全等三角形的提高拓展訓(xùn)練(學(xué)生版)1he全等三角形經(jīng)典題型50題(附含答案解析)

1、 范文范例 精心整理全等三角形的提高拓展訓(xùn)練知識(shí)點(diǎn)睛 全等三角形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)邊上的中線相等，對(duì)應(yīng)邊上的高相等，對(duì)應(yīng)角的角平分線相等，面積相等尋找對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角，常用到以下方法：(1)全等三角形對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊，兩個(gè)對(duì)應(yīng)角所夾的邊是對(duì)應(yīng)邊(2)全等三角形對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的角是對(duì)應(yīng)角，兩條對(duì)應(yīng)邊所夾的角是對(duì)應(yīng)角(3)有公共邊的，公共邊常是對(duì)應(yīng)邊(4)有公共角的，公共角常是對(duì)應(yīng)角(5)有對(duì)頂角的，對(duì)頂角常是對(duì)應(yīng)角(6)兩個(gè)全等的不等邊三角形中一對(duì)最長(zhǎng)邊(或最大角)是對(duì)應(yīng)邊(或?qū)?yīng)角)，一對(duì)最短邊(或最小角)是對(duì)應(yīng)邊(或?qū)?yīng)角)要想正確地表示兩個(gè)三角形全等，找出對(duì)應(yīng)的元素是關(guān)鍵

2、全等三角形的判定方法：(1) 邊角邊定理(sas)：兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等 (2) 角邊角定理(asa)：兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(3) 邊邊邊定理(sss)：三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(4) 角角邊定理(aas)：兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(5) 斜邊、直角邊定理(hl)：斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等全等三角形的應(yīng)用：運(yùn)用三角形全等可以證明線段相等、角相等、兩直線垂直等問題，在證明的過程中，注意有時(shí)會(huì)添加輔助線拓展關(guān)鍵點(diǎn)：能通過判定兩個(gè)三角形全等進(jìn)而證明兩條線段間的位置關(guān)系和大小關(guān)系而證明兩條線段或兩個(gè)角的和、差、倍、

3、分相等是幾何證明的基礎(chǔ)例題精講板塊一、截長(zhǎng)補(bǔ)短【例1】 (年北京中考題)已知中，、分別平分和，、交于點(diǎn)，試判斷、的數(shù)量關(guān)系，并加以證明 【例2】 如圖，點(diǎn)為正三角形的邊所在直線上的任意一點(diǎn)(點(diǎn)除外)，作，射線與外角的平分線交于點(diǎn)，與有怎樣的數(shù)量關(guān)系?【變式拓展訓(xùn)練】如圖，點(diǎn)為正方形的邊上任意一點(diǎn)，且與外角的平分線交于點(diǎn)，與有怎樣的數(shù)量關(guān)系？ 【例3】 已知：如圖，abcd是正方形，fad=fae. 求證：be+df=ae.【例4】 以的、為邊向三角形外作等邊、，連結(jié)、相交于點(diǎn)求證：平分 【例5】 (北京市、天津市數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)如圖所示，是邊長(zhǎng)為的正三角形，是頂角為的等腰三角形，以為頂點(diǎn)作一個(gè)的

4、，點(diǎn)、分別在、上，求的周長(zhǎng) 【例6】 五邊形abcde中，ab=ae，bc+de=cd，abc+aed=180°， 求證：ad平分cde板塊二、全等與角度【例7】如圖，在中，是的平分線，且，求的度數(shù). 【例8】在等腰中，頂角，在邊上取點(diǎn)，使， 求. 【例9】(“勤奮杯”數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題) 如圖所示，在中，又在上，在上，且滿足，求. 【例10】 在四邊形中，已知，求的度數(shù).【例11】 (日本算術(shù)奧林匹克試題) 如圖所示，在四邊形中，求的度數(shù). 【例12】 (河南省數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題) 在正內(nèi)取一點(diǎn)，使， 在外取一點(diǎn)，使，且，求. 【例13】 (北京市數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題) 如圖所示，在中，為內(nèi)一點(diǎn)，使

