高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)——數(shù)列(知識(shí)點(diǎn)很全)_9608

1、高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)數(shù)列一、知識(shí)梳理數(shù)列概念1.數(shù)列的定義：按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每個(gè)數(shù)稱為該數(shù)列的項(xiàng).2.通項(xiàng)公式：如果數(shù)列an的第 n 項(xiàng)與序號(hào)之間可以用一個(gè)式子表示, 那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式，即 anf (n) .3.遞推公式：如果已知數(shù)列an的第一項(xiàng)（或前幾項(xiàng)） ，且任何一項(xiàng) an 與它的前一項(xiàng) an 1 （或前幾項(xiàng)）間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，即anf (an 1 ) 或 an f (an1 , an 2 ) ，那么這個(gè)式子叫做數(shù)列 an的遞推公式 .如數(shù)列 an中， a11, an 2an 1，其中 an2an1是數(shù)列 an 的遞推公式 .4. 數(shù)列

2、的前 n 項(xiàng)和與通項(xiàng)的公式 Sn a1 a2an； anS1 (n1)Sn.Sn 1 ( n 2)5.數(shù)列的表示方法：解析法、圖像法、列舉法、遞推法.6. 數(shù)列的分類：有窮數(shù)列，無(wú)窮數(shù)列；遞增數(shù)列，遞減數(shù)列，擺動(dòng)數(shù)列，常數(shù)數(shù)列；有界數(shù)列，無(wú)界數(shù)列 .遞增數(shù)列 : 對(duì)于任何 nN, 均有 an 1an .遞減數(shù)列 : 對(duì)于任何 nN, 均有 an 1an .擺動(dòng)數(shù)列 : 例如 :1,1,1,1,1, .常數(shù)數(shù)列 : 例如 :6,6,6,6, .有界數(shù)列 : 存在正數(shù) M 使 anM , nN .無(wú)界數(shù)列 : 對(duì)于任何正數(shù) M ,總有項(xiàng) an 使得 an M .等差數(shù)列1. 等差數(shù)列的概念如果一個(gè)

3、數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)稱為等差數(shù)列的公差.d，這個(gè)數(shù)列叫做等差數(shù)列，常數(shù)d2. 通項(xiàng)公式與前 n 項(xiàng)和公式通項(xiàng)公式 ana1(n1) d ，a1 為首項(xiàng)， d 為公差 .前 n 項(xiàng)和公式 Snn(a1an )或 Snna112n(n 1)d .23. 等差中項(xiàng)如果 a, A, b 成等差數(shù)列，那么A 叫做 a 與 b 的等差中項(xiàng) .即： A 是 a 與 b 的等差中項(xiàng)2A a ba ， A ， b 成等差數(shù)列 .4. 等差數(shù)列的判定方法定義法： an 1and （ nN ， d 是常數(shù)）an 是等差數(shù)列；中項(xiàng)法： 2an1anan2 ( nN )an是等差數(shù)列 .5

4、. 等差數(shù)列的常用性質(zhì)數(shù)列 an是等差數(shù)列，則數(shù)列anp 、 pan（ p 是常數(shù)）都是等差數(shù)列；在等差數(shù)列an中，等距離取出若干項(xiàng)也構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，即an , an k , an2k , an 3k ,為等差數(shù)列，公差為 kd . an am(nm)d ；ananb ( a , b 是常數(shù) ) ；Snan2bn( a ,b 是常數(shù)， a0 )(,) ，則aman a paq；若m n p q m n p q N若等差數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和 Sn，則Sn是等差數(shù)列；n當(dāng)項(xiàng)數(shù)為2n(nN)，則 偶奇S偶an 1；nd,SSanS奇當(dāng)項(xiàng)數(shù)為 2n1( nN )，則奇偶S偶n1.SSan , S奇

5、n等比數(shù)列1. 等比數(shù)列的概念如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)q(q0) ，這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，常數(shù) q 稱為等比數(shù)列的公比.2. 通項(xiàng)公式與前 n 項(xiàng)和公式通項(xiàng)公式： ana1 qn 1， a1為首項(xiàng)， q 為公比 .前 n 項(xiàng)和公式：當(dāng) q1時(shí)， Snna1當(dāng) q 1 時(shí)， Sna1(1 qn ) a1an q .1q1q3. 等比中項(xiàng)如果 a, G, b 成等比數(shù)列，那么 G 叫做 a 與 b 的等比中項(xiàng) .即： G 是 a 與 b 的等差中項(xiàng)a， A ， b 成等差數(shù)列G 2a b .4. 等比數(shù)列的判定方法定義法： an 1q （ nN ， q0 是常數(shù)）

