diǎn))自 主 預(yù) 習(xí)·探 新 知1雙曲線的定義把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)f1,f2距離的差的絕對(duì)值等于非零常數(shù)(小于|f1f2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線,這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距思考：(1)雙曲線定義中,將“小于|f1f2|”改為“等于|f1f2|”或“大于|f1f2|”的常數(shù),其他條件不變,點(diǎn)的軌跡是什么？(2)雙曲線的定義中,若|mf1|mf2|2a(

2、常數(shù)),且2a<|f1f2|,則點(diǎn)m的軌跡是什么？提示(1)當(dāng)距離之差的絕對(duì)值等于|f1f2|時(shí),動(dòng)點(diǎn)的軌跡是兩條射線,端點(diǎn)分別是f1,f2,當(dāng)距離之差的絕對(duì)值大于|f1f2|時(shí),動(dòng)點(diǎn)的軌跡不存在(2)點(diǎn)m在雙曲線的右支上2雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上標(biāo)準(zhǔn)方程1(a0,b0)1(a0,b0)焦點(diǎn)f1(c,0),f1(0,c),f2(c,0)f2(0,c)a,b,c的關(guān)系c2a2b2基礎(chǔ)自測(cè)1思考辨析(1)在雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中,a,b,c之間的關(guān)系與橢圓中a,b,c之間的關(guān)系相同()(2)點(diǎn)a(1,0),b(1,0),若|ac|bc|2,則點(diǎn)c的軌跡是雙曲線()(3)在雙曲線標(biāo)準(zhǔn)

3、方程1中,a0,b0,且ab.()答案(1)×(2)×(3)×2雙曲線1的焦距為()a3b4c3d4dc210212,所以c2,從而焦距為4.3已知雙曲線的a5,c7,則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為() 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：97792079】a.1b.1c.1或1d.0或0cb2c2a2725224,故選c.合 作 探 究·攻 重 難雙曲線的定義及應(yīng)用若f1,f2是雙曲線1的兩個(gè)焦點(diǎn)(1)若雙曲線上一點(diǎn)m到它的一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于16,求點(diǎn)m到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離(2)若點(diǎn)p是雙曲線上的一點(diǎn),且f1pf260°,求f1pf2的面積思路探究(1)直接利用定義求解(2)在

4、f1pf2中利用余弦定理求|pf1|·|pf2|.解(1)設(shè)|mf1|16,根據(jù)雙曲線的定義知|mf2|16|6,即|mf2|16±6.解得|mf2|10或|mf2|22.(2)由1,得a3,b4,c5.由定義和余弦定理得|pf1|pf2|±6,|f1f2|2|pf1|2|pf2|22|pf1|pf2|cos 60°,所以102(|pf1|pf2|)2|pf1|·|pf2|,所以|pf1|·|pf2|64,sf1pf2|pf1|·|pf2|·sin f1pf2×64×16.規(guī)律方法求雙曲線中的焦

5、點(diǎn)三角形pf1f2面積的方法(1)根據(jù)雙曲線的定義求出|pf1|pf2|2a；利用余弦定理表示出|pf1|、|pf2|、|f1f2|之間滿足的關(guān)系式；通過配方,利用整體的思想方法求出|pf1|·|pf2|的值；利用公式spf1f2×|pf1|·|pf2|sinf1pf2求得面積.(2)利用公式spf1f2×|f1f2|×|yp|求得面積.跟蹤訓(xùn)練1(1)已知定點(diǎn)f1(2,0),f2(2,0),在平面內(nèi)滿足下列條件的動(dòng)點(diǎn)p的軌跡中為雙曲線的是()a|pf1|pf2|±3b|pf1|pf2|±4c|pf1|pf2|±5

6、d|pf1|2|pf2|2±4a|f1f2|4,根據(jù)雙曲線的定義知選a.(2)已知定點(diǎn)a的坐標(biāo)為(1,4),點(diǎn)f是雙曲線1的左焦點(diǎn),點(diǎn)p是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn),則|pf|pa|的最小值為_.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：97792080】9由雙曲線的方程可知a2,設(shè)右焦點(diǎn)為f1,則f1(4,0)|pf|pf1|2a4,即|pf|pf1|4,所以|pf|pa|pf1|pa|4|af1|4,當(dāng)且僅當(dāng)a,p,f1三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào),此時(shí)|af1|5,所以|pf|pa|af1|49,即|pf|pa|的最小值為9.求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程根據(jù)下列條件,求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)a4,經(jīng)過點(diǎn)a；(2)與雙曲線1有相同的焦點(diǎn),

7、且經(jīng)過點(diǎn)(3,2)；(3)過點(diǎn)p,q且焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上思路探究(1)結(jié)合a的值設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式,將點(diǎn)a的坐標(biāo)代入求解(2)因?yàn)榻裹c(diǎn)相同,所以所求雙曲線的焦點(diǎn)也在x軸上,且c216420,利用待定系數(shù)法求解,或設(shè)出統(tǒng)一方程求解(3)雙曲線焦點(diǎn)的位置不確定,可設(shè)出一般方程求解解(1)當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí),設(shè)所求標(biāo)準(zhǔn)方程為1(b>0),把點(diǎn)a的坐標(biāo)代入,得b2×<0,不符合題意；當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí),設(shè)所求標(biāo)準(zhǔn)方程為1(b>0),把a(bǔ)點(diǎn)的坐標(biāo)代入,得b29.故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)法一：焦點(diǎn)相同,設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a>0,b>0),c21642

