高二二項式定理(理科)

1、優(yōu)秀學習資料歡迎下載年級內容標題編稿老師高二學科二項式定理（理科）胡居化數(shù)學一、教學目標1.理解二項式定理的內容及其通項公式的概念，掌握二項式定理的應用.2. 理解二項式系數(shù)與展開式中某項系數(shù)的區(qū)別，掌握二項式系數(shù)的性質及其簡單的應用.3. 理解方程的數(shù)學思想、轉化的數(shù)學思想及賦值法等數(shù)學思想方法的應用.二、知識要點分析1.二項式定理：(a b)nC n0 anC n1 an 1bC n2 a n 2 b2C nr a n r brC nnbn 這個 公式表示的規(guī)律叫二項式定理 .（ 1）二項式 ( a b) n 的展開式的特點： （ i）展開式共有n+1項；（ ii ）各項的次數(shù)之和等于 n

2、；（ iii ）a 的次數(shù)由 n 降到 0，b 的次數(shù)由 0升到 n.（ 2）二項展開式的系數(shù)：C nr ,(0rn, rN , n N）（ 3）二項展開式的通項公式： Tr1C nr a nr br ， r=0， 1， 2n ，表示二項展開式的第（ r+1）項 .注：（ i ）二項式 (ab)n 的展開式的第（ r+1）項 C nr a nr b r 與二項展開式（ b+a） n 的第（r+1 ）項 C nr b n r a r 是有區(qū)別的，應用時a， b 不能隨便交換 .（ ii ）二項展開式的系數(shù)C nr 與展開式中的對應項的系數(shù)不一定相等，二項式系數(shù)C nr 恒為正 . 而某項的系數(shù)可

3、以是任意的實數(shù) .（ iii ）二項式 (ab) n 的展開式的通項公式是Tr 1 ( 1) r C nr a n r br，各項的二項式系數(shù)是 C nr ，各項的系數(shù)是( 1) r C nr2. 二項式定理的應用： （ 1）進行近似計算； （ 2）證明整除或求余數(shù)問題； （ 3）證明有關的不等式 .3. 二項式系數(shù)的性質：（ 1） C nr1C nr 1C nr （組合性質（ 2）的體現(xiàn)） .（ 2） C nmC nn m （與首末兩端等距離的兩項的二項式系數(shù)相等），即對稱性 .（ 3）增減性：當 kn1時，二項式系數(shù) Cnk 是逐漸增大的；當kn 1時，二項式22系數(shù)是逐漸減小的 .（ 4

4、）最大二項式系數(shù)：當n 是偶數(shù)時， n+1 是奇數(shù)，展開式共有（n+1 ）項，故展開式優(yōu)秀學習資料歡迎下載nn中間一項的二項式系數(shù)最大，即第（1) 項的二項式系數(shù)最大. 最大的二項式系數(shù)是Cn2 ；2當 n 為奇數(shù)時，（ n+1）是偶數(shù)，共有（ n+1）項，故中間有兩項， 即第 n1 項、（ n 11）項22n1n 1的二項式系數(shù)最大，這兩項的二項式的系數(shù)相等且最大，為Cn21Cn2 .（ 5）二項式的系數(shù)和是2n，即 C n0C n1C n2C nn2n ，奇數(shù)項的二項式系數(shù)和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)和，即C n0C n2C n1C n32n 1.二項展開式的各項系數(shù)和：一般的，設f（ x）

5、= a0a1 xa2 x2an xn 的各項的系數(shù)和是f （ 1 ），其中 x的奇次項系數(shù)和等于1 f (1)f ( 1)； x的偶次項系數(shù)和等于21 f (1)f ( 1) .2【典型例題】知識點一：二項式定理及其簡單應用.例 1.(x1)12展開式中的常數(shù)項是（）3xA. 1320B. 1320C. 220D. 220【題意分析 】本題是利用二項式定理求二項展開式中的某項問題，即通項公式的應用.【思路分析】 可設第（ r+1）項是常數(shù)項，利用通項公式及x 的次數(shù)是零確定r 的值，即可確定常數(shù)項 .1 ) r12r( 1)r C12rx12 r (r【解題步驟】 設第（ r+1）項是常數(shù)項，