5、得，求的度數(shù).全等三角形證明經(jīng)典50題（含答案）1. 已知：ab=4，ac=2，d是bc中點(diǎn)，ad是整數(shù)，求adadbc延長(zhǎng)ad到e,使de=ad,則三角形adc全等于三角形ebd 即be=ac=2 在三角形abe中,ab-be<ae<ab+be 即:10-2<2ad<10+2 4<ad<6 又ad是整數(shù),則ad=5 2. 已知：d是ab中點(diǎn)，acb=90°，求證：dabc3. 已知：bc=de，b=e，c=d，f是cd中點(diǎn)，求證：1=2abcdef21證明：連接bf和ef。因?yàn)?bc=ed,cf=df,bcf=edf。所以 三角形bcf全等于三角

6、形edf(邊角邊)。所以 bf=ef,cbf=def。連接be。在三角形bef中,bf=ef。所以 ebf=bef。又因?yàn)?abc=aed。所以 abe=aeb。所以 ab=ae。在三角形abf和三角形aef中，ab=ae,bf=ef,abf=abe+ebf=aeb+bef=aef。所以 三角形abf和三角形aef全等。所以 baf=eaf (1=2)。 bacdf21e4. 已知：1=2，cd=de，ef/ab，求證：ef=ac證明：過e點(diǎn)，作eg/ac，交ad延長(zhǎng)線于g則deg=dca，dge=2又cd=deadcgde（aas）eg=acef/abdfe=11=2dfe=dgeef=eg

7、ef=ac5. 已知：ad平分bac，ac=ab+bd，求證：b=2cacdb證明：在ac上截取ae=ab，連接edad平分bacead=bad又ae=ab，ad=adaedabd（sas）aed=b，de=dbac=ab+bd ac=ae+cece=dec=edcaed=c+edc=2cb=2c6. 已知：ac平分bad，ceab，b+d=180°，求證：ae=ad+be證明： 在ae上取f，使efeb，連接cf 因?yàn)閏eab 所以cebcef90° 因?yàn)閑bef，cece， 所以cebcef 所以bcfe 因?yàn)閎d180°，cfecfa180° 所以

8、dcfa 因?yàn)閍c平分bad 所以dacfac 又因?yàn)閍cac 所以adcafc（sas） 所以adaf 所以aeaffeadbe 12. 如圖，四邊形abcd中，abdc，be、ce分別平分abc、bcd，且點(diǎn)e在ad上。求證：bc=ab+dc。證明:在bc上截取bf=ba,連接ef.abe=fbe,be=be,則abefbe(sas),efb=a;ab平行于cd,則:a+d=180°又efb+efc=180°,則efc=d;又fce=dce,ce=ce,故fcedce(aas),fc=cd.所以,bc=bf+fc=ab+cd.dcbafe13.已知：ab/ed，eab=

9、bde，af=cd，ef=bc，求證：f=cab/ed,ae/bd推出ae=bd,又有af=cd,ef=bc所以三角形aef 全等于三角形dcb，所以:c=f14. 已知：ab=cd，a=d，求證：b=cabcd證明：設(shè)線段ab,cd所在的直線交于e，（當(dāng)ad<bc時(shí)，e點(diǎn)是射線ba,cd的交點(diǎn)，當(dāng)ad>bc時(shí)，e點(diǎn)是射線ab,dc的交點(diǎn)）。則：aed是等腰三角形。所以：ae=de而ab=cd所以：be=ce (等量加等量，或等量減等量）所以：bec是等腰三角形所以：角b=角c.15. p是bac平分線ad上一點(diǎn)，ac>ab，求證：pc-pb<ac-ab作b關(guān)于ad的對(duì)

