MATLAB在極值問題研究中的應(yīng)用

1、1.引言1.1 問題的提出函數(shù)的極值問題不但是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)展的重點(diǎn)問題，也是實(shí)際生活中應(yīng)用較為廣泛的問題。在歷屆的高考試題中，求解函數(shù)極值都是考試的重點(diǎn)，并且所占分值比重較大。而在我們實(shí)際生活中，經(jīng)常會遇到以下一些問題。例如，怎樣才運(yùn)輸才能使運(yùn)費(fèi)最省；怎樣使用一定面積的包裝紙使得得到的包裝盒容積最大等等。為了使利益最大化，我們必須要讓生產(chǎn)的費(fèi)用最小，從而得到最大的利潤。這樣的實(shí)際生活問題就用到了更為復(fù)雜的求解極值問題的方法。那對于求解極值的方法，除了利用數(shù)學(xué)知識，還可以利用MATLAB軟件。MATLAB軟件是由美國公司開發(fā)的，集數(shù)值計算、圖形可視化和符號處理于一身的軟件，利用MATLAB強(qiáng)大的繪

2、圖功能，可以將復(fù)雜的極值問題快速解決。1.2研究目的本文將通過一元函數(shù)及多元函數(shù)在不同情況下求解極值的方法，延伸到實(shí)際生活中去。企業(yè)經(jīng)營者經(jīng)常采用求解極值的辦法使商品獲得的利潤最大，并盡可能的降低成本。而對于工廠來說，合理的計算利用極值問題，不但可以使利益最大化，更重要的是保護(hù)了我們賴以生存的家園，這對于整個人類來說是是意義非凡的。而解決極值問題的方法一直是我們積極探索的內(nèi)容，本文將利用MATLAB程序降低計算極值問題的難度。1.3研究意義函數(shù)的極值問題在生活中應(yīng)用非常廣泛。在生產(chǎn)商生產(chǎn)銷售貨物時可以用到；在建造樓房考慮光照面積是可以用到；在治理環(huán)境問題是也可以用到，在航天、航海、價格策劃等眾

3、多領(lǐng)域中都可以用到，并且起著不可替代的作用。許多問題最終都可以歸結(jié)為函數(shù)的極值問題，而我們除了用原始的數(shù)學(xué)方法，還可用MATLAB程序軟件來快速的解決這些問題，這也是我們研究MATLAB在極值問題中的應(yīng)用的意義。2.函數(shù)極值的定義2.1一元函數(shù)極值的定義 設(shè)函數(shù)在附近有定義，如果對附近的所有的點(diǎn)都有， 則是的極大值。如果附近所有的點(diǎn)都有,則時的極小值，極大值與極小值統(tǒng)稱為極值。2.2多元函數(shù)極值的定義若多元函數(shù)于的鄰域內(nèi)有定義，并且當(dāng)時，則說函數(shù)在處取得極大值（或極小值），點(diǎn)稱為函數(shù)的極值點(diǎn)。3.MATLAB在一元函數(shù)極值中的應(yīng)用3.1一元函數(shù)利用數(shù)學(xué)知識求解極值的方法在高中的時候我們簡單學(xué)習(xí)

4、了一元函數(shù)求極值的辦法。首先對一元函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，令導(dǎo)函數(shù)等于零。導(dǎo)函數(shù)等于零時，得到的值稱為駐點(diǎn)。原函數(shù)在駐點(diǎn)對應(yīng)的值為極值（駐點(diǎn)個數(shù)不唯一）。而得到的導(dǎo)函數(shù)在定義域內(nèi)大于零的部分稱為增函數(shù)，小于零的部分稱為減函數(shù)。函數(shù)先增后減在拐點(diǎn)產(chǎn)生的值稱為極大值，函數(shù)先減后增在拐點(diǎn)產(chǎn)生的值稱為極小值。極大值和極小值統(tǒng)稱為極值。例1.求函數(shù)的極值。解：先對原函數(shù)求導(dǎo)，得到： ，若，則。所以為原函數(shù)的極值點(diǎn)，且是唯一的極值點(diǎn)。將代入原函數(shù)中，得。即是原函數(shù)的極值，極值點(diǎn)為。例2.求函數(shù)的極值。解：先對原函數(shù)求導(dǎo)，得到： ，若=0，則。所以是原函數(shù)的極值點(diǎn)。在區(qū)間(-,-)（1，+）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（-，1