6、則Tr 1( 1) r C12r x33xx的次數(shù)是零，r0 r9 ，故第 10 項是常數(shù)項 .12 r3T( 1)9C 9220 ，選 C1012【解題后的思考】 關于利用二項式定理求二項展開式中的某項或某項的系數(shù)問題，是二項展開式的通項公式的應用，一般設第（r+1）項是要求的項 . 根據(jù)要求確定r 的值，即可確定要求的項 .易錯點：把通項公式中的第（r+1）項誤認為是第 r 項 .例 2.利用二項式定理解決下列問題求：（ 1）（ x32） 5 的展開式中 x5 的系數(shù)；x2（ 2）在 ( 3x32)100 的展開式中，系數(shù)為有理數(shù)的項的個數(shù).【題意分析】 這兩道試題都是二項展開式中的通項公

7、式Tr 1 C nr an r b r 的應用 .【思路分析】 （1）假設第（ r+1 ）項是展開式中含 x5 的項，根據(jù) x 的次數(shù)是5 確定 r 的值 .優(yōu)秀學習資料歡迎下載（ 2）假設第（ r+1 ）項是有理項，根據(jù)通項公式中的各個因數(shù)的次數(shù)都是整數(shù)確定r 的取值個數(shù)，從而確定有理項的個數(shù).【解題步驟】 （1）假設第（ r+1 ）項是展開式中含x5的項，則 T r 1 C5r (x3 )5 r (22 ) r( 2) r C5r x15 5 r ，x依題意 15 5r 5，解得 r 2，故（ 2） 2 C 52 40 為所求 x5 的系數(shù) .（ 2）假設第（ r+1 ）項是展開式中的有理

8、項，50rrr100r3rr100r則 T r 1( 3x)(2 )C1003223x， C100要使 x 的系數(shù)為有理數(shù)，指數(shù)50 r 與 r 都必須是整數(shù)，23因此 r 應是 6的倍數(shù)，即 r 6k（ k Z ），又 06k100，解得 0k162 （k Z ），3 x 的系數(shù)為有理數(shù)的項共有17 項.【解題后的思考】求二項展開式中具有某特定性質的項，關鍵是確定r 的值或取值范圍 . 應當注意的是二項式系數(shù)與二項展開式中各項的系數(shù)不是同一概念，要加以區(qū)分. 易錯點是：在通項公式中漏掉( 1) r .例 3. （ 1）求證： 32n324n37 能被 64 整除（ 2）求證： (2) n 1

9、n2, (nN,n3)31【題意分析】 本題是應用二項式定理證明整除問題和證明不等式問題.【思路分析】 （1）將已知含有n 的式子中的2n 3進行變形，3即 32 n3332 n23(81) n 1 ，然后用二項式定理展開 .（2） (2) n 12(3) n1n1，把 (3) n 1(11) n 1 用二項式定理展開 .3n 12222【解題步驟】證明：（ 1） 32 n 324n373 (81) n124n37 3(C n0 1 8n 1C n11 8n 364(C n01 8n 1Cn11 8n 2 364(C n01 8n 1C n11 8n 2 364(C n018n 1C n11

10、8n 2故原式可被64 整除 .C nn 11 82C nn 18 C nn 11 ) 24n37C nn 11 )24C nn 124n40C nn11 )24(n1) 24 n40C nn11 )64（ 2） ( 2) n 12( 3) n 1n 13n 122優(yōu)秀學習資料歡迎下載( 3 ) n 1(11) n 1Cn0 1C n11 1Cn2 1 ( 1 ) 2C nn 11 ( 1 )n 1222221n 1C n2 1 ( 1 )2( 1 )n 11n 1 n 122222故原不等式成立 .【解題后的思考】 利用二項式定理證明整除問題時關鍵是找除數(shù)或其倍數(shù)的因式，要對已知的式子變形（

