第二章z變換PPT課件

1、本章主要內(nèi)容： 1、z變換的定義及收斂域 2、z變換的反變換 3、z變換的基本性質(zhì)和定理 4、離散信號的DTFT 5、z變換與DTFT的關(guān)系 6、離散系統(tǒng)的z變換法描述第1頁/共94頁2.1 z變換的定義及收斂域 信號和系統(tǒng)的分析方法有兩種：信號和系統(tǒng)的分析方法有兩種： 時域分析方法時域分析方法變換域分析方法變換域分析方法連續(xù)時間信號與系統(tǒng)連續(xù)時間信號與系統(tǒng) LT FT離散時間信號與系統(tǒng)離散時間信號與系統(tǒng) ZT FT第2頁/共94頁 一、一、ZT的定義的定義),( :),()(21zzXnxnnznxzX)()( z 是復變量，所在的復平面稱為是復變量，所在的復平面稱為z平面平面第3頁/共94

2、頁 二、ZT的收斂域 對于任意給定序列x(n)，使其z變換X(z)收斂的所有z值的集合稱為X(z)的收斂域。 級數(shù)收斂的充要條件是滿足絕對可和( )nnx n zM 第4頁/共94頁1）有限長序列12( )( )0 x nnnnx nn其它21Z ( )( )nnn nX zx n z其 變換：0Rocz 至少為： Re zIm jz0第5頁/共94頁 除除0和和兩點是否收斂與兩點是否收斂與n1和和n2取值情況取值情況有關(guān)外，整個有關(guān)外，整個z 平面均收斂。平面均收斂。11(1)111( )()(1)( 1)nnX zx n zx nzxz22(1)0122(0)(1)(1)()nnxzxzx

3、 nzx n zz0 0, 021時，nnz0 0, 021時，nnz0 0, 021時，nn 如果如果n20 ，則收斂域不包括，則收斂域不包括點點 如果如果n10 ，則收斂域不包括，則收斂域不包括0點點如果如果n10n2，收斂域不包括，收斂域不包括0 、點點第6頁/共94頁2）右邊序列11( )( )0 x nnnx nnn110:0:xxnRoc RznRoc Rz 當時， 當時，Re zIm jz0 xRz 包括處10n 因果序列因果序列的的z變換必在變換必在處收斂處收斂在在處收斂的處收斂的z變換，變換， 其序列必為其序列必為因果序列因果序列阿貝爾定理第7頁/共94頁阿貝爾定理00011

4、00nnnnnna xxxxa xxxx若冪級數(shù)在收斂，則在內(nèi)都收斂若冪級數(shù)在 發(fā)散，則冪級數(shù)在都發(fā)散第8頁/共94頁3）左邊序列220( )( )nnx nx nnn220:00:0 xxnRoczRnRoczR當時， 當時，Re zIm jz0 xR20n 第9頁/共94頁4）雙邊序列n為任意值時皆有值:xxxxxxRRRocRRRoc RzR當時， 當時，Re zIm jz0 xRxR10z( )( )( )nnnnX zx n zx n z其 變換：Roc: 0 xzR前式Roc: xRz 后式第10頁/共94頁例例1znZT0 , 1收斂域應是整個收斂域應是整個z的閉平面的閉平面1

5、nnzn第11頁/共94頁例例2：求：求x(n)=RN(n)的的z變換及其收斂域變換及其收斂域Re zIm jz0X(z)=( )=( )nnNnnx n zRn z解：10=Nnnz2 1,.,1rjNzerN零點：01zN極點： （）階: 0Rocz 122111nnnnn nqqqq111Nzz21nq 時須滿足11(1)NNzzz第12頁/共94頁例例3：求：求x(n)=anu(n)的變換及其收斂域的變換及其收斂域Re zIm jz0a0X(z)=( )=( )=nnnnnnnnx n za u n za z解：0z 零點：za極點：: Rocza111 az11az當時第13頁/共9

