數(shù)學(xué)分析(華東師大版)上第九章9-1

1、1 定積分的概念 在很多數(shù)學(xué)和物理問題中，經(jīng)常需要求一類特殊和式的極限:這類特殊極限問題導(dǎo)出了定積分的概念.01lim(),Tniiifx ( ,)| , , 0( ) .Ax yxa byf x三個(gè)典型問題三個(gè)典型問題( ) , , ,yf xxa b1. 設(shè)設(shè)求曲邊梯形求曲邊梯形 A 的面積的面積S (A), 其中其中 yxO xfy ( )S Aab2. 已知質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度為已知質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度為求從時(shí)刻求從時(shí)刻 ( ) , , .v tta b3. 已知質(zhì)量非均勻分布的線狀物體的密度函數(shù)為已知質(zhì)量非均勻分布的線狀物體的密度函數(shù)為 , )(x , ,bax 求線狀物體的質(zhì)量求線狀物體的質(zhì)量

2、 m .顯然顯然, ,( )( )();f xcS Ac ba當(dāng)當(dāng)為為常常值值函函數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)，0();sv ba為為勻勻速速運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)時(shí)時(shí), ,0( )v tv當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)質(zhì)質(zhì)量量為為,x 均均勻勻分分布布時(shí)時(shí)， 即即為為常常數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)).(abm 這就是說這就是說, ,在在“常值常值”、“均勻均勻”、“不變不變” ” 的情況下，的情況下，a 到時(shí)刻到時(shí)刻 b, ,質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程 s.可以用簡單的乘法進(jìn)行計(jì)算可以用簡單的乘法進(jìn)行計(jì)算. 而現(xiàn)在遇到的問題而現(xiàn)在遇到的問題以下我們以求曲邊梯形的面積為例，把這類問題以下我們以求曲邊梯形的面積為例，把這類問題中心思想：中心思想：是是“非常值非常值”

3、 、“不均勻不均勻”、“有變化有變化”的情形，的情形，如何如何來解決這些問題呢？來解決這些問題呢？合理地歸為一類合理地歸為一類特殊和式的極限特殊和式的極限. .把曲邊梯形看作許許多多小的曲邊梯形之和，每把曲邊梯形看作許許多多小的曲邊梯形之和，每個(gè)小曲邊梯形面積，可近似地用矩形的面積來替?zhèn)€小曲邊梯形面積，可近似地用矩形的面積來替代，雖然為此會(huì)產(chǎn)生誤差，但當(dāng)分割越來越細(xì)的代，雖然為此會(huì)產(chǎn)生誤差，但當(dāng)分割越來越細(xì)的一分為二一分為二時(shí)候，矩形面積之和就越來越接近于曲邊梯形面時(shí)候，矩形面積之和就越來越接近于曲邊梯形面積積. .yxO xfy ( )S Aab1x一分為四一分為四yxO xfy ab1x2

4、x3x( )S A一分為八一分為八yxO xfy ab8 1x1x3x( )S A一分為一分為 n可以看出小矩形面積之和越來越接近于曲邊梯形可以看出小矩形面積之和越來越接近于曲邊梯形的面積的面積. .yxO xfy ab1xix1ix1nxi ( )S A過程呢？過程呢？ 這可以分三步進(jìn)行這可以分三步進(jìn)行. 1. 分割：分割：把曲邊梯形把曲邊梯形 A 分成分成 n 個(gè)小曲邊梯形個(gè)小曲邊梯形,21nAAAa1x2x1 nxb即在即在上找到上找到 個(gè)分點(diǎn)個(gè)分點(diǎn)121,nxxx , a b1n121,naxxxb 如何嚴(yán)格地定義這一越來越逼近曲邊梯形面積的如何嚴(yán)格地定義這一越來越逼近曲邊梯形面積的0

5、,nxa xb為為方方便便起起見見，記記，010, ,.nnTxxxT用用或或 = =來來記記這這個(gè)個(gè)分分割割11, ,1, 2,iiiiiixxxxxin ，11,( )iiiiixxxxf x 在在上上把把近近似似看看作作常常數(shù)數(shù)()(),iiiiifASfx. .此此時(shí)時(shí)的的面面積積約約為為所所以以11( )().nniiiiiS ASfx 2. 近似近似: :iA把把小小曲曲邊邊梯梯形形近近似似看看作作矩矩形形, ,即即任任取取1().niiifx 上上述述和和式式稱稱為為積積分分和和或或黎黎曼曼和和3. 逼近逼近：不管分割多么細(xì)，小曲邊梯形終究不是：不管分割多么細(xì)，小曲邊梯形終究不是

