實變函數(shù)論課件26

1、 本講目的：掌握絕對連續(xù)函數(shù)的定義，熟悉絕對連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)。熟練掌握Newton-Leibniz公式成立的充要條件。 重點與難點： Newton-Leibniz公式的證明。一.絕對連續(xù)函數(shù)的定義 現(xiàn)在回到我們最初的問題上來： 牛頓一萊布尼茲公式對何種函數(shù)成立？牛頓一萊布尼茲公式對何種函數(shù)成立？ 定義定義8 8 設(shè)設(shè)f f是是a,ba,b上的函數(shù)，若對任意上的函數(shù)，若對任意 ，存在存在 ，使得對于，使得對于a,ba,b中的任意一組分點：中的任意一組分點： ， 只要只要 ，便有，便有 ， 則稱則稱f f是是a,ba,b上的上的絕對連續(xù)函數(shù)絕對連續(xù)函數(shù)，或稱，或稱f f在在a,ba,b上上絕對連

2、續(xù)絕對連續(xù)。 00nnbababa.2211niiiab1)(niiiafbf1| )()(|二.牛頓一萊布尼茲公式成立的充要條件 從定義立知, a,b上的絕對連續(xù)函數(shù)一定是一致連續(xù)的。絕對連續(xù)函數(shù)與有界變差函數(shù)又是什么關(guān)系呢？假設(shè) 是a,b上的絕對連續(xù)函數(shù)，于是對任意 ，存在 ，使得只要 ， 就有 ， 取正整數(shù)N，使得 ， 將分成N等分，設(shè)分點為f00niiiab1)(niiiafbf1| )()(|NabbyyyaN10對a,b的任一分劃 添加進去，得新的分劃 ，于是010,:kknNybxxxa將)(:10Nnmbxxxam111111( , )( , )| ( )()| ( )()|j

3、iijmNiiiiijyxx yVfVff xf xf xf xN 因此， 。這就是說,絕對連續(xù)函數(shù)一定是有界變差函數(shù)。下面的定理指出：對絕對連續(xù)對絕對連續(xù)函數(shù)，牛頓函數(shù)，牛頓萊布尼茲公式是成立的。萊布尼茲公式是成立的。NfVba)(1. 單調(diào)函數(shù)的不連續(xù)點全體為第一類間斷點且間斷點至多可數(shù)，故Riemann可積,并且?guī)缀跆幪幋嬖谟邢迣?shù),其導數(shù)是L可積2. 有界變差函數(shù)的不連續(xù)點全體為第一類間斷點且間斷點至多可數(shù)，故Riemann可積,并且?guī)缀跆幪幋嬖谟邢迣?shù),其導數(shù)是L可積3. 絕對連續(xù)函數(shù)的不連續(xù)點全體為第一類間斷點且間斷點至多可數(shù)，故Riemann可積,并且?guī)缀跆幪幋嬖谟邢迣?shù),其導數(shù)

4、是L可積定理9 設(shè) 上的絕對連續(xù)函數(shù)，則 上幾乎處處可微, 上Lebesgue可積，且,)(baxf是,)(baxf在,)( baxf在,)()()( baafbfdxxf證明：略 定理9告訴我們，絕對連續(xù)函數(shù)的確可以表示成其導函數(shù)的Lebesgue積分，但問題尚未得到圓滿解決，因為我們還不知道絕對連續(xù)性是否為牛頓一萊布尼茲公式成立的必要條件，現(xiàn)在就來討論這個問題。 定理10 設(shè) 上的Lebesgue可積函數(shù)，且對任意 則,)(baxf是， 則。,0)(xadxxf,.0)(baeaxf,bax證明：由 ,0)(xadxxf及積分的基本性質(zhì)不難得知對a,b 內(nèi)任意區(qū)間I，有 10)(dxxf,

5、于是對a,b內(nèi)任意開集G，也有(P26 Th11)Gdxxf0)(,對a,b內(nèi)任意閉集F,令,),(FbaG則G是開集，注意到 ,),()()(babadxxfdxxf，從而 GbaFdxxfdxxf),()()(0)()(),(Gbadxxfdxxf現(xiàn)設(shè)E是a,b內(nèi)任一可測集，則對任意正整數(shù)n， 存在閉集 ，使得 ，由 EFnnFEmn1)(積分的絕對連續(xù)性知對任意 ，存在N， 0當 時 Nn .|)(|nFEdxxf,有 因此， |)(|)(|)(|nnFFEEdxxfdxxfdxxf|)(|nFEdxxf由 的任意性知 。Edxxf0)(如果 ，則 ， 0)(| ,2xfbaxE0)(|

6、 ,1xfbaxE0)(xf,至少有一個是 正測度集。 從而存在正整數(shù)n， 使 或 01)(|1nxfxmE01)(|2nxfxmE不妨設(shè) 01)(|1nxfxmE。，則 dxndxxfnxfxEnxfxE1)(|1)(|111)(01)(|11nxfxmEn這與上面的證明矛盾，故必有 證畢。.0)(eaxf定理11 設(shè) 是 上的Lebesgue可積函數(shù)， ,ba)(xf,)()(xacdxxfxF, bxa其中 c是任意常數(shù)，則 是)(xF上的絕對連續(xù)函數(shù)， ,ba且 。 ,.)()(baeaxfxF證明：由積分的絕對連續(xù)性立得 上的絕對連 是)(xF,ba續(xù)函數(shù)， 于是 幾乎處處可微， )(xF且 在 上可積, )(xF,ba并有 ),()()()(,baxdttFaFxFxa。又由F的定義知 dttfaFxFxa)()()(,所以 對任意 ,bax,有 0)()(,dttftFxa。由定理10便得證畢.)()(eaxfxF。 至此我們得到了：一個函數(shù)等于其導數(shù)的Lebesgue積分當且僅當該函數(shù)為絕對連續(xù)函數(shù)。由此可以證明，對于絕對連續(xù)函數(shù)，分部積分公式及換元公式都是成立的。具體說來即有下面的 推論1（分部積分法） 設(shè) ， 均為 上的絕對連續(xù)，則,ba)(xg)(xf,.)()( | )()()( )(bababadxxgxfxgxfdxxgxf 推論2（換元法） 若設(shè)