6、4頁Re zIm jz0aX(z)=( )=(1)nnnnnx n za unz 解：0z 零點：za極點：: Rocza111111a za zaz11a z當時11=nnnnnna zaz例例4：求：求x(n)=-anu(-n-1)的變換及其收斂域的變換及其收斂域第14頁/共94頁10X(z)=( )=nnnnnnnnnnnx n za za za z解：10=nnnnnna za z11nnnaza zaz11/azza 1011nnna zaz11azza例例5：求：求x(n)=a|n|，a為實數(shù)，求為實數(shù)，求ZT及其收斂域及其收斂域第15頁/共94頁Re zIm jz0a1/a211

7、(1)1( )11(1)()azzaaX zazazazza當時，0,z 零點：1,za a極點：: 1/Rocaza1X( )az當時，無公共收斂域，不存在第16頁/共94頁 給定z變換X(z)不能唯一地確定一個序列，只有同時給出收斂域才能唯一確定。 X(z)在收斂域內(nèi)解析，不能有極點，故： 右邊序列的z變換收斂域一定在模最大的有限極點所在圓之外 左邊序列的z變換收斂域一定在模最小的有限極點所在圓之內(nèi)第17頁/共94頁Re zIm jz0abcRe zIm jz0abcRe zIm jz0abcRe zIm jz0abc第18頁/共94頁2.2 z反變換 實質(zhì)：求X(z)冪級數(shù)展開式 z反變

8、換的求解方法： 圍線積分法（留數(shù)法） 部分分式法 長除法( )( )x nIZT X zz反變換反變換: 從從X(z)中還原出原序列中還原出原序列x(n)( ) ( )( )nnX zZT x nx n z第19頁/共94頁1 1、圍數(shù)積分法求解（留數(shù)法）若函數(shù)X(z)zn-1在圍數(shù)C上連續(xù)，在C以內(nèi)有K個極點zk，而在C以外有M個極點zm，則有： mzznkzzncnmkzzXsorzzXsdzzzXjnx)(Re)(Re)(21)(111Re zIm jz0 xRxRCRe ( )() ( )rrz zrz zs F zzz F z第20頁/共94頁1 1、圍數(shù)積分法求解（留數(shù)法） 根據(jù)復

9、變函數(shù)理論，若函數(shù)X(z)在環(huán)狀區(qū)域 內(nèi)是解析的，則在此區(qū)域內(nèi)X(z)可展開成羅朗級數(shù)，即而 其中圍線c是在X(z)的環(huán)狀收斂域內(nèi)環(huán)繞原點的一條反時針方向的閉合單圍線。,0,xxxxRzRRR （）( )nnxxnX zC zRzR11( )2nncCX z zdzj Re zIm jz0 xRxRC0, 1, 2,n 第21頁/共94頁 若F(z)在c外M個極點zm，且分母多項式z的階次比分子多項式高二階或二階以上，則：11( )( )(,)2nxxcx nX z zdzcRRj 1( )( )nF zX z z( )Re ( )kz zkx ns F z( )Re ( )mz zmx ns

10、 F z 利用留數(shù)定理求圍線積分，令利用留數(shù)定理求圍線積分，令 若若F(z)在圍線在圍線c上連續(xù)，在上連續(xù)，在c內(nèi)有內(nèi)有K個極點個極點zk，則：，則：Re ( )() ( )rrz zrz zs F zzz F z單階極點的留數(shù)：單階極點的留數(shù)：第22頁/共94頁2( ) 1/44(4)(1/4)zX zzzz例1：，求其z反變換Re zIm jz0C41/4211( )(,)2(4)(1/4)nxxczx nzdzcRRjzz 解：211( )(4)(1/4)(4)(1/4)nnzzF zzzzzz其中：11( )4nF zcz 當時在圍線 內(nèi)只有一階極點14( )Re ( )zx ns F

