高考數(shù)學(xué)備考沖刺之易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛系列專題 三角函數(shù)學(xué)生版

1、高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5三角函數(shù)一、高考預(yù)測(cè)該專題是高考重點(diǎn)考查的部分，從最近幾年考查的情況看，主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)、三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)與求值、正余弦定理解三角形、三角形中的三角恒等變換以及三角函數(shù)、解三角形和平面向量在立體幾何、解析幾何等問(wèn)題中的應(yīng)用該部分在試卷中一般是23個(gè)選擇題或者填空題，一個(gè)解答題，選擇題在于有針對(duì)性地考查本專題的重要知識(shí)點(diǎn)(如三角函數(shù)性質(zhì)、平面向量的數(shù)量積等)，解答題一般有三個(gè)命題方向，一是以考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)為主，二是把解三角形與三角函數(shù)的性質(zhì)、三角恒等變換交匯，三是考查解三角形或者解三角形在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用由于該專題是高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)和工具

2、性知識(shí)，在試題的難度上不大，一般都是中等難度或者較為容易的試題從近幾年全國(guó)各地的高考試題來(lái)看,三角函數(shù)這部分的試題有以下特點(diǎn): 1.考小題，重在基礎(chǔ)運(yùn)用 二、知識(shí)導(dǎo)學(xué)要點(diǎn)1：三角函數(shù)的概念、同角誘導(dǎo)公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用1三角函數(shù)的定義是求三角函數(shù)值的基本依據(jù)，如果已知角終邊上的點(diǎn)，則利用三角函數(shù)的定義，可求該角的正弦、余弦、正切值。2同角三角函數(shù)間的關(guān)系、誘導(dǎo)公式在三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)中起著舉足輕重的作用，應(yīng)注意正確選擇公式、注意公式應(yīng)用的條件。要點(diǎn)2：函數(shù)y=asin(x+)的解析式、圖象問(wèn)題，頻率是，相位是，初相是；其圖象的對(duì)稱軸是直線，凡是該圖象與直線的交點(diǎn)都是該圖象的對(duì)稱中心。4由ysinx的圖

3、象變換出ysin(x)的圖象一般有兩個(gè)途徑，只有區(qū)別開(kāi)這兩個(gè)途徑，才能靈活進(jìn)行圖象變換。利用圖象的變換作圖象時(shí)，提倡先平移后伸縮，但先伸縮后平移也經(jīng)常出現(xiàn)無(wú)論哪種變形，請(qǐng)切記每一個(gè)變換總是對(duì)字母x而言，即圖象變換要看“變量”起多大變化，而不是“角變化”多少。途徑一：先平移變換再周期變換(伸縮變換)先將ysinx的圖象向左(0)或向右(0平移個(gè)單位，再將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍(0)，便得ysin(x)的圖象。途徑二：先周期變換(伸縮變換)再平移變換。先將ysinx的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍(0)，再沿x軸向左(0)或向右(0平移個(gè)單位，便得ysin(x)的圖象。要點(diǎn)3：與三角函數(shù)的

4、性質(zhì)有關(guān)的問(wèn)題1正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像2三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是；的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是，的遞增區(qū)間是，3對(duì)稱軸與對(duì)稱中心：的對(duì)稱軸為，對(duì)稱中心為；的對(duì)稱軸為，對(duì)稱中心為；對(duì)于和、”的形式，在利用周期公式，另外還有圖像法和定義法。要點(diǎn)4：三角變換及求值1兩角和與差的三角函數(shù)；。2二倍角公式；。3三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)4三角函數(shù)的求值類型有三類（1）給角求值：一般所給出的角都是非特殊角，要觀察所給角與特殊角間的關(guān)系，利用三角變換消去非特殊角，轉(zhuǎn)化為求特殊角的三角函數(shù)值問(wèn)題；（2）給值求值：給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵在于“變角”，如

5、等，把所求角用含已知角的式子表示，求解時(shí)要注意角的范圍的討論；（3）給值求角：實(shí)質(zhì)上轉(zhuǎn)化為“給值求值”問(wèn)題，由所得的所求角的函數(shù)值結(jié)合所求角的范圍及函數(shù)的單調(diào)性求得角。要點(diǎn)5：正、余弦定理的應(yīng)用1直角三角形中各元素間的關(guān)系：如圖，在abc中，c90°，abc，acb，bca。（1）三邊之間的關(guān)系：a2b2c2。（勾股定理）（2）銳角之間的關(guān)系：ab90°；（3）邊角之間的關(guān)系：（銳角三角函數(shù)定義）sinacosb，cosasinb，tana。2斜三角形中各元素間的關(guān)系：如圖6-29，在abc中，a、b、c為其內(nèi)角，a、b、c分別表示a、b、c的對(duì)邊。（1）三角形內(nèi)角和：ab

