高三數(shù)學(xué)【文】一輪題型專練：幾何概型含答案

1、高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5第3節(jié)幾何概型 【選題明細(xì)表】知識點、方法題號與長度(角度)有關(guān)的幾何概型2、4、6、7與面積(體積)有關(guān)的幾何概型1、3、9、10、12、13隨機模擬5、8綜合應(yīng)用11、14、15、16一、選擇題1.歐陽修賣油翁中寫到:“(翁)乃取一葫蘆置于地,以錢覆其口,徐以杓酌油瀝之,自錢孔入,而錢不濕.”可見賣油翁技藝讓人嘆服.若銅錢直徑3厘米,中間有邊長為1厘米的正方形孔,你隨機向銅錢上滴一滴油(油滴大小忽略不計),則油正好落入孔中的概率是(d)(a)23(b)43(c)29(d)49解析:此題屬幾何概型,正好落入孔中的概率是1322=49,故選d.2.設(shè)x0,則s

2、in x<12的概率為(c)(a)16(b)14(c)13(d)12解析:由sin x<12且x0,借助于正弦曲線可得x0,656,p=6×2-0=13,故選c.3.在面積為s的abc的邊ab上任取一點p,則pbc的面積大于s4的概率為(c)(a)14(b)12(c)34(d)23解析:如圖,當(dāng)bm=14ba時,mbc的面積為s4,而當(dāng)p在m、a之間運動時,pbc的面積大于s4,即ma=34ab,則pbc的面積大于s4的概率p=34abab=34,故選c.4.已知一只螞蟻在邊長分別為5,12,13的三角形的邊上隨機爬行,則其恰在離三個頂點的距離都大于1的地方的概率為(a)

3、(a)45(b)35(c)60(d)3解析:由題意可知,三角形的邊長的和為5+12+13=30,而螞蟻要在離三個頂點的距離都大于1的地方爬行,則它爬行的區(qū)域長度為3+10+11=24,根據(jù)幾何概型的概率計算公式可得所求概率為2430=45.故選a.5.(20xx北京海淀區(qū)三模)如圖所示,在邊長為a的正方形內(nèi)有不規(guī)則圖形.向正方形內(nèi)隨機撒豆子,豆子在圖形內(nèi)和正方形內(nèi)的豆子數(shù)分別為m,n,則圖形面積的估計值為(c)(a)man(b)nam(c)ma2n(d)na2m解析:由題知ss正方形mn,所以smn·s正方形=ma2n,即圖形面積的估計值為ma2n.故選c.6.如圖所示,在abc中,

4、b=60°,c=45°,高ad=3,在bac內(nèi)作射線am交bc于點m,則bm<1的概率為(b)(a)15(b)25(c)35(d)45解析:b=60°,c=45°,bac=75°.在rtadb中,ad=3,b=60°,bd=adtan60°=1,bad=30°.記事件n為“在bac內(nèi)作射線am交bc于點m,則bm<1”,則可得bam<bad時事件n發(fā)生.由幾何概型的概率公式得p(n)=30°75°=25,故選b.7.(20xx年高考湖南卷)已知事件“在矩形abcd的邊cd上隨機

5、取一點p,使apb的最大邊是ab”發(fā)生的概率為12,則adab等于(d)(a)12(b)14(c)32(d)74解析:如圖,m、n分別是矩形cd邊上的四等分點,由題意,點p在線段mn上,滿足條件,則bn=ab,由勾股定理,ad2+34ab2=ab2,7ab2=16ad2,得adab=74.故選d.二、填空題8.(2013年高考福建卷)利用計算機產(chǎn)生01之間的均勻隨機數(shù)a,則事件“3a-1<0”發(fā)生的概率為. 解析:由題意得0<a<13,根據(jù)幾何概型概率公式得事件“3a-1<0”發(fā)生的概率為13.答案:139.(20xx濰坊一模)在區(qū)間0,4內(nèi)隨機取兩個數(shù)a、b

6、,則使得函數(shù)f(x)=x2+ax+b2有零點的概率為. 解析:若函數(shù)f(x)有零點,則=a2-4b20,即a2b或a-2b,用(a,b)表示平面內(nèi)的點則在區(qū)間0,4內(nèi)任取(a,b)構(gòu)成如圖正方形oabc及內(nèi)部的區(qū)域,面積為16,滿足0區(qū)域為陰影部分面積為12×4×2=4,所以f(x)有零點的概率為416=14.答案:1410.一只小蜜蜂在一個棱長為3的正方體內(nèi)自由飛行,若蜜蜂在飛行過程中始終保持與正方體6個表面的距離均大于1,稱其為“安全飛行”,則蜜蜂“安全飛行”的概率為. 解析:蜜蜂要想安全飛行,應(yīng)在原大正方體中一個棱長為1的小正方體內(nèi)部飛行,所以安全