8、0,即a2b220.雙曲線經(jīng)過點(diǎn)(3,2),1.由得a212,b28,雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.法二：設(shè)所求雙曲線的方程為1(4<<16)雙曲線過點(diǎn)(3,2),1,解得4或14(舍去)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(3)設(shè)雙曲線的方程為ax2by21,ab<0.點(diǎn)p,q在雙曲線上,解得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.規(guī)律方法1.求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟(1)確定雙曲線的類型,并設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求出a2,b2的值2當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸不確定時(shí),需分焦點(diǎn)在x軸上和y軸上兩種情況討論,特別地,當(dāng)已知雙曲線經(jīng)過兩個(gè)點(diǎn)時(shí),可設(shè)雙曲線方程為ax2by21(ab<0)來(lái)求解跟蹤訓(xùn)練2(1)與橢圓y2

9、1共焦點(diǎn)且過點(diǎn)p(2,1)的雙曲線方程是()a.y21b.y21c.y21 dx21c設(shè)所求雙曲線方程為1(a>0,b>0),由題意得,解得所以所求雙曲線方程為y21.(2)已知雙曲線中心在坐標(biāo)原點(diǎn)且一個(gè)焦點(diǎn)為f1(,0),點(diǎn)p位于該雙曲線上,線段pf1的中點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2),則該雙曲線的方程是()a.y21 bx21c.1 d.1b由雙曲線的焦點(diǎn)可知c,線段pf1的中點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2),所以設(shè)右焦點(diǎn)為f2,則有pf2x軸,且pf24,點(diǎn)p在雙曲線右支上所以pf16,所以pf1pf26422a,所以a1,b2c2a24,所以雙曲線的方程為x21,選b.與雙曲線有關(guān)的軌跡問題探究問題

10、1到兩定點(diǎn)f1,f2的距離之差是常數(shù)(小于|f1f2|)的點(diǎn)的軌跡是雙曲線的兩支還是一支？提示：一支2求以兩定點(diǎn)f1,f2為焦點(diǎn)的雙曲線方程時(shí),應(yīng)如何建系？提示：以直線f1f2和線段f1f2的垂直平分線分別為x軸和y軸建系如圖2­2­1,在abc中,已知|ab|4,且三內(nèi)角a,b,c滿足2sin asin c2sinb,建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,求頂點(diǎn)c的軌跡方程圖2­2­1思路探究解以ab邊所在的直線為x軸,ab的垂直平分線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系,如圖所示,則a(2,0),b(2,0)由正弦定理,得sin a,sinb,sin c(r為abc的外接圓半徑)

11、2sin asin c2sinb,2|bc|ab|2|ac|,即|ac|bc|2<|ab|.由雙曲線的定義知,點(diǎn)c的軌跡為雙曲線的右支(除去與x軸的交點(diǎn))由題意,設(shè)所求軌跡方程為1(x>a),a,c2,b2c2a26.即所求軌跡方程為1(x>)規(guī)律方法求與雙曲線有關(guān)的點(diǎn)的軌跡問題的方法(1)列出等量關(guān)系,化簡(jiǎn)得到方程(2)尋找?guī)缀侮P(guān)系,由雙曲線的定義,得出對(duì)應(yīng)的方程提醒：雙曲線的焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸是x軸還是y軸檢驗(yàn)所求的軌跡對(duì)應(yīng)的是雙曲線的一支還是兩支跟蹤訓(xùn)練3如圖2­2­2所示,已知定圓f1：x2y210x240,定圓f2：x2y210x90,動(dòng)圓m與定圓

12、f1,f2都外切,求動(dòng)圓圓心m的軌跡方程. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：97792081】圖2­2­2解圓f1：(x5)2y21,圓心f1(5,0),半徑r11.圓f2：(x5)2y242,圓心f2(5,0),半徑r24.設(shè)動(dòng)圓m的半徑為r,則有|mf1|r1,|mf2|r4,|mf2|mf1|3<10|f1f2|.點(diǎn)m的軌跡是以f1,f2為焦點(diǎn)的雙曲線的左支,且a,c5,于是b2c2a2.動(dòng)圓圓心m的軌跡方程為1.當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)·固 雙 基1已知m,nr,則“mn0”是“方程1表示雙曲線”的()a充分不必要條件b必要不充分條件c充要條件d既不充分也不必要條件c方程1表示雙曲線,必有mn0；當(dāng)mn0時(shí),方程1表示雙曲線,所以“mn0”是“方程1表示雙曲線”的充要條件2以橢圓1的焦點(diǎn)為頂點(diǎn),以這個(gè)橢圓的長(zhǎng)軸的端點(diǎn)為焦點(diǎn)的雙曲線的方程是()a.y21by21c.1 d.1b橢圓1的焦點(diǎn)為f1(0,1),f2(0,1),長(zhǎng)軸的端點(diǎn)a1(0,2),a2(0,2),所以對(duì)于所求雙曲線a1,c2,b23,焦點(diǎn)在y軸上,雙曲線的方程為y21.3若雙曲線e：1的左,右焦點(diǎn)分別為f1,f2,點(diǎn)p在雙曲線e上,且|pf1|3,則|pf2|等于()a11b9c5d3b由題意知|pf2|3|6,即|pf2|3±6,解得|pf2|9或|pf2|3(舍去)4設(shè)m是常數(shù),若點(diǎn)f(