6、c。（2）正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等。（r為外接圓半徑）（3）余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。a2b2c22bccosa；b2c2a22cacosb；c2a2b22abcosc。在三角形中考查三角函數(shù)式變換，是近幾年高考的熱點(diǎn)，它是在新的載體上進(jìn)行的三角變換，因此要時(shí)刻注意它重要性：一是作為三角形問(wèn)題，它必然要用到三角形的內(nèi)角和定理，正、余弦定理及有關(guān)三角形的性質(zhì)，及時(shí)進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化，有利于發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的思路；其二，它畢竟是三角形變換，只是角的范圍受到了限制，因此常見(jiàn)的三角變換方法和原則都是適用的，注意“三統(tǒng)一”

7、，即“統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數(shù)、統(tǒng)一結(jié)構(gòu)”，是使問(wèn)題獲得解決的突破口。要點(diǎn)6：三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用三角形中的三角變換 三角形中的三角變換，除了應(yīng)用上述公式和上述變換方法外，還要注意三角形自身的特點(diǎn)。（1）角的變換 因?yàn)樵赼bc中，a+b+c=，所以sin(a+b)=sinc；cos(a+b)=cosc；tan(a+b)=tanc。；（2）三角形邊、角關(guān)系定理及面積公式，正弦定理，余弦定理。r為三角形內(nèi)切圓半徑，p為周長(zhǎng)之半。（3）在abc中，熟記并會(huì)證明：a，b，c成等差數(shù)列的充分必要條件是b=60°；abc是正三角形的充分必要條件是a，b，c成等差數(shù)列且a，b，c成等比數(shù)列。在解三角形時(shí)，三

8、角形內(nèi)角的正弦值一定為正，但該角不一定是銳角，也可能為鈍角（或直角），這往往造成有兩解，應(yīng)注意分類討論，但三角形內(nèi)角的余弦為正，該角一定為銳角，且有惟一解，因此，在解三角形中，若有求角問(wèn)題，應(yīng)盡量避免求正弦值。要點(diǎn)7：向量與三角函數(shù)的綜合三、易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛命題角度1 三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)1函數(shù)=sinx+2|sinx|,x（0，2）的圖像與直線y=k有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則眾的取值范圍是 . 考場(chǎng)錯(cuò)解 =的值域?yàn)?0，3)，與y=k有交點(diǎn)，k0，3 ( ) a.橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍(縱坐標(biāo)不變)，再向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度 考場(chǎng)錯(cuò)解將函數(shù)y=sin(2x+)的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，得函數(shù)y

9、=sin(x+)的圖像，再向右平行移動(dòng)子個(gè)單位長(zhǎng)度后得函數(shù)y=sin(x+)=cosx 專家把脈 選b有兩處錯(cuò)誤，一是若將函數(shù)=sin(2x+)橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，(縱坐標(biāo)標(biāo)不變)所得函數(shù)y=sin(4x+)，而不是=sin(x+)，二是將函數(shù)y= 對(duì)癥下藥 選c 將函數(shù)y=sin(2x+)圖像上所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)，得函數(shù)y=sin(x+)的圖像；再向左平行移動(dòng)子個(gè)單位長(zhǎng)度后便得y=sin(x+)=cosx的圖像故選c3設(shè)函數(shù)=sin(2x+)(-<<0)，y=圖像的一條對(duì)稱軸是直線x=. (1)求； (2)求函數(shù)y=的單調(diào)增區(qū)間； (3)畫(huà)出函數(shù)y=

10、在區(qū)間0，上的圖像 考場(chǎng)錯(cuò)解 (1)x=是函數(shù)y=的圖像的對(duì)稱軸，sin(2×+)=±1， +=k+k 專家把脈以上解答錯(cuò)在第（2）小題求函數(shù)單調(diào)區(qū)間時(shí)，令處，因若把看成一個(gè)整體u，則y=sinu的周期為2。故應(yīng)令，解得的x范圍才是原函數(shù)的遞增區(qū)間.解得所以函數(shù)y=sin(2x-)的單調(diào)遞增區(qū)間為（3）由知x0y-1010故函數(shù)y=f(x)在區(qū)間0,上圖像是5. 求函數(shù)的最小正周期和最小值；并寫(xiě)出該函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間。 考場(chǎng)錯(cuò)解 對(duì)癥下藥函數(shù)y=sin4x+sinxcosx-cos4x =(sin2x-cos2x)(sin2x+cos2x)+ sin2x =sin2x-