5、）上單調(diào)遞減。所以為原函數(shù)的極大值點(diǎn)，為原函數(shù)的極小值點(diǎn)。將代入原函數(shù)，所以原函數(shù)的極大值為；將代入原函數(shù)，所以原函數(shù)的極小值為4。 在解決一元函數(shù)極值問題的時候可以采用以上的數(shù)學(xué)方法，但過程較為復(fù)雜，所以我們也可以利用MATLAB強(qiáng)大的繪圖功能來解決一元函數(shù)的極值問題。3.2利用MATLAB程序求解一元函數(shù)極值的方法MATLAB中可以利用特殊函數(shù)diff快速地求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，diff函數(shù)對一元函數(shù)的調(diào)用格式為：diff(函數(shù)），求的一階導(dǎo)數(shù)。 再利用solve函數(shù)求得函數(shù)駐點(diǎn)，在駐點(diǎn)范圍內(nèi)得到函數(shù)圖像。根據(jù)函數(shù)的拐點(diǎn)觀察函數(shù)極值。例3.求函數(shù)的極值。解：先利用diff函數(shù)求出導(dǎo)函數(shù),再利

6、用solve函數(shù)求得駐點(diǎn)。根據(jù)ezplot函數(shù)作圖，從圖中觀察得到原函數(shù)的極值。詳見附錄程序1程序得到的圖見 圖（1） 圖（1）根據(jù)MATLAB運(yùn)行出來的圖形可以看出，函數(shù)的極值點(diǎn)為，極小值為。例4.求函數(shù)的極值。解：先利用diff函數(shù)求出導(dǎo)函數(shù),再利用solve函數(shù)求得駐點(diǎn)。根據(jù)ezplot函數(shù)作圖，從圖中觀察得到原函數(shù)的極值。詳見附錄程序2程序得到的圖見 圖（2） 圖（2）由MATLAB程序運(yùn)行出來的圖可以看出，函數(shù)的極小值點(diǎn)為，極小值為；極大值點(diǎn)為，極大值為。4.MATLAB在多元函數(shù)極值中的應(yīng)用4.1多元元函數(shù)利用數(shù)學(xué)知識求解極值的方法。 多元函數(shù)求極值相對一元函數(shù)求極值要復(fù)雜很多。而

7、其數(shù)學(xué)意義難以理解，所以稱為高數(shù)中頗為重要的一部分。我們首先利用數(shù)學(xué)知識來對多元函數(shù)進(jìn)行求解極值。根據(jù)一元函數(shù)求極值的方法，我們首先求原函數(shù)的一階偏導(dǎo)，導(dǎo)函數(shù)為零時求得駐點(diǎn)。再對導(dǎo)函數(shù)求二階偏導(dǎo)，得到例1.求多元函數(shù)的極值。解 先對原函數(shù)求一階偏導(dǎo)，得到 令一階偏導(dǎo)函數(shù)等于零，求得駐點(diǎn)為（1,0），（-3,0），（1,4），（-3,4）.再求原函數(shù)的二階偏導(dǎo)，得到 所以，當(dāng)時，,且,因此，點(diǎn)（1,0）是極值點(diǎn)，且在（1,0）處取得極小值，。當(dāng)時，且，因此（-3,0）不是極值點(diǎn)。當(dāng)時，且，因此（1,4）不是極值點(diǎn)。當(dāng)時，且，因此，點(diǎn)（-3,4）是極值點(diǎn)，且在（-3,4）處取得極大值，。由上可知，

8、原函數(shù)的在（-3,4）處取得極大值，極大值，在（1,0）處取得極小值，極小值。例2.求函數(shù)的極值。先對原函數(shù)求一階偏導(dǎo)，得 令一階偏導(dǎo)函數(shù)等于零，求得駐點(diǎn)。再求原函數(shù)的二階偏導(dǎo)，得 當(dāng)時，因此原函數(shù)在點(diǎn)處取得極小值。4.2利用MATLAB程序求解多元函數(shù)極值的方法 首先利用jacobian函數(shù)求出原函數(shù)的一階偏導(dǎo)和二階偏導(dǎo)，再利用solve函數(shù)求得一階函數(shù)駐點(diǎn)。根據(jù)Hessian矩陣的正定矩陣和負(fù)定矩陣公式，求得原函數(shù)的極大值和極小值。例3.利用MATLAB程序求的極值。詳見附錄程序3利用MATLAB程序運(yùn)行得到結(jié)果xx =   1 -4

