高中數學知識點總結(史上最全版)

1、學習必備歡迎下載高中數學必修5 知識點第一章解三角形1、三角形三角關系：A+B+C=180°； C=180°-(A+B) ；2、三角形三邊關系：a+b>c; a-b<c3、三角形中的基本關系：sin( AB)sin C, cos( A B)cosC , tan(AB)tan C ,sin A Bcos C ,cos ABsin C , tan ABcot C2222224、正弦定理：在C 中， a、 b 、 c 分別為角、C 的對邊， R為C 的外接圓的半徑，則有abc2R sinsinsin C5、正弦定理的變形公式：化角為邊： a2R sin， b2Rsin

2、， c2Rsin C ；化邊為角： sina， sinbc2R， sin C；2R2Ra : b : csin:sin :sin C ；abcabcsinsin Csinsinsinsin C6、兩類正弦定理解三角形的問題：已知兩角和任意一邊，求其他的兩邊及一角.已知兩角和其中一邊的對角，求其他邊角.( 對于已知兩邊和其中一邊所對的角的題型要注意解的情況（一解、兩解、三解）)7、余弦定理：在C 中，有 a2b2c22bc cos， b2a2c22ac cos，c2a2b22ab cosC 8、余弦定理的推論： cosb2c2a2， cosa2c2b2a2b2c22bc2ac， cosC2ab(

3、 余弦定理主要解決的問題：1. 已知兩邊和夾角，求其余的量。2. 已知三邊求角 )9、余弦定理主要解決的問題：已知兩邊和夾角，求其余的量。已知三邊求角）10、如何判斷三角形的形狀：判定三角形形狀時，可利用正余弦定理實現邊角轉化，統一成邊的形式或角的形式設a 、 b 、 c 是C 的角、 C的對邊，則：AB若 a2b2c2 ，則 C90 ；若 a2b2c2 ，則 C90 ；若 a2b2c2 ，則 C 90 注：正余弦定理的綜合應用：如圖所示：隔河看兩目標CD學習必備歡迎下載A、 B, 但不能到達，在岸邊選取相距3 千米的 C、 D兩點，并測得OOACB=75, BCD=45,OO、 B、 C、

4、D 在同一平面內 ) ，求兩目標 A、 B 之間的距離。 ADC=30, ADB=45(A（本題解答過程略）11、三角形面積公式：12、三角形的四心：垂心三角形的三邊上的高相交于一點重心三角形三條中線的相交于一點（重心到頂點距離與到對邊距離之比為2:1 ）外心三角形三邊垂直平分線相交于一點（外心到三頂點距離相等）內心三角形三內角的平分線相交于一點（內心到三邊距離相等）13 、請同學們自己復習鞏固三角函數中誘導公式及輔助角公式（和差角、倍角等）。附加：第二章 數列1、數列：按照一定順序排列著的一列數2、數列的項：數列中的每一個數學習必備歡迎下載3、有窮數列：項數有限的數列4、無窮數列：項數無限的

5、數列5、遞增數列：從第2 項起，每一項都不小于它的前一項的數列（即：an+1>an）6、遞減數列：從第2 項起，每一項都不大于它的前一項的數列（即：an+1<an）7、常數列：各項相等的數列（即：an+1=an）8、擺動數列：從第2 項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數列9、數列的通項公式：表示數列an 的第 n 項與序號 n 之間的關系的公式10、數列的遞推公式：表示任一項an 與它的前一項 an 1 （或前幾項）間的關系的公式11、如果一個數列從第2 項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，則這個數列稱為等差數列，這個常數稱為等差數列的公差符號表示: an

6、1 an d 。注：看數列是不是等差數列有以下三種方法：anan 1d ( n2, d為常數 ) 2 anan 1a1( n2 ) aknb ( n, k 為常數nn12、由三個數 a ， b 組成的等差數列可以看成最簡單的等差數列，則稱為 a 與 b 的等差中項若 bac2，則稱 b 為 a 與 c 的等差中項13、若等差數列an的首項是 a1 ，公差是 d ，則 ana1n 1 d 14、通項公式的變形： anamn m d； a1ann 1 d； dana1n；1 naaanamnd1 1； dnm15、若 an是等差數列，且 mnpq（ m 、 n 、 p 、 q* ），則 aaaa

