數(shù)學(xué)文一輪教學(xué)案：第十三章　推理與證明 Word版含解析

1、高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5第十三章推理與證明考綱展示命題探究1合情推理合情推理包括歸納推理和類比推理，二者區(qū)別如下：歸納推理類比推理定義由某類事物的部分對(duì)象具有某些特征，推出該類事物的全部對(duì)象都具有這些特征的推理，或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理由兩類對(duì)象具有某些類似特征和其中一類對(duì)象的某些已知特征，推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理特點(diǎn)由部分到整體，由個(gè)別到一般的推理由特殊到特殊的推理一般步驟(1)通過觀察個(gè)別對(duì)象發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；(2)從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確的一般性命題(猜想)(1)找出兩類對(duì)象之間的相似性或一致性；(2)用一類對(duì)象的性質(zhì)去推測(cè)另一類對(duì)象的性質(zhì)，得出一個(gè)明

2、確的命題(猜想)2演繹推理演繹推理是指從一般性的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論它是由一般到特殊的推理，“三段論”是它的一般模式，包括：(1)大前提已知的一般原理；(2)小前提所研究的特殊情況；(3)結(jié)論根據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況作出的判斷注意點(diǎn)合情推理與演繹推理的結(jié)論的正確性(1)合情推理得出的結(jié)論具有猜測(cè)性，不一定正確，但是，在數(shù)學(xué)研究中，得到一個(gè)新結(jié)論之前，合情推理能幫助猜測(cè)和發(fā)現(xiàn)結(jié)論；證明一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論之前，合情推理能提供證明的思路和方向(2)在演繹推理中，若大前提、小前提、推理形式三者中有一個(gè)是錯(cuò)誤的，所得的結(jié)論就是錯(cuò)誤的. 1思維辨析(1)歸納推理與類比推理都是由特殊到一般的推理()

3、(2)在類比時(shí)，平面中的三角形與空間中的平行六面體作為類比對(duì)象較為合適()(3)“所有3的倍數(shù)都是9的倍數(shù)，某數(shù)m是3的倍數(shù)，則m一定是9的倍數(shù)”，這是三段論推理，但其結(jié)論是錯(cuò)誤的()(4)在演繹推理中，只要符合演繹推理的形式，結(jié)論就一定正確()答案(1)×(2)×(3)(4)×2因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)ylogax(a>0，且a1)是增函數(shù)，而ylogx是對(duì)數(shù)函數(shù)，所以ylogx是增函數(shù)，上面的推理錯(cuò)誤的是()a大前提 b小前提c推理形式 d以上都是答案a解析ylogax是增函數(shù)，這個(gè)大前提是錯(cuò)誤的，從而導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)誤選a.3設(shè)函數(shù)f(x)(x>0)，觀察：f1(

4、x)f(x)，f2(x)f(f1(x)，f3(x)f(f2(x)，f4(x)f(f3(x)，根據(jù)以上事實(shí)，由歸納推理可得：當(dāng)nn*且n2時(shí)，fn(x)f(fn1(x)_.答案解析根據(jù)題意知，分子都是x，分母中的常數(shù)項(xiàng)依次是2,4,8,16，可知fn(x)的分母中常數(shù)項(xiàng)為2n，分母中x的系數(shù)為2n1，故fn(x).考法綜述合情推理與演繹推理主要考向：考查利用歸納推理、類比推理去尋求更為一般的、新的結(jié)論，考查演繹推理，主要與立體幾何、解析幾何、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等結(jié)合選擇題與填空題難度不大命題法1合情推理典例1 (1)若數(shù)列an是等差數(shù)列，則數(shù)列bn也為等差數(shù)列類比這一性質(zhì)可知，若正項(xiàng)數(shù)列cn是等比數(shù)列，

5、且dn也是等比數(shù)列，則dn的表達(dá)式應(yīng)為()adnbdncdn ddn(2)有下列各式：1>1,1>，1>2，則按此規(guī)律可猜想此類不等式的一般形式為：_.解析(1)解法一：從商類比開方，從和類比到積，則算術(shù)平均數(shù)可以類比幾何平均數(shù)，故dn的表達(dá)式為dn.解法二：若an是等差數(shù)列，則a1a2anna1d，bna1dna1，即bn為等差數(shù)列；若cn是等比數(shù)列，則c1·c2··cnc·q12(n1)c·q，dnc1·q，即dn為等比數(shù)列，故選d.(2)已知各式可化為如下形式：1>，1>，1>，由歸納推理得1