6、S 總有差別總有差別. 當(dāng)分割越來越細(xì)時(shí)，和式當(dāng)分割越來越細(xì)時(shí)，和式1()niiifx 問題是：問題是：(1)如如何何刻刻畫畫分分割割越越來來越細(xì)？越細(xì)？1(2)()?niiifxS 如如何何刻刻畫畫越越來來越越逼逼近近于于就會(huì)越來越小就會(huì)越來越小.S與與的的差差距距下面依次討論這兩個(gè)問題下面依次討論這兩個(gè)問題. .1()niiifx 與曲邊梯形的面積與曲邊梯形的面積矩形，因此黎曼和矩形，因此黎曼和001(1):,nT axxxb對(duì)對(duì)于于一一般般的的不不能能來表示分割來表示分割 T 越來越細(xì)越來越細(xì), ,因?yàn)榭赡苣承┮驗(yàn)榭赡苣承﹏ 用用max1,2,.iTxin1(2)(),niiifxS 要

7、要刻刻畫畫能能無無限限逼逼近近需需對(duì)對(duì)任任意意1,iixx區(qū)區(qū)間間要要保保證證每每個(gè)個(gè)區(qū)區(qū)間間的長度不趨于的長度不趨于 0 . .1,0,iixxT的的長長度度趨趨于于需需引引細(xì)細(xì)度度入入分分的的: :割割( (模模) )0T則則當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí), ,就能保證分割越來越細(xì)就能保證分割越來越細(xì). .1max , ,iiiiTxxx時(shí)時(shí) 對(duì)對(duì)任任意意都都有有1().niiifxS總結(jié)以上分析，下面給出定積分定義總結(jié)以上分析，下面給出定積分定義.對(duì)于另外兩個(gè)實(shí)際問題對(duì)于另外兩個(gè)實(shí)際問題, ,也可類似地歸結(jié)為黎曼和也可類似地歸結(jié)為黎曼和0, 給定的給定的能夠找到能夠找到 0, 使使得得當(dāng)當(dāng)?shù)臉O限的極限. .定

8、義定義1 ,R.fa bJ設(shè)設(shè)是是定定義義在在上上的的函函數(shù)數(shù)， 001:,nT axxxb00,若若，對(duì)對(duì)任任意意分分割割 ,fa b則則稱稱在在上上可可積積，并稱并稱 J 為為 f 在在 a, ,b上的上的1,1,2, ,iiixxin 及任意及任意01( )dlim().nbaTiJf xxfxii 定積分定積分, ,記作記作maxiTx 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí), ,必必有有1(),niiifxJ ,a b分分變變量量, ,分分別別為為積積分分下下限限和和上上限限. .f其其中中稱稱為為被被積積函函數(shù)數(shù), ,x 為為積積 ,a b 為為積積分分區(qū)區(qū)間間, ,( )f x由由定定義義 曲曲邊邊為為的的曲

9、曲邊邊梯梯形形的的面面積積為為( )d .baSf xx( )v t通通過過類類似似分分析析, ,速速度度質(zhì)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)的的路路程程為為( )d ;basv tt( )x 密密度度為為線線狀狀物物體體的的質(zhì)質(zhì)量量為為( )d .bamxx 01lim()niiTiJfx 表表達(dá)達(dá)式式注注1nT不不僅僅與與和和有有列極限，也不是函數(shù)極限列極限，也不是函數(shù)極限.注注2 , a b并并非非每每個(gè)個(gè)函函數(shù)數(shù)在在上上都都可可積積. .在在近近似似過過程程中中, ,我們把小曲邊梯形近似看作矩形時(shí)我們把小曲邊梯形近似看作矩形時(shí), ,顯然要求顯然要求12,n關(guān)關(guān), ,還還與與有有關(guān)關(guān), ,因此定積分既不是數(shù)

10、因此定積分既不是數(shù)關(guān)于定積分定義，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：關(guān)于定積分定義，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：f (x)在每個(gè)小區(qū)間在每個(gè)小區(qū)間 xi1, xi 上變化不大上變化不大, 這相當(dāng)于這相當(dāng)于要求要求 f (x) 有某種程度上的連續(xù)性有某種程度上的連續(xù)性.a, b 上的一致連續(xù)性上的一致連續(xù)性, 可證可證 f (x)在在a, b上上可積可積.下面舉例來加深理解用定義求定積分的方法下面舉例來加深理解用定義求定積分的方法. .122010dlimniiTiSxxx 2( )0 1f xx在在， 上上連連續(xù)續(xù)，故故解解120d .xx求求例例1存在存在. . 為方便起見為方便起見, ,令令以后將知道以后將知道 f (x) 在在a, b 上連續(xù)時(shí)上連續(xù)時(shí), 利用利用 f (x) 在在, 2 , 1, 11210: nnnnnTn11max 0,nii nTxnn , 2 , 1,11ninininii 取取則則此時(shí)黎曼和的極限化為此時(shí)黎曼和的極限化為n