11、 z1141()4 (4)(1/4)nzzzzz415n第23頁/共94頁11( )(1)04nF zcznz 當時在圍線 內(nèi)有一階極點和-階極點4( )Re ( )zx ns F z 14441/4nzzzzz 2415ncz=4F(z)而圍線 外只有一階極點，且的分母多項式階次高于分子多項式階次兩次以上244( )(1)(2)1515nnx nu nun Re zIm jz0C41/4第24頁/共94頁2( ) 4(4)(1/4)zX zzzz例2：，求其z反變換Re zIm jz0C41/4解： 收斂域是圓的外部 lim( )1X(z)z=zX z 又，即在處收斂( )( )00 x n

12、x nn是一個因果序列，即，( )x n是右邊序列10( )c(4)(1/4)0( )0nznF zzzx n同樣當時，由在 外無極點，且分母階次比分子階次高兩階以上，由圍線外極點留數(shù)為 可得第25頁/共94頁0n 當時1( )(4)(1/4)nzF zzz144cz在圍線 內(nèi)有一階極點， Re zIm jz0C41/441/4( )Re ( )Re ( )zzx ns F zs F z111441(4)()114(4)()(4)()44nnzzzzzzzzzz21(44)15nn21( )(44) ( )15nnx nu n思考：n=0,1時，F(xiàn)(z)在圍線c外也無極點，為何( )0 x n

13、 第26頁/共94頁2 2、部分分式展開法求解IZTIZT ：NMnrNkrkkikkknnzzCzzAzBzAzBzX01111)1 (1)()()( 常見序列的常見序列的ZT參見書參見書p.54頁的表頁的表2-1若函數(shù)若函數(shù)X(z) 是是z的有理分式，可表示為：的有理分式，可表示為： 利用部分分式的利用部分分式的z反變換和可以得到函數(shù)反變換和可以得到函數(shù)X(z) 的的z反變換。反變換。( )Re1,2,kkz zX zAskNrz用留數(shù)定理求系數(shù)：第27頁/共94頁1125( ) 2316zX zzzz例：，求z反變換Re zIm jz032 23353123zzX zAReszzzz 1

14、12255516623zzzX zzzzzzz解： 1252323X zAAzzzzz 12252123zzX zAReszzzz第28頁/共94頁 1123X zzzz 111123121 3zzX zzzzz23z11( )1nZT a u nzaaz11(1)1nZT a unzaaz1112z2( )nu n2z 111 3z3(1)nun 3z 231nnx nu nun 第29頁/共94頁例例2 2 設設利用部分分式法求利用部分分式法求z z反變換。反變換。2|,)5 . 01)(21 (1)(11zzzzX5 . 031234)5 . 0)(2()(2zzzzzzzzX)()5

15、. 0(31234)(nunxnn解：解：第30頁/共94頁3 3、冪級數(shù)展開法求解（長除法）: : 一般一般X(z)是有理分式，可利用分子多項式除是有理分式，可利用分子多項式除分母多項式（長除法法）得到冪級數(shù)展開式，分母多項式（長除法法）得到冪級數(shù)展開式，從而得到從而得到x(n)。nnzxxzxznxzX1) 1 ()0() 1()()(第31頁/共94頁 根據(jù)收斂域判斷x(n)的性質(zhì)，在展開成相應的z的冪級數(shù) 將X(z) X(z)的 x(n) 展成z的 分子分母 按z的 因果序列 負冪級數(shù) 降冪排列 左邊序列 正冪級數(shù) 升冪排列xzRxzR第32頁/共94頁例例1 1111 azzX)(a

16、z ROC1:)11 az111 az1 az221 zaaz22 za. 2211zaaz111 az. 2211zaaz,.,21aanx 長除法示例長除法示例解：由解：由RocRoc判定判定x(n)x(n)是因果序列，用長是因果序列，用長除法展成除法展成z z的負冪的負冪級數(shù)級數(shù)第33頁/共94頁az ROC2:0 ,.,12aanx111 az. 221zaza)11 az1za1 221zaaz 22za. 221zazaza11 解：由解：由RocRoc判定判定x(n)x(n)是左邊序列，是左邊序列，用長除法展成用長除法展成z z的正冪級數(shù)的正冪級數(shù)第34頁/共94頁2( ) 1/