10、稱點(diǎn)b，因?yàn)閍d是角bac的平分線，b'在線段ac上（在ac中間，因?yàn)閍b較短）因?yàn)閜c<pb+bc,pc-pb<bc,而b'c=ac-ab'=ac-ab,所以pc-pb<ac-abpdacb16. 已知abc=3c，1=2，beae，求證：ac-ab=2bebac=180-（abc+c=180-4c1=bac/2=90-2cabe=90-1=2c延長(zhǎng)be交ac于f因?yàn)椋? =2，beae所以，abf是等腰三角形ab=af,bf=2befbc=abc-abe=3c-2c=cbf=cfac-ab=ac-af=cf=bf=2be17. 已知，e是ab中點(diǎn)，

11、af=bd，bd=5，ac=7，求faedcbdc作agbd交de延長(zhǎng)線于gage全等bde ag=bd=5agfcdf af=ag=5所以dc=cf=218（5分）如圖，在abc中，bd=dc，1=2，求證：adbc延長(zhǎng)ad至h交bc于h;bd=dc;所以:dbc=角dcb;1=2;dbc+1=角dcb+2;abc=acb;所以:ab=ac;三角形abd全等于三角形acd;bad=cad;ad是等腰三角形的頂角平分線所以:ad垂直bc19（5分）如圖，om平分poq，maop,mboq，a、b為垂足，ab交om于點(diǎn)n求證：oab=oba因?yàn)閍om與mob都為直角三角形、共用om，且moa=m

12、ob所以ma=mb所以mab=mba因?yàn)閛am=obm=90度所以oab=90-mab oba=90-mba所以oab=oba20（5分）如圖，已知adbc，pab的平分線與cba的平分線相交于e，ce的連線交ap于d求證：ad+bc=ab證明：做be的延長(zhǎng)線，與ap相交于f點(diǎn)，pa/bcpab+cba=180°，又，ae，be均為pab和cba的角平分線eab+eba=90°aeb=90°，eab為直角三角形在三角形abf中，aebf，且ae為fab的角平分線三角形fab為等腰三角形，ab=af,be=ef在三角形def與三角形bec中，ebc=dfe,且be=

13、ef，def=ceb，三角形def與三角形bec為全等三角形，df=bcab=af=ad+df=ad+bc21（6分）如圖，abc中，ad是cab的平分線，且ab=ac+cd，求證：c=2b證明：在ab上找點(diǎn)e，使ae=acae=ac，ead=cad，ad=adadeadc。de=cd，aed=cab=ac+cd，de=cd=ab-ac=ab-ae=beb=edbc=b+edb=2b22（6分）如圖，e、f分別為線段ac上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且deac于e，bfac于f，若ab=cd，af=ce，bd交ac于點(diǎn)m（1）求證：mb=md，me=mf（2）當(dāng)e、f兩點(diǎn)移動(dòng)到如圖的位置時(shí)，其余條件不變，上述

14、結(jié)論能否成立？若成立請(qǐng)給予證明；若不成立請(qǐng)說明理由 分析：通過證明兩個(gè)直角三角形全等，即rtdecrtbfa以及垂線的性質(zhì)得出四邊形bedf是平行四邊形再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出結(jié)論解答：解：（1）連接be，dfdeac于e，bfac于f，dec=bfa=90°，debf，在rtdec和rtbfa中，af=ce，ab=cd，rtdecrtbfa，de=bf四邊形bedf是平行四邊形mb=md，me=mf；（2）連接be，dfdeac于e，bfac于f，dec=bfa=90°，debf，在rtdec和rtbfa中，af=ce，ab=cd，rtdecrtbfa，de=bf四邊形

15、bedf是平行四邊形mb=md，me=mf 23（7分）已知：如圖，dcab，且dc=ae，e為ab的中點(diǎn)，（1）求證：aedebc（2）觀看圖前，在不添輔助線的情況下，除ebc外，請(qǐng)?jiān)賹懗鰞蓚€(gè)與aed的面積相等的三角形（直接寫出結(jié)果，不要求證明）：(1)dcae，且dc=ae，所以四邊形aecd是平行四邊形。于是知ad=ec，且ead=bec。由ae=be，所以aedebc。（2）aec、acd、ecd都面積相等。24（7分）如圖，abc中，bac=90度，ab=ac，bd是abc的平分線，bd的延長(zhǎng)線垂直于過c點(diǎn)的直線于e，直線ce交ba的延長(zhǎng)線于f求證：bd=2ce證明：延長(zhǎng)ba、ce，