11、cos2x=2sin(2x-)故該函數(shù)的最小正周期是.當(dāng)2x-=2k-時(shí)，即x=k-時(shí)，y有最小值令2k-2x-2k+，kz解得k-xk+，kz令k=0時(shí)，-x又0x，0x， k=1時(shí)， x 又0x.命題角度2三角函數(shù)的恒等變形 1設(shè)為第四象限的角，若，則tan2= . 考場(chǎng)錯(cuò)解 填± 考場(chǎng)錯(cuò)解 (1)由sinx+cosx=，平方得sin2x+ 2sinxcosx+cos2x=()2，即2sinxcosx=-. 專家把脈 以上解答在利用三角恒等變形化簡(jiǎn)時(shí)出現(xiàn)了錯(cuò)誤即由 =sinxcosx(2-sinx -cosx)變形時(shí)認(rèn)為2sin2 =1+cosx，用錯(cuò)了公式，因?yàn)?2sin2 =

12、1-cosx因此原式化簡(jiǎn)結(jié)果是錯(cuò)誤的 對(duì)癥下藥解法1(1)由sinx+cosx=，平方得sin2x+2sinxcosx+cos2x=即2sinxcosx=-(sinx-cosx)2=1-2sinxcosx=1+.又- <x<0，sinx<0，cosx>0，sinx-cosx<0sinx-cosx= (2) 解法2 (1)聯(lián)立方程由得slnx=-cosx，將其代入，整理得25cos2x- 5cosx-12=0，cosx=-或(cosx=)-<x<0，故sinx-cosx=-( 2 ) =sinxcosx(2-cosx-sinx)= 3已知6sin2+si

13、ncos-2cos2=0，求sin(2+)的值 考場(chǎng)錯(cuò)解 由已知得(3sin+2cos)(2sin-cos)=03sin+2cos=0或2sin-cos=0 tan=-或tan=又sin(2+)=sin2cos+cos2·sin將tan=時(shí)代入上式得即專家把脈 上述解答忽視了題設(shè)條件提供的角的范圍的運(yùn)用，(,)，tan<0，tan=應(yīng)舍去，因此原題只有一解 將代入上式得sin(2+)= 專家把脈 上面解答在三角恒等變形中，用錯(cuò)了兩個(gè)公式：1+cos2x2sin2x；sin(+x)sinx因?yàn)?cos2x=1-2sin2x=2cos2x-11+cos2x=2cos2x由誘導(dǎo)公式“

14、奇變偶不變”知sin(+x)=cosx對(duì)癥下藥 =其中角滿足由已知有=4，解之得，a= 考場(chǎng)錯(cuò)解 設(shè)s為十字形的面積，則s=2xy=2sin· cos=sin2(<) (2)當(dāng)sin2=1即=時(shí)，s最大，s的最大值為1 解法2 s=2sincos-cos2，s=2cos2- 2sin2+2sin·cos=2cos2+sin2 a2x>3sinx b2x<3sinx c2x=3sinx d與x的取值有關(guān)考場(chǎng)錯(cuò)解 選a 設(shè)=2x-3sinx，= 2-3cosx，0<x<f(x)>0在(0，)上是增函數(shù) >=0即2x>3sinx，選

15、a 專家把脈=3(-cosx)當(dāng)0<x<時(shí)，不一定恒大于0，只有當(dāng)x(arccos)時(shí)才大于0因而原函數(shù)在(0，)先減后增函數(shù)，因而2x與3sinx的大小不確定 (3)設(shè)在(0，+)的全部極值點(diǎn)按從小到大的順序a1,a2，an，證明：<an+1-an< 的全部正實(shí)根,且滿足a1<a2<a3，an，那么對(duì)于an+1-an= -(tanan+1-tanan)=-(1+tanan+1·tanan)·tan(an+1-an) 由于+(n-1)<an<+(n-1)，+n< an+1<+n，則<an+1-an<由于

16、tanan+1·tanan>0，由式知tan(an-1，-an)< 0由此可知an+1-an必在第二象限<an+1-an< 專家把脈上面解答的錯(cuò)誤出現(xiàn)在第三小題的證明，設(shè)x0是f(x0)的根，則認(rèn)為x0是的一個(gè)極值點(diǎn)，沒(méi)有判斷在(+k，x0)和(x0+k)上的符號(hào)是否異號(hào)，這顯然是錯(cuò)誤的 對(duì)癥下藥 (1)證明：由函數(shù)f(x)的定義，對(duì)任意整數(shù)k，有f(x+2k)-(x)=(x+2k)sin(x+2k)- xsinx=(x+2k)sinx-xsinx=2ksinx (3)證明：設(shè)x0>0是=0的任意正實(shí)根，即x0-tanx0，則存在一個(gè)非負(fù)整數(shù)k，使x0(

