高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)(史上最全版)

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載高中數(shù)學(xué)必修5 知識(shí)點(diǎn)第一章解三角形1、三角形三角關(guān)系：A+B+C=180°； C=180°-(A+B) ；2、三角形三邊關(guān)系：a+b>c; a-b<c3、三角形中的基本關(guān)系：sin( AB)sin C, cos( A B)cosC , tan(AB)tan C ,sin A Bcos C ,cos ABsin C , tan ABcot C2222224、正弦定理：在C 中， a、 b 、 c 分別為角、C 的對(duì)邊， R為C 的外接圓的半徑，則有abc2R sinsinsin C5、正弦定理的變形公式：化角為邊： a2R sin， b2Rsin

2、， c2Rsin C ；化邊為角： sina， sinbc2R， sin C；2R2Ra : b : csin:sin :sin C ；abcabcsinsin Csinsinsinsin C6、兩類正弦定理解三角形的問題：已知兩角和任意一邊，求其他的兩邊及一角.已知兩角和其中一邊的對(duì)角，求其他邊角.( 對(duì)于已知兩邊和其中一邊所對(duì)的角的題型要注意解的情況（一解、兩解、三解）)7、余弦定理：在C 中，有 a2b2c22bc cos， b2a2c22ac cos，c2a2b22ab cosC 8、余弦定理的推論： cosb2c2a2， cosa2c2b2a2b2c22bc2ac， cosC2ab(

3、 余弦定理主要解決的問題：1. 已知兩邊和夾角，求其余的量。2. 已知三邊求角 )9、余弦定理主要解決的問題：已知兩邊和夾角，求其余的量。已知三邊求角）10、如何判斷三角形的形狀：判定三角形形狀時(shí)，可利用正余弦定理實(shí)現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化，統(tǒng)一成邊的形式或角的形式設(shè)a 、 b 、 c 是C 的角、 C的對(duì)邊，則：AB若 a2b2c2 ，則 C90 ；若 a2b2c2 ，則 C90 ；若 a2b2c2 ，則 C 90 注：正余弦定理的綜合應(yīng)用：如圖所示：隔河看兩目標(biāo)CD學(xué)習(xí)必備歡迎下載A、 B, 但不能到達(dá)，在岸邊選取相距3 千米的 C、 D兩點(diǎn)，并測(cè)得OOACB=75, BCD=45,OO、 B、 C、

4、D 在同一平面內(nèi) ) ，求兩目標(biāo) A、 B 之間的距離。 ADC=30, ADB=45(A（本題解答過(guò)程略）11、三角形面積公式：12、三角形的四心：垂心三角形的三邊上的高相交于一點(diǎn)重心三角形三條中線的相交于一點(diǎn)（重心到頂點(diǎn)距離與到對(duì)邊距離之比為2:1 ）外心三角形三邊垂直平分線相交于一點(diǎn)（外心到三頂點(diǎn)距離相等）內(nèi)心三角形三內(nèi)角的平分線相交于一點(diǎn)（內(nèi)心到三邊距離相等）13 、請(qǐng)同學(xué)們自己復(fù)習(xí)鞏固三角函數(shù)中誘導(dǎo)公式及輔助角公式（和差角、倍角等）。附加：第二章 數(shù)列1、數(shù)列：按照一定順序排列著的一列數(shù)2、數(shù)列的項(xiàng)：數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)學(xué)習(xí)必備歡迎下載3、有窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列4、無(wú)窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)無(wú)限的

5、數(shù)列5、遞增數(shù)列：從第2 項(xiàng)起，每一項(xiàng)都不小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列（即：an+1>an）6、遞減數(shù)列：從第2 項(xiàng)起，每一項(xiàng)都不大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列（即：an+1<an）7、常數(shù)列：各項(xiàng)相等的數(shù)列（即：an+1=an）8、擺動(dòng)數(shù)列：從第2 項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列9、數(shù)列的通項(xiàng)公式：表示數(shù)列an 的第 n 項(xiàng)與序號(hào) n 之間的關(guān)系的公式10、數(shù)列的遞推公式：表示任一項(xiàng)an 與它的前一項(xiàng) an 1 （或前幾項(xiàng)）間的關(guān)系的公式11、如果一個(gè)數(shù)列從第2 項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列稱為等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)稱為等差數(shù)列的公差符號(hào)表示: an