16、兩線相交于點(diǎn)f bece bef=bec=90° 在bef和bec中 fbe=cbe, be=be, bef=bec befbec(asa) ef=ec cf=2ce abd+adb=90°,acf+cde=90° 又adb=cde abd=acf 在abd和acf中 abd=acf, ab=ac, bad=caf=90° abdacf(asa) bd=cf bd=2ce25、（10分）如圖：df=ce，ad=bc，d=c。求證：aedbfc。26、（10分）如圖：ae、bc交于點(diǎn)m，f點(diǎn)在am上，becf，be=cf。求證：am是abc的中線。證明：b

17、ecfe=cfm，ebm=fcmbe=cfbemcfmbm=cmam是abc的中線. 27、（10分）如圖：在abc中，ba=bc，d是ac的中點(diǎn)。求證：bdac。三角形abd和三角形bcd的三條邊都相等，它們?nèi)?，所以角adb和角cdb相等，它們的和是180度，所以都是90度，bd垂直ac 28、（10分）ab=ac，db=dc，f是ad的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)。求證：bf=cf證明：在abd與acd中ab=acbd=dcad=adabdacdadb=adcbdf=fdc在bdf與fdc中bd=dcbdf=fdcdf=dffbdfcdbf=fc29、（12分）如圖：ab=cd，ae=df，ce=fb

18、。求證：af=de。因?yàn)閍b=dcae=df,ce=fb ce+ef=ef+fb所以三角形abe=三角形cdf因?yàn)?角dcb=角abfab=dc bf=ce三角形abf=三角形cde所以af=de30.公園里有一條“z”字形道路abcd，如圖所示，其中abcd，在ab，cd，bc三段路旁各有一只小石凳e，f，m，且becf，m在bc的中點(diǎn)，試說明三只石凳e，f，m恰好在一條直線上.證：ab平行cd（已知）b=c（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）m在bc的中點(diǎn)（已知）em=fm（中點(diǎn)定義）在bme和cmf中 be=cf（已知） b=c（已證） em=fm（已證）bme全等與cmf（sas）emb=fmc

19、（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）emf=emb+bmf=fmc+bmf=bmc=180°（等式的性質(zhì)）e，m，f在同一直線上31已知：點(diǎn)a、f、e、c在同一條直線上， afce，bedf，bedf求證：abecdf證明：af=ceaf+ef=ce+efae=cfbe/dfbea=dfc又be=df abecdf（sas）dbccafe32.已知：如圖所示，abad，bcdc，e、f分別是dc、bc的中點(diǎn)，求證： aeaf。 連結(jié)bd，得到等腰三角形abd和等腰三角形bdc，由等腰兩底角相等得：角abc=角adc 在結(jié)合已知條件證得：adeabf得ae=af33如圖，在四邊形abcd中，e是

20、ac上的一點(diǎn)，1=2，3=4，求證: 5=6 因?yàn)榻?=角23=4所以角adc=角abc.又因?yàn)閍c是公共邊，所以aas=>三角形adc全等于三角形abc.所以bc等于dc，角3等于角4,ec=ec三角形dec全等于三角形bec所以5=634已知abde，bcef，d，c在af上，且adcf，求證：abcdef因?yàn)閐,c在af上且ad=cf所以ac=df又因?yàn)閍b平行de，bc平行ef所以角a+角edf，角bca=角f（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）然后ssa（角角邊）三角形全等acbdef35已知：如圖，ab=ac，bdac，ceab，垂足分別為d、e，bd、ce相交于點(diǎn)f，求證：be=cd

