2020屆陜西省渭南市白水中學(xué)高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)(文)試題(解析版)

1、2020屆陜西省渭南市白水中學(xué)高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)(文)試題一、單選題1 .設(shè) z 3，則 z ()1 iA. 3B. V5C. 73D. 22【答案】B【解析】利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算化簡 z,在求得z的?！驹斀狻? i 1 i丁 2_z 一一 1 2i ,所以 z J1 J5.1 i 1 i故選：B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)除法運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)模的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題 2 .設(shè)集合 A 1,2,3,4,5 , B x|x 3,則 AI 脩B(tài))()A. 4,5B. 3,4,5C. 1,2D. 1,2,3【答案】A【解析】直接由集合的補(bǔ)集和交集的定義，即可得到本題答案【詳解】由 B x|x 3,得 Cr

2、B x|x 3,又 A 1,2,3,4,5,所以 ACrB 4,5.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的交集和補(bǔ)集的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題13 .已知x log 2 5 log 2 75, y log53,z 5 2，則下列關(guān)系正確的是()A. zyxB. z x yC. x y zD. y z x【答案】A【解析】利用對數(shù)的運(yùn)算法則，化簡 x,推導(dǎo)出x的范圍，然后推出 y與z的范圍并比較大小，從而可得答案.1J5【詳解】x iog2 5 iog2/5 iog2>/5 i, y一一1因?yàn)?10g53 iog575 ,即 y z, z y x，故選 a.2【點(diǎn)睛】 本題考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，對

3、數(shù)值大小的比較，著重考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性, 屬于基礎(chǔ)題.4 .定義：abcde 10000a 1000b 100c 10d e，當(dāng)五位數(shù) abcde滿足 a b c，且c d e時(shí)，稱這個(gè)五位數(shù)為 凸數(shù)”由1, 2, 3, 4, 5組成的沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)共120個(gè)，從中任意抽取一個(gè)，則其恰好為凸數(shù)”的概率為（）A. 1B. C. -D.6101220【答案】D【解析】由列舉法列舉出滿足條件的基本事件，即可根據(jù)古典概型的概率公式求出結(jié)果 .【詳解】由題意，由1, 2, 3, 4, 5組成的沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)恰好為四數(shù)”的有：12543,13542,14532,23541,24531,345

4、21,共 6 個(gè)基本事件, 所以恰好為演數(shù)”的概率為P 12020故選D本題主要考查古典概型,列舉法求古典概型的概率只需熟記古典概型的概率公式即可求解，屬于基礎(chǔ)題型.5.函數(shù) f x2|x|2 .x的圖象大致是（）A .D.【答案】D【解析】判斷函數(shù)的奇偶性，利用函數(shù)的定點(diǎn)的符號的特點(diǎn)分別進(jìn)行判斷即可.【詳解】由f X 2x X2為偶函數(shù)可排除A, C;當(dāng)0 x 1時(shí)，y 2x圖象高于y X2圖象，即2X x2>0，排除B；故選D【點(diǎn)睛】識圖常用的方法(1)定性分析法：通過對問題進(jìn)行定性的分析，從而得出圖象的上升(或下降)的趨勢，利用這一特征分析解決問題；(2)定量計(jì)算法：通過定量的計(jì)算

5、來分析解決問題；(3)函數(shù)模型法：由所提供的圖象特征， 聯(lián)想相關(guān)函數(shù)模型，利用這一函數(shù)模型來分析解 決問題.6 .將參加體檢的36名學(xué)生，編號為1,2, 3,，36,若采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個(gè)容量為9的樣本，已知樣本中含有編號為33的學(xué)生，則下面四名學(xué)生編號中被抽到的是()A . 13B. 14C. 23D. 24【答案】A【解析】 計(jì)算分組間隔，根據(jù) 33號的編號，逆向推出每組抽中的編號.【詳解】從36名學(xué)生中抽取9名，抽樣間隔為4,所以9名學(xué)生的編號分別為 33, 29, 25, 21, 17, 13, 9, 5, 1.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查系統(tǒng)抽樣的性質(zhì)，即等距離抽樣.7 .若 c