7、飛行的概率p=1333=127.答案:12711.(20xx蘇北四市模擬)已知函數(shù)f(x)=ax2-bx-1,其中a(0,2,b(0,2,則此函數(shù)在區(qū)間1,+)上為增函數(shù)的概率為. 解析:把(a,b)看成平面區(qū)域內(nèi)的點,則(a,b)滿足a(0,2,b(0,2時的區(qū)域為如圖正方形oabc及內(nèi)部,函數(shù)f(x)=ax2-bx-1在b2a,+上為增函數(shù),據(jù)已知條件可知,b2a1,b2a,在正方形內(nèi)滿足b2a的區(qū)域為如圖陰影部分所示,所求概率p=12(1+2)×22×2=34.答案:3412.(20xx廈門模擬)向邊長為2米的正方形木框abcd內(nèi)隨機投擲一粒綠豆,記綠豆落在

8、p點;則p點到a點的距離大于1米,同時dpc0,2的概率為. 解析:由題意知p點在以dc為直徑的圓外,且在以a為圓心1為半徑的圓外,即p點在如圖所示的陰影部分內(nèi),則概率為p=2×2-34×122×2=1-316.答案:1-31613.(20xx山西四校聯(lián)考)在區(qū)間2,5和2,4分別取一個數(shù),記為a,b,則方程x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)表示焦點在x軸上的橢圓的概率為. 解析:把(a,b)看作為平面區(qū)域內(nèi)的點,則當(dāng)a2,5,b2,4時,(a,b)所表示平面區(qū)域如圖矩形abcd及內(nèi)部面積為2×3=6,若橢圓焦點在x

9、軸上即a>b,則其表示區(qū)域為如圖陰影部分,面積為6-12×2×2=4,故符合題意的概率為46=23.答案:23三、解答題14.已知向量a=(2,1),b=(x,y),若x-1,2,y-1,1,求向量a,b的夾角是鈍角的概率.解:設(shè)“a,b的夾角是鈍角”為事件b,由a,b的夾角是鈍角,可得a·b<0,即2x+y<0,且x2y.基本事件空間為=(x,y)-1x2,-1y1,b=(x,y)-1x2,-1y1,2x+y<0,x2y,則由圖可知,p(b)=12×(12+32)×23×2=13,即向量a,b的夾角是鈍角的概

10、率是13.15.設(shè)關(guān)于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0.若a是從區(qū)間0,3任取的一個數(shù),b是從區(qū)間0,2任取的一個數(shù),求上述方程有實根的概率.解:設(shè)事件a為“方程x2+2ax+b2=0有實根”.當(dāng)a0,b0時,方程x2+2ax+b2=0有實根的充要條件為ab.試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域為(a,b)|0a3,0b2,即如圖矩形obcd及內(nèi)部,構(gòu)成事件a的區(qū)域為(a,b)|0a3,0b2,ab,即如圖矩形內(nèi)陰影部分,所以所求的概率為p(a)=3×2-12×223×2=23.16.已知|x|2,|y|2,點p的坐標(biāo)為(x,y).(1)求當(dāng)x,yr時,p滿足(x-2

11、)2+(y-2)24的概率;(2)求當(dāng)x,yz時,p滿足(x-2)2+(y-2)24的概率.解:(1)如圖,點p所在的區(qū)域為正方形abcd的內(nèi)部(含邊界),且滿足(x-2)2+(y-2)24的點的區(qū)域為以(2,2)為圓心,2為半徑的圓面(含邊界).所求的概率p1=14×224×4=16.(2)滿足x,yz,且|x|2,|y|2的點(x,y)有25個,滿足x,yz,且滿足(x-2)2+(y-2)24的點(x,y)有6個,所求的概率p2=625.大題沖關(guān)集訓(xùn)(六) 1.(20xx濰坊一模)為了解社會對學(xué)校辦學(xué)質(zhì)量的滿意程度,某學(xué)校決定用分層抽樣的方法從高中三個年級的家長委員會中

12、共抽取6人進行問卷調(diào)查,已知高一、高二、高三的家長委員會分別有54人、18人、36人.(1)求從三個年級的家長委員會中分別應(yīng)抽的家長人數(shù);(2)若從抽得的6人中隨機抽取2人進行調(diào)查結(jié)果的對比,求這2人中至少有一人是高三學(xué)生家長的概率.解:(1)家長委員會人員總數(shù)為54+18+36=108,樣本容量與總體中的個體數(shù)的比為6108=118,故從三個年級的家長委員會中分別抽取的人數(shù)為3,1,2.(2)設(shè)a1,a2,a3為從高一抽得的3個家長,b1為從高二抽得的1個家長,c1,c2為從高三抽得的2個家長.則抽取的全部結(jié)果有:(a1,a2),(a1,a3),(a1,b1),(a1,c1),(a1,c2)

