第二章函數(shù)的微分74832

1、函數(shù)的微分函數(shù)的微分 前面我們從變化率問題引出了導數(shù)概念，它是前面我們從變化率問題引出了導數(shù)概念，它是微分學的一個重要概念。在工程技術中，還會遇微分學的一個重要概念。在工程技術中，還會遇到與導數(shù)密切相關的另一類問題，這就是當自變到與導數(shù)密切相關的另一類問題，這就是當自變量有一個微小的增量時，要求計算函數(shù)的相應的量有一個微小的增量時，要求計算函數(shù)的相應的增量。一般來說，計算函數(shù)增量的準確值是比較增量。一般來說，計算函數(shù)增量的準確值是比較繁難的，所以需要考慮用簡便的計算方法來計算繁難的，所以需要考慮用簡便的計算方法來計算它的近似值。由此引出了微分學的另一個基本概它的近似值。由此引出了微分學的另一個

2、基本概念念微分。微分。一、問題的提出一、問題的提出實例實例: :正方形金屬薄片受熱后面積的改變量正方形金屬薄片受熱后面積的改變量.,00 xxx 變到變到設邊長由設邊長由0 x0 xx x ,20 xa 正方形面積正方形面積20 xa 2020)(xxxa .)(220 xxx )1(xx 0 xx 0:)1(;,的主要部分的主要部分且為且為的線性函數(shù)的線性函數(shù)ax )2(2)( x :)2(.,很小時可忽略很小時可忽略當當?shù)母唠A無窮小的高階無窮小xx 再例如再例如,.,03yxxxy 求函數(shù)的改變量求函數(shù)的改變量時時為為處的改變量處的改變量在點在點設函數(shù)設函數(shù)3030)(xxxy .)()(

3、3332020 xxxxx )1()2(,很小時很小時當當 x ),()2(xox 的高階無窮小的高階無窮小是是.320 xxy 既容易計算又是較好的近似值既容易計算又是較好的近似值問題問題: :這個線性函數(shù)這個線性函數(shù)(改變量的主要部分改變量的主要部分)是否是否所有函數(shù)的改變量都有所有函數(shù)的改變量都有?它是什么它是什么?如何求如何求?二、微分的定義二、微分的定義定義定義.),(,)(,)(),()()()(,)(000000000 xadyxdfdyxxxfyxaxxfyxaxoxaxfxxfyxxxxfyxxxx 即即或或記作記作的微分的微分相應于自變量增量相應于自變量增量在點在點為函數(shù)為

4、函數(shù)并且稱并且稱可微可微在點在點則稱函數(shù)則稱函數(shù)無關的常數(shù)無關的常數(shù)是與是與其中其中成立成立如果如果在這區(qū)間內在這區(qū)間內及及在某區(qū)間內有定義在某區(qū)間內有定義設函數(shù)設函數(shù).的線性主部的線性主部叫做函數(shù)增量叫做函數(shù)增量微分微分ydy ( (微分的實質微分的實質) )由定義知由定義知: :;)1(的線性函數(shù)的線性函數(shù)是自變量的改變量是自變量的改變量xdy ;)()2(高階無窮小高階無窮小是比是比 xxodyy ;,0)3(是等價無窮小是等價無窮小與與時時當當ydya dyy xaxo )(1).0(1x;)(,)4(0有關有關和和但與但與無關的常數(shù)無關的常數(shù)是與是與xxfxa ).(,)5(線性主部

5、線性主部很小時很小時當當dyyx 三、可微的條件三、可微的條件定理定理).(,)()(000 xfaxxfxxf 且且處可導處可導在點在點數(shù)數(shù)可微的充要條件是函可微的充要條件是函在點在點函數(shù)函數(shù)證證(1) 必要性必要性,)(0可可微微在在點點xxf),( xoxay ,)(xxoaxy xxoaxyxx )(limlim00則則.a ).(,)(00 xfaxxf 且且可導可導在點在點即函數(shù)即函數(shù)(2) 充分性充分性,)(0可可導導在在點點函函數(shù)數(shù)xxf),(lim00 xfxyx ,)(0 xfxy即即),()(0 xxxfy 從而從而),0(0 x),()(0 xoxxf .)(,)(00