6、>.答案(1)d(2)1>(nn*)【解題法】1.常見的歸納推理分為數(shù)的歸納和形的歸納兩類(1)數(shù)的歸納包括數(shù)字歸納和式子歸納，解決此類問題時(shí)，需要細(xì)心觀察，尋求相鄰項(xiàng)及項(xiàng)與序號(hào)之間的關(guān)系，同時(shí)還要聯(lián)系相關(guān)的知識(shí)，如等差數(shù)列、等比數(shù)列等(2)形的歸納主要包括圖形數(shù)目歸納和圖形變化規(guī)律歸納2類比推理的應(yīng)用一般為類比定義、類比性質(zhì)和類比方法(1)類比定義：在求解由某種熟悉的定義產(chǎn)生的類比推理型試題時(shí)，可以借助原定義來求解(2)類比性質(zhì)：從一個(gè)特殊式子的性質(zhì)、一個(gè)特殊圖形的性質(zhì)入手，提出類比推理型問題，求解時(shí)要認(rèn)真分析兩者之間的聯(lián)系與區(qū)別，深入思考兩者的轉(zhuǎn)化過程是求解的關(guān)鍵(3)類比方法

7、：有一些處理問題的方法具有類比性，可以把這種方法類比應(yīng)用到其他問題的求解中，注意知識(shí)的遷移命題法2演繹推理典例2設(shè)f(x)3ax22bxc.若abc0，f(0)>0，f(1)>0，求證：(1)a>0且2<<1；(2)方程f(x)0在(0,1)內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根證明(1)f(0)>0，f(1)>0，c>0,3a2bc>0.由abc0，消去b得a>c>0；再由條件abc0，消去c得ab<0且2ab>0，2<<1.(2)證法一：拋物線f(x)3ax22bxc的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，2<<1，<<.又f(

8、0)>0，f(1)>0，而f<0，方程f(x)0在區(qū)間與內(nèi)分別有一個(gè)實(shí)根，故方程f(x)0在(0,1)內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根證法二：f(0)>0，f(1)>0，而fabca<0.故拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)落在區(qū)間(0,1)內(nèi)，即方程f(x)0在(0,1)內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根證法三：4b212ac4(a2c2ac)>0，方程f(x)0有兩個(gè)實(shí)根設(shè)方程的兩根為x1，x2，由根與系數(shù)的關(guān)系得x1x2>0，x1x2>0，故兩根為正又(x11)(x21)2<0，(x11)(x21)>0，故兩根均小于1，命題得證【解題法】演繹推理的應(yīng)用方法(1)在應(yīng)用三段論推

9、理來證明問題時(shí)，首先應(yīng)該明確什么是問題中的大前提和小前提在演繹推理中，只要前提和推理形式是正確的，結(jié)論必定是正確的(2)用三段論證明的基本模式是：大前提已知的一般原理小前提所研究的特殊情況結(jié)論根據(jù)一般原理對(duì)特殊情況做出的判斷1對(duì)二次函數(shù)f(x)ax2bxc(a為非零整數(shù))，四位同學(xué)分別給出下列結(jié)論，其中有且只有一個(gè)結(jié)論是錯(cuò)誤的，則錯(cuò)誤的結(jié)論是()a1是f(x)的零點(diǎn)b1是f(x)的極值點(diǎn)c3是f(x)的極值d點(diǎn)(2,8)在曲線yf(x)上答案a解析由a知abc0；由b知f(x)2axb,2ab0；由c知f(x)2axb，令f(x)0可得x，則f3，則3；由d知4a2bc8.假設(shè)a選項(xiàng)錯(cuò)誤，則，