17、44(4)(1/4)zX zzzz例：，求z反變換解：解：X(z)的的Roc為環(huán)狀，故為環(huán)狀，故x(n)是雙邊序列是雙邊序列 極點極點z=1/4對應右邊序列，極點對應右邊序列，極點z=4對應左邊序列對應左邊序列 先把先把X(z)展成部分分式展成部分分式161( )1515(4)()41/41/4X zzzzzzz第35頁/共94頁116( )151/44zzX zzz22233416164 44 zzzzzzzz 23144zzz1114114161 141 146 zzzzz 12111416zz第36頁/共94頁2123111( )141544X zzzzzz 1+16244( )( )(

18、1)1515nnx nu nun201114154nnnnnnzz第37頁/共94頁1 1、線性性、線性性2.3 Z變換的基本性質(zhì)和定理)()()()(zbYzaXnbynax)()(zXzNnxN)()(azXnxan)()(zXdzdznnxR1R2R|a|RR2 2、序列的移位、序列的移位3 3、z z域尺度變換域尺度變換 （乘以指數(shù)序列）（乘以指數(shù)序列）4 4、 z z域求導域求導 （序列線性加權(quán)）（序列線性加權(quán)）第38頁/共94頁Z變換的基本性質(zhì)（續(xù)） )(lim)0(zXxz)() 1(lim)(1zXzxz)1()(zXnx5 5、翻褶序列、翻褶序列)()(zXnx1/RR6 6

19、、共軛序、共軛序列列7 7、初值定理、初值定理8 8、終值定理、終值定理第39頁/共94頁Z變換的基本性質(zhì)（續(xù)）)()()()(zYzXnynx9 9、有限項累加特性、有限項累加特性nmzXzzmxny0)(1)()(dvvHvzXjnhnxc)()(21)()(dvvvHvXjnhnxcn1)1()(21)()(ZTZT的主要性質(zhì)參見書的主要性質(zhì)參見書p.69p.69頁的表頁的表2-22-21010、序列的卷積和、序列的卷積和1111、序列乘法、序列乘法1212、帕塞瓦定理、帕塞瓦定理第40頁/共94頁1LSI ( )( )(1) ( )( )nnnh nb u nabu nx na u n

20、例：已知系統(tǒng)的單位抽樣響應：，求系統(tǒng)輸入的響應。( ) ( )( ) nzX zZT x nZT a u nzaza解：1( ) ( )( )(1)nnH zZT h nZT b u nabu n1( )(1)nnZT b u naZT bu n1 zzzaazzbzbzbzb( )( )( ) zY zX z H zzbzb( )( )* ( ) ( )( )ny nx nh nIZT Y zb u nRe zIm jz0ba第41頁/共94頁2.4 序列ZT、連續(xù)信號LT和FT的關(guān)系若：)()()()(jXtxsXtxaFTaaLTannsTastaaLTnaaenTxdtetxsXnTt

21、nTxtx)()()()()()(連續(xù)信號采樣后的拉氏變換連續(xù)信號采樣后的拉氏變換LT第42頁/共94頁抽樣序列：)()(nTxnxannznxzX)()(sTez 當當)()(| )(sXeXzXasTezsT兩變換之間的關(guān)系，就是由復變量兩變換之間的關(guān)系，就是由復變量s s平面到復平面到復變量變量z z平面的映射，其映射關(guān)系為平面的映射，其映射關(guān)系為zTsezsTln1,對比：對比：nnsTaaenTxsX)()(第43頁/共94頁jjs sj je ez z進一步討論這一映射關(guān)系：TereeereTTjTTjj,)(1sTez 第44頁/共94頁s平面到z平面的映射是多值映射。T 輻射線

