巖石與水相互作用過程的分岔混沌模型

1、巖石與水相互作用過程的分岔混沌模型*周翠英，朱鳳賢，張樂民 （中山大學工學院/巖土工程與信息技術研究中心，廣州 510275）摘要：巖石與水相互作用的過程是一個復雜的非線性動力學過程，從其結(jié)構(gòu)演變角度看也是一種巖石變形演化的形式和過程。本文從研究應力作用下巖石變形破壞過程出發(fā)，在前人提出的描述巖土體變形增長的動力學方程的基礎上，考慮到試驗獲取結(jié)構(gòu)分維值的離散性，建立了離散型巖石變形過程動力學方程，表明巖石結(jié)構(gòu)分維值的演化符合Logistic方程的差分形式；在此基礎上，結(jié)合大量水巖作用試驗，確立了巖石與水相互作用過程中的動力學參數(shù)，根據(jù)分岔混沌動力學的理論，建立了巖石結(jié)構(gòu)演化的分岔混沌模型；通過

2、對東深供水改造工程中兩類巖石遇水軟化過程中的分岔混沌特征分析，表明巖石飽水過程中結(jié)構(gòu)的演化具有混沌分岔的特征，對于所研究的兩類巖石，飽水1個月和3個月的結(jié)構(gòu)分維值與動力學方程的穩(wěn)定分支解是吻合的，證明了這一階段巖石的變形演化是趨于穩(wěn)定不動點的；而在飽水3到6個月期間，巖石系統(tǒng)經(jīng)歷了多次倍周期分岔，并一直演化到混沌狀態(tài)。關鍵詞：巖石與水相互作用；動力學過程；分岔；混沌；模型中圖分類號：TU45 文獻標識碼：A 文章編號：BIFURCATION AND CHAOTIC MODEL OF THE INTERACTION PROCESS BETWEEN ROCK AND WATERZHOU Cui-y

3、ing, ZHU Feng-xian, ZHANG Yue-min(Research center for Geotechnical Engineering and Information Technology/ School of Engineering, Sun Yat-sen University，Guangzhou, 510275，China )Abstract: The interaction process between rock and water is a complex nonlinear dynamic process with the deformation evolu

4、tion of rocks. Starting with analyzing the deformation failure process of rocks under the stress action, a discrete dynamic equation of rocks deformation process is established, based on the previous research for dynamic equation to describe. This equation takes account of the discreteness of struct

5、ural fractal dimension value of rocks in tests, and verifies the fractal dimension evolution is in accordance with the difference form of Logistic equation. On this basis, the dynamic parameters in the interaction process between rock and water is defined combined with the saturation tests of rocks,

6、 and according to the bifurcation and chaotic theory, the bifurcation and chaotic model for structure evolution of rocks is proposed. By applying this model into the softening process analysis of two types of rocks from the Water Supply Reconstruction Project from Dongjiang to Shenzhen in Guangdong

7、Province of China, the results show that the structure evolution of rocks presents bifurcation and chaotic features, and at the saturation time of one and three months, the structural fractal dimension value of rocks is consistent with the stable bifurcation solution of dynamic equation, which verif

8、ies that the regularity of rock structure evolution trends to a stable fixed point. Meanwhile, during the saturation time of three to six months, rock system has experienced the process of period-doubling bifurcation for many times ,and the chaotic state of rock system has appeared.Keywords: Interac

9、tion between rock and water；dynamic process；bifurcation；chaos；modelE-mail: zhoucy; ueit1引言巖石與水相互作用及其變形破壞過程的研究是巖石力學與工程界的前沿課題之一?；诜蔷€性理論研究巖石變形破壞過程始于80年代，已取得了較豐富的成果，主要體現(xiàn)在兩個方面：（1）主要從試驗和模擬研究入手，探討受壓巖石非線性變形產(chǎn)生的原因和巖石介質(zhì)的細觀非均勻性對巖樣宏觀強度和變形非線性行為以及破壞模式的影響，從細觀角度探討了巖石非線性變形斷裂機理，揭示了細觀結(jié)構(gòu)在巖石破壞過程中的作用1-3；（2）從巖石系統(tǒng)演化角度出發(fā)，提出采

10、用非線性科學的理論和方法開展研究，對變形破壞過程的性質(zhì)和特征進行了定量化的分析4-6，并提出了能量和熵的觀點在巖石變形破壞過程中的應用7,8。但目前的研究主要集中于探討應力作用下巖石的變形破壞過程，而對于巖石與其賦存條件之間相互作用的研究，特別是巖石與水相互作用過程的分析仍處于起步階段，部分學者初步開展了巖石與水相互作用的機理及巖石軟化的機制分析9，并進一步表明了巖石與水相互作用的過程也是一個復雜的非線性動力學過程9，但正是由于其演化過程高度的復雜性，使得目前對其相互作用過程的定量化描述十分困難?？紤]到巖石與水相互作用的過程從其結(jié)構(gòu)演變角度看也是一種巖石變形演化的形式和過程，因此，從應力作用下

