新課標(biāo)高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 大題沖關(guān)集訓(xùn)四理

1、高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5大題沖關(guān)集訓(xùn)(四)1.(20xx福州模擬)如圖,正方形abcd所在平面與平面四邊形abef所在平面互相垂直,abe是等腰直角三角形,ab=ae,fa=fe,aef=45°.(1)求證:ef平面bce;(2)設(shè)線段cd的中點(diǎn)為p,在直線ae上是否存在一點(diǎn)m,使得pm平面bce?若存在,請(qǐng)指出點(diǎn)m的位置,并證明你的結(jié)論;若不存在,請(qǐng)說明理由.解:法一(1)取be的中點(diǎn)g,連接ag,由題意知efbe.由ea=ab知agbe,所以efag.平面abcd平面abef,平面abcd平面abef=ab,bcab,bc平面abef,bcag.又bcbe=b,ag平面

2、bce,ef平面bce.(2)當(dāng)m為ae中點(diǎn)時(shí)有pm平面bce.取ab的中點(diǎn)n,連接pn、mn,則mnbe,npbc,所以mn平面bce,np平面bce.又mnnp=n,所以平面pmn平面bce,又pm平面pmn且pm平面bce,pm平面bce.法二(1)因?yàn)閍be為等腰直角三角形,ab=ae,所以aeab.又平面abef平面abcd,ae平面abef,平面abef平面abcd=ab,所以ae平面abcd.所以aead.因此,ad,ab,ae兩兩垂直,以a為坐標(biāo)原點(diǎn),建立直角坐標(biāo)系axyz.設(shè)ab=1,則ae=1,b(0,1,0),d(1,0,0),e(0,0,1),c(1,1,0).因?yàn)閒a

3、=fe,aef=45°,所以afe=90°,從而,f(0,-12,12).所以ef=(0,-12,-12),be=(0,-1,1),bc=(1,0,0).ef·be=0+12-12=0,ef·bc=0.所以efbe,efbc.又bcbe=b,所以ef平面bce.(2)存在點(diǎn)m,當(dāng)m為ae中點(diǎn)時(shí),pm平面bce.m(0,0,12),p(1,12,0).從而pm=(-1,-12,12),于是pm·ef=(-1,-12,12)·(0,-12,-12)=0,所以pmfe,又ef平面bce,直線pm不在平面bce內(nèi),故pm平面bce.2.(20

4、xx臨沂模考)如圖,在三棱柱abca1b1c1中,已知bc=1,bb1=2,bcc1=90°,ab側(cè)面bb1c1c.(1)求直線c1b與底面abc所成角的正弦值;(2)在棱cc1(不包含端點(diǎn)c,c1)上確定一點(diǎn)e的位置,使得eaeb1(要求說明理由).解:法一(1)ab側(cè)面bb1c1c,cc1面bb1c1c,abc1c,又cc1cb且cbab=b,cc1平面abc,c1bc為直線c1b與底面abc所成角.rtcc1b中,bc1=1,cc1=2,則bc1=5.sin c1bc=25=255.直線c1b與底面abc所成角的正弦值為255.(2)取cc1的中點(diǎn)f,連接b1f,bf.矩形bc

5、c1b1中,bf=b1f=2,bb1=2,bfb1f,又abb1f,b1f平面abf,b1faf.故當(dāng)e與f重合,即e為cc1的中點(diǎn)時(shí)有eaeb1.法二如圖,以b為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,則b(0,0,0),c1(1,2,0),b1(0,2,0)(1)直三棱柱abca1b1c1中,平面abc的法向量bb1=(0,2,0),又bc1=(1,2,0),設(shè)bc1與平面abc所成角為,則sin =|cos<bb1,bc1>|=|bb1·bc1|bb1|bc1|=255.直線c1b與底面abc所成角的正弦值為255.(2)設(shè)e(1,y,0),a(0,0,z),則eb1=(-1,2-

6、y,0),ea=(-1,-y,z).eaeb1,ea·eb1=1-y(2-y)=0.y=1,即e(1,1,0).e為cc1的中點(diǎn).3.如圖,在直角梯形abcp中,ab=bc=3,ap=7,cdap于d,現(xiàn)將梯形abcd沿線段cd折成60°的二面角pcda,設(shè)e,f,g分別是pd,pc,bc的中點(diǎn).(1)求證:pa平面efg;(2)若m為線段cd上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),問點(diǎn)m在什么位置時(shí),直線mf與平面efg所成的角最大?并求此最大角的余弦值.(1)證明:adcd,pdcd,cd平面pad,平面pad平面abcd.過p作ad的垂線,垂足為o,則po平面abcd.過o作bc的垂線,交bc