6、1 an d 。注：看數(shù)列是不是等差數(shù)列有以下三種方法：anan 1d ( n2, d為常數(shù) ) 2 anan 1a1( n2 ) aknb ( n, k 為常數(shù)nn12、由三個(gè)數(shù) a ， b 組成的等差數(shù)列可以看成最簡(jiǎn)單的等差數(shù)列，則稱為 a 與 b 的等差中項(xiàng)若 bac2，則稱 b 為 a 與 c 的等差中項(xiàng)13、若等差數(shù)列an的首項(xiàng)是 a1 ，公差是 d ，則 ana1n 1 d 14、通項(xiàng)公式的變形： anamn m d； a1ann 1 d； dana1n；1 naaanamnd1 1； dnm15、若 an是等差數(shù)列，且 mnpq（ m 、 n 、 p 、 q* ），則 aaaa

7、；mnpq若 an2npq （ n 、 p 、 q*aq 是等差數(shù)列，且），則 2an ap16. 等 差 數(shù) 列 的 前 n項(xiàng) 和 的 公 式 ： Snn a1anna1n n12； Sn2d sna1a2an17、等差數(shù)列的前n 項(xiàng)和的性質(zhì)：若項(xiàng)數(shù)為2n n*，則 Sn aa，且2nnn 1學(xué)習(xí)必備歡迎下載S偶S奇S奇annd，S偶an 1若項(xiàng)數(shù)為2n 1 n*，則 S2n 1 a ，且奇偶， S奇n（其中2 n 1nS S anS偶n1S奇na n ， S偶n 1 an ）18、如果一個(gè)數(shù)列從第2 項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列稱為等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)稱為等比數(shù)列的

8、公比符號(hào)表示：an1q （注：等比數(shù)列中不an會(huì)出現(xiàn)值為0 的項(xiàng)；同號(hào)位上的值同號(hào)）注：看數(shù)列是不是等比數(shù)列有以下四種方法： anan 1q(n2, q為常數(shù) , 且0) an2a n 1a n 1 ( n2 ， an an 1 an 1 0) ancq n ( c, q 為非零常數(shù) ).正數(shù)列 an 成等比的充要條件是數(shù)列 log x a n （ x1 ）成等比數(shù)列 .19、在 a 與 b 中間插入一個(gè)數(shù)G ，使 a ，G ，b 成等比數(shù)列， 則 G 稱為 a 與 b 的等比中項(xiàng) 若G 2ab ，則稱 G 為 a 與 b 的等比中項(xiàng)（注：由G 2ab 不能得出 a ， G ， b 成等比，由

9、 a ， G ， bG 2ab ）20、若等比數(shù)列an 的首項(xiàng)是 a1 ，公比是 q ，則 ana1 qn1 21、通項(xiàng)公式的變形：anamqn m ； a1an qn 1； q n 1a n；a 1q nmanam22、若an 是等比數(shù)列，且mnp q （ m 、 n 、 p 、 q* ），則 amanapaq ；若 an是等比數(shù)列，且2npq （ n 、 p 、 q* ），則 an2apaq na1q 123 、 等 比 數(shù) 列 a 的 前 n 項(xiàng) 和 的 公 式 ： Sna1anq nna1 1 qq11 q1qsna1a2an學(xué)習(xí)必備歡迎下載24、對(duì)任意的數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和 S

10、n 與通項(xiàng) an 的關(guān)系： ans1a1 (n1)snsn 1 (n2) 注 ： ana1n 1 dnd a 1d （ d 可為零也可不為零為等差數(shù)列充要條件（即常數(shù)列也是等差數(shù)列）若d 不為 0，則是等差數(shù)列充分條件） .等差 an 前 n 項(xiàng)和 SnAn 2 Bnd n 2a1 dn d 可以為零也可不為零為等差222的充要條件若d 為零，則是等差數(shù)列的充分條件；若 d 不為零，則是等差數(shù)列的充分條件 .非零 常數(shù)列既可為等比數(shù)列，也可為等差數(shù)列. （不是非零，即不可能有等比數(shù)列）附：幾種常見的數(shù)列的思想方法：1. 等差數(shù)列的前n 項(xiàng)和為 Sn ，在 d0 時(shí)，有最大值 . 如何確定使 S

