2020年中考數(shù)學(xué)二輪沖刺核心重點(diǎn)第15講 非常規(guī)思維問(wèn)題-2020年中考數(shù)學(xué)《二輪沖刺核心重點(diǎn)難點(diǎn)熱點(diǎn)15講》(全國(guó)通用)原卷板（免費(fèi)下載）

1、硬核：狙擊2020中考數(shù)學(xué)重點(diǎn)/難點(diǎn)/熱點(diǎn)一、軸對(duì)稱/翻折的性質(zhì) 1. 關(guān)于某條直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等形； 2. 如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線段的垂直平分線； 3. 對(duì)稱軸上的任意一點(diǎn)與每一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段相等； 4. 若對(duì)應(yīng)線段或?qū)?yīng)線段的延長(zhǎng)線相交，則交點(diǎn)一定在對(duì)稱軸上.二、梯形常見輔助線的作法 三、圓冪定理 四、正弦定理與余弦定理五、阿基米德折弦定理【例題1】（1）如圖1，四邊形ABCD是菱形，BAD=BCD=60°，當(dāng)AC=12時(shí)，則BCD的周長(zhǎng)=_.（2）如圖2，若四邊形ABCD不是菱形，BAD=2ACB=2ACD=60°，AC=

2、12，判斷BCD的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化，并說(shuō)明理由。（3）如圖2，在四邊形ABCD中，BAD=ACB=ACD=45°，AC=12，求BCD的周長(zhǎng)。 【變式1】已知：如圖（1）在RtABC中，BAC90°，ABAC，點(diǎn)D、E分別為線段BC上兩動(dòng)點(diǎn)，若DAE45°（1）探究線段BD、DE、EC三條線段之間的數(shù)量關(guān)系；（2）已知：如圖（2），等邊三角形ABC中，點(diǎn)D、E在邊AB上，且DCE30°，請(qǐng)你找出一個(gè)條件，使線段DE、AD、EB能構(gòu)成一個(gè)等腰三角形，并求出此時(shí)等腰三角形頂角的度數(shù) 圖(1) 圖(2) 【例題2】如圖，四邊形ABCD中，ADBC，ABC+DC

3、B90°，且BC2AD，以AB、BC、DC為邊向外作正方形，其面積分別為S1、S2、S3，若S13，S39，則S2的值為_. 【變式2-1】如圖所示梯形ABCD中，ABCD，A+B90°，ABp，CDq，E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點(diǎn)，求EF【變式2-2】如圖，在梯形ABCD中，ADBC，求B、D【例題3】如圖，PA切O于A，PBC是O的割線，如果PB2，PC4，則PA的長(zhǎng)為【變式3-1】如圖，CD是O的直徑，以D為圓心的圓與O交于A、B兩點(diǎn)，AB交CD于點(diǎn)E，CD交D于P，已知PC6，PE：ED2：1，則AB的長(zhǎng)為（）ABCD【變式3-2】九年級(jí)學(xué)生小剛是一個(gè)喜歡看書的好學(xué)

4、生，他在學(xué)習(xí)完第二十四章圓后，在家里突然看到爸爸的初中數(shù)學(xué)書上居然還有一個(gè)相交弦定理（圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等），非常好奇，仔細(xì)閱讀原來(lái)就是：PAPBPCPD，小剛很想知道是如何證明的，可已證明部分污損看不清了，只看到輔助線的做法，分別連結(jié)AC、BD聰明的你一定能幫他證出，請(qǐng)?jiān)趫D1中做出輔助線，并寫出詳細(xì)的證明過(guò)程小剛又看到一道課后習(xí)題，如圖2，AB是O弦，P是AB上一點(diǎn)，AB10cm，PA4cm，OP5cm，求O的半徑，愁壞了小剛，樂(lè)于助人的你肯定會(huì)幫助他，請(qǐng)寫出詳細(xì)的證明過(guò)程 【例題4】問(wèn)題呈現(xiàn)：阿基米德折弦定理：如圖1，AB和BC是O的兩條弦（即折線ABC是圓的一