6、os57m ,則 cos213 ()A. J=r B- J-m7C.& m2 D. m1 m，1 m【答案】C【解析】利用誘導(dǎo)公式將角度轉(zhuǎn)化至0,一,再用同角三角函數(shù)關(guān)系求解 2【詳解】cos213 cos 180 33cos33sin57=.1m2故選：c.【點(diǎn)睛】 考查誘導(dǎo)公式的使用，涉及同角三角函數(shù)關(guān)系irr(2m 3n),則實(shí)數(shù)的值為(uru8 .若向量 m (2,3) , n ( 1,),且 m32B.32C. . _ r【解析】先求出2m3n,然后由irmirr(2m 3n),列出方程求解，即可得到實(shí)數(shù)第24頁共17頁值.【詳解】ir r由題，得 2m 3n (7,6 3

7、),LT LT r 因?yàn)?m (2 m 3n),it it r所以 m (2 m 3n)0 ,即 2 7 3(6 3 ) 0 ,解得329故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的坐標(biāo)表示，以及向量垂直的等價(jià)條件，屬基礎(chǔ)題11 一S為一，則判斷框中填寫的內(nèi)容可以是(9.執(zhí)行下面的程序框圖，如果輸出的12B. n 5?C. n 6?D. n 6?【答案】D【解析】運(yùn)行程序，當(dāng)S【詳解】11一時(shí)退出程序，由此判斷出所填寫的內(nèi)容121運(yùn)行程序，S 0,n 2,判斷是，s ,n 4,判斷是，S 26,判斷是,1111,n 8,判斷否，輸出S 二，故選D.本小題主要考查程序框圖,考查已知程序框圖的輸出結(jié)果求

8、判斷框填寫的內(nèi)容,屬于基礎(chǔ)題.2X10.已知雙曲線C: x2a24 1(a 0,b 0)的焦點(diǎn)F 2,0到漸近線的距離為 J3 , b2則該雙曲線的離心率為 ()A. 1B.百C. 2D, 273【答案】C【解析】由題意布列關(guān)于a,b的方程組，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意知雙曲線的焦點(diǎn)2,0到漸近線的距離為b J3,c2 a2 b2 4,c -所以a 1,該雙曲線的離心率為一2.故選.Ca解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關(guān)鍵就是確立一個(gè)關(guān)于a, b, c的方程或不等式，再根據(jù) a, b, c的關(guān)系消掉b得到a, c的關(guān)系式，建立關(guān)于 a, b, c的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲

9、線的幾何性質(zhì)、點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍等11. VABC的內(nèi)角bcosA 3ccosC ,asin AcsinCbsin A 0,7B.-37C. 一2由正弦定理及acosBbcosA3ccosC ,先求得 cosC1一,又由正弦定理3ab,結(jié)合余弦定理及 asin A csinC bsin A 0 ,得 a2 c22,22a b c cosC a一b,即可求得本題答案.2ab【詳解】在VABC中,由正弦定理及 acosB bcosA3ccosC ,得 sin AcosBcosAsin B 3sin C cosC ,sin(A B)sin C 3sin C cosC ,一 cosC 一 ；3由正弦定理及

10、asin Acsin C bsin A 0,得又由余弦定理得cosC2, 22a b c2abb2 ab2ab b , 2b所以一1 一，得一 a 3a故選：A本題主要考查正余弦定理的綜合應(yīng)用，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和運(yùn)算求解能力2 .12.拋物線 C : y ax (a220)的焦點(diǎn)F是雙曲線2y2 2x21的一個(gè)焦點(diǎn)，過F且傾斜角為60的直線l交C于A,B ,則| AB | ()C.4、33163B. 473 2D. 16a,由題意寫出直線l的方程然【解析】由拋物線的焦點(diǎn)是雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)可求出參數(shù) 后和拋物線方程聯(lián)立，再由直線與圓錐曲線的交點(diǎn)弦弦長公式AB|41 k2 J x1 x2 2 4

11、xx2即可求出答案【詳解】2122由拋物線C: y ax (a 0)可知焦點(diǎn)F(0, )，由雙曲線2y 2x 1的上焦點(diǎn)坐標(biāo)為 4a11 一 八 221I(0,1)，且拋物線的焦點(diǎn) F(0,)是雙曲線2y2 2x2 1的一個(gè)焦點(diǎn)，可得1,得4a4aa1,得拋物線方程為yx2,由題意得直線l的方程為yJ3x1，設(shè)44A Xi,yi ,B X2,y2y 、, 3x 1聯(lián)立 1 2消y化簡得x2 4V3x 4 0,則有：Xi X2 46X1X24 ,y 4X所以由弦長公式AB 也k2 dxix224X1X2Ji73 2,473 24 416.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線與雙曲線焦點(diǎn)的求法 ，直