11、n 取最大值時(shí)的 n 值，有兩種方法：一是求使 a n0, an 1 0 ，成立的 n 值；二是由 Snd n 2(a1d )n 利用二次函數(shù)的性質(zhì)求22n 的值 .2. 數(shù)列通項(xiàng)公式、求和公式與函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系如下：數(shù)列通項(xiàng)公式對(duì)應(yīng)函數(shù)等差數(shù)列（時(shí)為一次函數(shù)）等比數(shù)列（指數(shù)型函數(shù)）數(shù)列前 n 項(xiàng)和公式對(duì)應(yīng)函數(shù)等差數(shù)列（時(shí)為二次函數(shù)）等比數(shù)列（指數(shù)型函數(shù)）我們用函數(shù)的觀點(diǎn)揭開了數(shù)列神秘的“面紗”，將數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前n 項(xiàng)和看成是關(guān)于 n 的函數(shù)，為我們解決數(shù)列有關(guān)問題提供了非常有益的啟示。3. 例題： 1、等差數(shù)列中，則.分析：因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以是關(guān)于 n 的一次函數(shù)，一次函數(shù)圖像是一條直線

12、，則（n,m） ,(m,n),(m+n,) 三點(diǎn)共線，學(xué)習(xí)必備歡迎下載所以利用每?jī)牲c(diǎn)形成直線斜率相等，即，得=0（圖像如上），這里利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式與一次函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，并結(jié)合圖像，直觀、簡(jiǎn)潔。例題： 2、等差數(shù)列中，前 n 項(xiàng)和為，若，n 為何值時(shí)最大？分析：等差數(shù)列前n 項(xiàng)和可以看成關(guān)于n 的二次函數(shù)=，是拋物線=上的離散點(diǎn)，根據(jù)題意，則因?yàn)橛笞畲笾?，故其?duì)應(yīng)二次函數(shù)圖像開口向下，并且對(duì)稱軸為，即當(dāng)時(shí)，最大。例題： 3 遞增數(shù)列，對(duì)任意正整數(shù)n，恒成立，求分析：構(gòu)造一次函數(shù)，由數(shù)列遞增得到：對(duì)于一切恒成立，即恒成立，所以對(duì)一切恒成立， 設(shè)，則只需求出的最大值即可，顯然有最大值，所以的取

13、值范圍是：。構(gòu)造二次函數(shù)，看成函數(shù)，它的定義域是，因?yàn)槭沁f增數(shù)列，即函數(shù)為遞增函數(shù)，單調(diào)增區(qū)間為, 拋物線對(duì)稱軸，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為離散函數(shù)， 要函數(shù)單調(diào)遞增，就看動(dòng)軸與已知區(qū)間的位置。從對(duì)應(yīng)圖像上看，對(duì)稱軸在的左側(cè)也可以（如圖），因?yàn)榇藭r(shí) B 點(diǎn)比 A點(diǎn)高。于是，得學(xué)習(xí)必備歡迎下載4. 如果數(shù)列可以看作是一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)乘積，求此數(shù)列前 n 項(xiàng)和可依照等比數(shù)列前 n 項(xiàng)和的推倒導(dǎo)方法：錯(cuò)位相減求和. 例如：11,31,.(2n 1)1,.242 n5. 兩個(gè)等差數(shù)列的相同項(xiàng)亦組成一個(gè)新的等差數(shù)列，此等差數(shù)列的首項(xiàng)就是原兩個(gè)數(shù)列的第一個(gè)相同項(xiàng)，公差是兩個(gè)數(shù)列公差d1， d 2

14、 的最小公倍數(shù) .6. 判斷和證明數(shù)列是等差（等比）數(shù)列常有三種方法：(1) 定義法 : 對(duì)于 n 2的任意自然數(shù) , 驗(yàn) 證 anan 1 ( an)為同一常數(shù)。(2)通項(xiàng)公式法。(3)中項(xiàng)公式法:驗(yàn)證an 12an 1 anan 2 (an21an an 2 )nN 都成立。7. 在等差數(shù)列 an 中 , 有關(guān) Sn 的最值問題：am0(1) 當(dāng) a1 >0,d<0 時(shí)，滿足的項(xiàng)數(shù)am 10m使得 sm 取最大值 . (2)當(dāng) a1 <0,d>0am0時(shí)，滿足am 1的項(xiàng)數(shù) m使得 sm 取最小值。在解0含絕對(duì)值的數(shù)列最值問題時(shí), 注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。附：數(shù)列求和的

