高二數(shù)學必修五數(shù)列

1、名師精編歡迎下載第 3 講等比數(shù)列及其前n 項和1等比數(shù)列的有關概念(1)等比數(shù)列的定義如果一個數(shù)列從第 2 項起，每一項與它的前一項的比等于同一個非零常數(shù)， 那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列， 這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比， 公比通常用字母 q(q 0) 表示數(shù)學語言表達式：an q(n2)， q 為常數(shù)an 1(2)等比中項如果 a，G，b 成等比數(shù)列，那么 G 叫做 a 與 b 的等比中項即： G 是 a 與 b 的等比中項 ? a，G，b 成等比數(shù)列 ? G2 ab.2等比數(shù)列的通項公式及前n 項和公式(1)若等比數(shù)列 an 的首項為 a1，公比是 q，則其通項公式為an a1 qn 1；若等比

2、數(shù)列 an的第m項為 m，公比是 q,則其第 n 項 an 可以表示為 an am n maq .(2)等比數(shù)列的前n項和公式：當nna1；當 q1 時，Sna1 1qn q1 時，S1q1 anqa1q .3等比數(shù)列及前 n 項和的性質(zhì)n*k lam·n(1)若 a 為等比數(shù)列，且 kl m n(k， l，m， n N)，則 a ·aa .(2)相隔等距離的項組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，即ak，ak m，ak 2m，仍是等比數(shù)列，公比為 qm.(3)當 q 1，或 q 1 且 n 為奇數(shù)時， Sn， S2n Sn，S3n S2n 仍成等比數(shù)列，其公比為 qn.(4)若n，n項

3、數(shù)相同是等比數(shù)列，則an 0)，1， an2， n·n， an a b () (a a b bnn仍是等比數(shù)列考點一等比數(shù)列的判定與證明【例 1】 (2015 ·濟寧測試 )設數(shù)列 an的前n項和為n，若對于任意的正整數(shù) nS都有 Sn 2an 3n，設 bnan 3.求證：數(shù)列 bn 是等比數(shù)列，并求an.名師精編歡迎下載規(guī)律方法證明數(shù)列 an 是等比數(shù)列常用的方法： 一是定義法，證明 an q(n2，an 1q 為常數(shù) )；二是等比中項法，證明an2 an 1·an 1 .若判斷一個數(shù)列不是等比數(shù)列，則只需舉出反例即可，也可以用反證法【訓練 1】 (2013

4、·陜西卷 )設 an 是公比為 q 的等比數(shù)列(1)推導 an 的前 n 項和公式；(2)設 q1，證明數(shù)列 an 1 不是等比數(shù)列考點二等比數(shù)列基本量的求解【例 2】 (2013 ·湖北卷 )已知等比數(shù)列 an 滿足： |a2 a3|10，a1a2a3125.(1)求數(shù)列 a 的通項公式；n(2)是否存在正整數(shù)1 1 1 1？若存在，求 m 的最小值；若不m，使得 a1a2am存在，說明理由規(guī)律方法等比數(shù)列基本量的求解是等比數(shù)列中的一類基本問題，解決這類問題的關鍵在于熟練掌握等比數(shù)列的有關公式并能靈活運用， 尤其需要注意的是， 在使用等比數(shù)列的前 n 項和公式時，應該要分

5、類討論， 有時還應善于運用整體代換思想簡化運算過程【訓練 2】 (1)已知 an 是首項為 1 的等比數(shù)列， Sn 是 an 的前 n 項和，且 9S31S6，則數(shù)列 an 的前 5 項和為 _(2)設 an 是由正數(shù)組成的等比數(shù)列， Sn 為其前 n 項和已知 a2 a41，S37，則S5 _.考點三等比數(shù)列性質(zhì)的應用【例 3】 (1)(2012 新·課標全國卷 )已知 an為等比數(shù)列，4 a72，a5 6 8，aa則 a1a10()A 7B 5C5D7(2)等比數(shù)列n的首項 1 1，前 n 項和為 Sn，若S10 31，則公比 q_. a aS532規(guī)律方法熟練掌握等比數(shù)列的一些

6、性質(zhì)可提高解題速度，歷年高考對等比數(shù)列的性質(zhì)考查較多， 主要是考查 “等積性 ” ，題目 “ 小而巧 ”且背景不斷更新 解題時要善于類比并且要能正確區(qū)分等差、等比數(shù)列的性質(zhì)， 不要把兩者的性質(zhì)搞名師精編歡迎下載混【訓練 3】 (1)已知 x，y，zR，若 1，x，y，z， 3 成等比數(shù)列，則 xyz 的值為()A 3B±3C 33D±3 3(2)(2014 昆·明模擬 )在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列n321，a521，a 中， a則 a322a2a6a3a7()A 4B 6C8D 8 4 21等比數(shù)列的判定方法有以下幾種：a*n 1(1)定義： anq(q 是不為零的