10、得，滿足題意，故a結(jié)論錯(cuò)誤同理易知當(dāng)b或c或d選項(xiàng)錯(cuò)誤時(shí)不符合題意，故選a.2學(xué)生的語文、數(shù)學(xué)成績均被評(píng)定為三個(gè)等級(jí)，依次為“優(yōu)秀”“合格”“不合格”若學(xué)生甲的語文、數(shù)學(xué)成績都不低于學(xué)生乙，且其中至少有一門成績高于乙，則稱“學(xué)生甲比學(xué)生乙成績好”如果一組學(xué)生中沒有哪位學(xué)生比另一位學(xué)生成績好，并且不存在語文成績相同、數(shù)學(xué)成績也相同的兩位學(xué)生，那么這組學(xué)生最多有 ()a2人 b3人 c4人 d5人答案b解析用a，b，c分別表示優(yōu)秀、及格和不及格顯然，語文成績得a的學(xué)生最多只有一人，語文成績得b的也最多只有1人，得c的也最多只有1人，所以這組學(xué)生的成績?yōu)?ac)，(bb)，(ca)滿足條件，故學(xué)生最

11、多為3人3.觀察下列各式：c40；cc41；ccc42；cccc43；照此規(guī)律，當(dāng)nn*時(shí)，cccc_.答案4n1解析第一個(gè)等式，n1，而右邊式子為40411；第二個(gè)等式，n2，而右邊式子為41421；第三個(gè)等式，n3，而右邊式子為42431；第四個(gè)等式，n4，而右邊式子為43441；歸納可知，第n個(gè)等式的右邊為4n1.4一個(gè)二元碼是由0和1組成的數(shù)字串x1x2xn(nn*)，其中xk(k1,2，n)稱為第k位碼元二元碼是通信中常用的碼，但在通信過程中有時(shí)會(huì)發(fā)生碼元錯(cuò)誤(即碼元由0變?yōu)?，或者由1變?yōu)?)已知某種二元碼x1x2x7的碼元滿足如下校驗(yàn)方程組：其中運(yùn)算定義為：000,011,101

12、,110.現(xiàn)已知一個(gè)這種二元碼在通信過程中僅在第k位發(fā)生碼元錯(cuò)誤后變成了1101101，那么利用上述校驗(yàn)方程組可判定k等于_答案5解析因?yàn)閤4x5x6x711010010110，所以二元碼1101101的前3位碼元都是對(duì)的；因?yàn)閤2x3x6x71001101110，所以二元碼1101101的第6、7位碼元也是對(duì)的；因?yàn)閤1x3x5x710111110110，所以二元碼1101101的第5位碼元是錯(cuò)的，所以k5.5.甲、乙、丙三位同學(xué)被問到是否去過a，b，c三個(gè)城市時(shí)，甲說：我去過的城市比乙多，但沒去過b城市；乙說：我沒去過c城市；丙說：我們?nèi)巳ミ^同一城市由此可判斷乙去過的城市為_答案a解析根

13、據(jù)甲、乙、丙說的可列表得abc甲×乙××丙6.觀察分析下表中數(shù)據(jù)多面體面數(shù)(f)頂點(diǎn)數(shù)(v)棱數(shù)(e)三棱柱569五棱錐6610立方體6812猜想一般凸多面體中f，v，e所滿足的等式是_答案fve2解析由表可知，三棱柱：5692；五棱錐：66102；立方體：68122.由上面的結(jié)論可判定：凸多面體中面數(shù)(f)，頂點(diǎn)數(shù)(v)，棱數(shù)(e)的關(guān)系為fve2.7對(duì)于數(shù)對(duì)序列p：(a1，b1)，(a2，b2)，(an，bn)，記t1(p)a1b1，tk(p)bkmaxtk1(p)，a1a2ak(2kn)，其中maxtk1(p)，a1a2ak表示tk1(p)和a1a2ak兩個(gè)

14、數(shù)中最大的數(shù)(1)對(duì)于數(shù)對(duì)序列p：(2,5)，(4,1)，求t1(p)，t2(p)的值；(2)記m為a，b，c，d四個(gè)數(shù)中最小的數(shù)，對(duì)于由兩個(gè)數(shù)對(duì)(a，b)，(c，d)組成的數(shù)對(duì)序列p：(a，b)，(c，d)和p：(c，d)，(a，b)，試分別對(duì)ma和md兩種情況比較t2(p)和t2(p)的大小；(3)在由五個(gè)數(shù)對(duì)(11,8)，(5,2)，(16,11)，(11,11)，(4,6)組成的所有數(shù)對(duì)序列中，寫出一個(gè)數(shù)對(duì)序列p使t5(p)最小，并寫出t5(p)的值(只需寫出結(jié)論)解(1)t1(p)257，t2(p)1maxt1(p)，241max7,68.(2)t2(p)maxabd，acd，t2(