7、于h,分別以oh,od,op為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,pdo是二面角pdca的平面角,pdo=60°,又pd=4,op=23,od=2,ao=1,得a(0,-1,0),b(3,-1,0),c(3,2,0),p(0,0,23),d(0,2,0),e(0,1,3),f(32,1,3),g(3,12,0),故ef=(32,0,0),eg=(3,-12,-3),設(shè)平面efg的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),則n·ef=0,n·eg=0.即32x=0,3x-12y-3z=0,取z=1,得n=(0,-23,1),而pa=(0,-1,-23),n·pa=0

8、+23-23=0,npa,又pa平面efg,故pa平面efg.(2)解:設(shè)m(x,2,0),則mf=(32-x,-1,3),設(shè)mf與平面efg所成角為,則sin =|cos<n,mf>|=|n·mf|n|mf|=3313·(32-x)2+4,故當(dāng)x=32時(shí),sin 取到最大值,則取到最大值,此時(shí)點(diǎn)m為線段cd的中點(diǎn),mf與平面efg所成角的余弦值cos =51326.4.(20xx福建師大附中模擬)一個(gè)幾何體是由圓柱和三棱錐eabc組合而成,點(diǎn)a,b,c在圓o的圓周上,其正視圖、側(cè)視圖的面積分別為10和12,如圖所示,其中ea平面abc,abac,ab=ac,a

9、e=2.(1)求證:acbd;(2)求二面角abdc的大小.解:法一(1)因?yàn)閑a平面abc,ac平面abc,所以eaac,即edac.又因?yàn)閍cab,abed=a,所以ac平面ebd.因?yàn)閎d平面ebd,所以acbd.(2)因?yàn)辄c(diǎn)a,b,c在圓o的圓周上,且abac,所以bc為圓o的直徑.設(shè)圓o的半徑為r,圓柱高為h,根據(jù)正視圖、側(cè)視圖的面積可得2rh+12r×2=10,2rh+12×2r×2=12.解得r=2,h=2.所以bc=4,ab=ac=22.過點(diǎn)c作chbd于點(diǎn)h,連接ah,由(1)知,acbd,acch=c,所以bd平面ach.因?yàn)閍h平面ach,所

10、以bdah.所以ahc為二面角abdc的平面角.由(1)知,ac平面abd,ah平面abd,所以acah,即cah為直角三角形.在rtbad中,ab=22,ad=2,則bd=ab2+ad2=23.由ab·ad=bd·ah,解得ah=263.因?yàn)閠an ahc=acah=3.所以ahc=60°.所以二面角abdc的平面角大小為60°.法二(1)因?yàn)辄c(diǎn)a,b,c在圓o的圓周上,且abac,所以bc為圓o的直徑.設(shè)圓o的半徑為r,圓柱高為h,根據(jù)正視圖、側(cè)視圖的面積可得2rh+12r×2=10,2rh+12×2r×2=12.解得r

11、=2,h=2.所以bc=4,ab=ac=22.以點(diǎn)d為原點(diǎn),dd1,de所在的直線分別為x軸、z軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系dxyz,則d(0,0,0),d1(4,0,0),a(0,0,2),b(2,2,2),c(2,-2,2),ac=(2,-2,0),db=(2,2,2).因?yàn)閍c·db=(2,-2,0)·(2,2,2)=0,所以acdb.所以acbd.(2)設(shè)n=(x,y,z)是平面bcd的法向量,bc=(0,-4,0),n·bc=0,n·db=0.即-4y=0,2x+2y+2z=0.取z=-1,則n=(1,0,-1)是平面bcd的一個(gè)法向量.由(1)

12、知,acbd,又acab,abbd=b,所以ac平面abd.所以ac=(2,-2,0)是平面abd的一個(gè)法向量.因?yàn)閏os<n,ac>=n·ac|n|·|ac|=22×22=12,所以<n,ac>=60°.而<n,ac>等于二面角abdc的平面角,所以二面角abdc的平面角大小為60°.5.(20xx高考浙江卷)如圖,在四棱錐abcde中,平面abc平面bcde,cde=bed=90°,ab=cd=2,de=be=1,ac=2.(1)證明:de平面acd;(2)求二面角bade的大小.(1)證明:在

13、直角梯形bcde中,由de=be=1,cd=2,得bd=bc=2,由ac=2,ab=2得ab2=ac2+bc2,即acbc.又平面abc平面bcde,從而ac平面bcde.所以acde.又dedc,從而de平面acd.(2)解:法一作bfad,與ad交于點(diǎn)f,過點(diǎn)f作fgde,與ae交于點(diǎn)g,連接bg,由(1)知dead,則fgad.所以bfg是二面角bade的平面角.在直角梯形bcde中,由cd2=bc2+bd2,得bdbc.又平面abc平面bcde,得bd平面abc,從而bdab.由于ac平面bcde,得accd.在rtacd中,由dc=2,ac=2,得ad=6.在rtaed中,由ed=1

