理數(shù)北師大版練習(xí)：第八章 第九節(jié) 第三課時(shí)　定點(diǎn)、定值、探索性問(wèn)題 Word版含解析

1、高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5課時(shí)作業(yè)a組基礎(chǔ)對(duì)點(diǎn)練1已知?jiǎng)狱c(diǎn)c到點(diǎn)f(1,0)的距離比到直線x2的距離小1，動(dòng)點(diǎn)c的軌跡為e.(1)求曲線e的方程；(2)若直線l：ykxm(km<0)與曲線e相交于a，b兩個(gè)不同點(diǎn)，且·5，證明：直線l經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)解析：(1)由題意可得動(dòng)點(diǎn)c到點(diǎn)f(1,0)的距離等于到直線x1的距離，曲線e是以點(diǎn)(1,0)為焦點(diǎn)，直線x1為準(zhǔn)線的拋物線，設(shè)其方程為y22px(p>0)，1，p2，動(dòng)點(diǎn)c的軌跡e的方程為y24x.(2)證明：設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，由得k2x2(2km4)xm20，x1x2，x1·x2.

2、3;5，x1x2y1y2(1k2)x1x2km(x1x2)m25，m24km5k20，mk或m5k.km<0，mk舍去，m5k，滿(mǎn)足16(1km)>0，直線l的方程為yk(x5)，直線l必經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(5,0)2(20xx·昆明市檢測(cè))已知點(diǎn)a，b的坐標(biāo)分別為(，0)，(，0)，直線am，bm相交于點(diǎn)m，且它們的斜率之積是，點(diǎn)m的軌跡為曲線e.(1)求曲線e的方程；(2)過(guò)點(diǎn)f(1,0)作直線l交曲線e于p，q兩點(diǎn)，交y軸于r點(diǎn)，若1，2，證明：12為定值解析：(1)設(shè)點(diǎn)m(x，y)，由已知得·(x±)，化簡(jiǎn)得曲線e的方程：y21(x±)(2)證

3、明：設(shè)點(diǎn)p，q，r的坐標(biāo)分別為p(x1，y1)，q(x2，y2)，r(0，y0)由1，得(x1，y1y0)1(1x1，y1)，所以x1，y1，因?yàn)辄c(diǎn)p在曲線e上，所以()2()21，化簡(jiǎn)得4122y0，同理，由2，可得x2，y2，代入曲線e的方程化簡(jiǎn)得4222y0，由可知1，2是方程x24x22y0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根(>0)，所以124，即12為定值3在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)a(，0)，b(，0)，直線ma，mb交于點(diǎn)m，它們的斜率之積為常數(shù)m(m0)，且mab的面積最大值為，設(shè)動(dòng)點(diǎn)m的軌跡為曲線e.(1)求曲線e的方程；(2)過(guò)曲線e外一點(diǎn)q作e的兩條切線l1，l2，若它們的斜率之積為1，

4、那么·是否為定值？若是，請(qǐng)求出該值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由解析：(1)設(shè)m(x，y)，則由已知得·m，即y2m(x23)，即1(x±)(*)當(dāng)m>0時(shí)，方程(*)表示雙曲線，此時(shí)mab面積不存在最大值(不符合)；當(dāng)m1時(shí)，方程(*)表示圓，此時(shí)mab的面積最大值為3(不符合)；當(dāng)m<0且m1時(shí)，方程(*)為橢圓，此時(shí)mab的面積最大值為，所以m.此時(shí)所求的方程為y21(x±)(2)設(shè)q(x0，y0)，過(guò)點(diǎn)q的切線l為yk(xx0)y0，由消去y得(13k2)x26k(y0kx0)x3(y0kx0)230，則36k2(y0kx0)24(13k)2&

5、#183;3(ykx0)210，化簡(jiǎn)得(3x)k22x0y0k1y0，于是k1·k2，由已知斜率之積為1，則1，則xy4(x0±)，所以|oq|2，于是·(2)221.4已知橢圓c：1(a>b>0)的焦點(diǎn)為f1，f2，離心率為，點(diǎn)p為其上一動(dòng)點(diǎn)，且三角形pf1f2的面積最大值為，o為坐標(biāo)原點(diǎn)(1)求橢圓c的方程；(2)若點(diǎn)m，n為c上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求常數(shù)m，使·m時(shí)，點(diǎn)o到直線mn的距離為定值，求這個(gè)定值解析：(1)依題意知解得所以橢圓c的方程為1.(2)設(shè)m(x1，y1)，n(x2，y2)，則x1x2y1y2m，當(dāng)直線mn的斜率存在時(shí)，設(shè)其方

6、程為ykxn，則點(diǎn)o到直線mn的距離d ，聯(lián)立，得消去y，得(4k23)x28knx4n2120，由>0得4k2n23>0，則x1x2，x1x2，所以x1x2(kx1n)(kx2n)(k21)x1x2kn(x1x2)n2m，整理得12.因?yàn)閐 為常數(shù)，則m0，d ，此時(shí)12滿(mǎn)足>0.當(dāng)mnx軸時(shí)，由m0得kom±1，聯(lián)立，得消去y，得x2，點(diǎn)o到直線mn的距離d|x|亦成立綜上，當(dāng)m0時(shí)，點(diǎn)o到直線mn的距離為定值，這個(gè)定值是.b組能力提升練1如圖，已知直線l：ykx1(k>0)關(guān)于直線yx1對(duì)稱(chēng)的直線為l1，直線l，l1與橢圓e：y21分別交于點(diǎn)a，m和a，