9、60; 1 -4  yy =  0 0 2 2( 1.000000, 0.000000)是極小值點(diǎn)，對應(yīng)的極小值為-13.000000(-4.000000, 0.000000)不是極值點(diǎn)( 1.000000, 2.000000)不是極值點(diǎn)(-4.000000, 2.000000)是極大值點(diǎn)，對應(yīng)的極大值為-13.000000根據(jù)MATLAB運(yùn)行的程序可知，極值點(diǎn)為（1,0），（-4,0），（1,2），（-4,2），且（1,0）是極小值點(diǎn)，極小值為-13；（-4,0），（1,2）不是極值點(diǎn)；（-4

10、,2）是極大值點(diǎn)，對應(yīng)的極大值為-13. 例4.求函數(shù)的極值。詳見附錄程序4利用MATLAB程序運(yùn)行得到結(jié)果xx =    601(1/2)/12 - 5/12 - 601(1/2)/12 - 5/12   601(1/2)/12 - 5/12 - 601(1/2)/12 - 5/12  yy =  0 0 4 4&#

11、160;( 1.626275, 0.000000)不是極值點(diǎn)(-2.459608, 0.000000)是極大值點(diǎn)，對應(yīng)的極大值為-11.908213( 1.626275, 4.000000)是極小值點(diǎn)，對應(yīng)的極小值為-11.908213(-2.459608, 4.000000)不是極值點(diǎn)根據(jù)MATLAB運(yùn)行程序可以得到，方程極值點(diǎn)為（1.63,0）,(1.63,4),(-2.46,0),(-2.46,4),且(-2.46,0)為極大值點(diǎn)，極大值為-11.91；(1.63,4)為極小值點(diǎn)，極小值為-11.91；（1.63,0），(-2.

12、46,4)不是極值點(diǎn)。4.3約束函數(shù)求解多元極值的方法 在考慮函數(shù)的極值或最值問題時，經(jīng)常需要對函數(shù)的自變量附加一定的條件，這就是所謂的極值問題。以三元函數(shù)為例，條件極值問題的提法是：求目標(biāo)函數(shù) 在約束條件 下的極值。條件極值的必要條件 若點(diǎn)為函數(shù)滿足約束條件的極值點(diǎn)，則必存在m個常數(shù)使得在點(diǎn)成立 于是可以將Lagrange函數(shù) 那么條件極值點(diǎn)就在方程組 的所有解所對應(yīng)的點(diǎn)中。 判斷如上所得的點(diǎn)是否極值點(diǎn)需要一些特殊方法。但在實(shí)際問題中往往遇到的是求最值問題，這時可以根據(jù)問題本身的性質(zhì)判斷最值的存在性。這樣，只要把如上所得點(diǎn)的函數(shù)值加以比較，最大的（最小的）就是所考慮問題的最大值（最小值）。4

13、.3.1利用數(shù)學(xué)方法求解約束函數(shù)求解極值的問題。例1.求平面 與橢球面 相交成的橢圓的面積。解 橢圓的面積為，其中分別為橢圓的兩個半軸。因為橢圓的中心在原點(diǎn)，所以分別是橢圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)最大距離和最小距離。于是 在約束條件 下的最大值和最小值。作Lagrange函數(shù) ，得到相應(yīng)的方程組 將方程乘，方程乘，方程乘后相加，得到 因此或。分兩種情況討論： （1）當(dāng)時，將以上方程組的前三個式子相加得到 但此時（否則從得到，這不是橢圓上的點(diǎn)），因此。帶入方程組 就得的兩組解 ，在這兩個點(diǎn)的值都是1。 （2）當(dāng)時，從方程組的前三個式子得到 ，代入得，它對應(yīng)的的兩組解為 在這兩個點(diǎn)的值都是。由于橢圓的長軸與短

14、軸一定存在，因此在橢圓 上的最大值與最小值一定存在，于是立即得到該橢圓的半長軸為1，短軸為，面積為。4.3.2利用MATLAB軟件求解約束函數(shù)極值問題。例1.求解二次規(guī)劃 ， s.t.利用MATLAB編程詳見附錄程序5利用MATLAB程序運(yùn)行得到結(jié)果x =    1.9500    1.0500value =  -11.0250可以求得。例2.求下列非線性規(guī)劃 s.t. 利用MATLAB編程定義增廣目標(biāo)函數(shù)，編寫M函數(shù)test1.m如下：詳見程序6得到結(jié)果x =&#