5、條折弦），BCAB，M是的中點(diǎn)，則從M向BC所作垂線的垂足D是折弦ABC的中點(diǎn)，即CDAB+BD下面是運(yùn)用“截長(zhǎng)法”證明CDAB+BD的部分證明過(guò)程證明：如圖2，在CB上截取CGAB，連接MA，MB，MC和MGM是的中點(diǎn)，MAMC（1）請(qǐng)按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；實(shí)踐應(yīng)用：（2）如圖3，已知ABC內(nèi)接于O，BCABAC，D是的中點(diǎn)，依據(jù)阿基米德折弦定理可得圖中某三條線段的等量關(guān)系為（3）如圖4，已知等腰ABC內(nèi)接于O，ABAC，D為AB上一點(diǎn)，連接DB，ACD45°，AECD于點(diǎn)E，BDC的周長(zhǎng)為4+2，BC2，請(qǐng)求出AC的長(zhǎng)【變式4-1】我們知道，如圖1，AB是O的

6、弦，點(diǎn)F是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作EFAB于點(diǎn)E，易得點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，即AEEBO上一點(diǎn)C（ACBC），則折線ACB稱為O的一條“折弦”（1）當(dāng)點(diǎn)C在弦AB的上方時(shí)（如圖2），過(guò)點(diǎn)F作EFAC于點(diǎn)E，求證：點(diǎn)E是“折弦ACB”的中點(diǎn)，即AEEC+CB（2）當(dāng)點(diǎn)C在弦AB的下方時(shí)（如圖3），其他條件不變，則上述結(jié)論是否仍然成立？若成立說(shuō)明理由；若不成立，那么AE、EC、CB滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？直接寫出，不必證明（3）如圖4，已知RtABC中，C90°，BAC30°，RtABC的外接圓O的半徑為2，過(guò)O上一點(diǎn)P作PHAC于點(diǎn)H，交AB于點(diǎn)M，當(dāng)PAB45°時(shí)，求AH的長(zhǎng) 【

7、例題5】閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)托勒密定理：托勒密（Ptolemy）（公元90年公元168年），希臘著名的天文學(xué)家，他的要著作天文學(xué)大成被后人稱為“偉大的數(shù)學(xué)書”，托勒密有時(shí)把它叫作數(shù)學(xué)文集，托勒密從書中摘出并加以完善，得到了著名的托勒密（Ptolemy）定理托勒密定理：圓內(nèi)接四邊形中，兩條對(duì)角線的乘積等于兩組對(duì)邊乘積之和已知：如圖1，四邊形ABCD內(nèi)接于O，求證：ABCD+BCADACBD下面是該結(jié)論的證明過(guò)程：證明：如圖2，作BAECAD，交BD于點(diǎn)EABEACDABEACDABCDACBEACBADE（依據(jù)1）BAECADBAE+EACCAD+EAC即BACEADABCAED（依據(jù)

8、2）任務(wù)：（1）請(qǐng)繼續(xù)完成上面的證明過(guò)程，并回答上述過(guò)程中的“依據(jù)1”和“依據(jù)2”分別是什么（2）當(dāng)圓內(nèi)接四邊形ABCD是矩形時(shí)，托勒密定理就是我們非常熟知的一個(gè)定理： （3）如圖3，四邊形ABCD內(nèi)接于O，AB3，AD5，BAD60°，點(diǎn)C為的中點(diǎn)，求AC的長(zhǎng)【變式5-1】問(wèn)題探究：（1）已知：如圖，ABC中請(qǐng)你用尺規(guī)在BC邊上找一點(diǎn)D，使得點(diǎn)A到點(diǎn)BC的距離最短（2）托勒密（Ptolemy）定理指出，圓的內(nèi)接四邊形兩對(duì)對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線的乘積如圖，P是正ABC外接圓的劣弧BC上任一點(diǎn)（不與B、C重合），請(qǐng)你根據(jù)托勒密（Ptolemy）定理證明：PAPB+PC問(wèn)題解決：（3