7、常數(shù)， n N )? an 是等比數(shù)列n 1、均是不為零的常數(shù)，*n 是等比數(shù)列n cq(cqn N )?(2)通項公式： a a 2a · ··0， *)? an是等比數(shù)列(3)等比中項法： an 1nan2(anan 1 an 2nN2方程觀點以及基本量 (首項 a1和公比 q)思想仍然是求解等比數(shù)列問題的基本方法：在 a1，q，n，an， Sn 五個量中，知三求二3在求解與等比數(shù)列有關的問題時，除了要靈活地運用定義和公式外，還要注意等比數(shù)列性質(zhì)的應用，以減少運算量而提高解題速度基礎鞏固題組一、選擇題1(2013 ·六安二模 )已知數(shù)列 an 的前

8、n 項和 Sn3n 2， n N*，則()A an 是遞增的等比數(shù)列B an 是遞增數(shù)列，但不是等比數(shù)列C an 是遞減的等比數(shù)列D an 不是等比數(shù)列，也不單調(diào)nn37，則2(2016 ·廣州模擬 )已知等比數(shù)列 a 的公比 q2，前 n 項和為 S .若 S26 等于()S3163127A. 2B. 2C63D. 2名師精編歡迎下載3(2013 ·新課標全國卷 )等比數(shù)列n 的前n項和為 n已知3a210a1， a5a S .S 9，則 a1()1111A. 3B3C.9D9在等比數(shù)列n37，前 3 項之和 S321，則公比 q 的值為()4a 中， a111A 1B2

9、C1 或 2D1 或2·浙江十校聯(lián)考 若方程x2 5xm0 與 x210x n0 的四個根適當排5 (2014)列后，恰好組成一個首項為1 的等比數(shù)列，則 mn 值為()11A. 4B.2C 2D4二、填空題S10316(2016 ·江西九校聯(lián)考 )實數(shù)項等比數(shù)列 an 的前 n 項的和為 Sn，若 S5 32，則公比 q 等于 _7在等比數(shù)列 an 中， a1a2 30，a3 a460，則 a7 a8 _.8設等比數(shù)列 an 的公比為 q，前 n 項和為 Sn，若 Sn 1 ，Sn，Sn 2 成等差數(shù)列，則 q 的值為 _三、解答題9在數(shù)列 an 中，已知 a1 1，且

10、an12an3n 4(n N* )(1)求證：數(shù)列 an 1an3 是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列 an 的通項公式及前n 項和 Sn.10(2013 濟·南期末 )已知等差數(shù)列 an 的前 n 項和為 Sn，且滿足 a24，a3 a4 17.(1)求 an 的通項公式；(2)設bn2an2，證明數(shù)列 bn是等比數(shù)列并求其前n項和nT .第4講數(shù)列求和1公式法(1)等差數(shù)列的前 n 項和公式：Snn a1 an na1 n n1 d.22名師精編歡迎下載(2)等比數(shù)列的前 n 項和公式：na1， q 1，nSna1anqa1 1 q ，q1.1q1q2數(shù)列求和的幾種常用方法(1)分組求和法

11、一個數(shù)列的通項公式是由若干個等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時可用分組求和法，分別求和后相加減(2)裂項相消法把數(shù)列的通項拆成兩項之差， 在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得其和(3)錯位相減法如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應項之積構成的， 那么這個數(shù)列的前 n 項和即可用此法來求， 如等比數(shù)列的前 n 項和公式就是用此法推導的(4)倒序相加法如果一個數(shù)列 an 的前 n 項中首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前 n 項和可用倒序相加法， 如等差數(shù)列的前 n 項和公式即是用此法推導的(5)并項求和法在一個數(shù)列的前n 項和中

12、，可兩兩結合求解，則稱之為并項求和形如 an (1)nf(n)類型，可采用兩項合并求解例如， Sn 1002992982972 2212(1002 992) (982972) (22 12)(10099) (9897) (21) 5 050. 3常見的拆項公式(1) 1 11； n n1 n n1(2) 2n111112n122n12n1 ；1 n 1 n.(3)nn 1名師精編歡迎下載辨析感悟數(shù)列求和的常用方法(1)當 n2 時，111.(×)21nn1n1(2)求 Sn a 2a2 3a3 nan 時只要把上式等號兩邊同時乘以a 即可根據(jù)錯位相減法求得 (×)(3)推導