11、巖石變形破壞研究出發(fā)，探討巖石與水相互作用的動力學過程，是一條值得探討的途徑?；诖耍疚脑诖罅克畮r作用試驗研究的基礎上10-12，將應力作用下巖石變形過程動力學方程引入到巖石與水相互作用的動力學過程分析中，從分析巖石結(jié)構(gòu)分維特征出發(fā)，考慮到試驗獲得的分維值的離散性，建立了離散型巖石變形過程動力學方程，并結(jié)合試驗確立了巖石與水相互作用過程的動力學參數(shù)，建立了巖石結(jié)構(gòu)演化的分岔混沌模型，在此基礎上，結(jié)合分岔混沌動力學的理論，探討了巖石遇水軟化過程中結(jié)構(gòu)演化的混沌分岔特征。2 離散型巖石變形過程動力學方程陳劍平在假設變形巖土體發(fā)育程度可以用分數(shù)維來描述以及巖土體的變形破壞存在一個極限并可用分數(shù)維表

12、示的基礎上，提出了描述巖土體變形增長的最簡單的動力學方程13： （3）式中，為時間變量；為阻抗巖石變形的因素；是與材料有關的變形參數(shù)，這里取可根據(jù)不同環(huán)境取不同的物理意義?？紤]到巖石的變形破壞過程對應著其微觀結(jié)構(gòu)的調(diào)整與演化，而其內(nèi)部微缺陷的發(fā)展、匯合、貫通等正是其結(jié)構(gòu)演化的表征之一。因此，我們對方程（3）中的參數(shù)作如下定義：用表征巖石微缺陷的結(jié)構(gòu)分維值來描述巖石變形的程度；用其結(jié)構(gòu)演化的極限分維值來描述巖石變形的極限。解常微分方程（3）可求得： （4）從長時間的巖石結(jié)構(gòu)演化行為來看，當時，表示初始的結(jié)構(gòu)分維值；當時，（飽和值）。表明巖石結(jié)構(gòu)分維值的極限是該飽和值。然而更重要的問題在于：當對結(jié)

13、構(gòu)分維值每段時間監(jiān)測一次時，用表示第n個測量時間點的分維值，則原來的連續(xù)變量就變?yōu)殡x散變量和，連續(xù)的微分方程就變?yōu)槿缦碌牟罘址匠蹋?（5）以上是一個一維映射或離散動力系統(tǒng)，各參數(shù)意義同（3）式。令： 則式（5）可轉(zhuǎn)換為標準的Logistic14離散系統(tǒng)動力學演化式： （6），上式即為所建立的離散型巖石變形過程動力學方程。3巖石與水相互作用過程的分岔混沌模型巖石與水相互作用的過程同樣也是巖石結(jié)構(gòu)演化的非線性動力學過程，因此，將所建立的巖石變形過程的離散型動力學方程（6），引入到巖石與水相互作用的動力學過程分析中，結(jié)合巖石飽水試驗，建立巖石結(jié)構(gòu)演化的分岔混沌模型。2.1動力學參數(shù)的確定為研究巖石與

14、水相互作用的動力學過程，筆者設計了巖石飽水試驗10-12，開展了巖石在不同飽水狀態(tài)下結(jié)構(gòu)、成分測試和物理力學性質(zhì)試驗研究，試驗結(jié)果表明：在巖石與水相互作用的過程中，巖石中孔隙的大小、分布、排列及連通性是微觀結(jié)構(gòu)變化的重要標志之一。因此，本研究以孔隙分布分維作為巖石結(jié)構(gòu)演化的分維值。通常為反映側(cè)壓力阻抗巖石發(fā)生變形的作用，可取為側(cè)壓力系數(shù)15，但由于巖石樣品是在無側(cè)限的狀態(tài)的進行飽水試驗的10-12，所以取方程（6）中的系數(shù)為巖石的體積膨脹系數(shù)；同時由于在試驗過程中采用了薄膜封裝技術10-12，巖石的體積變形受到約束，故應該取適當?shù)膮?shù)反映約束條件，可取為體積膨脹的量與原巖樣體積的比值，這樣，反