11、如32 n 3n1）利用二項式定理展開含有除數(shù)或除數(shù)的倍數(shù)的式變形為 （）381子或數(shù) . 證明不等式問題也同樣要對已知的不等式進行等價變形，目的是為使用二項式定理創(chuàng)造條件，體現(xiàn)了等價轉化的數(shù)學思想的應用.【小結】本題組主要是二項式定理的通項公式的應用及利用二項式定理證明整除問題或證明不等式 .在通項公式的應用過程中，注意它是第（r+1 ）項而不是第r 項 . 在證明整除或不等式問題時要對含有n 的式子變形為利用二項式定理提供條件.知識點二：求特定項的系數(shù)及二項式系數(shù)的性質的簡單應用.例 1.（ 2x 5y） 20 展開式中各項系數(shù)之和是（）A .320B.320C.220D.2 20【題意分

12、析】 本題是利用賦值法求二項展開式的各項系數(shù)之和的問題.【思路分析】 假設各項的系數(shù)是a0 ,a1 , a2, a20，在 ( 2x5 y)20 中取 x=y=1 代入可求 .【解題步驟】 假設各項的系數(shù)是a0 ,a1 , a2, a20，令 x=y=1 得：a0 a1a20(2 1 5 1)20320 ，選 B【解題后的思考】 在求二項展開式的各項系數(shù)之和問題常采用賦值法，要體會這種數(shù)學方法的應用 .易錯點是：混淆各項系數(shù)與各項二項式系數(shù)，誤選答案C例 2.已知（ 12x) n 中第 6項的系數(shù)與第 7 項的系數(shù)相等，求展開式中二項式系數(shù)最大的項和系數(shù)最大的項 .【題意分析】 本題首先確定n

13、，要根據(jù) n 的值確定二項式系數(shù)最大的項，要注意二項式系數(shù)與某項系數(shù)的區(qū)別 .【思路分析】 由已知確定 n 的值，根據(jù)二項式系數(shù)的增減性可確定第幾項二項式系數(shù)最大.對于系數(shù)最大的項的確定可以假設第（r+1 ）項的系數(shù)最大是T 0，第 r 項的系數(shù)是 T 1，第（ r+2 ）項的系數(shù)是 T 2，則 TT;T2T0 ，由此確定 r 的值 .10【解題過程】 T6T5 1Cn5 (2x) 5 ,T7 T6 1 C n6 (2x)6 ,C n5 25C n6 26n 8 ，故二項展開式（12x)8中共有9 項，中間一項第 5 項的二項式系數(shù)最大，所以所求的二項式系數(shù)最大的項是T5 T4 1 C84 2

14、4 x 41120 x 4 ，假設第（ r+1 ）項的系數(shù)最大是T 0，第 r 項的系數(shù)是 T1，第（ r+2）項的系數(shù)是 T 2T C r2r , T C r 12 r 1 ,T2C r 1 2r 1 ，08188優(yōu)秀學習資料歡迎下載C 8r 2 rC 8r1 2 r 12C8rC8r1(1)C 8r 2 rC 8r1 2r 1C8r2C8r1(2)由（ 1）得： 28!8!216 ，r!(8r )!(r1)! (8r 1)!rr9 r同理由（ 2）得： r5，故 5r6, r 0,1,2,8 ，即系數(shù)最大的項是第6 項、第7項，T1792 x5 , T71792 x 66【解題后的思考】

15、對于求二項式系數(shù)最大項的問題可根據(jù)二項式系數(shù)的性質求解，對求系數(shù)最大項的問題通過建立不等式求解，本題的易錯點是：混淆二項式系數(shù)與某項系數(shù)的概念.例3. 設(23x)100a0a1 xa2 x2a100 x100，求下列各式的值 .（ 1） a1a3a5a99（ 2） (a0a2a100 ) 2(a1a3a99 ) 2（ 3） | a0| a1 | a100|【題意分析】 本題為采用賦值法求值的問題，根據(jù)所求的系數(shù)和賦予x 不同的值 .【思路分析】 對于（ 1）設 f ( x)a0a1xa2 x 2a100 x100 ，則 a1 a3a5a99 f (1)f (1) ，2對于（ 2）用平方差公式