14、,ad=6,得ae=7.在rtabd中,由bd=2,ab=2,ad=6,得bf=233,af=23ad.從而gf=23.在abe,abg中,利用余弦定理分別可得cos bae=5714,bg=23.在bfg中,cos bfg=gf2+bf2-bg22bf·gf=32.所以,bfg=6,即二面角bade的大小是6.法二以d為原點(diǎn),分別以射線de,dc為x,y軸的正半軸,建立空間直角坐標(biāo)系dxyz,如圖所示.由題意知各點(diǎn)坐標(biāo)如下:d(0,0,0),e(1,0,0),c(0,2,0),a(0,2,2),b(1,1,0).設(shè)平面ade的法向量m=(x1,y1,z1),平面abd的法向量為n=

15、(x2,y2,z2),可算得ad=(0,-2,-2),ae=(1,-2,-2),db=(1,1,0).由m·ad=0,m·ae=0得-2y1-2z1=0,x1-2y1-2z1=0,可取m=(0,1,-2),由n·ad=0,n·bd=0得-2y2-2z2=0,x2+y2=0,可取n=(1,-1,2).于是|cos<m,n>|=|m·n|m|·|n|=33·4=32.由題意可知,所求二面角是銳角,故二面角bade的大小是6.6.如圖1,o的直徑ab=4,點(diǎn)c、d為o上兩點(diǎn),且cab=45°,dab=60&#

16、176;,f為bc的中點(diǎn).沿直徑ab折起,使兩個(gè)半圓所在平面互相垂直(如圖2).(1)求證:of平面acd;(2)求二面角cadb的余弦值;(3)在bd上是否存在點(diǎn)g,使得fg平面acd?若存在,試指出點(diǎn)g的位置,并求直線ag與平面acd所成角的正弦值;若不存在,請(qǐng)說明理由.(1)證明:如圖,以ab所在的直線為y軸,以oc所在的直線為z軸,以o為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系oxyz,則a(0,-2,0),c(0,0,2).ac=(0,0,2)-(0,-2,0)=(0,2,2),點(diǎn)f為bc的中點(diǎn),點(diǎn)f的坐標(biāo)為(0,2,2),of=(0,2,2).of=22ac,即ofac.of平面acd,ac平面a

17、cd,of平面acd.(2)解:dab=60°,點(diǎn)d的坐標(biāo)是(3,-1,0),ad=(3,1,0).設(shè)二面角cadb的大小為,n1=(x,y,z)為平面acd的一個(gè)法向量.由n1·ac=0,n1·ad=0,即2y'+2z'=0,3x'+y'=0.取x=1,解得y=-3,z=3.n1=(1,-3,3).取平面adb的一個(gè)法向量n2=(0,0,1),cos =|n1·n2|n1|n2|=|1×0+(-3)×0+3×1|7×1=217.(3)解:設(shè)在bd上存在點(diǎn)g,使得fg平面acd,of

18、平面acd,平面ofg平面acd,則有ogad.設(shè)og=ad(>0),ad=(3,1,0),og=(3,0).又|og|=2,(3)2+2+02=2,解得=±1(舍去-1).og=(3,1,0),則g為bd的中點(diǎn).因此,在bd上存在點(diǎn)g,使得fg平面acd,且點(diǎn)g為bd的中點(diǎn).設(shè)直線ag與平面acd所成角為,ag=(3,1,0)-(0,-2,0)=(3,3,0),根據(jù)(2)的計(jì)算n1=(1,-3,3)為平面acd的一個(gè)法向量,sin =cos(90°-)=|ag·n1|ag|n1|=|3×1+3×(-3)+0×3|23×7=77.因此,直線ag與平面acd所成角的正弦值為77.7.(20xx高考福建卷)如圖,在四棱柱abcda1b1c1d1中,側(cè)棱aa1底面abcd,abdc,aa1=1,ab=3k,ad=4k,bc=5k,dc=6k(k>0).(1)求證:cd平面add1a1;(2)若直線aa1與平面ab1c所成角的正弦值為67,求k的值;(3)現(xiàn)將與四棱柱abcda1b1c1d1形狀和大小完全相同的兩個(gè)四棱柱拼接成一個(gè)新的四棱柱.規(guī)定:若拼接成的新四棱柱形狀和大小完全