高中數(shù)學(xué)二項式定理題型總結(jié)

1、二項式定理知識點歸納 1二項式定理及其特例：（1），（2）2二項展開式的通項公式：3常數(shù)項、有理項和系數(shù)最大的項：求常數(shù)項、有理項和系數(shù)最大的項時，要根據(jù)通項公式討論對的限制；求有理項時要注意到指數(shù)及項數(shù)的整數(shù)性 4二項式系數(shù)表（楊輝三角）展開式的二項式系數(shù)，當(dāng)依次取時，二項式系數(shù)表，表中每行兩端都是，除以外的每一個數(shù)都等于它肩上兩個數(shù)的和5二項式系數(shù)的性質(zhì)：展開式的二項式系數(shù)是，可以看成以為自變量的函數(shù)，定義域是，例當(dāng)時，其圖象是個孤立的點（如圖）（1）對稱性與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等（） 直線是圖象的對稱軸（2）增減性與最大值：當(dāng)是偶數(shù)時，中間一項取得最大值；當(dāng)是奇數(shù)時，中間

2、兩項，取得最大值（3）各二項式系數(shù)和：，令，則 題型講解 例1 如果在（+）n的展開式中，前三項系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中的有理項解：展開式中前三項的系數(shù)分別為1，由題意得2×=1+，得n=8設(shè)第r+1項為有理項，t=c··x，則r是4的倍數(shù)，所以r=0，4，8，有理項為t1=x4，t5=x，t9=點評：求展開式中某一特定的項的問題常用通項公式，用待定系數(shù)法確定r例2 求式子（x+2）3的展開式中的常數(shù)項解法一：（x+2）3=（x+2）（x+2）（x+2）得到常數(shù)項的情況有：三個括號中全取2，得（2）3；一個括號取x，一個括號取，一個括號取2，得cc（2）=12，

3、常數(shù)項為（2）3+（12）=20解法二：（|x|+2）3=（）6設(shè)第r+1項為常數(shù)項，則t=c·（1）r·（）r·|x|=（1）6·c·|x|，得62r=0，r=3t3+1=（1）3·c=20例3 求（1+x+x2+x3）（1x）7的展開式中x4的系數(shù)；求（x+4）4的展開式中的常數(shù)項；求（1+x）3+（1+x）4+（1+x）50的展開式中x3的系數(shù)解：原式=（1x）7=（1x4）（1x）6，展開式中x4的系數(shù)為（1）4c1=14（x+4）4=，展開式中的常數(shù)項為c·（1）4=1120方法一：原式=展開式中x3的系數(shù)為c方法

4、二：原展開式中x3的系數(shù)為c+c+c+c=c+c+c=c+c+c=c點評：把所給式子轉(zhuǎn)化為二項展開式形式是解決此類問題的關(guān)鍵例4 求展開式中的系數(shù)解：令點評：是展開式中的第項，注意二項式系數(shù)與某項系數(shù)的區(qū)別在本題中，第4項的二項式系數(shù)是，第4項的系數(shù)為，二者并不相同例5 求展開所得的多項式中，系數(shù)為有理數(shù)的項數(shù)解：依題意：，為3和2的倍數(shù)，即為6的倍數(shù)，又，構(gòu)成首項為0，公差為6，末項為96的等差數(shù)列，由得，故系數(shù)為有理數(shù)的項共有17項點評：有理項的求法：解不定方程，注意整除性的解法特征例6 求展開式中的系數(shù)解法一：故展開式中含的項為，故展開式中的系數(shù)為240，解法二： ，要使指數(shù)為1，只有才

5、有可能，即，故的系數(shù)為，解法三：，由多項式的乘法法則，從以上5個括號中，一個括號內(nèi)出現(xiàn)，其它四個括號出現(xiàn)常數(shù)項，則積為的一次項，此時系數(shù)為點評：此類問題通常有兩個解法：化三項為二項，乘法法則及排列、組合知識的綜合應(yīng)用例7 設(shè)an=1+q+q2+q（nn*，q±1），an=ca1+ca2+can（1）用q和n表示an；（2）（理）當(dāng)3<q<1時，求解：（1）因為q1，所以an=1+q+q2+q=于是an= c+ c+c=（c+c+c）（cq+cq2+cqn）=（2n1）（1+q）n1=2n（1+q）n（2）=1（）n因為3<q<1，且q1，所以0<| |&

6、lt;1所以=例8 已知，求分析：在已知等式的左邊隱含一個二項式，設(shè)法先求出n解：在中，令得 點評：記住課本結(jié)論：， 注意所求式中缺少一項，不能直接等于例9 已知，求解： 令時，有，令時，有 點評：賦值法是由一般到特殊的一種處理方法，在高考題中屢見不鮮，特別在二項式定理中的應(yīng)用尤為明顯賦值法是給代數(shù)式（或方程或函數(shù)表達式）中的某些字母賦予一定的特殊值，從而達到便于解決問題的目的望同學(xué)們在學(xué)習(xí)中舉一反三例10 求展開式中系數(shù)最大的項解：設(shè)第項系數(shù)最大，則有，即又故系數(shù)最大項為點評：二項式系數(shù)最大的項與系數(shù)最大的項不同二項式系數(shù)最大的項也即中間項：當(dāng)n為偶數(shù)時中間項的二項式系數(shù)最大；當(dāng)n為奇數(shù)時，