22、輻射線= =0 0T T平行直線平行直線 =0 0正實軸正實軸=0實軸實軸 =0Z平面平面S平面平面: :/TT: :3 /TT /3 /TT: : :第45頁/共94頁)()() 1 (sXzXa與kaksaezksaakTjsXTjksXTzXjksXTsXsT)2(1)(1| )()(1)()()()2(jXzXa與kaaTjezkTjjXTjXeXzXTj)2(1)()(| )(抽樣序列在單位圓上的抽樣序列在單位圓上的z z變換，就等于其理想抽樣變換，就等于其理想抽樣信號的傅里葉變換信號的傅里葉變換第46頁/共94頁數(shù)字頻率表示z平面的輻角，它和模擬角頻率的關(guān)系為jez 在以后的討論中

23、，將用數(shù)字頻率在以后的討論中，將用數(shù)字頻率 來作為來作為z z平面上平面上單位圓的參數(shù)，即單位圓的參數(shù)，即ssfffT2所以說，數(shù)字頻率是模擬角頻率的歸一化值，或所以說，數(shù)字頻率是模擬角頻率的歸一化值，或是模擬頻率對抽樣頻率的相對比值乘以是模擬頻率對抽樣頻率的相對比值乘以2 2 kajezTkjXTeXzXj)2(1)(| )(第47頁/共94頁2.5 離散信號的付氏變換DTFT一、一、DTFT的定義的定義變換對：變換對：)()(jDTFTeXnx njnjenxeX)()(deeXnxjnj)(21)(稱為稱為離散時間傅里葉變換（離散時間傅里葉變換（DTFT）。）。第48頁/共94頁FT存在

24、的充分必要條件是：)()(nxenxjwn如果引入沖激函數(shù)，一些絕對不可和的序列，如果引入沖激函數(shù)，一些絕對不可和的序列，如周期序列，其傅里葉變換可用沖激函數(shù)的如周期序列，其傅里葉變換可用沖激函數(shù)的形式表示出來。形式表示出來。第49頁/共94頁二、比較二、比較ZT和和DTFT的定義：的定義：dweeXdzzzXjnxenxzXeXjwnjznnjwnezjj)(21)(21)()(| )()(1|1 利用利用ZT和和DTFT的關(guān)系可以有的關(guān)系可以有ZT計算計算DTFT。 序列的傅里葉變換是序列的序列的傅里葉變換是序列的z變換在單位圓變換在單位圓上的值上的值第50頁/共94頁notherwise

25、,Nn,(n)Rx(n)N010111011zzzX(z)NNnnjjNjeeeX11)(NjjjjNjNjNjjeNeeeeeeeX2)1(222222)2sin()2sin()()()(例1、計算門序列的DTFT)2sin()2sin()(NeXj2) 1()(N ( (類似類似Sa(.)Sa(.)函數(shù)函數(shù) ) )( (線性相位線性相位) ) 解：解：DTFT幅頻特性：幅頻特性：相頻特性：相頻特性：第51頁/共94頁圖示說明：零極點圖(N=8)Z平面11jj)(nRNn0N-11)(X022N=8N第52頁/共94頁例例2 2、已知、已知 ( ),( ),計算其計算其DTFTDTFT。,)

26、( :)()(nuanfn1a)sin)cos1 (111)(0jaaeeaeFjnjnnjFTDTZTazzFeFjjezezj111)()(由此可以得到由此可以得到FT的的幅頻特性幅頻特性和和相頻特性相頻特性aaeFjcos211)(2)cos1sin()(1aatg第53頁/共94頁物理說明物理說明: : 若若 ( (語音信號處理中常用該指數(shù)語音信號處理中常用該指數(shù) 函數(shù)展寬單音信號的頻譜函數(shù)展寬單音信號的頻譜) ,) ,該信號該信號3db3db帶寬帶寬 ( (或或 ) )。具體求。具體求 解過程如下：解過程如下： 令令 即即 可解出可解出kHz, f.as89940Hzf15rad.c

27、c006021)F(e)F(ejjC021a)(aaC121cos2112rad.C0060Hz ffsc152)(nf)(jeFn022.a1121c第54頁/共94頁三、FT與DTFT的關(guān)系kaTajTkjXTjXeX)2(1| )()(kajkjXeX)2()(歸一化歸一化 利用利用FT與與DTFT關(guān)系計算下列序列的關(guān)系計算下列序列的 DTFT 1)()cos()()(30210nx;nnx;enxnj例：例：第55頁/共94頁解：解：1） )(2)()(0110jXetxFTtj DTFTnjenx0)(1mjmeX)2(2)(01)()(cos000tFT )2()2(cos)(00