16、分解得： (a0a2a100 ) 2(a1a3a99 )2 f（ 1）f （ 1） .（ 3）對于 | a0 | a1 | a100| 等價于 (23x)100 的各項系數(shù)之和 .【解題步驟】（ 1）設 f ( x)a0 a1 xa2 x 2a100 x100，則 a1a3a5a99 f (1)f (1) (23)100( 23)10022（ 2） (a0a2a100 ) 2(a1a3a99 ) 2 (a0a1a2a100 )(a0a1a2a3a98a99a100 ) f (1)f (1) (23)100 (23)1001（ 3）令 x 1 得： f (1)| a0 | a1 | a100 |

17、(23)100【解題后的思考】 像這類求二項展開式各項系數(shù)和的問題，或求奇次項系數(shù)和、 偶次項系數(shù)和的問題常采用賦值法解決，要根據(jù)不同的系數(shù)之和賦予不同的值.【小結】 本組三個例題是關于二項展開式的系數(shù)的問題，對于二項式的系數(shù)問題要利用二項式系數(shù)的性質解決， 對于求某些特定的項的系數(shù)或系數(shù)和問題要采用賦值法和方程、不等式的數(shù)學思想方法解決. 容易產生的錯誤是：把二項式系數(shù)與某項的系數(shù)混淆.【本講涉及的數(shù)學思想和方法】本講主要講述二項式定理和二項式系數(shù)性質的簡單應用. 在解決問題的過程中體現(xiàn)了方優(yōu)秀學習資料歡迎下載程的數(shù)學思想、不等式的數(shù)學思想、轉化的數(shù)學思想的應用.【模擬試題】（答題時間： 6

18、0 分鐘，滿分60 分）一、選擇題 （共 3 小題，每題5 分，計15 分）1.( x 1)55( x1) 410(x1) 310( x1) 25( x 1) ()A . x 5B . x 51C. x 51D . ( x 1)512.若 nN, ( 21)n2anbn , (an ,b nZ), 則b n()A .一定是奇數(shù)B . 一定是偶數(shù)C.與 n 的奇偶性相反D . 與 n 有相同的奇偶性3.在二項式 ( x21 ) 5的展開式中，含 x4項的系數(shù)是（）xA. 10B. 10C. 5D . 5二、填空題 （共 3 題，每題5 分，計 15 分）4.設 nN, C1n6Cn2Cn3 6

19、2Cnn 6n 1_5.已知 (1ax) 5110 x bx 2a5 x5 ，則 b= _6.若 (x1)n 的展開式的各項系數(shù)之和是32，則 n= _x三、計算題 （ 30 分，每題10 分）7.已知（ 2x x lg x ） 8 的展開式中，二項式系數(shù)最大的項的值等于1120，求 x 的值 .8. 求：（ 1）（ x2） 10（ x2 1）的展開式中 x10 的系數(shù)；（ 2）（x1） （ x1） 2（ x1） 3（ x1） 4（ x 1） 5 的展開式中x2 的系數(shù) .39. 求：（ 1） x12 的展開式中的常數(shù)項；x（ 2）若（ 2x 3 ）4 a0 a1x a2x2 a3x3a4x4

20、，求（ a0 a2a4） 2 （ a1a3） 2 的值 .優(yōu)秀學習資料歡迎下載【試題答案】一、選擇題1. B 解析：原式C0(x 1)5C 1 ( x 1) 4C2( x 1) 3C 3 ( x 1)2C4(x 1) C5555555C55( x 1) 151 x512. A 解析：特值法：取n=1 時， (21)121, 此時 b=1 ，是奇數(shù)取 n=2 時， ( 21)23 22，此時 b=3，為奇數(shù)3. B 解析：設第（ r+1）項是含 x 4 的項，則 Tr 1( 1) r C5r ( x2 )5 r (1 ) r( 1) r C5r x10 3r ，x令 10 3r 4 知： r=2 ，故含 x 4 項的系數(shù)是 ( 1) 2 C 5210二、填空題4.1 (7 n1)解析：(16) nC n0C n1 6C n2 62Cnn 6n67n16(Cn16Cn2Cn3 62Cnn 6 n1 )Cn16Cn2Cn3 62Cnn 6n 11 (7n1)65.40，解析：據(jù)題意知： b 是展開式中含 x 2