6、an是等比數(shù)列；an2an an 2 ( n N) 且 an0an中項(xiàng)法： an 1是等比數(shù)列 .5. 等比數(shù)列的常用性質(zhì)數(shù)列 an是等比數(shù)列，則數(shù)列pa n 、 pan （ q0 是常數(shù)）都是等比數(shù)列；在等比數(shù)列an 中，等距離取出若干項(xiàng)也構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，即an , an k , an 2k , an 3k ,為等比數(shù)列，公比為 qk. an am q n m (n, m N )(,) ，則aman a paq；若m n p q m n p q N若等比數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和 Sn ，則 Sk 、 S2kSk 、 S3kS2 k 、 S4 kS3 k 是等比數(shù)列 .二、典型例題A、求值

7、類的計(jì)算題（多關(guān)于等差等比數(shù)列）1）根據(jù)基本量求解（方程的思想）1、已知 Sn 為等差數(shù)列 an的前 n 項(xiàng)和， a49, a96, Sn 63 ，求 n ；2、等差數(shù)列 an 中， a410 且 a3，a6，a10成等比數(shù)列，求數(shù)列an前 20 項(xiàng)的和 S20 3、設(shè) an 是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，若a11, a516，求數(shù)列an前 7項(xiàng)的和.4、已知四個(gè)實(shí)數(shù)，前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，首末兩數(shù)之和為37 ，中間兩數(shù)之和為 36 ，求這四個(gè)數(shù) .2）根據(jù)數(shù)列的性質(zhì)求解（整體思想）1、已知 Sn 為等差數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和， a6100，則 S11；2、設(shè) Sn 、 Tn 分別

8、是等差數(shù)列an、 an的前 n 項(xiàng)和， Sn7n2 ，則 a5.Tnn3b53、設(shè) Sn 是等差數(shù)列 an的前 n 項(xiàng)和，若a55S9（）a3, 則S594、等差數(shù)列 an , bn 的前 n 項(xiàng)和分別為 Sn , Tn ,若 Sn2n,則 an =（）Tn3n 1bn5、已知 Sn 為等差數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和， Snm, Smn(nm) ，則 Sm n.6、在正項(xiàng)等比數(shù)列an中， a1a52a3a5a3a725 ，則 a3a5_ _。7、已知數(shù)列an是等差數(shù)列，若a4a7 a1017 , a4a5a6a12a13a1477且 ak13, 則 k_。8、已知 Sn 為等比數(shù)列an前 n 項(xiàng)和

9、， Sn54 ， S2 n60 ，則 S3 n.9、在等差數(shù)列an 中，若 S41, S84，則 a17a18a19a20 的值為（）10、在等比數(shù)列中，已知a9a10a(a0)， a19a20b ，則 a99a100.11、已知 an為等差數(shù)列， a158, a6020 ，則 a7512、等差數(shù)列an中，已知S41S8.S8, 求S163B、求數(shù)列通項(xiàng)公式1） 給出前幾項(xiàng)，求通項(xiàng)公式1,0,1,0,1,3,6,10,15,21,3，-33,333 ，-3333,33333 2）給出前n 項(xiàng)和求通項(xiàng)公式1、 Sn2n 23n ； Sn 3n1.2、設(shè)數(shù)列an滿足 a13a232 a3 +3n-

10、1 ann (n N * ) ，求數(shù)列an 的通項(xiàng)公式33）給出遞推公式求通項(xiàng)公式a、已知關(guān)系式an 1anf (n) ，可利用迭加法或迭代法；an (anan 1 ) (an 1an 2 ) (an 2an 3 )(a2 a1 ) a1例：已知數(shù)列 an 中， a12, anan 12n1(n 2) ，求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式；b、已知關(guān)系式 an1anf (n) ，可利用迭乘法 . ananan 1an 2a3a2a1an 1 an 2an 3a2a1例、已知數(shù)列a滿足：ann1(n2), a12 ，求求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；nan 1n1c、構(gòu)造新數(shù)列1°遞推關(guān)系形如“an1pan

11、q ”，利用待定系數(shù)法求解例、已知數(shù)列an中， a11, an 12an3，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式 .2°遞推關(guān)系形如“，兩邊同除pn1 或待定系數(shù)法求解例、a1 1, an12an3n ，求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式 .3°遞推已知數(shù)列an 中，關(guān)系形如“ an2pan1qan ”，利用待定系數(shù)法求解例、已知數(shù)列an中， a11, a22, an23an12an ，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式 .4°遞推關(guān)系形如 " anpan1qan an （1p,q0) , 兩邊同除以 anan 1例 1、已知數(shù)列an中，anan 1（n2),a12，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式 .2a

12、nan 1例 2、數(shù)列 an中， a12, an12an( nN) ，求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式 .4 and、給出關(guān)于 Sn 和 am 的關(guān)系例 1、設(shè)數(shù)列an 的前 n項(xiàng)和為 Sn ，已知 a1a, an 1Sn3n (nN) ，設(shè) bnSn3n ，求數(shù)列 bn 的通項(xiàng)公式例 2、設(shè) Sn 是數(shù)列 an的前 n 項(xiàng)和， a11 ， Sn2anSn1 ( n2) .2求 an的通項(xiàng)；設(shè) bnSn，求數(shù)列bn 的前 n 項(xiàng)和 Tn .2n1C、證明數(shù)列是等差或等比數(shù)列1)證明數(shù)列等差Sn (n N ) . 求證：數(shù)列 bn例 1、已知 Sn 為等差數(shù)列an 的前 n 項(xiàng)和， bn是等差數(shù)列 .n1