28、02 mDTFTmmnnx)(2)(1)(33jXtxFT DTFTnx)(3mjmeX)2(2)(32）3）第56頁/共94頁2.6 DTFT的一些性質(zhì))()()()(22112211jjeFaeFanfanfa)()(*jjeXeX1 1、線性性：、線性性：)(Re2)()()(jeeXnxnxnx)(Im2)()()(joeXjnxnxnx0)()(0jnjeeXnnx2 2、實序列：、實序列：實偶性：實偶性：實奇性：實奇性：3 3、時移特性：、時移特性：第57頁/共94頁)()()(00jnjeXnxe)()(jeXddjnnx4 4、乘以指數(shù)序列、乘以指數(shù)序列 （調(diào)制性）（調(diào)制性）5

29、 5、序列線性加權(quán)、序列線性加權(quán))()(jeXnx6 6、序列翻褶、序列翻褶)()(jeXnx7 7、序列共、序列共軛軛第58頁/共94頁8 8、卷積定理： ( (時域) ) ( (頻域) )()()()(jjeYeXnynxdeYeXeYeXnynxjjjj)()(21)()()()()(jnd)X(e(n)x2221deYeXnynxjjn)()(21)()(*DTFT的主要性質(zhì)參見書的主要性質(zhì)參見書p.78頁的表頁的表2-39 9、帕色伐爾定理：、帕色伐爾定理：(Parseval Theory)頻域卷積在一周期內(nèi)積分頻域卷積在一周期內(nèi)積分, ,稱稱周期卷積周期卷積。第59頁/共94頁下面

30、舉例說明DTFT性質(zhì)得使用。計算下列積分I的值。jjd)be)(ae(I11111b,ajnjnbeu(n)baeu(n)a1111解：根據(jù)解：根據(jù) debeaenubnuajnjjnn)1)(1 (121)()(222200000ba|bau(n)|bu(n)aInnmmnmnnn利用時域卷積定理有：利用時域卷積定理有：上式卷積上式卷積n=0時就是積分時就是積分I的值。的值。第60頁/共94頁2.7 周期性序列的DTFT1、復指數(shù)序列的傅里葉變換00),2(20injieq復指數(shù)序列復指數(shù)序列ej 0n的傅里葉變換，是以的傅里葉變換，是以 0為中心，為中心，以以2 的整數(shù)倍為間距的一系列沖激

31、函數(shù)，其積分的整數(shù)倍為間距的一系列沖激函數(shù)，其積分面積為面積為2 q思考，思考，DTFTcos( 0n+ff、 DTFT sin( 0n+ff第61頁/共94頁2、常數(shù)序列的傅里葉變換、常數(shù)序列的傅里葉變換iiiin)2(2)(1q常數(shù)序列的傅里葉變換，是以常數(shù)序列的傅里葉變換，是以0為中心，以為中心，以2 的的整數(shù)倍為間距的一系列沖激函數(shù)，其積分面積為整數(shù)倍為間距的一系列沖激函數(shù)，其積分面積為2 3、周期為、周期為N的抽樣序列串的傅里葉變換的抽樣序列串的傅里葉變換kikNNiNn)2(2)(q周期為周期為N的周期性抽樣序列，其傅里葉變換是頻的周期性抽樣序列，其傅里葉變換是頻率在率在2 /N的

32、整數(shù)倍上的的整數(shù)倍上的一系列沖激函數(shù)之和，一系列沖激函數(shù)之和，這些沖激函數(shù)的積分面積為這些沖激函數(shù)的積分面積為2/N/N第62頁/共94頁4、一般性的周期為、一般性的周期為N的周期性序列的傅里葉變換的周期性序列的傅里葉變換kkkNjkjkijkNkXNkNeXNkNNeXnxkNNiNneXnx)2()(2)2()(2)2(2)()()2(2)()()(2iiiNnnxiNnxnx)()()()(第63頁/共94頁1021021022)()()()()(NnnkNjNnnkNjNnkNnjkNjenxenxenxeXkXq周期性序列周期性序列 （周期為（周期為N）的傅里葉變換是）的傅里葉變換是