15、p)maxcdb，cab當(dāng)ma時(shí)，t2(p)maxcdb，cabcdb.因?yàn)閍bdcbd，且acdcbd，所以t2(p)t2(p)當(dāng)md時(shí)，t2(p)maxcdb，cabcab.因?yàn)閍bdcab，且acdcab，所以t2(p)t2(p)所以無論ma還是md，t2(p)t2(p)都成立(3)數(shù)對(duì)序列p：(4,6)，(11,11)，(16,11)，(11,8)，(5,2)的t5(p)值最小，t1(p)10，t2(p)26，t3(p)42，t4(p)50，t5(p)52.1直接證明(1)綜合法綜合法是利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立用p表示

16、已知條件、已有的定義、定理、公理等，用q表示所要證明的結(jié)論，則綜合法可用框圖表示為：(2)分析法分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止用q表示要證明的結(jié)論，則分析法可用框圖表示為：2間接證明反證法(1)定義假設(shè)原命題不成立(即在原命題的條件下，結(jié)論不成立)，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法(2)證明步驟反設(shè)假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)原結(jié)論的反面為真歸謬把“反設(shè)”作為條件，經(jīng)過一系列正確的推理，得出矛盾存真由矛盾結(jié)果斷定反設(shè)錯(cuò)誤

17、，從而肯定原結(jié)論成立注意點(diǎn)使用分析法時(shí)的注意事項(xiàng)(1)分析法是“執(zhí)果索因”，特點(diǎn)是從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”，其逐步推理，實(shí)際上是尋找使結(jié)論成立的充分條件(2)用分析法證明數(shù)學(xué)問題時(shí)，要注意書寫格式的規(guī)范性，常常用“要證(欲證)”“只需證”“即證”等分析到一個(gè)明顯成立的條件，再說明所要證明的數(shù)學(xué)問題成立. 1思維辨析(1)綜合法的思維過程是由因?qū)Ч?，逐步尋找已知的必要條件()(2)分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使結(jié)論成立的充要條件()(3)用反證法證明時(shí)，推出的矛盾不能與假設(shè)矛盾()(4)在解決問題時(shí)，常常用分析法尋找解題的思路與方法，再用綜合法展現(xiàn)解決問題的過程()答案(1

18、)(2)×(3)×(4)2證明不等式<的最適合的方法是()a綜合法 b分析法c間接證法 d合情推理法答案b解析要證明不等式<，只要證()2<()2，即證92<92，故只要證<，即證14<18.以上證明不等式所用的最適合的方法是分析法3用反證法證明命題“若a，bn，ab能被3整除，那么a，b中至少有一個(gè)能被3整除”時(shí)，假設(shè)應(yīng)為()aa，b都能被3整除ba，b都不能被3整除cb不能被3整除da不能被3整除答案b解析由反證法的定義可知，否定結(jié)論，即“a，b中至少有一個(gè)能被3整除”的否定是“a，b都不能被3整除”，故選b.考法綜述高考中，經(jīng)常以不

19、等式、立體幾何、數(shù)列等知識(shí)為載體，考查分析法、綜合法和反證法的原理，結(jié)合具體問題考查學(xué)生運(yùn)用三種方法解決問題的能力命題法1直接證明典例1已知ab>0，求證：2a3b32ab2a2b.證明要證明2a3b32ab2a2b成立，只需證：2a3b32ab2a2b0，即2a(a2b2)b(a2b2)0，即(ab)(ab)(2ab)0.ab>0，ab0，ab>0,2ab>0，從而(ab)(ab)(2ab)0成立，2a3b32ab2a2b.【解題法】應(yīng)用分析法與綜合法證明時(shí)需注意的問題(1)分析法證明時(shí)應(yīng)注意的問題分析法采用逆向思維，當(dāng)已知條件與結(jié)論之間的聯(lián)系不夠明顯、直接，或證明過