6、axfxxf 且且可微可微在點在點函數(shù)函數(shù)).(.0 xfa 可微可微可導可導.)(),(,)(xxfdyxdfdyxxfy 即即或或記作記作微分微分稱為函數(shù)的稱為函數(shù)的的微分的微分在任意點在任意點函數(shù)函數(shù)由微分的定義及上述定理可知由微分的定義及上述定理可知處可導處可導在在若若0)(xxfxxfdyxxf )()(00 處可微，且處可微，且在在則則時時當當0)(0 xf1)(limlim000 xxfydyyxx )0(xdyy )( yodyy yxxfyydyyxx )(limlim000 xyxfx )(1lim000 這表明這表明的條件下的條件下在在0)(0 xf時時當當0 xdyy

7、不僅是比不僅是比x 高階的無窮小，而且也是比高階的無窮小，而且也是比y 高階的無窮小，因此高階的無窮小，因此的主要部分的主要部分是是 ydy .,xdxdxxx 即即記作記作稱為自變量的微分稱為自變量的微分的增量的增量通常把自變量通常把自變量.)(dxxfdy ).(xfdxdy .微微商商導導數(shù)數(shù)也也叫叫該該函函數(shù)數(shù)的的導導數(shù)數(shù)之之商商等等于于與與自自變變量量的的微微分分即即函函數(shù)數(shù)的的微微分分dxdy四、微分的幾何意義四、微分的幾何意義幾何意義幾何意義:(:(如圖如圖) )xyo)(xfy 0 xmt） xx 0 p nx ydy)( xo .,對應的增量對應的增量就是切線縱坐標就是切線縱

8、坐標坐標增量時坐標增量時是曲線的縱是曲線的縱當當dyy .,mnmpmx可近似代替曲線段可近似代替曲線段切線段切線段的附近的附近在點在點很小時很小時當當 五、微分的求法五、微分的求法dxxfdy)( 求法求法: : 計算函數(shù)的導數(shù)計算函數(shù)的導數(shù), 乘以自變量的微分乘以自變量的微分.1.基本初等函數(shù)的微分公式基本初等函數(shù)的微分公式xdxxxdxdxxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxddxxxdcdcotcsc)(csctansec)(seccsc)(cotsec)(tansin)(coscos)(sin)(0)(221 dxxxarcddxxxddxxxddxxxddxxxddxaxx

9、ddxeedadxaadaxxxx222211)cot(11)(arctan11)(arccos11)(arcsin1)(lnln1)(log)(ln)( 2. 函數(shù)和、差、積、商的微分法則函數(shù)和、差、積、商的微分法則2)()()()(vudvvduvududvvduuvdcducuddvduvud 例例1 1.),ln(2dyexyx求求設設 解解,2122xxexxey .2122dxexxedyxx 例例2 2.,cos31dyxeyx求求設設 解解)(cos)(cos3131xdeedxdyxx .sin)(cos,3)(3131xxeexx dxxedxexdyxx)sin()3(c

10、os3131 .)sincos3(31dxxxex 六、微分形式的不變性六、微分形式的不變性),()(xfxfy 有導數(shù)有導數(shù)設函數(shù)設函數(shù);)(,)1(dxxfdyx 是自變量時是自變量時若若則則微函數(shù)微函數(shù)的可的可即另一變量即另一變量是中間變量時是中間變量時若若),(,)2(txtx ,)(dxdtt .)(dxxfdy 結論結論：的微分形式總是的微分形式總是函數(shù)函數(shù)是自變量還是中間變量是自變量還是中間變量無論無論)(,xfyx dxxfdy)( 微分形式的不變性微分形式的不變性例例3 3.),12sin(dyxy求求設設 解解. 12,sin xuuyududycos )12()12cos