15、映了材料的附加變形，既體現(xiàn)材料體積變形對結(jié)構(gòu)分維值增長的影響，又包涵了巖石在薄膜封裝試驗條件下受到約束。在方程（6）中，表示在某個應力水平下，巖石結(jié)構(gòu)分維值演化的極限值。但對外界應力條件恒定的巖石系統(tǒng)，在不同的飽水時間條件下，其結(jié)構(gòu)分維值仍然是不斷演化的，其演化的極限狀態(tài)即為巖石系統(tǒng)發(fā)生變形破壞，同時也意味著系統(tǒng)達到了最小熵產(chǎn)生狀態(tài)，因此，根據(jù)最小熵產(chǎn)生原理16，采用周翠英等17提出的巖石局部熵折迭突變破壞準則計算軟巖遇水軟化的結(jié)構(gòu)分維值的極限值。局部熵折迭突變破壞公式如下： （7）式中，為巖石系統(tǒng)應變比能，為結(jié)構(gòu)分維。對（7）式求獲得熵極值的充要條件：計算巖石遇水的結(jié)構(gòu)分維的極限值，求獲得熵

16、極值的充要條件： （8）對上式求解并消去，得到m的平衡方程： （9）對上式求數(shù)值解，并考慮經(jīng)驗得到：以上即為結(jié)構(gòu)分維值的極限值()。2.2巖石與水相互作用過程的分岔混沌模型從數(shù)學的角度看18，系統(tǒng)的某種特定狀態(tài)相當于描述系統(tǒng)的動力學行為的動力學方程的某個特解，故系統(tǒng)穩(wěn)定性決定于方程解的穩(wěn)定性，系統(tǒng)演化中分岔現(xiàn)象相當于方程多個解的存在。因此，根據(jù)分岔混沌動力學理論11，在巖石與水相互作用過程中，可作為巖石系統(tǒng)狀態(tài)的表征，的增長伴隨著巖石系統(tǒng)演化中分岔現(xiàn)象的出現(xiàn)?？刂茀?shù)的變化對巖石系統(tǒng)狀態(tài)的動態(tài)影響如下：（1） 當時，只有一個不動點：，該不動點是穩(wěn)定的，表明巖石系統(tǒng)狀態(tài)是穩(wěn)定的。（2） 當時，該

17、映射在不動點處的Jacobi矩陣特征值，故在O點發(fā)生分岔，表明巖石系統(tǒng)狀態(tài)演化過程出現(xiàn)了第一次分岔。（3） 當時，有兩個不動點，O點：和A點：，為周期1解，不動點O是不穩(wěn)定的，不動點A是穩(wěn)定的。 （4） 當時，故在A點又發(fā)生分岔，表明巖石系統(tǒng)狀態(tài)演化過程出現(xiàn)了第二次分岔。（5） 當時，在兩個值上來回跳動，這是周期2解。此時O和A點都是不穩(wěn)定的。（6） 當時，相應的不動點又不穩(wěn)定，在四個值上來回跳動，這是周期2解。此時平衡點O和A點都是不穩(wěn)定的。圖1 理論上巖石動力學系統(tǒng)演化的分岔行為11Fig.1 Bifurcation behavior of rock system evolution in

18、 theory當再繼續(xù)增大，這樣的過程將一直繼續(xù)下去，周期1解不穩(wěn)定分岔出周期2解，周期2解分岔出周期4解，周期4解分岔出周期8解，如此倍周期分岔演化，一直到時，序列如同分布在區(qū)間0，1上的隨機數(shù)，稱為混沌（圖1）,這表明：在巖石與水相互作用的過程中，巖石系統(tǒng)通過不斷經(jīng)歷穩(wěn)定到失穩(wěn)再到穩(wěn)定的階段，逐漸遠離平衡態(tài)，并一直演化到混沌狀態(tài)。4巖石遇水軟化過程分岔混沌特征分析將巖石與水相互作用過程的分岔混沌模型應用于東深供水改造工程的巖石遇水軟化過程的分析，取粒狀結(jié)構(gòu)巖石（灰白色粉砂質(zhì)泥巖）與致密條塊狀結(jié)構(gòu)巖石（淺黃色粉砂質(zhì)泥巖）為研究對象。 依據(jù)水巖試驗數(shù)據(jù)12,14-15，對模型（6）中各個參數(shù)取

19、值計算見表1。表1 巖石與水相互作用過程的分岔混沌模型參數(shù)Table.1 Parameters for bifurcation and chaotic model of the interaction process between rock and water巖石類型時間（月）灰白色粉砂質(zhì)泥巖01.96511.00000.00002.970011.97041.11480.11483.196131.97811.16760.16753.300161.95841.38130.38133.7212122.33141.39750.39753.7531淺黃色粉砂質(zhì)泥巖01.99541.00000.000

20、02.970011.96421.15880.15883.282831.96051.22770.22773.418661.96831.36650.36653.6919122.06121.38610.38613.7306由表1可知，在飽水1個月以內(nèi)，兩類巖石的動力學參數(shù)均滿足，因而只有周期一解，雖然巖石的動力學參數(shù)是不斷增大的，但周期一解仍然穩(wěn)定。求得兩類巖石分岔演化系統(tǒng)的不動點為41： 換算成巖石的結(jié)構(gòu)分維值m=1.97，這與兩類巖石在飽水一個月的分維值m1.9704以及m1.9642是非常相近的，說明在飽水一個月的時間內(nèi)，這兩類巖石系統(tǒng)都經(jīng)歷了一次分岔并達到相對穩(wěn)定的狀態(tài)。隨著值的不斷增大，兩