20、程中所需要用的知識(shí)不太明確、具體時(shí)，往往采用分析法，特別是含有根號(hào)、絕對(duì)值的等式或不等式，從正面不易推導(dǎo)時(shí)，常考慮用分析法應(yīng)用分析法的關(guān)鍵在于需保證分析過程的每一步都是可逆的，它的常用書面表達(dá)形式為“要證只需證”或用“”注意用分析法證明時(shí)，一定要嚴(yán)格按照格式書寫(2)綜合法與分析法應(yīng)用的注意點(diǎn)綜合法與分析法各有特點(diǎn)，在解決實(shí)際問題時(shí)，常把分析法與綜合法綜合起來運(yùn)用，通常用分析法分析，綜合法書寫，這一點(diǎn)在立體幾何中應(yīng)用最為明顯同時(shí)，在數(shù)列、三角函數(shù)、解析幾何中也大多是利用分析法分析，用綜合法證明的辦法來證明相關(guān)問題對(duì)于較復(fù)雜的問題，可以采用兩頭湊的方法，即通過分析法找出某個(gè)與結(jié)論等價(jià)(或充分)的

21、中間結(jié)論，然后通過綜合法由條件證明這個(gè)中間結(jié)論，使原命題得證命題法2間接證明典例2設(shè)an是公比為q的等比數(shù)列(1)推導(dǎo)an的前n項(xiàng)和公式；(2)設(shè)q1，證明數(shù)列an1不是等比數(shù)列解(1)設(shè)an的前n項(xiàng)和為sn，當(dāng)q1時(shí)，sna1a1a1na1；當(dāng)q1時(shí)，sna1a1qa1q2a1qn1，qsna1qa1q2a1qn，得，(1q)sna1a1qn，sn，sn(2)證明：假設(shè)an1是等比數(shù)列，則對(duì)任意的kn*，(ak11)2(ak1)(ak21)，a2ak11akak2akak21，aq2k2a1qka1qk1·a1qk1a1qk1a1qk1.a10，2qkqk1qk1.q0，q22q1

22、0，q1，這與已知矛盾假設(shè)不成立，故an1不是等比數(shù)列【解題法】1.用反證法證明命題的基本步驟(1)反設(shè)，設(shè)要證明的結(jié)論的反面成立(2)歸謬，從反設(shè)入手，通過推理得出與已知條件或公理、定理矛盾(3)否定反設(shè)，得出原命題結(jié)論成立2使用反證法證明問題時(shí)，準(zhǔn)確地做出反設(shè)(即否定結(jié)論)是正確運(yùn)用反證法的前提，常見的“結(jié)論詞”與“反設(shè)詞”列表如下：1用反證法證明命題“設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，則方程x3axb0至少有一個(gè)實(shí)根”時(shí)，要做的假設(shè)是()a方程x3axb0沒有實(shí)根b方程x3axb0至多有一個(gè)實(shí)根c方程x3axb0至多有兩個(gè)實(shí)根d方程x3axb0恰好有兩個(gè)實(shí)根答案a解析因?yàn)橹辽儆幸粋€(gè)的反面為一個(gè)也沒有，所以

23、要做的假設(shè)為方程x3axb0沒有實(shí)根，故選a.2.已知數(shù)列an滿足：a1n*，a136，且an1(n1,2，)記集合man|nn*(1)若a16，寫出集合m的所有元素；(2)若集合m存在一個(gè)元素是3的倍數(shù)，證明：m的所有元素都是3的倍數(shù)；(3)求集合m的元素個(gè)數(shù)的最大值解(1)6,12,24.(2)證明：因?yàn)榧蟤存在一個(gè)元素是3的倍數(shù)，所以不妨設(shè)ak是3的倍數(shù)由an1可歸納證明對(duì)任意的nk，an是3的倍數(shù)如果k1，則m的所有元素都是3的倍數(shù)如果k>1，因?yàn)閍k2ak1或ak2ak136，所以2ak1是3的倍數(shù)，于是ak1是3的倍數(shù)類似可得，ak2，a1都是3的倍數(shù)從而對(duì)任意的n1，an