17、+k，+k)，即x0在第二或第四象限內(nèi)由式=cosx(tanx+x)在第二象限或第四象限中的符號(hào)可列表如下：x()的符號(hào)k為奇數(shù)-0+k為偶數(shù)+0-所以滿足=0的正根x0都為f(x)的極值點(diǎn)由題設(shè)條件，a1,a2，an為方程x=-tanx的全部正實(shí)根且滿足a1<a2<<an那么對(duì)于n=1，2， 命題角度4 向量及其運(yùn)算1如圖6-1，在 rtabc中，已知bc=a，若長(zhǎng)為 2a的線段pq以點(diǎn)a為中點(diǎn)，問(wèn)與的夾角取何值時(shí)的值最大?并求出這個(gè)最大值 考場(chǎng)錯(cuò)解此后有的學(xué)生接著對(duì)上式進(jìn)行變形，更多的不知怎樣繼續(xù) 又a+b與a+b的夾角為銳角，(a+b)·(a+ b)>0

18、，且a+b(a+b)(其中 k,>0)由(a+b)· (a+b)>0，得|a|2+|b|2+(2+1)a·b>0即32+11 +3>0，解得>由a+b (a+b)，得1,，即1，綜上所述實(shí)數(shù)的取值范圍是(-，,1)(1，+) 3已知o為abc所在平面內(nèi)一點(diǎn)且滿足，則aob與aoc的面積之比為 ( ) a1 b. d2 aob的面積與aoc的面積之比為3：2，選b(2)不妨設(shè)a(0，0)，b(1，0)，c(0，1)，o(x,y)，則由專家會(huì)診向量的基本概念是向量的基礎(chǔ)，學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)注意對(duì)向量的夾角、模等概念的理解，不要把向量與實(shí)數(shù)胡亂類比；向量的運(yùn)算

19、包括兩種形式：(1)向量式；(2)坐標(biāo)式；在學(xué)習(xí)時(shí)不要過(guò)分偏重坐標(biāo)式，有些題目用向量式來(lái)進(jìn)行計(jì)算是比較方便的，那么對(duì)向量的加、減法法則、定比分點(diǎn)的向量式等內(nèi)容就應(yīng)重點(diǎn)學(xué)習(xí)，在應(yīng)用時(shí)不要出錯(cuò)，解題時(shí)應(yīng)善于將向量用一組基底來(lái)表示，要會(huì)應(yīng)用向量共線的充要條件來(lái)解題.命題角度5 平面向量與三角、數(shù)列 (2)函數(shù)y=2sin2x的圖像按向量c=(m,n)平移后得到y(tǒng)=2sin2(x+m)-n的圖像，即y=f(x)的圖像，由（1）得f(x)=2sin2(x+y=f(x)的圖像，由（1）得f(x)=2sin2(2.已知i,j分別為x軸，y軸正方向上的單位向量，（1）求考場(chǎng)錯(cuò)解（1）由已知有專家把脈向量是一個(gè)

20、既有方向又有大小的量，而錯(cuò)解中只研究大小而不管方向，把向量與實(shí)數(shù)混為一談，出現(xiàn)了很多知識(shí)性的錯(cuò)誤.對(duì)癥下藥 （1） 3.在直角坐標(biāo)平面中，已知點(diǎn)p1(1，2)，p2(2，22)，p3(3，23),pn(n，2n)，其中n是正整數(shù)，對(duì)平面上任一點(diǎn)ao，記a1為ao關(guān)于點(diǎn)p1的對(duì)稱點(diǎn)，a2為a1，關(guān)于點(diǎn)p2的對(duì)稱點(diǎn)，an為an-1關(guān)于點(diǎn)pn的對(duì)稱點(diǎn) 考場(chǎng)錯(cuò)解 第(2)問(wèn)，由(1)知=(2，4)，依題意，將曲線c按向量(2，4)平移得到 因此，曲線c是函數(shù)y=g(x)的圖像，其中g(shù)(x)是以 3為周期的周期函數(shù)，且當(dāng)x(-2，1)時(shí)，g(x)=1g(x+2)-4，于是，當(dāng)x(1，4)時(shí)，g(x)=1