15、160;   1.0786    0.9599y =   10.0848 可以求得。 5.MATLAB求極值問題在實(shí)際問題中的應(yīng)用函數(shù)的極值在實(shí)際生活中應(yīng)用非常廣泛，企業(yè)的最大利潤和最小成本問題就是比較常見的極值問題，例如商場賣衣服，價格定高了銷量就會相應(yīng)減少，若價格太低了商場又無法保證正常的運(yùn)營，這時就會利用極值問題來解決這類問題。而且，生產(chǎn)商也要考慮在材料最節(jié)省的前提下，盡可能多的制造出更多的商品。這也就是我們常說的材料節(jié)省問題。這里，我們?nèi)匀贿\(yùn)用極值問題來解決這類問題。隨著工業(yè)化

16、進(jìn)程的推進(jìn)，如何在滿足環(huán)保的要求下，化工廠每天處理多少污水才能使處理污水達(dá)到的總費(fèi)用最低，還有隨著社會的進(jìn)步和經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展，人們面對豐富的食物，卻忽視了合理的膳食結(jié)構(gòu)和營養(yǎng)搭配。而營養(yǎng)搭配問題就成為了許多動植物養(yǎng)殖者比較關(guān)注的問題。例如，如何給自己的動植物配置合理的飼料或肥料才能使它們生長的快，從而使利益最大化等等這些問題，都用到了極值問題。但在求解極值問題的時候，數(shù)學(xué)方法往往需要花費(fèi)大量的時間和精力去計算，這時，我們就用到了文章中所提到的MATLAB軟件來解決這類復(fù)雜的問題。5.1最大利潤和最小成本問題隨著社會的發(fā)展，銷售、購買已經(jīng)是人們生活中必不可少的部分。而銷售部門最注重的是如何使?fàn)I業(yè)

17、額達(dá)到最大，從而產(chǎn)生最大的利益。但若是單純的提高商品的售價，會讓部分的顧客望而卻步，使得商品的銷售量降低；而若是降低價格，銷售部門又無法從中獲取利益使得銷售鏈持續(xù)運(yùn)轉(zhuǎn)。這時，我們就用到了文中提到的極值問題來使利益最大化，我們所采用的方法也是大幅度降低計算量的MATLAB程序。例1.已知某商場外套的進(jìn)價為每件50元，售價是每件80元，每個月可賣出400件。市場調(diào)查研究后反映如下：如果調(diào)整價格，每漲價一元，每個月要少賣10件。那么每件外套應(yīng)該定價多少元時，商場才能獲得最大的利潤？根據(jù)題意知，因此，當(dāng)時，取得最大值，這樣的問題我們也可以利用MATLAB軟件進(jìn)行求解。詳見附錄程序7程序得到的圖見圖（3

18、） 圖（3）根據(jù)MATLAB程序運(yùn)行出來的圖形，我們可以通過觀察得到，方程的極值點(diǎn)為，極大值為。5.2材料最省問題在實(shí)際生活中，我們經(jīng)常會利用原材料去生產(chǎn)某些商品。例如，我們生活中所用的各種形狀的塑料盒，我們身上所穿的色彩鮮艷款式多樣的衣服，我們住的各種樣式的房子等等，這些都需要最基本的原材料。可是我們所要考慮的問題是，我們應(yīng)該怎樣做才能減少原材料的使用，而使商品以最方便美觀的形式呈現(xiàn)在我們面前。這一模塊，我們采用MATLAB軟件，目的是使原材料的利用率最大化，從而減少材料的使用。例2.每一年的圣誕節(jié)都是年輕人最開心的時刻，在這一天都會給心愛的人買一個盒巧克力。此時也是生產(chǎn)商找尋商機(jī)的時刻。生

19、產(chǎn)商把邊長為5分米的正方形紙盒剪去四個正方形的角以制成一個方形無蓋紙盒，問如何剪使紙盒的容積最大？設(shè)剪去的正方形的邊長為分米，則紙盒的容積為 ，建立函數(shù)模型：詳見附錄程序8利用MATLAB程序運(yùn)行得到結(jié)果xmax =    0.8333 gt; gt;  fmax=-fvalfmax =    9.2593 根據(jù)MATLAB程序的運(yùn)行結(jié)果可以得知，當(dāng)正方形的邊長剪去0.83分米的時候，紙盒的容積最大為9.2593平方分米。5.3河水治理問題隨著社會的發(fā)展和科學(xué)的進(jìn)步，我們一直