7、中間兩項，的二項式系數(shù)相等且為最大小結(jié)：1在使用通項公式t=cbr時，要注意：通項公式是表示第r1項，而不是第r項展開式中第r+1項的二項式系數(shù)c與第r+1項的系數(shù)不同通項公式中含有a，b，n，r，t五個元素，只要知道其中的四個元素，就可以求出第五個元素在有關(guān)二項式定理的問題中，常常遇到已知這五個元素中的若干個，求另外幾個元素的問題，這類問題一般是利用通項公式，把問題歸納為解方程（或方程組）這里必須注意n是正整數(shù)，r是非負整數(shù)且rn2證明組合恒等式常用賦值法學(xué)生練習(xí) 1已知（13x）9=a0+a1x+a2x2+a9x9，則a0+a1+a2+a9等于a29 b49 c39 d1解析：x的奇數(shù)次方

8、的系數(shù)都是負值，a0+a1+a2+a9=a0a1+a2a3+a9已知條件中只需賦值x=1即可答案：b2 2x+）4的展開式中x3的系數(shù)是a6b12c24d48解析：（2x+）4=x2（1+2）4，在（1+2）4中，x的系數(shù)為c·22=24答案：c3（2x3）7的展開式中常數(shù)項是a14b14c42d42解析：設(shè)（2x3）7的展開式中的第r+1項是t=c（2x3）（）r=c2·（1）r·x，當(dāng)+3（7r）=0，即r=6時，它為常數(shù)項，c（1）6·21=14答案：a4一串裝飾彩燈由燈泡串聯(lián)而成，每串有20個燈泡，只要有一只燈泡壞了，整串燈泡就不亮，則因燈泡損壞

9、致使一串彩燈不亮的可能性的種數(shù)為a20 b219c220d2201解析：c+c+c=2201答案：d5已知（x）8展開式中常數(shù)項為1120，其中實數(shù)a是常數(shù)，則展開式中各項系數(shù)的和是a28b38c1或38d1或28解析：t=c·x8r·（ax1）r=（a）rc·x82r，令82r=0，r=4，（a）4c=1120a=±2當(dāng)a=2時，令x=1，則（12）8=1，當(dāng)a=2時，令x=1，則（12）8=38答案：c6已知（x+x）n的展開式中各項系數(shù)的和是128，則展開式中x5的系數(shù)是_（以數(shù)字作答）解析：（x+x）n的展開式中各項系數(shù)和為128，令x=1，即得

10、所有項系數(shù)和為2n=128，n=7設(shè)該二項展開式中的r+1項為t=c（x）·（x）r=c·x，令=5即r=3時，x5項的系數(shù)為c=35答案：357若（x+1）n=xn+ax3+bx2+cx+1（nn*），且ab=31，那么n=_解析：ab=cc=31，n=11 答案：118（x）8展開式中x5的系數(shù)為_解析：設(shè)展開式的第r+1項為t=cx8r·（）r=（1）rcx令8=5得r=2時，x5的系數(shù)為（1）2·c=28答案：289若（x3+）n的展開式中的常數(shù)項為84，則n=_解析：t=c（x3）nr·（x）r=c·x，令3nr=0，2n=

11、3rn必為3的倍數(shù)，r為偶數(shù)試驗可知n=9，r=6時，c=c=84答案：910已知（x+1）n展開式中，末三項的二項式系數(shù)和等于22，二項式系數(shù)最大項為20000，求x的值解：由題意ccc=22，即ccc=22，n=6第4項的二項式系數(shù)最大c（x）3=20000，即x3lgx=1000x=10或x=11若（1+x）6（12x）5=a0+a1x+a2x2+a11x11求：（1）a1+a2+a3+a11；（2）a0+a2+a4+a10解：（1）（1+x）6（12x）5=a0+a1x+a2x2+a11x11令x=1，得a0+a1+a2+a11=26，又a0=1，所以a1+a2+a11=261=65（

12、2）再令x=1，得a0a1+a2a3+a11=0+得a0+a2+a10=（26+0）=32點評：在解決此類奇數(shù)項系數(shù)的和、偶數(shù)項系數(shù)的和的問題中常用賦值法，令其中的字母等于1或112在二項式（axm+bxn）12（a0，b0，m、n0）中有2m+n=0，如果它的展開式里最大系數(shù)項恰是常數(shù)項（1）求它是第幾項；（2）求的范圍解：（1）設(shè)t=c（axm）12r·（bxn）r=ca12rbrxm（12r）+nr為常數(shù)項，則有m（12r）+nr=0，即m（12r）2mr=0，r=4，它是第5項（2）第5項又是系數(shù)最大的項，有ca8b4ca9b3 ca8b4ca7b5 由得a8b4a9b3，a0，b0， ba，即由得，13在二項式（+）n的展開式中，前三項的系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中的有理項分析：根據(jù)題意列出前三項系數(shù)關(guān)系式，先確定n，再分別求出相應(yīng)的有理項解：前三項系數(shù)為c，c，c，由已知c=c+c，即n29n+8=0，解得n=8或n=1（舍去）t=c（）8r（2）r=c··x4z且0r8，rz，r=0，r=4，r=8展開式中x的有理項為t1=x4，t5=x，t9= x2點評：展開式中有理項的特點是字母x的指數(shù)4