21、g(x-1)-4專家會(huì)診向量與三角函數(shù)、數(shù)列綜合的題目，實(shí)際上是以向量為載體考查三角函數(shù)、數(shù)列的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是利用向量的數(shù)量積等知識(shí)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)、數(shù)列的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化時(shí)不要把向量與實(shí)數(shù)搞混淆，一般來(lái)說(shuō)向量與三角函數(shù)結(jié)合的題目難度不大，向量與數(shù)列結(jié)合的題目，綜合性強(qiáng)、能力要求較高 命題角度6平面向量與平面解析幾何 1(典型例題)已知橢圓的中心在原點(diǎn)，離心率為，一個(gè)焦點(diǎn)f(-m，0)(m是大于0的常數(shù))(1)求橢圓的方程； (2)設(shè)q是橢圓上的一點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)f、q的直線l與y 軸交于點(diǎn)m，若，求化時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤，依題意應(yīng)轉(zhuǎn)化為再分類求解k 對(duì)癥下藥 (1)設(shè)所求橢圓方程為1 (a>b>

22、;o) 由已知得c=m，2梯形abcd的底邊ab在y軸上，原點(diǎn)o為ab的中點(diǎn)，|ab|=acbd，m為cd的中點(diǎn) (1)求點(diǎn)m的軌跡方程； (2)過(guò)m作ab的垂線，垂足為n，若存在常數(shù)o，使，且p點(diǎn)到a、b的距離和為定值，求點(diǎn)p的軌跡c的方程 考場(chǎng)錯(cuò)解 第(2)問(wèn)：設(shè)p(x，y)，m(xo，yo)，則n(0，yo) x-xo=-ox,y-yo=o(yo-y)，o=-1 專家把脈 對(duì)分析不夠，匆忙設(shè)坐標(biāo)進(jìn)行坐標(biāo)運(yùn)算，實(shí)際上m、n、p三點(diǎn)共線，它們的縱坐標(biāo)是相等的，導(dǎo)致后面求出o=-1是錯(cuò)誤的 對(duì)癥下藥 (1)解法1：設(shè)m(x，y)，則c(x，-1+即(x，y-1)·(x，y+1)=0，

23、得x2+y2=1，又x0，m的軌跡方程是:x2+y2=1(x0)解法2：設(shè)ac與bd交于e，連結(jié)em、eo，ac+bd，ced=aeb=90°，又m、o分3abcd是邊長(zhǎng)為2的正方形紙片，以某動(dòng)直線l為折痕將正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后點(diǎn)。都落在ad上，記為b'；折痕l與ab交于點(diǎn)e，使m滿足關(guān)系式 (1)建立適當(dāng)坐標(biāo)系，求點(diǎn)m的軌跡方程； (2)若曲線c是由點(diǎn)m的軌跡及其關(guān)于邊ab對(duì)稱的 對(duì)癥下藥 (1)解法1以ab所在的直線為y軸，ab的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖6-6所示的直角坐標(biāo)系，別 a(0，1)，b(0，-1)，設(shè)e(0，t)，則由已知有0t1，由(

24、2)由(1)結(jié)合已知條件知c的方程是x2=-4y (-2x2)，由知f(0，)，設(shè)過(guò)f的直線的斜率為k，則方程為y=，p(x1，y1)，q(x2，y2)，由得x1=-x2，聯(lián)立直線方程和c得方程是x2 +4kx-2=0，由-2x2知上述方程在-2，2內(nèi)有兩個(gè)解，由；次函數(shù)的圖像知，由x=-x2可得由韋達(dá)定理得8k2=. 考場(chǎng)錯(cuò)解 (1)設(shè)橢圓方程為，f(c，0)聯(lián)立y=x-c與得(專家把脈與(3，-1)共線，不是相等，錯(cuò)解中，認(rèn)為(3，-1)，這是錯(cuò)誤的，共線是比例相等 (x，y)=(x1，y1)+(x2，y2)， m(x，y)在橢圓上， (x1+x2)23(y1+y2)2=3b2 即2()+

25、2(x1x2+2y1y2)= 3b2 由(1)知x2+x2= x1x2+3y1y2=x1+x2+3(x1-c)(x2-c)=4x1x2-3(x1+x2)c+3c2=0 又又，代入得 2+2=1故2+2為定值，定值為1 1在abc中，sina+cosa=ab=3，求tana的值和abc的面積=sin(45°+60°)= 當(dāng)a=165°時(shí)，tana=tan(45°+ 120°)=-2+，sina=sin(45°+120°) 對(duì)癥下藥 解法1sina+cosa=<180°，a-45°=60°，得a=105°tana=tan(45°+60°)=-2-，sina=sin(45°+60°)= ,sabc= 解法2 sina+cosa=又0°<a<180