24、是3的倍數(shù)，因此m的所有元素都是3的倍數(shù)綜上，若集合m存在一個(gè)元素是3的倍數(shù)，則m的所有元素都是3的倍數(shù)(3)由a136，an可歸納證明an36(n2,3，)因?yàn)閍1是正整數(shù)，a2所以a2是2的倍數(shù)從而當(dāng)n3時(shí)，an是4的倍數(shù)如果a1是3的倍數(shù)，由(2)知對(duì)所有正整數(shù)n，an是3的倍數(shù)因此當(dāng)n3時(shí)，an12,24,36這時(shí)m的元素個(gè)數(shù)不超過5.如果a1不是3的倍數(shù)，由(2)知對(duì)所有正整數(shù)n，an不是3的倍數(shù)因此當(dāng)n3時(shí)，an4,8,16,20,28,32這時(shí)m的元素個(gè)數(shù)不超過8.當(dāng)a11時(shí)，m1,2,4,8,16,20,28,32有8個(gè)元素綜上可知，集合m的元素個(gè)數(shù)的最大值為8.3設(shè)an是首項(xiàng)

25、為a，公差為d的等差數(shù)列(d0)，sn是其前n項(xiàng)的和記bn，nn*，其中c為實(shí)數(shù)(1)若c0，且b1，b2，b4成等比數(shù)列，證明：snkn2sk(k，nn*)；(2)若bn是等差數(shù)列，證明：c0.證明由題意得，snnad.(1)由c0，得bnad.又因?yàn)閎1，b2，b4成等比數(shù)列，所以bb1b4，即2a，化簡(jiǎn)得d22ad0.因?yàn)閐0，所以d2a.因此，對(duì)于所有的mn*，有smm2a.從而對(duì)于所有的k，nn*，有snk(nk)2an2k2an2sk.(2)設(shè)數(shù)列bn的公差是d1，則bnb1(n1)d1，即b1(n1)d1，nn*，代入sn的表達(dá)式，整理得，對(duì)于所有的nn*，有n3n2cd1nc(

26、d1b1)令ad1d，bb1d1ad，dc(d1b1)，則對(duì)于所有的nn*，有an3bn2cd1nd.(*)在(*)式中分別取n1,2,3,4，得abcd18a4b2cd127a9b3cd164a16b4cd1，從而有由，得a0，cd15b，代入方程，得b0，從而cd10.即d1d0，b1d1ad0，cd10.若d10，則由d1d0，得d0，與題設(shè)矛盾，所以d10.又因?yàn)閏d10，所以c0.創(chuàng)新考向與演繹推理有關(guān)的新定義問題是高考命制創(chuàng)新型試題的一個(gè)熱點(diǎn)，常與集合、函數(shù)等結(jié)合，且考查的頻次較高，多見于新概念、新法則、新運(yùn)算等創(chuàng)新例題如果函數(shù)f(x)在區(qū)間d上是凸函數(shù)，那么對(duì)于區(qū)間d內(nèi)的任意x1

27、，x2，xn，都有f.若ysinx在區(qū)間(0，)上是凸函數(shù)，那么在abc中，sinasinbsinc的最大值是_答案解析依題意，ysinx在(0，)上是凸函數(shù)，那么對(duì)于區(qū)間(0，)上有sin，從而sinasinbsinc.創(chuàng)新練習(xí)1設(shè)整數(shù)n4，集合x1,2,3，n令集合s(x，y，z)|x，y，zx，且三條件x<y<z，y<z<x，z<x<y恰有一個(gè)成立，若(x，y，z)和(z，w，x)都在s中，則下列選項(xiàng)正確的是()a(y，z，w)s，(x，y，w)sb(y，z，w)s，(x，y，w)sc(y，z，w)s，(x，y，w)sd(y，z，w)s，(x，y，w)

28、s答案b解析取x2，y3，z4，w1顯然滿足(x，y，z)和(z，w，x)都在s中，此時(shí)(y，z，w)(3,4,1)s，(x，y，w)(2,3,1)s，故a、c、d均錯(cuò)誤，只有b成立，故選b.2我們將具有下列性質(zhì)的所有函數(shù)組成集合m：函數(shù)yf(x)(xd)，對(duì)任意x，y，d均滿足ff(x)f(y)，當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)等號(hào)成立(1)若定義在(0，)上的函數(shù)f(x)m，試比較f(3)f(5)與2f(4)的大小(2)設(shè)函數(shù)g(x)x2，求證：g(x)m.解(1)f，即f(3)f(5)2f(4)，但35，所以f(3)f(5)<2f(4)(2)證明：任取x，yr，則g2，g(x)g(y)，所以gg(x