12、線方程式的求法以及直線圓錐曲線交點(diǎn)弦弦 長公式應(yīng)用，考查了學(xué)生的綜合運(yùn)算能力，這是高考題常見題型，屬于一般難度的題.二、填空題13 .已知曲線f (x) (ax 1)ln x在點(diǎn)(1,0)處的切線方程為y x 1,則實(shí)數(shù)a的值為【答案】2【解析】求導(dǎo)函數(shù)。由f (1) 1可求得a?！驹斀狻縜x 1由題忌 f (x) a In x , f (1) a 1,由 a 1 1得 a 2。x故答案為：2?！军c(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)就是函數(shù)圖象在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值。14 .已知正項(xiàng)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若S2 2, S4 10,則a5 32【答案】3【解析】用基本量法，求出首項(xiàng)

13、a1和公比q,再求aso【詳解】設(shè)首項(xiàng)a1，公比q,易知q 1 ,S2S4ai(1 q) 224a1一a1(1 q )10 ,由于 an 均為正，1-3 ,42 。4氏 a1q3 232萬故答案為:32【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的前n項(xiàng)公式和通項(xiàng)公式， 解題方法是基本量法， 即由已知首先求出首項(xiàng)為和公比q,然后再求通項(xiàng)公式和前 n項(xiàng)和公式。215.函數(shù) f(x) cos x sin x的最大值為 1 q 4q 2421 25一【斛析】由題，得 f(x) 1 sin x sinx (sinx -)-,結(jié)合 sinx 1,1,即可得到本題答案.【詳解】21 25由題，得 f (x) 1 sin x

14、sinx (sinx -)-, sinx 1,1,一,15所以當(dāng)sin x時(shí)，f (x)取取大值一.24.5故答案為：54【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的值域問題，二弦歸一后配方，是解決此題的關(guān)鍵16.已知正方體ABCD AB1C1D1的棱長為4, E為棱CC1的中點(diǎn)，點(diǎn)M在正方形BCC1B1內(nèi)運(yùn)動，且直線 AM /平面ADE ,則動點(diǎn)m的軌跡長度為 .【答案】2,2【解析】通過證明平面 ADE 平面ANO ,得到NO平面ADE ,從而知道動點(diǎn)M 的軌跡為線段 NO,由此即可得到本題答案.【詳解】設(shè)平面DAiE與直線BiCi交于點(diǎn)f ,連接EF ,則F為BG的中點(diǎn).分別取BiB,BC的中點(diǎn)N,O

15、,連接AN,ON,AO,則 AF/AO, AN/DE , AF,DE 平面 ADE, AO,AN 平面 ANO ,AF平面ANO ,同理可得DE平面ANO , AF,DE是平面A1DE內(nèi)相交直線，平面ADE/平面ANO , NO平面 ADE ,M的軌跡是被正方形 BCCiB1截得的線段NO,且NO 2J2 .【點(diǎn)睛】本題主要考查面面平行的判定和性質(zhì)，以及立體幾何中動點(diǎn)軌跡的相關(guān)問題，考查學(xué)生的空間想象能力和推理證明能力 .三、解答題17.某高中為了了解高三學(xué)生每天自主參加體育鍛煉的情況，隨機(jī)抽取了 100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，其中女生有 55名.下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的學(xué)生自主參加體育鍛煉時(shí)間的頻率

16、分布直方圖:舞 組題200.0100.0050.025 0 022 0.020時(shí)間t/min0.01S將每天自主參加體育鍛煉時(shí)間不低于40分鐘的學(xué)生稱為體育健康 A類學(xué)生，已知體育健康A(chǔ)類學(xué)生中有10名女生.(1)根據(jù)已知條件完成下面 2 2列聯(lián)表，并據(jù)此資料你是否有 95%的把握認(rèn)為達(dá)到體育健康A(chǔ)類學(xué)生與性別有關(guān)？非體育健康A(chǔ)類學(xué)生體育健康A(chǔ)類學(xué)生合計(jì)男生女生合計(jì)(2)將每天自主參加體育鍛煉時(shí)間不低于 50分鐘的學(xué)生稱為體育健康 A類學(xué)生，已 知體育健康A(chǔ)類學(xué)生中有2名女生，若從體育健康A(chǔ)類學(xué)生中任意選取 2人，求至少 有1名女生的概率.附：_2P K k00.050.0100.005k03