7、；mnpq若 an2npq （ n 、 p 、 q*aq 是等差數列，且），則 2an ap16. 等 差 數 列 的 前 n項 和 的 公 式 ： Snn a1anna1n n12； Sn2d sna1a2an17、等差數列的前n 項和的性質：若項數為2n n*，則 Sn aa，且2nnn 1學習必備歡迎下載S偶S奇S奇annd，S偶an 1若項數為2n 1 n*，則 S2n 1 a ，且奇偶， S奇n（其中2 n 1nS S anS偶n1S奇na n ， S偶n 1 an ）18、如果一個數列從第2 項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數，則這個數列稱為等比數列，這個常數稱為等比數列的

8、公比符號表示：an1q （注：等比數列中不an會出現值為0 的項；同號位上的值同號）注：看數列是不是等比數列有以下四種方法： anan 1q(n2, q為常數 , 且0) an2a n 1a n 1 ( n2 ， an an 1 an 1 0) ancq n ( c, q 為非零常數 ).正數列 an 成等比的充要條件是數列 log x a n （ x1 ）成等比數列 .19、在 a 與 b 中間插入一個數G ，使 a ，G ，b 成等比數列， 則 G 稱為 a 與 b 的等比中項 若G 2ab ，則稱 G 為 a 與 b 的等比中項（注：由G 2ab 不能得出 a ， G ， b 成等比，由

9、 a ， G ， bG 2ab ）20、若等比數列an 的首項是 a1 ，公比是 q ，則 ana1 qn1 21、通項公式的變形：anamqn m ； a1an qn 1； q n 1a n；a 1q nmanam22、若an 是等比數列，且mnp q （ m 、 n 、 p 、 q* ），則 amanapaq ；若 an是等比數列，且2npq （ n 、 p 、 q* ），則 an2apaq na1q 123 、 等 比 數 列 a 的 前 n 項 和 的 公 式 ： Sna1anq nna1 1 qq11 q1qsna1a2an學習必備歡迎下載24、對任意的數列 an 的前 n 項和 S

10、n 與通項 an 的關系： ans1a1 (n1)snsn 1 (n2) 注 ： ana1n 1 dnd a 1d （ d 可為零也可不為零為等差數列充要條件（即常數列也是等差數列）若d 不為 0，則是等差數列充分條件） .等差 an 前 n 項和 SnAn 2 Bnd n 2a1 dn d 可以為零也可不為零為等差222的充要條件若d 為零，則是等差數列的充分條件；若 d 不為零，則是等差數列的充分條件 .非零 常數列既可為等比數列，也可為等差數列. （不是非零，即不可能有等比數列）附：幾種常見的數列的思想方法：1. 等差數列的前n 項和為 Sn ，在 d0 時，有最大值 . 如何確定使 S

11、n 取最大值時的 n 值，有兩種方法：一是求使 a n0, an 1 0 ，成立的 n 值；二是由 Snd n 2(a1d )n 利用二次函數的性質求22n 的值 .2. 數列通項公式、求和公式與函數對應關系如下：數列通項公式對應函數等差數列（時為一次函數）等比數列（指數型函數）數列前 n 項和公式對應函數等差數列（時為二次函數）等比數列（指數型函數）我們用函數的觀點揭開了數列神秘的“面紗”，將數列的通項公式以及前n 項和看成是關于 n 的函數，為我們解決數列有關問題提供了非常有益的啟示。3. 例題： 1、等差數列中，則.分析：因為是等差數列，所以是關于 n 的一次函數，一次函數圖像是一條直線

12、，則（n,m） ,(m,n),(m+n,) 三點共線，學習必備歡迎下載所以利用每兩點形成直線斜率相等，即，得=0（圖像如上），這里利用等差數列通項公式與一次函數的對應關系，并結合圖像，直觀、簡潔。例題： 2、等差數列中，前 n 項和為，若，n 為何值時最大？分析：等差數列前n 項和可以看成關于n 的二次函數=，是拋物線=上的離散點，根據題意，則因為欲求最大值，故其對應二次函數圖像開口向下，并且對稱軸為，即當時，最大。例題： 3 遞增數列，對任意正整數n，恒成立，求分析：構造一次函數，由數列遞增得到：對于一切恒成立，即恒成立，所以對一切恒成立， 設，則只需求出的最大值即可，顯然有最大值，所以的取