29、)g(y)0，當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)等號(hào)成立，則g(x)m.創(chuàng)新指導(dǎo)1準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化：解決新定義問題時(shí)，一定要讀懂新定義的本質(zhì)含義，及符號(hào)語言，緊扣所給定義轉(zhuǎn)化成題目要求的形式，切記不要與已有的概念或定義相混淆2方法選?。簩?duì)新定義問題，可結(jié)合特例法、篩選法等方法，并注意運(yùn)用集合的有關(guān)性質(zhì)求解，要注意培養(yǎng)學(xué)生領(lǐng)悟新信息的能力古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家研究過各種多邊形數(shù)如三角形數(shù)1,3,6,10，第n個(gè)三角形數(shù)為n2n.記第n個(gè)k邊形數(shù)為n(n，k)(k3)，以下列出了部分k邊形數(shù)中第n個(gè)數(shù)的表達(dá)式：三角形數(shù)n(n,3)n2n，正方形數(shù) n(n,4)n2，五邊形數(shù) n(n,5)n2n，六邊形數(shù) n(n,6)2

30、n2n，可以推測(cè)n(n，k)的表達(dá)式，由此計(jì)算n(10,24)_.錯(cuò)解錯(cuò)因分析解答本題時(shí)有兩點(diǎn)易造成誤解：(1)對(duì)所給信息分析不透，找不到其中的共同特征或規(guī)律，從而造成猜想的錯(cuò)誤；(2)發(fā)現(xiàn)n2與n的系數(shù)都成等差數(shù)列，在求解時(shí)弄錯(cuò)第n個(gè)表達(dá)式的項(xiàng)數(shù)而出錯(cuò)正解由題中數(shù)據(jù)可猜想：含n2項(xiàng)的系數(shù)為首項(xiàng)是，公差是的等差數(shù)列，含n項(xiàng)的系數(shù)為首項(xiàng)是，公差是的等差數(shù)列，因此n(n，k)n2nn2n.故n(10,24)11n210n11×10210×101000.答案1000心得體會(huì)時(shí)間：50分鐘基礎(chǔ)組1.20xx·冀州中學(xué)模擬下列推理是歸納推理的是()aa，b為定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)p滿足

31、|pa|pb|2a>|ab|，則p點(diǎn)的軌跡為橢圓b由a11，an3n1，求出s1，s2，s3，猜想出數(shù)列的前n項(xiàng)和sn的表達(dá)式c由圓x2y2r2的面積r2，猜想出橢圓1的面積sabd科學(xué)家利用魚的沉浮原理制造潛艇答案b解析由a可知其為橢圓的定義；b.由a11，an3n1，求出s1，s2，s3，猜想出數(shù)列的前n項(xiàng)和sn的表達(dá)式，屬于歸納推理；c.由圓x2y2r2的面積r2，猜想出橢圓1的面積sab，是類比推理；d.科學(xué)家利用魚的沉浮原理制造潛艇，也屬于類比推理，故選b.220xx·衡水二中周測(cè)分析法又稱執(zhí)果索因法，若用分析法證明：“設(shè)a>b>c，且abc0，求證 &l

32、t;a”索的因應(yīng)是()aab>0 bac>0c(ab)(ac)>0 d(ab)(ac)<0答案c解析<ab2ac<3a2(ac)2ac<3a2a22acc2ac3a2<02a2acc2<02a2acc2>0(ac)(2ac)>0(ac)(ab)>0.320xx·棗強(qiáng)中學(xué)仿真“因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)yax是增函數(shù)(大前提)，而yx是指數(shù)函數(shù)(小前提)，所以函數(shù)yx是增函數(shù)(結(jié)論)”，上面推理的錯(cuò)誤在于()a大前提錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)b小前提錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)c推理形式錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)d大前提和小前提錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)答案a解析“指數(shù)函數(shù)ya