17、.8416.6357.87922n(ad bc)K (a c)(b d)(c d)(a b)【答案】(1)列聯(lián)表見解析，沒有 95%的把握認(rèn)為；(2).102n(ad bc)(a c)(b d)(c d)(a b)【解析】(1)由圖，知在抽取的100人中，體育健康 A類學(xué)生有25人，其中女生10人，男生15人，由此即可完成2 2列聯(lián)表；套用公式K2算出的值與3.841比較大小，即可得到本題答案;(2)由題，知體育健康 a類學(xué)生為5人，記a1，a2,a3表示男生，匕笛2表示女生，把所有情況都列出來，則總事件有10種情況，滿足至少有一名女生的情況有7種，根據(jù)古典概型的概率公式，即可求得本題答案.【

18、詳解】(1)由頻率分布直方圖可知，在抽取的 100人中，體育健康 A類學(xué)生有25人,從而2 2列聯(lián)表如下:非體育健康A(chǔ)類學(xué)生體育健康A(chǔ)類學(xué)生合計(jì)男生301545女生451055合計(jì)7525100由2 2列聯(lián)表中數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算，得：1003.030 3.84133K2n(ad bc)2100 (30 10 45 15)2(a c)(b d)(c d)(a b) 75 25 45 55所以沒有95%的把握認(rèn)為達(dá)到體育健康A(chǔ)類學(xué)生與性別有關(guān).(2)由頻率分布直方圖可知，體育健康A(chǔ)類學(xué)生為5人，記a1,a2,a3表示男生，b,b2表示女生，從而一切可能結(jié)果所組成的基本事件空間為(a1,a2),(a1

19、,a3),(a2,a3),(a1，bi) ,(a1,b2),(a2,bi),(a2,b2),(a3,bi),(a3,b2),(b1h) .由10個(gè)基本事件組成，而且這些事件的出現(xiàn)是等可能的.用B表示 任選2中至少有1名是女生”這一事件，則 B(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(,b2)共計(jì) 7 種,- P(B) -7-.10【點(diǎn)睛】本題主要考查頻率直方圖的應(yīng)用，獨(dú)立性檢驗(yàn)以及古典概型的概率求法，考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力，以及運(yùn)算求解能力18.已知等差數(shù)列an的首項(xiàng)為ai,公差為d ai Z,d Z ,前n項(xiàng)的和為 &

20、 ,且S7 49 , 24 S526 .(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；,、1(2)設(shè)數(shù)列的刖n項(xiàng)的和為Tn,求Tn.an an 1(1)2n-1;(2)n2n 1【解析】【詳解】(1)由題意得7 67al 6d 492_2Q a1 Z,d5 424 5a1 d 262Z解得an a1n 1 d 2n 1(2) Q1an an 112n 1 2n 11112 2n 1 2n 11.11111 123 3 5 5 72n 1 2n 12n 119.如圖1,在直角梯形 ABCD中，AB / CD, AB AD ,且AB1” ,AD -CD 1.現(xiàn)2以才心為一邊向梯形外作正方形ADEF ,然后沿邊AD將

21、正方形ADEF翻折,使平面ADEF與平面ABCD垂直，如圖2.圖2(I )求證：BCL平面DBE ;(n )求點(diǎn)D到平面BEC的距離.【答案】(1)證明見解析；(2)旦3【解析】試題分析：(1)要證直線BC與平面BDE垂直，題中翻折成平面 ADEF與平面ABCD垂直，因此有 ED 平面ABCD ,從而有一個(gè)線線垂直 ED BC ,另一個(gè) 在梯形ABCD中由平面幾何知識可證 BC BD ,從而得證線面垂直；（2）由（1）知 平面BCE與平面BDE垂直，因此只要過 D作DH BE于點(diǎn)H ,則可得DH的長就 是點(diǎn)D到平面BEC的距離，在三角形中計(jì)算可得.試題解析：（1）在正方形 ADEF中，ED A

22、D ,又因?yàn)槠矫?ADEF 平面ABCD, 且平面ADEF 平面ABCD AD ,所以ED 平面ABCD,所以ED BC .在直角 梯形 ABCD 中，AB AD 1,CD 2 ,可得 BC 四 ,在 BCD 中，BD BC eCD 2,所以 BD2 BC2 CD2,所以 BC BD ,所以BC 平面BDE.（2）因?yàn)锽C 平面BCE ,所以平面BDE 平面BEC ,過點(diǎn)D作EB的垂線交EB 于點(diǎn)G ,則DG 平面BEC ,所以點(diǎn)D到平面BEC的距離等于線段 DG的長度.11在直角二角形 BDE中，S BDE - BD BE - BE DG ,所以 22BD DE .26DG -=,BE,33