33、一系一系列沖激函數(shù)串，其沖激函數(shù)的積分面積等于列沖激函數(shù)串，其沖激函數(shù)的積分面積等于 乘以乘以，而，而 是是x(n) 的一個周期的一個周期的傅里的傅里葉變換葉變換X(ej )在頻域中在頻域中 2/N/N的整數(shù)倍的各抽樣的整數(shù)倍的各抽樣點上的抽樣值。點上的抽樣值。)(nx)(kX)(kX)(nxq即：即：第64頁/共94頁kkNkXNnxDTFT)2()(2)(1021020201020)(1)2()(1)2()(1)2()(221)(NkknNjNknjnjNknjkekXNdekNkXNdekNkXNdekNkXNnx 滿足滿足0 0 2 /N從從00之前開始抽樣；之前開始抽樣；在在22之間

34、結(jié)束抽樣；之間結(jié)束抽樣；此區(qū)間共有此區(qū)間共有N N個抽樣值：個抽樣值：0 0 k N1N1第65頁/共94頁周期序列的周期序列的DFS正變換和反變換正變換和反變換21100( ) ( )( )( )NNjnknkNNnnX kDFS x nx n ex n W2110011( )( )( )( )NNjnknkNNkkx nIDFS X kX k eX k WNN周期序列的傅里葉級數(shù)（DFS）2jNNWe其中：其中：第66頁/共94頁2.8 Fourier變換的對稱性質(zhì)共軛對稱序列：*( )()eex nxn*( )()oox nxn ( )( )( )eox nx nx n共軛反對稱序列：共

35、軛反對稱序列： 任意序列可表示成任意序列可表示成xe(n)和和xo(n)之和之和:*1( ) ( )()2ex nx nxn*1( ) ( )()2ox nx nxn其中：其中：定義：定義：第67頁/共94頁*1()()()()2jjjjeeX eX eX eX e*1()()()()2jjjjooX eX eX eX e其中：其中：()()()jjjeoX eXeXe()jX e同樣，同樣，x(n)的的Fourier變換變換 也可分解成：也可分解成：第68頁/共94頁對稱性質(zhì) 序列 Fourier變換( )()jx nX eRe ( )()jex nXeIm ( )()jojx nXe( )

36、Re()jex nX e( )Im()jox njX e第69頁/共94頁實數(shù)序列的對稱性質(zhì) 序列 Fourier變換Re ( )()()jjex nX eX eIm ( ) 0()0jojx nX e( )Re ()jex nX e( )Im ()jox njX e第70頁/共94頁*()()()jjjeX eX eX e實數(shù)序列的實數(shù)序列的Fourier變換滿足共軛對稱性變換滿足共軛對稱性Re()Re()jjX eX eIm()Im()jjX eX e 實部是實部是的偶函數(shù)的偶函數(shù)虛部是虛部是的奇函數(shù)的奇函數(shù)()()jjX eX earg()arg()jjX eX e 幅度是幅度是的偶函數(shù)

37、的偶函數(shù)幅角是幅角是的奇函數(shù)的奇函數(shù)第71頁/共94頁2.9 離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)、系統(tǒng)的頻率響應LSI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)： 單位抽樣響應h(n)的z變換( )( ) ( )( )( )nnY zH zZT h nh n zX z其中：其中：y(n)=x(n)*h(n) Y(z)=X(z)H(z)系統(tǒng)的系統(tǒng)的頻率響應頻率響應 ：()jH e()( ) ( )jjz eH eH zDTFT h n 單位圓上的系統(tǒng)函數(shù)單位圓上的系統(tǒng)函數(shù),單位抽樣響應單位抽樣響應h(n)的的DTFT第72頁/共94頁1、若LSI系統(tǒng)為因果穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)的Roc須包含單位圓，即頻率響應存在且連續(xù)