13、例 2、已知數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和為 Sn，且滿足an+2Sn·Sn 1=0 （ n 2）， a1=.1求證： 是等差數(shù)列；Sn2）證明數(shù)列等比例 1、設(shè) an 是等差數(shù)列， bn 12an，求證：數(shù)列 bn 是等比數(shù)列；例 2、數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和為 Sn，數(shù)列 bn 中，若 an+Sn=n.設(shè) cn=an1，求證：數(shù)列 cn 是等比數(shù)列；例 3、已知 Sn 為數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和， a11， Sn4an 2 .設(shè)數(shù)列 bn中， bnan12an ，求證： bn是等比數(shù)列；設(shè)數(shù)列 cn中， cnan，求證：cn是等差數(shù)列；求數(shù)列an 的通項(xiàng)公式及前n 項(xiàng)和 .2n2

14、n例 4、設(shè) Sn 為數(shù)列an 的前 n項(xiàng)和，已知 banb 1 Sn證明：當(dāng) b2 時(shí)， ann 2n 1是等比數(shù)列；求 an的通項(xiàng)公式例 5、已知數(shù)列an滿足 a11,a23,an23an 12an (n N * ).證明：數(shù)列an 1an 是等比數(shù)列；求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；若數(shù)列bn 滿足4b1 14b2 1.4bn 1(an1)bn ( n N * ), 證明 bn 是等差數(shù)列 .D、求數(shù)列的前 n 項(xiàng)和基本方法：1）公式法，2）拆解求和法 .例 1、求數(shù)列 2 n2n3 的前 n 項(xiàng)和 Sn .例 、求數(shù)列1，1 ，1， ，1 )，的前 n 項(xiàng)和 Sn .21 2 3( n2n248

15、例 3、求和： 2× 5+3× 6+4× 7+ +n（ n+3）2）裂項(xiàng)相消法，數(shù)列的常見(jiàn)拆項(xiàng)有：11 ( 11 ) ；n( nk )k nn k1n1n ；nn 1例 1、求和： S=1+11112123123n例 2、求和：1111.213243n1n3）倒序相加法，例、設(shè) f ( x)x 22 ，求：1x f ( 41 )f (13 )f ( 21 )f ( 2)f (3)f (4) ； f ( 20101 )f ( 20091 )f ( 31 )f ( 21 )f ( 2)f (2009) f ( 2010).4）錯(cuò)位相減法，3n ，求此數(shù)列的前例、若數(shù)列

16、 an的通項(xiàng) an(2n 1)n 項(xiàng)和 Sn .5）對(duì)于數(shù)列等差和等比混合數(shù)列分組求和2例、已知數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和 Sn=12n n ，求數(shù)列 | an| 的前 n 項(xiàng)和 Tn.E、數(shù)列單調(diào)性最值問(wèn)題例 1、數(shù)列 an中， an2n49 ，當(dāng)數(shù)列 an的前 n 項(xiàng)和 Sn取得最小值時(shí)， n.例 2、已知 Sn 為等差數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和， a125, a4 16.當(dāng) n 為何值時(shí)， Sn 取得最大值；例 3、數(shù)列an中， an3n228n1，求 an 取最小值時(shí) n 的值 .例 4、數(shù)列an中， annn22，求數(shù)列an 的最大項(xiàng)和最小項(xiàng) .例 5、設(shè)數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 Sn已

17、知 a1 a ， an 1 Sn3n ， n N * （）設(shè) bnSn3n ，求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；（）若 an1 an ， nN* ，求 a 的取值范圍例 6、已知求數(shù)列數(shù)列 anSn 為數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和， a13 ， Sn Sn 1 2an (n 2) .an 的通項(xiàng)公式；中是否存在正整數(shù)k ，使得不等式ak ak 1 對(duì)任意不小于 k 的正整數(shù)都成立？若存在，求最小的正整數(shù)k ，若不存在，說(shuō)明理由 .例 7、非等比數(shù)列 an 中，前 n 項(xiàng)和 Sn1(an 1)2 ，（1）求數(shù)列 an4的通項(xiàng)公式；（2）設(shè) bn1( nN*) ，Tn b1b2bn ，是否存在最大的整數(shù)m，使得對(duì)任意n(3an)的 n 均有 Tnmm；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由?？偝闪?？若存在，求出32F、有關(guān)數(shù)列的實(shí)際問(wèn)題例 1、用磚砌墻 , 第一層 ( 底層 ) 用去了全部磚塊的一半多一塊 , 第二層用去了剩下的一半多一塊, 依次