23、所以點(diǎn)D到平面BEC的距離等于 叵. 3【考點(diǎn)】線面垂直的判斷，點(diǎn)到平面的距離.20.已知函數(shù) f（x） aex x 1 .（1）若f （x）在（0,3）上只有一個(gè)零點(diǎn)，求 a的取值范圍；12 3（2）設(shè)X0為f （x）的極小值點(diǎn)，證明：f（X0）-.【答案】（1），馬Ug ；（2）見解析.x 1x 1【斛析】（1）分離參數(shù)可得 a x-,求出h x 1的單調(diào)性和值域，從而得出a的范圍；（2）先求得f x的極小值f Xo ,不等式兩邊作差，構(gòu)造兩個(gè)新函數(shù)分別求最值即可得出結(jié)論.【詳解】（1）因?yàn)閒 x在0,3上只有一個(gè)零點(diǎn)，x 1所以方程a 一x在0,3上只有一個(gè)解.x 1. .2 x設(shè)函數(shù)h

24、 x ，則h' x ，當(dāng)0 x 2時(shí)，h x 0 ；當(dāng)2 x 3時(shí), eeh' x 0.1所以h x h 2.max2e2又 h 01 , h 33-,e一 ，一，21故a的取值范圍為1,不 -y32e e(2)證明：f ' xaex 1,當(dāng) a 0 時(shí)，f' x0恒成立，f x無極值，故a 0.令 f ' xaex 1 0 ,得 x Ina ,Ina 時(shí)，f' x 0；當(dāng) xIna 時(shí)，f' x 0.故f x的極小值為f Ina2 Ina.故要證f x0123、,125八-2,只需證lna-20.aa4aa41設(shè)函數(shù) g x Inx -

25、 1, g x xx 1 ,-(x 0), x當(dāng) 0 x 1 時(shí)，g' x0 ;當(dāng) x 1 時(shí)，g' x 0.故 g x min g 10.而139而一 2a a 4是lnalna0,-1彳八一 1390的取等條件不同,又 lna 1 0 與12 aa a 4一125則 lna20,aa4從而f x0本題考查了函數(shù)單調(diào)性與函數(shù)極值的問題，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式常用方法： 作差構(gòu)造新 函數(shù)，屬于較難題.1121 ,已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到點(diǎn)一,。的距離比到直線 x 1的距離小一，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為曲線22C.(1)求曲線C的方程；(2)過曲線C上一點(diǎn)M 2,yo (y0 0 )作兩條直線l1，I2與

26、曲線C分別交于不同的兩點(diǎn)A, B,若直線li, 12的斜率分別為ki, k2,且kik2 1.證明：直線AB過定點(diǎn).【答案】(1) y2 2x .(2)證明見詳解.【解析】(1)將描述的軌跡性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為拋物線的定義，據(jù)此寫出曲線方程；(2)設(shè)出直線 AB方程，利用kk2 1,得到直線 AB方程中系數(shù)之間的關(guān)系，從而證明直線恒過定點(diǎn).【詳解】1 1(1)由題意可知，P到點(diǎn) ,0的距離比到直線 x 1的距離小一，2 21 1則：動點(diǎn)P到點(diǎn),0的距離與到直線x 一的距離相等2 21 1故：點(diǎn)P的軌跡是以 一,0 為焦點(diǎn)，直線 x -為準(zhǔn)線的拋物線，2 2所以曲線C的方程為y2 2x.(2)因?yàn)辄c(diǎn)M在

27、拋物線上，故可知 M (2,2),設(shè)點(diǎn)A x1,y , B x2, y2 ,直線AB的方程為:聯(lián)立2my 2b 0,所以% V2 2mV1 y22b2所以x x2 2m 2b2K“ by1 2 y2 2因?yàn)閗1k21,x1 2 x2 2即 y1y2 2 y1y2x1x2 2 x1 x2 ,所以 b2 2b 4m2 4m 0,等價(jià)于(b 2)2 (2m 1)2,所以 b 2m或 b 2m 2當(dāng)b 2m 2時(shí)，直線AB的方程：x my 2m 2直線過定點(diǎn)（2,2）與乂重合，舍去；當(dāng)b 2m時(shí)，直線AB的方程：x my 2m直線過定點(diǎn)（0, 2）,所以直線AB過定點(diǎn)（0, 2）.【點(diǎn)睛】本題考查由拋物線定義求解拋物線方程，以及證明直線恒過定點(diǎn)問題；一般地，證明直線恒過定點(diǎn)，本質(zhì)問題都是尋求方程系數(shù)之間的關(guān)系22.已