13、,(a2,a3),(a2,b1),(a2,c1),(a2,c2),(a3,b1),(a3,c1),(a3,c2),(b1,c1),(b1,c2),(c1,c2),共15種.令x=“至少有一人是高三學(xué)生家長”,結(jié)果有(a1,c1),(a1,c2),(a2,c1),(a2,c2),(a3,c1),(a3,c2),(b1,c1),(b1,c2),(c1,c2),共9種.這2人中至少有1人是高三學(xué)生家長的概率是p(x)=915=35.2.(20xx年高考北京卷)如圖是某市3月1日至14日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢圖,空氣質(zhì)量指數(shù)小于100表示空氣質(zhì)量優(yōu)良,空氣質(zhì)量指數(shù)大于200表示空氣重度污染,某人隨機選擇3

14、月1日至3月13日中的某一天到達該市,并停留2天.(1)求此人到達當(dāng)日空氣質(zhì)量優(yōu)良的概率;(2)求此人在該市停留期間只有1天空氣重度污染的概率;(3)由圖判斷從哪天開始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大?(結(jié)論不要求證明)解:(1)在3月1日至3月13日這13天中,1日、2日、3日、7日、12日、13日共6天的空氣質(zhì)量優(yōu)良,所以此人到達當(dāng)日空氣質(zhì)量優(yōu)良的概率是613.(2)根據(jù)題意,事件“此人在該市停留期間只有1天空氣重度污染”等價于“此人到達該市的日期是4日,或5日,或7日,或8日”,所以此人在該市停留期間只有1天空氣重度污染的概率為413.(3)從3月5日開始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大.3

15、.(20xx年高考新課標(biāo)全國卷)某花店每天以每枝5元的價格從農(nóng)場購進若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的價格出售.如果當(dāng)天賣不完,剩下的玫瑰花作垃圾處理.(1)若花店一天購進17枝玫瑰花,求當(dāng)天的利潤y(單位:元)關(guān)于當(dāng)天需求量n(單元:枝,nn)的函數(shù)解析式;(2)花店記錄了100天玫瑰花的日需求量(單位:枝),整理得如表:日需求量n14151617181920頻數(shù)10201616151310假設(shè)花店在這100天內(nèi)每天購進17枝玫瑰花,求這100天的日利潤(單位:元)的平均數(shù);若花店一天購進17枝玫瑰花,以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率,求當(dāng)天的利潤不少于75元的概率.解:(

16、1)當(dāng)日需求量n17時,利潤y=85.當(dāng)日需求量n<17時,利潤y=10n-85.所以y關(guān)于n的函數(shù)解析式為y=10n-85(n<17),85(n17)(nn).(2)這100天中有10天的日利潤為55元,20天的日利潤為65元,16天的日利潤為75元,54天的日利潤為85元,所以這100天的日利潤的平均數(shù)為1100(55×10+65×20+75×16+85×54)=76.4.利潤不低于75元當(dāng)且僅當(dāng)日需求量不少于16枝.故當(dāng)天的利潤不少于75元的概率為p=0.16+0.16+0.15+0.13+0.1=0.7.4.(20xx天津一模)20x

17、x年春節(jié),有超過20萬名廣西、四川等省籍的外來務(wù)工人員選擇駕駛摩托車沿321國道返鄉(xiāng)過年,為保證他們的安全,交管部門在321國道沿線設(shè)立了多個駕乘人員休息站,交警小李在某休息站連續(xù)5天對進站休息的駕駛?cè)藛T每隔50輛摩托車,就進行省籍詢問一次,詢問結(jié)果如圖所示.(1)交警小李對進站休息的駕駛?cè)藛T的省籍詢問采用的是什么抽樣方法?(2)用分層抽樣的方法對被詢問了省籍的駕駛?cè)藛T進行抽樣,若廣西籍的有5名,則四川籍的應(yīng)抽取幾名?(3)在上述抽出的駕駛?cè)藛T中任取2名,求至少有一名駕駛?cè)藛T是廣西籍的概率.解:(1)系統(tǒng)抽樣.(2)5天中抽取的廣西籍人員有5+20+25+20+30=100人,四川籍人員有15