15、常用方法1. 公式法 : 適用于等差、等比數(shù)列或可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列。2. 裂項(xiàng)相消法 : 適用于c其中 an 是各項(xiàng)不為 0的等差數(shù)列， c 為常數(shù)； 部分無(wú)理an an 1數(shù)列、含階乘的數(shù)列等。例題：已知數(shù)列 a 的通項(xiàng)為a1, 求這個(gè)數(shù)列的前n 項(xiàng)和 S .=nnn(n1)n解：觀察后發(fā)現(xiàn)： an= 111nnsna1 a2an(1 1) (1 1)( 1n1 )223n1111n3. 錯(cuò)位相減法 : 適用于 anbn其中 an 是等差數(shù)列， bn是各項(xiàng)不為 0 的等比數(shù)列。例題：已知數(shù)列 a n 的通項(xiàng)公式為 ann2n ，求這個(gè)數(shù)列的前 n 項(xiàng)之和 sn 。解：由題設(shè)得：學(xué)習(xí)

16、必備歡迎下載sn a1 a2 a3an= 1212 223 23n 2n即 s =1 212 223 23n 2nn把式兩邊同乘2 后得2s =1 222 233 24n 2n 1n用 - ，即：s =1 212 223 23n 2nn2sn =1 222 233 24n 2n 1得sn12 22232nn 2n 12(12n )n 2n 1122n 12n2n 1(1n)2 n12 sn( n1)2n 124. 倒序相加法 : 類似于等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法 .5. 常用結(jié)論1） : 1+2+3+.+n =n(n1)2） 1+3+5+.+(2n-1) =n221 n( n 1)23

17、 ）1323n324)122232n 21 n(n1)(2n1)5)111，6;n(n 1)nn111 ( 11)6）11( 1 1 ) ( p q)n( n 2) 2 n n 2 ；pq q p p q學(xué)習(xí)必備歡迎下載附加：重點(diǎn)歸納等差數(shù)列和等比數(shù)列 （表中 m, n, p, qN ）類別等差數(shù)列 an項(xiàng)目等比數(shù)列an定義通項(xiàng)公式前 n 項(xiàng)和等差（比）中項(xiàng)公差（比）性質(zhì)an 1andana1n1 danamnm dn a1ann n1Snna1d222an 1an an 2danam ， mnnmm n p q amanap aqm n2 paman2a pSm , S2 mSm , S3m

18、S2 m,成等差數(shù)列，公差為m2d （ Sn 是前 n 項(xiàng)和）am , am k , am 2k ,仍然是等差數(shù)列，其公差為 kdan 1qanana1qn 1aa qn mnmna1q1Sna1 1qna1an qq 11q1qan12an an 2qnmanamm n p q am anap aqmn2pamana p2Tm , T2 m , T3m ,成等比數(shù)列，公TmT2m比為 qm2 （ Tn 是前 n 項(xiàng)積）am , am k , am 2 k ,仍然是等比數(shù)列，其公比為 qkkanb 是等差數(shù)列bank 是等比數(shù)列（ b0 ）d0,；a10 時(shí)， q1,，0q1,；單調(diào)性d0,；

19、a10 時(shí)， q1,，0q1,；d0, 常數(shù)列q1 為常數(shù)列； q0 為擺動(dòng)數(shù)列學(xué)習(xí)必備歡迎下載2. 等差數(shù)列的判定方法：（ a,b,d 為常數(shù)） . 定義法：若an 1and . 等差中項(xiàng)法：若2an 1anan 2an 為等差數(shù)列 . . 通項(xiàng)公式法：若 ananb . 前 n 項(xiàng)和法： Snan2bn3. 等比數(shù)列的判定方法：（ k ， q 為非零常數(shù)）an 1 . 定義法：若anq2an an 2an 為等比數(shù)列 . . 等比中項(xiàng)法：若 an 1 . 通項(xiàng)公式法：若 ankqn . 前 n 項(xiàng)和法： Snkkqn第三章不等式一、不等式的主要性質(zhì)：（1）對(duì)稱性：abba（2）傳遞性： a