33、x是增函數(shù)”是本推理的大前提，它是錯(cuò)誤的，因?yàn)閷?shí)數(shù)a的取值范圍沒有確定，所以導(dǎo)致結(jié)論是錯(cuò)誤的420xx·衡水二中月考已知a13，a26，且an2an1an，則a20xx()a3 b3c6 d6答案d解析a13，a26，a33，a43，a56，a63，a73，an是以6為周期的周期數(shù)列又20xx6×3355，a20xxa56.選d.520xx·武邑中學(xué)熱身觀察下列事實(shí)：|x|y|1的不同整數(shù)解(x，y)的個(gè)數(shù)為4，|x|y|2的不同整數(shù)解(x，y)的個(gè)數(shù)為8，|x|y|3的不同整數(shù)解(x，y)的個(gè)數(shù)為12，則|x|y|20的不同整數(shù)解(x，y)的個(gè)數(shù)為()a76 b

34、80c86 d92答案b解析個(gè)數(shù)按順序構(gòu)成首項(xiàng)為4，公差為4的等差數(shù)列，因此|x|y|20的不同整數(shù)解(x，y)的個(gè)數(shù)為44(201)80，故選b.620xx·冀州中學(xué)猜題用反證法證明某命題時(shí)，對(duì)結(jié)論：“自然數(shù)a，b，c中恰有一個(gè)偶數(shù)”正確的反設(shè)為()aa，b，c中至少有兩個(gè)偶數(shù)ba，b，c中至少有兩個(gè)偶數(shù)或都是奇數(shù)ca，b，c都是奇數(shù)da，b，c都是偶數(shù)答案b解析因?yàn)榻Y(jié)論“自然數(shù)a，b，c中恰有一個(gè)偶數(shù)”可得題設(shè)為：“a，b，c中恰有一個(gè)偶數(shù)”，所以反設(shè)為a，b，c中至少有兩個(gè)偶數(shù)或都是奇數(shù)720xx·武邑中學(xué)仿真當(dāng)x(0，)時(shí)可得到不等式x2，x23，由此可以推廣為xn

35、1，取值p等于()ann bn2cn dn1答案a解析x(0，)時(shí)可得到不等式x2，x23，在p位置出現(xiàn)的數(shù)恰好是不等式左邊分母xn的指數(shù)n的n次方，即pnn.820xx·衡水中學(xué)模擬觀察下列等式1312,132332,13233362根據(jù)上述規(guī)律，第n個(gè)等式為_答案1323n3解析觀察表達(dá)式的底數(shù)可知，11,123,1236,123410，故第n個(gè)等式的底數(shù)為123n，故第n個(gè)等式為1323n3.920xx·棗強(qiáng)中學(xué)周測(cè)已知f(x)，x0，若f1(x)f(x)，fn1(x)f(fn(x)，nn，則f20xx(x)的表達(dá)式為_答案解析依題意，f1(

36、x)f(x)，f2(x)f(f1(x)f，f3(x)f(f2(x)f，由此可猜測(cè)fn(x)，故f20xx(x).1020xx·衡水中學(xué)仿真請(qǐng)閱讀下列材料：若兩個(gè)正實(shí)數(shù)a1，a2滿足aa1，那么a1a2.證明：構(gòu)造函數(shù)f(x)(xa1)2(xa2)22x22(a1a2)x1，因?yàn)閷?duì)一切實(shí)數(shù)x，恒有f(x)0，所以0，從而得4(a1a2)280，所以a1a2.根據(jù)上述證明方法，若n個(gè)正實(shí)數(shù)滿足aaa1時(shí)，你能得到的結(jié)論為_答案a1a2an解析構(gòu)造函數(shù)f(x)(xa1)2(xa2)2(xan)2nx22(a1a2an)x1，因?yàn)閷?duì)一切實(shí)數(shù)x，恒有f(x)0，所以0，從而得4(a1a2an)24n0，所以a1a2an.1120xx·棗強(qiáng)中學(xué)預(yù)測(cè)已知a>0，>1，求證：>.證明由已知>1及a>0可知0<b<1，要證>，只需證·>1，只需證1abab>1，只需證abab>0即>1，即>1，這是已知條件，所以原不等式得證1220xx·冀州中學(xué)一輪檢測(cè)已知a1，求證三個(gè)方程：x24ax4a30，x2(a1)xa