7、n，記直線l1的斜率為k1.(1)求k·k1的值；(2)當(dāng)k變化時(shí)，試問(wèn)直線mn是否恒過(guò)定點(diǎn)？若恒過(guò)定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不恒過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由解析：(1)設(shè)直線l上任意一點(diǎn)p(x，y)關(guān)于直線yx1對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為p0(x0，y0)，直線l與直線l1的交點(diǎn)為(0,1)，l：ykx1，l1：yk1x1，k，k1，由1，得yy0xx02，由1，得yy0x0x，由得kk11.(2)由得(4k21)x28kx0，設(shè)m(xm，ym)，n(xn，yn)，xm，ym.同理可得xn，yn.kmn，直線mn：yymkmn(xxm)，即y(x)，即yxx.當(dāng)k變化時(shí)，直線mn過(guò)定點(diǎn)(0，)2(20xx&#

8、183;合肥市質(zhì)檢)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)f(1，0)，過(guò)直線l：x2右側(cè)的動(dòng)點(diǎn)p作pal于點(diǎn)a，apf的平分線交x軸于點(diǎn)b，|pa|bf|.(1)求動(dòng)點(diǎn)p的軌跡c的方程；(2)過(guò)點(diǎn)f的直線q交曲線c于m，n，試問(wèn)：x軸正半軸上是否存在點(diǎn)e，直線em，en分別交直線l于r，s兩點(diǎn)，使rfs為直角？若存在，求出點(diǎn)e的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解析：(1)設(shè)p(x，y)，由平面幾何知識(shí)得，即，化簡(jiǎn)得x22y22，所以動(dòng)點(diǎn)p的軌跡c的方程為x22y22(x)(2)假設(shè)滿(mǎn)足條件的點(diǎn)e(n,0)(n>0)存在，設(shè)直線q的方程為xmy1，m(x1，y1)，n(x2，y2)，r(2，y3)，s(

9、2，y4)聯(lián)立，得消去x，得(m22)y22my10，y1y2，y1y2，x1x2(my11)(my21)m2y1y2m(y1y2)11，x1x2m(y1y2)22，由條件知，y3，同理y4，krfy3，ksfy4.因?yàn)閞fs為直角，所以y3y41，所以(2n)2y1y2x1x2n(x1x2)n2，(2n)2n2，所以(n22)(m21)0，n，故滿(mǎn)足條件的點(diǎn)e存在，其坐標(biāo)為(，0)3已知橢圓c：9x2y2m2(m>0)，直線l不過(guò)原點(diǎn)o且不平行于坐標(biāo)軸，l與c有兩個(gè)交點(diǎn)a，b，線段ab的中點(diǎn)為m.(1)證明：直線om的斜率與l的斜率的乘積為定值；(2)若l過(guò)點(diǎn)(，m)，延長(zhǎng)線段om與c

10、交于點(diǎn)p，四邊形oapb能否為平行四邊形？若能，求此時(shí)l的斜率；若不能，說(shuō)明理由解析：(1)證明：設(shè)直線l：ykxb(k0，b0)，a(x1，y1)，b(x2，y2)，m(xm，ym)將ykxb代入9x2y2m2得(k29)x22kbxb2m20，故xm，ymkxmb.于是直線om的斜率kom，即kom·k9.所以直線om的斜率與l的斜率的積是定值(2)四邊形oapb能為平行四邊形因?yàn)橹本€l過(guò)點(diǎn)(，m)，所以l不過(guò)原點(diǎn)且與c有兩個(gè)交點(diǎn)的充要條件是k>0，k3.由(1)得om的方程為yx.設(shè)點(diǎn)p的橫坐標(biāo)為xp，由得x，即xp.將點(diǎn)(，m)的坐標(biāo)代入l的方程得b，因此xm.四邊形o

11、apb為平行四邊形，當(dāng)且僅當(dāng)線段ab與線段op互相平分，即xp2xm.于是2×，解得k14，k24.因?yàn)閗i>0，ki3，i1,2，所以當(dāng)l的斜率為4或4時(shí)，四邊形oapb為平行四邊形4(20xx·長(zhǎng)沙市模擬)已知p(，)在橢圓c：1(a>b>0)上，f為右焦點(diǎn)，pf垂直于x軸a，b，c，d為橢圓上四個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且ac，bd交于原點(diǎn)o.(1)求橢圓c的方程；(2)判斷動(dòng)直線l：x(mn)ymn(m，nr)與橢圓c的位置關(guān)系；(3)設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)滿(mǎn)足，判斷kabkbc的值是否為定值，若是，請(qǐng)求出此定值，并求出四邊形abcd面積的最大值，否則

12、請(qǐng)說(shuō)明理由解析：(1)p(，)在橢圓c：1(a>b>0)上，1.又f為右焦點(diǎn)，pf垂直于x軸，.由，解得a2，b1，橢圓c的方程為y21.(2)將動(dòng)直線l的方程x(mn)ymn(m，nr)，化為(y)m(y)n0.m，nr，解得動(dòng)直線l恒過(guò)點(diǎn)p，p在橢圓c上，動(dòng)直線l與橢圓c的位置關(guān)系是相切或相交(3)，4y1y2x1x2.當(dāng)直線ab的斜率不存在或斜率為0時(shí)，不滿(mǎn)足4y1y2x1x2.當(dāng)直線ab的斜率存在時(shí)，設(shè)直線ab的方程為ykxm，聯(lián)立，得得(14k2)x28kmx4(m21)0，(8km)24(4k21)·4(m21)16(4k2m21)>0(*)4y1y2x1x2，y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2，(4k21)x1x24