20、b,bcac（3）加法法則： abacbc ；（4）同向不等式加法法則：ab, c dacbd（5）乘法法則：ab,c0acbc ； ab,c0acbc（6）同向不等式乘法法則：ab0, cd0ac bd（7）乘方法則：a b 0a nbn (nN * 且 n1)（8）開方法則：ab0n an b(nN * 且 n1)（9）倒數(shù)法則：ab,ab011ab二、一元二次不等式ax 2bxc0 和 ax 2bxc0(a0) 及其解法000學(xué)習(xí)必備歡迎下載y ax 2bx cy ax 2bx c2bx ca( xx1 )( x x2 )a( xy axx1 )( x x 2 )二次函數(shù)yax2bxc（

21、 a 0 ）的圖象一元二次方程有兩相異實(shí)根有兩相等實(shí)根ax2bxc0x2 )x1x2b無(wú)實(shí)根a0 的根x1 , x 2 ( x12aax2bxc0x1或x x2x xb(a的解集x x2aR0)ax2bxc0xx 2(a0)的解集x x1 . 一元二次不等式先化標(biāo)準(zhǔn)形式（ a 化正） . 常用因式分解法、求根公式法求解一元二次不等式?？谠E：在二次項(xiàng)系數(shù)為正的前提下：“大于取兩邊，小于取中間”三、均值不等式1、設(shè) a 、 b 是兩個(gè)正數(shù)，則ab 稱為正數(shù) a 、 b 的算術(shù)平均數(shù)，ab 稱為正數(shù) a 、 b 的2幾何平均數(shù)2、基本不等式（也稱均值不等式）：若 a0 均值不等式：如果a,b 是正數(shù)

22、，那么a b 2ab 即 a bab (當(dāng)且僅當(dāng) ab時(shí)取 "" 號(hào)).2注意：使用均值不等式的條件：一正、二定、三相等3、平均不等式：（ a、b 為正數(shù)），即a2b2abab2（當(dāng) a = b 時(shí)取等）2211ab4、常用的基本不等式：a2b22ab a,bR； aba2b2a, b R ；2a2a2b2ab2b0 ；a, bR aba 0, b222學(xué)習(xí)必備歡迎下載5、極值定理：設(shè) x 、 y 都為正數(shù)，則有：若 x ys （和為定值），則當(dāng)xy 時(shí)，積 xy 取得最大值s2若 xy p （積為定4值），則當(dāng) x y 時(shí)，和 xy 取得最小值2 p 四、含有絕對(duì)值的不等

23、式1絕對(duì)值的幾何意義：| x | 是指數(shù)軸上點(diǎn)x 到原點(diǎn)的距離；| x1x2 |是指數(shù)軸上 x1 , x2 兩點(diǎn)aa0間的距離 ；代數(shù)意義： |a |0a0aa02、 如果 a0, 則不等式：| x | ax a 或 xa； | x | ax a 或 x a| x | aax a； | x | aa x a4、解含有絕對(duì)值不等式的主要方法：解含絕對(duì)值的不等式的基本思想是去掉絕對(duì)值符號(hào)五、其他常見不等式形式總結(jié)：分式不等式的解法：先移項(xiàng)通分標(biāo)準(zhǔn)化，則f (x )0f ( x) g( x ) 0 ； f ( x)0f ( x )g( x)0g( x)0g(x)g( x )指數(shù)不等式：轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等

24、式a f ( x )a g( x ) (a1)f ( x)g( x) ； a f ( x )a g( x ) (0a1)f ( x) g(x)對(duì)數(shù)不等式：轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式f (x)0loga f (x )loga g( x)( a1)g(x )0f (x)g( x)f ( x)0loga f (x )loga g( x)( 0a1)g( x)0f ( x)g( x)高次不等式：數(shù)軸穿線法口訣 : “從右向左，自上而下；奇穿偶不穿，遇偶轉(zhuǎn)個(gè)彎；小于取下邊，大于取上邊”例題：不等式 ( x23x2)( x 4) 20 的解為（）x3A 1<x 1 或 x 2B x< 3 或 1 x 2C=4或3< 1或x 2D=4 或x<3 或 1 2xxxx六、不等式證明的常用方法：作差法、作商法學(xué)習(xí)必備歡迎下載七、線性規(guī)劃1、二元一次不等式：含有兩個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式2、二元一次不等式組：由幾個(gè)二元一次不等式組成的不等式組3、二元一次不等式（組）的解集：滿足二元一次不等式組的x 和 y 的取值構(gòu)成有序數(shù)對(duì)x, y ，所有這樣的有序數(shù)對(duì)x, y 構(gòu)成的集合4、在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線xy C