21、類巖石在飽水1個月到3個月期間，動力學參數(shù)均滿足，可見，巖石系統(tǒng)又呈現(xiàn)不穩(wěn)定性，并發(fā)生分岔。這時具有不穩(wěn)定的周期2解，系統(tǒng)的不動點為41：其中為不穩(wěn)定不動點，為穩(wěn)定的不動點。分別代入兩類巖石飽水1個月后的值，并換算出結(jié)構(gòu)分維值，可以求出：灰白色粉砂質(zhì)泥巖： 淺黃色粉砂質(zhì)泥巖：換算成巖石的結(jié)構(gòu)分維值如下：灰白色粉砂質(zhì)泥巖： 淺黃色粉砂質(zhì)泥巖：可見，兩類巖石均是對應的分維值最接近其第三個月的結(jié)構(gòu)分維值，從而可知，所研究的兩類巖石在飽水1至3個月的時間內(nèi)，結(jié)構(gòu)是均在周期2解的穩(wěn)定分支上演化的。隨著值的進一步增大，到第6個月時，兩類巖石的動力學參數(shù)均滿足：?？梢?，從第3個月到第6個月之間，巖石系統(tǒng)經(jīng)歷

22、了多次倍周期分岔，分別獲得不同周期解，并一直演化到混沌狀態(tài)。兩類巖石軟化過程的分岔混沌特征見圖2和圖3，其中實線表示巖石結(jié)構(gòu)實際演化路徑，虛線表示根據(jù)分岔混沌動力學，巖石結(jié)構(gòu)可能演化的其他路徑。飽水6個月后巖石的動力學性質(zhì)具有隨機性，理論上是在區(qū)間0，1上的隨機數(shù)11，可見，此時原先的動力學方程已經(jīng)無法描述當前的動力學行為，原有系統(tǒng)狀態(tài)已經(jīng)完全發(fā)生改變，但從試驗數(shù)據(jù)觀察，結(jié)構(gòu)分維數(shù)的演化具有趨于穩(wěn)定不動點的演化規(guī)律。圖2灰白色粉砂質(zhì)泥巖遇水軟化過程的分岔混沌特征Fig .1 Bifurcation and chaotic features in the softening process of

23、 saturated grey silty mudstone圖3淺黃色粉砂質(zhì)泥巖遇水軟化過程的分岔混沌特征Fig .1 Bifurcation and chaotic features in the softening process of saturated light-yellow silty mudstone5 結(jié) 論（1）在前人提出的描述巖土體變形增長的動力學方程的基礎上，采用表征巖石缺陷的結(jié)構(gòu)分維值來描述巖石變形的程度，用其結(jié)構(gòu)演化的極限分維來描述巖石變形的極限；考慮到試驗獲取結(jié)構(gòu)分維值的離散性，建立了離散型巖石變形過程動力學方程，表明巖石結(jié)構(gòu)分維值的演化符合Logistic方程的差

24、分形式。 （2）將建立的巖石變形過程的離散型動力學方程，引入到巖石與水相互作用的動力學過程分析中，結(jié)合巖石飽水試驗，確立了巖石與水相互作用過程中的動力學參數(shù)，根據(jù)分岔混沌動力學的理論，建立了巖石結(jié)構(gòu)演化的分岔混沌模型。（3）將所建立的巖石與水相互作用過程的分岔混沌模型，應用于東深供水改造工程的巖石遇水軟化過程的分析中，表明巖石飽水過程中結(jié)構(gòu)的演化具有混沌分岔的特征。通過對試驗數(shù)據(jù)的分析，可以看出對于所研究的粒狀結(jié)構(gòu)巖石（灰白色粉砂質(zhì)泥巖）與致密條塊狀結(jié)構(gòu)巖石（淺黃色粉砂質(zhì)泥巖），飽水1個月和飽水3個月的結(jié)構(gòu)分維值與動力學方程的穩(wěn)定分支解是吻合的，證明了這一階段巖石的變形演化是趨于穩(wěn)定不動點的；

25、而從第3個月到第6個月之間，巖石經(jīng)歷了多次倍周期分岔，分別獲得不同周期解，并一直演化到混沌狀態(tài)。參考文獻（Reference）：1 Feng X T, Seto M. Fractal structure of time distribution of micro-fracturing in rocksJ. Geophysical Journal International, 1999, 136：275258.2 劉冬梅. 單軸受壓巖石變形斷裂機理研究J. 南方冶金學院學報, 2001, 22(2):101104.(Liu Dongmei. Research on the deformation

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