13、值范圍是：。構造二次函數，看成函數，它的定義域是，因為是遞增數列，即函數為遞增函數，單調增區(qū)間為, 拋物線對稱軸，因為函數f(x)為離散函數， 要函數單調遞增，就看動軸與已知區(qū)間的位置。從對應圖像上看，對稱軸在的左側也可以（如圖），因為此時 B 點比 A點高。于是，得學習必備歡迎下載4. 如果數列可以看作是一個等差數列與一個等比數列的對應項乘積，求此數列前 n 項和可依照等比數列前 n 項和的推倒導方法：錯位相減求和. 例如：11,31,.(2n 1)1,.242 n5. 兩個等差數列的相同項亦組成一個新的等差數列，此等差數列的首項就是原兩個數列的第一個相同項，公差是兩個數列公差d1， d 2

14、 的最小公倍數 .6. 判斷和證明數列是等差（等比）數列常有三種方法：(1) 定義法 : 對于 n 2的任意自然數 , 驗 證 anan 1 ( an)為同一常數。(2)通項公式法。(3)中項公式法:驗證an 12an 1 anan 2 (an21an an 2 )nN 都成立。7. 在等差數列 an 中 , 有關 Sn 的最值問題：am0(1) 當 a1 >0,d<0 時，滿足的項數am 10m使得 sm 取最大值 . (2)當 a1 <0,d>0am0時，滿足am 1的項數 m使得 sm 取最小值。在解0含絕對值的數列最值問題時, 注意轉化思想的應用。附：數列求和的

15、常用方法1. 公式法 : 適用于等差、等比數列或可轉化為等差、等比數列的數列。2. 裂項相消法 : 適用于c其中 an 是各項不為 0的等差數列， c 為常數； 部分無理an an 1數列、含階乘的數列等。例題：已知數列 a 的通項為a1, 求這個數列的前n 項和 S .=nnn(n1)n解：觀察后發(fā)現： an= 111nnsna1 a2an(1 1) (1 1)( 1n1 )223n1111n3. 錯位相減法 : 適用于 anbn其中 an 是等差數列， bn是各項不為 0 的等比數列。例題：已知數列 a n 的通項公式為 ann2n ，求這個數列的前 n 項之和 sn 。解：由題設得：學習

16、必備歡迎下載sn a1 a2 a3an= 1212 223 23n 2n即 s =1 212 223 23n 2nn把式兩邊同乘2 后得2s =1 222 233 24n 2n 1n用 - ，即：s =1 212 223 23n 2nn2sn =1 222 233 24n 2n 1得sn12 22232nn 2n 12(12n )n 2n 1122n 12n2n 1(1n)2 n12 sn( n1)2n 124. 倒序相加法 : 類似于等差數列前 n 項和公式的推導方法 .5. 常用結論1） : 1+2+3+.+n =n(n1)2） 1+3+5+.+(2n-1) =n221 n( n 1)23

17、 ）1323n324)122232n 21 n(n1)(2n1)5)111，6;n(n 1)nn111 ( 11)6）11( 1 1 ) ( p q)n( n 2) 2 n n 2 ；pq q p p q學習必備歡迎下載附加：重點歸納等差數列和等比數列 （表中 m, n, p, qN ）類別等差數列 an項目等比數列an定義通項公式前 n 項和等差（比）中項公差（比）性質an 1andana1n1 danamnm dn a1ann n1Snna1d222an 1an an 2danam ， mnnmm n p q amanap aqm n2 paman2a pSm , S2 mSm , S3m

18、S2 m,成等差數列，公差為m2d （ Sn 是前 n 項和）am , am k , am 2k ,仍然是等差數列，其公差為 kdan 1qanana1qn 1aa qn mnmna1q1Sna1 1qna1an qq 11q1qan12an an 2qnmanamm n p q am anap aqmn2pamana p2Tm , T2 m , T3m ,成等比數列，公TmT2m比為 qm2 （ Tn 是前 n 項積）am , am k , am 2 k ,仍然是等比數列，其公比為 qkkanb 是等差數列bank 是等比數列（ b0 ）d0,；a10 時， q1,，0q1,；單調性d0,；

19、a10 時， q1,，0q1,；d0, 常數列q1 為常數列； q0 為擺動數列學習必備歡迎下載2. 等差數列的判定方法：（ a,b,d 為常數） . 定義法：若an 1and . 等差中項法：若2an 1anan 2an 為等差數列 . . 通項公式法：若 ananb . 前 n 項和法： Snan2bn3. 等比數列的判定方法：（ k ， q 為非零常數）an 1 . 定義法：若anq2an an 2an 為等比數列 . . 等比中項法：若 an 1 . 通項公式法：若 ankqn . 前 n 項和法： Snkkqn第三章不等式一、不等式的主要性質：（1）對稱性：abba（2）傳遞性： a