9、）如圖，某學(xué)校有一塊兩直角邊長(zhǎng)分別為30m、60m的直角三角形的草坪，現(xiàn)準(zhǔn)備在草坪內(nèi)放置一對(duì)石凳及垃圾箱在點(diǎn)P處，使P到A、B、C三點(diǎn)的距離之和最小，那么是否存在符合條件的點(diǎn)P？若存在，請(qǐng)作出點(diǎn)P的位置，并求出這個(gè)最短距離（結(jié)果保留根號(hào)）；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【例題6】如圖，在RtABC中，以下是小亮探究與之間關(guān)系的方法：sinA，sinB，c，c，根據(jù)你掌握的三角函數(shù)知識(shí)在圖的銳角ABC中，探究、之間的關(guān)系，并寫出探究過(guò)程【變式6-1】觀察與思考：閱讀下列材料，并解決后面的問(wèn)題在銳角ABC中，A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c，過(guò)A作ADBC于D（如圖（1），則，即ADcsinB，ADbsin

10、C，于是csinBbsinC，即，同理有：，所以即：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等在銳角三角形中，若已知三個(gè)元素（至少有一條邊），運(yùn)用上述結(jié)論和有關(guān)定理就可以求出其余三個(gè)未知元素根據(jù)上述材料，完成下列各題（1）如圖（2），ABC中，B45°，C75°，BC60，則A；AC；（2）自從去年日本政府自主自導(dǎo)“釣魚島國(guó)有化”鬧劇以來(lái)，我國(guó)政府靈活應(yīng)對(duì)，現(xiàn)如今已對(duì)釣魚島執(zhí)行常態(tài)化巡邏某次巡邏中，如圖（3），我漁政204船在C處測(cè)得A在我漁政船的北偏西30°的方向上，隨后以40海里/時(shí)的速度按北偏東30°的方向航行，半小時(shí)后到達(dá)B處，此時(shí)又測(cè)得釣魚島

11、A在的北偏西75°的方向上，求此時(shí)漁政204船距釣魚島A的距離AB（結(jié)果精確到0.01，）【變式6-2】在ABC中，cosA，cosB，cosC，我們稱為余弦定理，請(qǐng)用余弦定理完成下面的問(wèn)題請(qǐng)用余弦定理完成下面的問(wèn)題：（1）如圖，已知DEF，E60°，DE4，DF，求EF的長(zhǎng)度；（2）通過(guò)合理的構(gòu)造，試求cos105°1. 如圖，AB是圓O的直徑，弦CDAB于E，P是BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接PC交圓O于F，若PF7，F(xiàn)C13，PA：AE：EB2：4：1，則CD長(zhǎng)為2. 定義：圓中有公共端點(diǎn)的兩條弦組成的折線稱為圓的一條折弦阿基米德折弦定理：如圖1，AB和BC組成圓的

12、折弦，ABBC，M是弧ABC的中點(diǎn)，MFAB于F，則AFFB+BC如圖2，ABC中，ABC60°，AB8，BC6，D是AB上一點(diǎn)，BD1，作DEAB交ABC的外接圓于E，連接EA，則EAC°3. 如圖，在RtABC中，ACB90°，點(diǎn)D是AC上一點(diǎn)，以CD為直徑的圓與AB相切于點(diǎn)E，若CD3，tanAED，則AD的長(zhǎng)為4. 已知：如圖，直角梯形ABCD中ADBC，A90°，CDCB2AD點(diǎn)Q是AB邊中點(diǎn)，點(diǎn)P在CD邊上運(yùn)動(dòng)，以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)作直角MPN，MPN的兩邊分別與AB邊、CB邊交于點(diǎn)M、N（1）若點(diǎn)P與點(diǎn)D重合，點(diǎn)M在線段AQ上，如圖（1）求證：