38、H(z)須從單位圓到須從單位圓到的整個的整個z域內(nèi)收斂即系統(tǒng)域內(nèi)收斂即系統(tǒng)函數(shù)函數(shù)H(z)的全部極點必須在單位圓內(nèi)的全部極點必須在單位圓內(nèi)xRz1 1）因果：）因果：2 2）穩(wěn)定：）穩(wěn)定：( )nh n 序列序列h(n)絕對可和，即絕對可和，即( )nnh n z 而而h(n)的的z變換的變換的Roc：1z 3 3）因果穩(wěn)定：）因果穩(wěn)定：RocRoc：第73頁/共94頁/4/4/6/60.2,0.2,0.4,2,2,1.5jjjjeeee例：一LSI系統(tǒng)的極點有： 問什么情況下，系統(tǒng)為因果系統(tǒng)， 什么情況下，系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)Re zIm jz0140.2je40.2je0.41.562je62j

39、e2z 解：因果系統(tǒng)： 0.41.5z穩(wěn)定系統(tǒng)：第74頁/共94頁2、系統(tǒng)函數(shù)與差分方程常系數(shù)線性差分方程：00()()NMkmkma y nkb x nm00( )( )NMkmkmkma z Y zb zX z101101(1)( )( )/( )(1)MMmmmmmNNkkkkkb zc zH zY zX zKa zd z取取z變換變換則系統(tǒng)函數(shù)則系統(tǒng)函數(shù)第75頁/共94頁LSI311( )(1)(2)( )(1)483( )( )123y ny ny nx nx nx ny n例：已知離散系統(tǒng)的差分方程：（設系統(tǒng)初始狀態(tài)為零)其中：為輸入，為輸出。）求系統(tǒng)函數(shù)，指出系統(tǒng)的零極點；）若該

40、系統(tǒng)是因果穩(wěn)定的，指出系統(tǒng)的收斂域；）求該因果穩(wěn)定系統(tǒng)的單位抽樣響應。第76頁/共94頁z解：1）對差分方程兩邊取 變換：121311( )( )( )( )( )483Y zz Y zz Y zX zz X z1112111111( )33( )3111( )1114824zzY zH zX zzzzz111, 0 , 324zz 零點：極點：系統(tǒng)函數(shù)：212z ）由于系統(tǒng)為因果穩(wěn)定系統(tǒng)， 故收斂域： Re zIm jz00.50.2511/3第77頁/共94頁 111131131111241124zzH zzzzzz 121311112424zH zAAzzzzz 112121110311

41、2324zzzH zAReszzzz3)H(z)h(n) 對求z反變換即得單位抽樣響應， 用部分分式法第78頁/共94頁 214141173114324zzzH zAReszzzz 10733( )1124zzH zzz1: 2-12Rocz 根據(jù)，查表得 10 17 1( )323 4nnh nu n第79頁/共94頁3、系統(tǒng)的頻率響應的意義1）LSI系統(tǒng)對復指數(shù)序列的穩(wěn)態(tài)響應：0( )jnx nen 000()( )( )( )jn mjnjmmmy nh m eeh m e00()jnjeH e第80頁/共94頁0( )cos()x nAnf000( )() cosarg()jjy nA H enH ef2）LSI系統(tǒng)對正弦序列的穩(wěn)態(tài)響應系統(tǒng)對正弦序列的穩(wěn)態(tài)響應輸出同頻輸出同頻 正弦序列正弦序列幅度受頻率響應幅度幅度受頻率響應幅度 加權(quán)加權(quán)相位為輸入相位與系統(tǒng)相位響應之和相位為輸入相位與系統(tǒng)相位響應之和()jH e0第81頁/共94頁3）LSI系統(tǒng)對任意輸入序列的穩(wěn)態(tài)響應 ( )( )* ( )y nx nh n()()()jjjY eX eH e1( )()()2jjj ny nH eX eed1( )()2jj nx