18、+10+5×3=40人,兩者比例為52,所以廣西籍抽5人,則四川籍應(yīng)抽2人.(3)用a1,a2,a3,a4,a5表示被抽取的廣西籍駕駛?cè)藛T,b1,b2表示被抽取的四川籍駕駛?cè)藛T,則所有基本事件為:a1,a2,a1,a3,a1,a4,a1,a5,a1,b1,a1,b2,a2,a3,a2,a4,a2,a5,a2,b1,a2,b2,a3,a4,a3,a5,a3,b1,a3,b2,a4,a5,a4,b1,a4,b2,a5,b1,a5,b2,b1,b2,共21個.其中至少有1名駕駛?cè)藛T是廣西籍的基本事件為20個.至少有1名駕駛?cè)藛T是廣西籍的概率為p=2021.5.(20xx西北工大五月)某中學(xué)

19、在校就餐的高一年級學(xué)生有440名,高二年級學(xué)生有460名,高三年級學(xué)生有500名;為了解學(xué)校食堂的服務(wù)質(zhì)量情況,用分層抽樣的方法從中抽取70名學(xué)生進行抽樣調(diào)查,把學(xué)生對食堂的“服務(wù)滿意度”與“價格滿意度”都分為五個等級:1級(很不滿意);2級(不滿意);3級(一般);4級(滿意);5級(很滿意),其統(tǒng)計結(jié)果如下表(服務(wù)滿意度為x,價格滿意度為y).y人數(shù)x價格滿意度12345服務(wù)滿意度111220221341337884414641501231(1)求高二年級共抽取學(xué)生人數(shù);(2)求“服務(wù)滿意度”為3時的5個“價格滿意度”對應(yīng)人數(shù)的方差;(3)為提高食堂服務(wù)質(zhì)量,現(xiàn)對樣本進行研究,從x<

20、3且2y<4的學(xué)生中隨機抽取兩人征求意見,求至少有一人的“服務(wù)滿意度”為1的概率.解:(1)共有1400名學(xué)生,高二年級抽取的人數(shù)為4601400×70=23.(2)“服務(wù)滿意度為3”時的5個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3+7+8+8+45=6,所以方差s2=(3-6)2+(7-6)2+2(8-6)2+(4-6)25=4.4.(3)符合條件的所有學(xué)生共7人,其中“服務(wù)滿意度為2”的4人記為a,b,c,d,“服務(wù)滿意度為1”的3人記為x,y,z.在這7人中抽取2人有如下情況:(a,b),(a,c),(a,d),(a,x),(a,y),(a,z),(b,c),(b,d),(b,x),(b,y),

21、(b,z),(c,d),(c,x),(c,y),(c,z),(d,x),(d,y),(d,z),(x,y),(x,z),(y,z)共21種情況.其中至少有一人的“服務(wù)滿意度為1”的情況有15種.所以至少有一人的“服務(wù)滿意度為1”的概率為p=1521=57.6.(20xx沈陽二模)為了研究“教學(xué)方式”對教學(xué)質(zhì)量的影響,某高中數(shù)學(xué)老師分別用兩種不同的教學(xué)方式對入學(xué)數(shù)學(xué)平均分?jǐn)?shù)和優(yōu)秀率都相同的甲、乙兩個高一新班進行教學(xué)(勤奮程度和自覺性都一樣).以下莖葉圖為甲、乙兩班(每班均為20人)學(xué)生的數(shù)學(xué)期末考試成績.(1)現(xiàn)從甲班數(shù)學(xué)成績不低于80分的同學(xué)中隨機抽取兩名同學(xué),求成績?yōu)?7分的同學(xué)至少有一名被

22、抽中的概率;(2)學(xué)校規(guī)定:成績不低于75分的為優(yōu)秀.請?zhí)顚懴旅娴?×2列聯(lián)表,并判斷有多大把握認(rèn)為“成績優(yōu)秀與教學(xué)方式有關(guān)”.甲班乙班合計優(yōu)秀不優(yōu)秀合計下面臨界值表僅供參考:p(k2k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828參考公式:k2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)解:(1)記成績?yōu)?7分的同學(xué)為a,b,其他不低于80分的同學(xué)為c、d、e,“從甲班數(shù)學(xué)成績不低于80分的同學(xué)中隨機抽取兩名同學(xué)”的一切可能結(jié)果組成的基本事件有:(a,b)(a,c)(a,d)(a,e)(b,c)(b,d)(b,e)(c,d)(c,e)(d,e)共10個,“抽到至少有一個87分的同學(xué)”所組成的基本事件有7個,所以p=710.(2)甲班乙班合計優(yōu)秀61420不優(yōu)秀14620合計202040k2=40×(6×6-14×14)220×20×20×20=6.4>5.024.我們有97.5%的把