21、證明：因?yàn)?ab=ac， 所以 ebc=dcb 因?yàn)?bdac，ceab 所以 bec=cdb bc=cb (公共邊) 則有 三角形ebc全等于三角形dcb 所以 becd36、 如圖，在abc中，ad為bac的平分線，deab于e，dfac于f。aebdcf求證：de=dfaas證adfdcbae37.已知：如圖, acbc于c , deac于e , adab于a , bc =ae若ab = 5 ,求ad 的長(zhǎng)？角c=角e=90度角b=角ead=90度-角bacbc=aeabcdaead=ab=538如圖：ab=ac，meab，mfac，垂足分別為e、f，me=mf。求證：mb=mc證明ab

22、=acabc是等腰三角形b=c又me=mf，bem和cem是直角三角形bem全等于cemmb=mc39.如圖，給出五個(gè)等量關(guān)系： 請(qǐng)你以其中兩個(gè)為條件，另三個(gè)中的一個(gè)為結(jié)論，推出一個(gè)正確的結(jié)論（只需寫出一種情況），并加以證明abc已知：求證：證明：已知1,2求證4因?yàn)閍d=bc ac=bd，在四邊形adbc中，連ab所以adb全等于bca 所以角d=角c以4,5為條件，1為結(jié)論。即：在四邊形abcd中，d=c，a=b，求證：ad=bc因?yàn)?a+b+c+d=360d=c，a=b，所以 2(a+d)=360°， a+d=180°，所以 ab/dc 40在abc中，直線經(jīng)過點(diǎn)，且

23、于，于.(1)當(dāng)直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，求證： ；(2)當(dāng)直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，說明理由.（1） 證明：acb=90°，acd+bce=90°，而admn于d，bemn于e，adc=ceb=90°，bce+cbe=90°，acd=cbe在rtadc和rtceb中，adc=cebacd=cbe ac=cb，rtadcrtceb（aas），ad=ce，dc=be，de=dc+ce=be+ad；（2）不成立，證明：在adc和ceb中，adc=ceb=90°acd=cbe ac=cb，ad

24、cceb（aas），ad=ce，dc=be，de=ce-cd=ad-be；41如圖所示，已知aeab，afac，ae=ab，af=ac。求證：（1）ec=bf；（2）ecbfaebmcf（1） 證明;因?yàn)閍e垂直ab所以角eab=角eac+角cab=90度因?yàn)閍f垂直ac所以角caf=角cab+角baf=90度所以角eac=角baf因?yàn)閍e=ab af=ac所以三角形eac和三角形fab全等所以ec=bf角eca=角f（2） (2)延長(zhǎng)fb與ec的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)g因?yàn)榻莈ca=角f(已證）所以角g=角caf因?yàn)榻莄af=90度所以ec垂直bf42如圖：beac，cfab，bm=ac，cn=ab。

25、求證：（1）am=an；（2）aman。證明：（1）beac，cfababm+bac=90°，acn+bac=90°abm=acnbm=ac，cn=ababmnacam=an（2）abmnacbam=nn+ban=90°bam+ban=90°即man=90°aman43如圖,已知a=d,ab=de,af=cd,bc=ef.求證:bcef連接bf、ce，證明abf全等于dec（sas），然后通過四邊形bcef對(duì)邊相等的證得平行四邊形bcef從而求得bc平行于ef44如圖,已知acbd，ea、eb分別平分cab和dba，cd過點(diǎn)e，則ab與ac+bd相等嗎？請(qǐng)說明理由在ab上取點(diǎn)n ,使得an=ac cae=ean ,ae為公共邊,所以三角形cae全等三角形ean所以ane=ace又ac平行bd所以ace+bde=180而ane+enb=180所以enb=bdenbe=ebnbe為公共邊,所以三角形ebn全等三角形ebd所以bd=bn所以ab=an+bn=ac+bd45、（10分） 如圖,已知: ad是bc上的中線 ,且df=de求證:becf證明：ad是中線bd=cddf=de，bde=cdfbd