13、（2）若點(diǎn)P是CD中點(diǎn)，點(diǎn)M在線段BQ上，如圖（2）線段MQ、CN、BC的數(shù)量關(guān)系是：，并證明你的猜想5. 已知：如圖所示，E是等腰梯形一腰CD的中點(diǎn)，EFAB，垂足為F，求證：S梯形ABCDABEF6. 如圖，在O中，ABAC，點(diǎn)D是上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與C、B重合），連接DA、DB、DC，BAC120°（1）若AC4，求O的半徑；（2）寫出DA、DB、DC之間的關(guān)系，并證明7. 如圖：已知點(diǎn)A、B、C、D順次在圓O上，ABBD，BMAC，垂足為M證明：AMDC+CM8. 小明學(xué)習(xí)了垂徑定理，做了下面的探究，請(qǐng)根據(jù)題目要求幫小明完成探究（1）更換定理的題設(shè)和結(jié)論可以得到許多真命題如圖1

14、，在O中，C是劣弧AB的中點(diǎn)，直線CDAB于點(diǎn)E，則AEBE請(qǐng)證明此結(jié)論；（2）從圓上任意一點(diǎn)出發(fā)的兩條弦所組成的折線，成為該圓的一條折弦如圖2，PA，PB組成O的一條折弦C是劣弧AB的中點(diǎn)，直線CDPA于點(diǎn)E，則AEPE+PB可以通過(guò)延長(zhǎng)DB、AP相交于點(diǎn)F，再連接AD證明結(jié)論成立請(qǐng)寫出證明過(guò)程；（3）如圖3，PAPB組成O的一條折弦，若C是優(yōu)弧AB的中點(diǎn)，直線CDPA于點(diǎn)E，則AE，PE與PB之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出結(jié)論，不必證明9. 閱讀與思考：阿基米德（公元前287年一公元前212年），偉大的古希臘哲學(xué)家、百科式科學(xué)家、數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、力學(xué)家，靜態(tài)力學(xué)和流體靜力學(xué)的奠基人，阿基米

15、德流傳于世的著作有10余種，多為希臘文手稿下面是阿基米德全集中記載的一個(gè)命題：AB是O的弦，點(diǎn)C在O上，且CDAB于點(diǎn)D，在弦AB上取點(diǎn)E，使ADDE，點(diǎn)F是上的一點(diǎn)，且，連接BF可得BFBE（1）將上述問(wèn)題中弦AB改為直徑AB，如圖1所示，試證明BFBE；（2）如圖2所示，若直徑AB10，EOOB，作直線l與O相切于點(diǎn)F過(guò)點(diǎn)B作BPl于點(diǎn)P求BP的長(zhǎng)10. 閱讀下面的材料：如圖（1），在以AB為直徑的半圓O內(nèi)有一點(diǎn)P，AP、BP的延長(zhǎng)線分別交半圓O于點(diǎn)C、D求證：APAC+BPBDAB2證明：連接AD、BC，過(guò)P作PMAB，則ADBAMP90°，點(diǎn)D、M在以AP為直徑的圓上；同理：

16、M、C在以BP為直徑的圓上由割線定理得：APACAMAB，BPBDBMBA，所以，APAC+BPBDAMAB+BMABAB（AM+BM）AB2當(dāng)點(diǎn)P在半圓周上時(shí)，也有APAC+BPBDAP2+BP2AB2成立，那么：（1）如圖（2）當(dāng)點(diǎn)P在半圓周外時(shí)，結(jié)論APAC+BPBDAB2是否成立？為什么？（2）如圖（3）當(dāng)點(diǎn)P在切線BE外側(cè)時(shí)，你能得到什么結(jié)論？將你得到的結(jié)論寫出來(lái)11. 已知O半徑為R（1）如圖1，過(guò)O內(nèi)一點(diǎn)P作弦AB，連接OP求證：PAPBR2OP2（2）如圖2，過(guò)O外一點(diǎn)P，作割線PAB，求證：PAPBOP2R212. （1）在ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a，b，c，試?yán)盟鶎W(xué)知識(shí)證明：SABCabsinCacsinBbcsinA（2）在數(shù)學(xué)中人們把（1）的結(jié)論稱之為正弦定理的三角形面積公式，它在