20、在追求更方便更快捷的生活方式?？墒?，當(dāng)我們的生活更便捷的同時，我們賴以生存的水資源卻在日益減少。每年化工原料污染的水資源量都在增加。化工廠的原料、產(chǎn)品和副產(chǎn)品大都是難生物降解有機(jī)物，一般的污水處理工藝很難進(jìn)行處理，若是化工廠的廢水未達(dá)標(biāo)排放或是偷排入自然界，會危害水體和土壤環(huán)境，同時對人類健康會有更為嚴(yán)重的危害。化工廠生產(chǎn)的化學(xué)品若是揮發(fā)性比較強(qiáng)的物質(zhì)，如強(qiáng)酸類或是易揮發(fā)有機(jī)物，則會污染周邊大氣環(huán)境，若是這些含有有毒有害物質(zhì)的氣體被人體呼入，對人類的健康損害更為嚴(yán)重。此時，河水治理問題已是刻不容緩。但在處理廢水的同時，我們?nèi)匀灰紤]如何快速有效的治理廢水，這也就用到了我們的最值原理。例3.某河

21、流流經(jīng)第一個化工廠的河水流量是每天500萬立方米；支流每天的流量是200萬立方米；第一個化工廠每天排出2萬立方米的工業(yè)污水；第二個化工廠每天排出1.4萬立方米的工業(yè)污水；第一個化工廠處理每立方米的費(fèi)用是0.1元，第二個化工廠處理每立方米的污水費(fèi)用是0.08元；從第一個化工廠派出的污水流到第二個化工廠之前有20%得到自然凈化。 設(shè)第一個化工廠每天處理工業(yè)污水萬立方米，第二個化工廠每天處理污水萬立方米，兩工廠處理污水的總費(fèi)用用為z萬元。 詳見附錄程序9利用MATLAB程序運(yùn)行得到結(jié)果x =    0.2500   &#

22、160;1.4000fval =    1.3700 根據(jù)MATLAB運(yùn)行出的結(jié)果可知，第一個化工廠每天處理廢水0.25萬立方米，第二個化工廠每天處理廢水1.4萬立方米，兩工廠每天處理廢水的總費(fèi)用為1.37萬元。6.結(jié) 論通過對函數(shù)極值問題的學(xué)習(xí)，我們知道了函數(shù)極值問題在生活中的各個方面都得到很大的應(yīng)用，而利用MATLAB程序可以避免大量計算時出現(xiàn)的錯誤，從而快速得出結(jié)果。在利用MATLAB程序時，主要運(yùn)用了一下幾個方面：（1）diff函數(shù)的調(diào)用；（2）solve函數(shù)的輸出；（3）編寫M文件；（4）jacobian函數(shù)的編程；（5）Hessia

23、n函數(shù)的運(yùn)用。 致 謝 四年的大學(xué)生涯轉(zhuǎn)眼就要就要畫上一個句號了，但這不僅僅意味著一段旅程的結(jié)束，也是下一段旅程的起始。四年的生活轉(zhuǎn)瞬即逝，很感激自己在這四年的過程中得到了身邊朋友，師長以及親人的鼓勵和幫助，我也真的學(xué)到了很多東西。在論文即將結(jié)束的時候，我的內(nèi)心久久不能平靜，想到了很多，也許是畢業(yè)的不舍，但更多的感謝在本次論文撰寫的過程中一直鼓勵幫助我的各位老師和同學(xué)，在這里，最想感謝的就是我的指導(dǎo)教師高海音老師，最開始接到論文題目的時候腦袋里幾乎稱得上一片空白，是高老師在我最沒有頭緒的時候一直不辭辛勞的幫我查閱資料，而且一直認(rèn)真地幫助我修改論文，提出了很多寶貴的意見和建議，讓我的論文能夠保質(zhì)保量的完成。在我大學(xué)四年的學(xué)習(xí)生活中，遇到過很多的挫折和困難，感激我的系主任和各位老師，一直在我身邊鼓勵我前行，從不放棄。同時，我還要感謝我身邊的朋友們，我們在一起的時間是最長的，生活中幫助了我太多太多，我們一起成長，一起歡