13、等差數(shù)列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin2 1 ° sin22° sin2 3 ° sin2 88 ° sin2 89 °44.5.()(4)(2014 南·京調(diào)研改編 )若 Sn 1 2 3 4 (1)n 1·n，則 S50 25.()感悟·提升兩個防范一是用裂項相消法求和時，注意裂項后的系數(shù)以及搞清未消去的項，如 (1)二是含有字母的數(shù)列求和， 常伴隨著分類討論，如(2)中 a 需要分 a0，a 1，a1且 a0 三種情況求和，只有當 a1 且 a0 時可用錯位相減法求和 .考點一分組轉(zhuǎn)化法求

14、和【例 1】 已知數(shù)列 an 的通項公式是 an 2·3n 1(1)n(ln 2ln 3)( 1)nnln 3，求其前 n 項和 Sn.規(guī)律方法 (1)等差數(shù)列、等比數(shù)列以及由等差數(shù)列、等比數(shù)列通過加、減構成的數(shù)列，它們可以使用等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式求解(2)奇數(shù)項和偶數(shù)項分別構成等差數(shù)列或者等比數(shù)列的，可以分項數(shù)為奇數(shù)和偶數(shù)時使用等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和公式【訓練 1】 (2014 ·湖州質(zhì)檢 )在等比數(shù)列 an 中，已知 a1 3，公比 q1，等差數(shù)列 bn 滿足 b1a1， b4a2，b13a3.(1)求數(shù)列 an 與 bn 的通項公式；(2)記 cn ( 1)

15、nbnan，求數(shù)列 cn 的前 n 項和 Sn.名師精編歡迎下載考點二裂項相消法求和【例 2】 (2013 ·江西卷 )正項數(shù)列 an 的前 n 項和 Sn 滿足： Sn2(n2 n 1)Sn(n2 n)0.(1)求數(shù)列 an 的通項公式 an；n12，數(shù)列 bn 的前 n 項和為 Tn，證明：對于任意的 nN*，都有(2)令 bn2n2anTn5 .64規(guī)律方法使用裂項法求和時，要注意正負項相消時消去了哪些項，保留了哪些項，切不可漏寫未被消去的項， 未被消去的項有前后對稱的特點， 實質(zhì)上造成正負相消是此法的根源與目的1*【訓練 2】(2013 ·濱州一模 )已知數(shù)列 an

16、 的前 n 項和是 Sn，且 Sn2an1(nN)(1)求數(shù)列 an 的通項公式；nlog1 n 1*，令Tn1 1 1，求 Tn.(2)設 b(1S)(nN )b1 b2b2b3n n 13b b考點三錯位相減法求和【例 3】 (2013 ·山東卷 )設等差數(shù)列 an 的前 n 項和為 Sn，且 S44S2，a2n2an 1.(1)求數(shù)列 a 的通項公式；n(2)設數(shù)列 bn 的前 n 項和為 Tn ，且 Tnan1(為常數(shù) )，令 cn b2n，(nN* )，n2求數(shù)列 cn的前n項和 nR .所規(guī)律方法(1)一般地，如果數(shù)列 an 是等差數(shù)列， bn 是等比數(shù)列，求數(shù)列 an&

17、#183;bn的前 n 項和時，可采用錯位相減法求和，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列 bn 的公比，然后作差求解(2)在寫出 “Sn”與“qSn”的表達式時應特別注意將兩式“ 錯項對齊 ” 以便下一步準確寫出 “ SnqSn”的表達式【訓練 3】 (2013 ·嘉興二模 )在數(shù)列 an 中， a1 2， an 13an2.(1)記 bnan1，求證：數(shù)列 bn 為等比數(shù)列；名師精編歡迎下載(2)求數(shù)列 nan 的前 n 項和 Sn.數(shù)列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差數(shù)列、與二項式系數(shù)相關聯(lián)的數(shù)列的求和(2)錯位相減：用于等差數(shù)列與等比數(shù)列的積數(shù)列的求和(3)分組求和：用于若干個

18、等差或等比數(shù)列的和或差數(shù)列的求和基礎鞏固題組一、選擇題等差數(shù)列n 的通項公式為n2n1，其前 n 項和為 Sn，則數(shù)列 Sn的前 101 a an項的和為()A120B70C75D100若數(shù)列n的通項公式為 n2n 2n1，則數(shù)列 an的前n項和為()2 a aA 2n n21B2n 1 n21n12nC 2n2D2 n 2數(shù)列n的前n項和為n，已知 Sn1234 (1)n 1·，則173a SnS()A 9B 8C17D16n1 1，an 1·n2n *)，則2 012 ()4(2014 西·安質(zhì)檢 )已知數(shù)列 a 滿足 aa(nNSA22 0121B 3·21 006 3C3·21 0061D 3·21 005 25(2014 ·杭州模擬 )已知函數(shù) f(x)x22bx 過 (1,2)點，若數(shù)列1的前 n 項和為f nn，則 S2 014 的值為()S2 0122 0102 0142 014A. 2 011B. 2 011C.2 0