20、b,bcac（3）加法法則： abacbc ；（4）同向不等式加法法則：ab, c dacbd（5）乘法法則：ab,c0acbc ； ab,c0acbc（6）同向不等式乘法法則：ab0, cd0ac bd（7）乘方法則：a b 0a nbn (nN * 且 n1)（8）開方法則：ab0n an b(nN * 且 n1)（9）倒數法則：ab,ab011ab二、一元二次不等式ax 2bxc0 和 ax 2bxc0(a0) 及其解法000學習必備歡迎下載y ax 2bx cy ax 2bx c2bx ca( xx1 )( x x2 )a( xy axx1 )( x x 2 )二次函數yax2bxc（

21、 a 0 ）的圖象一元二次方程有兩相異實根有兩相等實根ax2bxc0x2 )x1x2b無實根a0 的根x1 , x 2 ( x12aax2bxc0x1或x x2x xb(a的解集x x2aR0)ax2bxc0xx 2(a0)的解集x x1 . 一元二次不等式先化標準形式（ a 化正） . 常用因式分解法、求根公式法求解一元二次不等式。口訣：在二次項系數為正的前提下：“大于取兩邊，小于取中間”三、均值不等式1、設 a 、 b 是兩個正數，則ab 稱為正數 a 、 b 的算術平均數，ab 稱為正數 a 、 b 的2幾何平均數2、基本不等式（也稱均值不等式）：若 a0 均值不等式：如果a,b 是正數

22、，那么a b 2ab 即 a bab (當且僅當 ab時取 "" 號).2注意：使用均值不等式的條件：一正、二定、三相等3、平均不等式：（ a、b 為正數），即a2b2abab2（當 a = b 時取等）2211ab4、常用的基本不等式：a2b22ab a,bR； aba2b2a, b R ；2a2a2b2ab2b0 ；a, bR aba 0, b222學習必備歡迎下載5、極值定理：設 x 、 y 都為正數，則有：若 x ys （和為定值），則當xy 時，積 xy 取得最大值s2若 xy p （積為定4值），則當 x y 時，和 xy 取得最小值2 p 四、含有絕對值的不等

23、式1絕對值的幾何意義：| x | 是指數軸上點x 到原點的距離；| x1x2 |是指數軸上 x1 , x2 兩點aa0間的距離 ；代數意義： |a |0a0aa02、 如果 a0, 則不等式：| x | ax a 或 xa； | x | ax a 或 x a| x | aax a； | x | aa x a4、解含有絕對值不等式的主要方法：解含絕對值的不等式的基本思想是去掉絕對值符號五、其他常見不等式形式總結：分式不等式的解法：先移項通分標準化，則f (x )0f ( x) g( x ) 0 ； f ( x)0f ( x )g( x)0g( x)0g(x)g( x )指數不等式：轉化為代數不等

24、式a f ( x )a g( x ) (a1)f ( x)g( x) ； a f ( x )a g( x ) (0a1)f ( x) g(x)對數不等式：轉化為代數不等式f (x)0loga f (x )loga g( x)( a1)g(x )0f (x)g( x)f ( x)0loga f (x )loga g( x)( 0a1)g( x)0f ( x)g( x)高次不等式：數軸穿線法口訣 : “從右向左，自上而下；奇穿偶不穿，遇偶轉個彎；小于取下邊，大于取上邊”例題：不等式 ( x23x2)( x 4) 20 的解為（）x3A 1<x 1 或 x 2B x< 3 或 1 x 2C=4或3< 1或x 2D=4 或x<3 或 1 2xxxx六、不等式證明的常用方法：作差法、作商法學習必備歡迎下載七、線性規(guī)劃1、二元一次不等式：含有兩個未知數，并且未知數的次數是1的不等式2、二元一次不等式組：由幾個二元一次不等式組成的不等式組3、二元一次不等式（組）的解集：滿足二元一次不等式組的x 和 y 的取值構成有序數對x, y ，所有這樣的有序數對x, y 構成的集合4、在平面直角坐標系中，已知直線xy C