11、( xdxdxx2)12cos( .)12cos(2dxx 例例4 4.,sindybxeyax求求設設 解解)(sin)(cosaxdebxbxbxdedyaxax dxaebxbdxbxeaxax)(sincos .)sincos(dxbxabxbeax 例例5dxdydybaeyxxy,求求設設 解一解一 兩邊同時求微分得兩邊同時求微分得)()(yxxybaded )()()(yxxyxybdaadbxyde lnlnbdyadxbaydxxdyeyxxy bdyadxxdyydxlnln dxbxyady lnlnbxyadxdylnln 解二解二兩邊取對數(shù)得兩邊取對數(shù)得byaxxyl

12、nln 兩邊對兩邊對 x 求導，有求導，有byayxylnln bxyadxdylnln dxbxyady lnln由上面的例子還可以看出，求導數(shù)與求微分的方法由上面的例子還可以看出，求導數(shù)與求微分的方法在本質上并沒有區(qū)別，因此把兩者統(tǒng)稱為在本質上并沒有區(qū)別，因此把兩者統(tǒng)稱為微分法微分法七、微分在近似計算中的應用七、微分在近似計算中的應用1.計算函數(shù)的近似值計算函數(shù)的近似值;)().1(0附近的近似值附近的近似值在點在點求求xxxf )()(00 xfxxfy .)(0 xxf .)()()(000 xxfxfxxf )(很小時很小時x ;0)().2(附近的近似值附近的近似值在點在點求求 x

13、xf., 00 xxx 令令,)()()(000 xxfxfxxf .)0()0()(xffxf 2.常用近似公式常用近似公式)(很小時很小時x.)1ln()5(;1)4();(tan)3();(sin)2(;111)1(xxxexxxxxxxnxxn 為弧度為弧度為弧度為弧度證明證明,1)()1(nxxf 設設,)1(1)(11 nxnxf.1)0(, 1)0(nff xffxf)0()0()( .1nx 八、小結八、小結微分學所要解決的兩類問題微分學所要解決的兩類問題:函數(shù)的變化率問題函數(shù)的變化率問題導數(shù)的概念導數(shù)的概念函數(shù)的增量問題函數(shù)的增量問題微分的概念微分的概念求導數(shù)與微分的方法求導

14、數(shù)與微分的方法,叫做叫做微分法微分法.研究微分法與導數(shù)理論及其應用的科學研究微分法與導數(shù)理論及其應用的科學,叫做叫做微分學微分學.導數(shù)與微分的聯(lián)系導數(shù)與微分的聯(lián)系:.可微可微可導可導 導數(shù)與微分的區(qū)別導數(shù)與微分的區(qū)別:.,)(),()(. 10000它是無窮小它是無窮小實際上實際上定義域是定義域是它的它的的線性函數(shù)的線性函數(shù)是是而微分而微分處的導數(shù)是一個定數(shù)處的導數(shù)是一個定數(shù)在點在點函數(shù)函數(shù)rxxxxfdyxfxxf )(limlim0000 xxxfdyxxxx . 0 .)(,()()()(,)(,()()(,. 200000000的縱坐標增量的縱坐標增量方程在點方程在點處的切線處的切線在點在點是曲線是曲線而微而微處切線的斜率處切線的斜率點點在在是曲線是曲線從幾何意義上來看從幾何意義上來看xxfxxfyxxxfdyxfxxfyxf 近似計算的基本公式近似計算的基本公式,很很小小時時當當 x 00 xxxxdyy .)(0 xxf ),()()()(000 xxxfxfxf ,0時時當當 x.)0()0()(xffxf 思考題思考題 因因為為一一元元函函數(shù)數(shù))(xfy 在